廣東省茂名市2024屆高三上學期第一次綜合測試（一模）數(shù)學 含解析

絕密★啟用前2024年茂名市高三年級第一次綜合測試數(shù)學試卷試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，請將答題卡交回.一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，，則集合的子集個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.82.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.從6名女生3名男生中選出2名女生1名男生，則不同的選取方法種數(shù)為（）A.33 B.45 C.84 D.904.曲線在點處的切線與直線平行，則（）A. B. C.1 D.25.橢圓：（）的左、右焦點分別為，，過作垂直于軸的直線，交于，兩點，若，則的離心率為（）A. B. C. D.6.函數(shù)和均為上的奇函數(shù)，若，則（）A. B. C.0 D.27.若，，則（）A. B. C. D.8.數(shù)列滿足，（），，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.若是區(qū)間上的單調函數(shù)，則實數(shù)的值可以是（）A. B. C.3 D.410.過拋物線：的焦點作直線，交于，兩點，則（）A.的準線方程為B.以為直徑的圓與的準線相切C.若，則線段中點的橫坐標為D.若，則直線有且只有一條11.在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，則（）A.直線與所成的角為60°B.過空間中一點有且僅有兩條直線與所成的角都是60°C.過，，三點的平面截該正方體，所得截面圖形的周長為D.過直線的平面截正方體，所得截面圖形可以是五邊形12.從標有1，2，3，…，10的10張卡片中，有放回地抽取兩張，依次得到數(shù)字，，記點，，，則（）A.是銳角的概率為 B.是銳角的概率為C.是銳角三角形的概率為 D.的面積不大于5的概率為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則______.14.如圖，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人為了實現(xiàn)四個現(xiàn)代化而努力奮斗的真實寫照.被托舉的四個球堆砌兩層放在平臺上，下層3個，上層1個，兩兩相切.若球的半徑都為，則上層的最高點離平臺的距離為______.15.動點與兩個定點，滿足，則點到直線：的距離的最大值為______.16.函數(shù)（）在區(qū)間上有且只有兩個零點，則的取值范圍是______.四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（10分）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知.（1）求的值；（2）若為的中點，且，求的最小值.18.（12分）已知某種業(yè)公司培育了新品種的軟籽石榴，從收獲的果實中隨機抽取了50個軟籽石榴，按質量（單位：）將它們分成5組：，，，，得到如下頻率分布直方圖.（1）用樣本估計總體，求該品種石榴的平均質量；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（2）按分層隨機抽樣，在樣本中，從質量在區(qū)間，，內的石榴中抽取7個石榴進行檢測，再從中抽取3個石榴作進一步檢測.（?。┮阎槿〉?個石榴不完全來自同一區(qū)間，求這3個石榴恰好來自不同區(qū)間的概率；（ⅱ）記這3個石榴中質量在區(qū)間內的個數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.19.（12分）已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）令，為數(shù)列的前項積，證明：，.20.（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.（1）證明：；（2）點在線段上，當直線與平面所成角的正弦值為時，求平面與平面的夾角的余弦值.21.（12分）已知雙曲線：（）的左焦點為，，分別為雙曲線的左、右頂點，頂點到雙曲線的漸近線的距離為.（1）求的標準方程；（2）過點的直線與雙曲線左支交于點（異于點），直線與直線：交于點，的角平分線交直線于點，證明：是的中點.22.（12分）若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.（1）若，判斷是否為上的“3類函數(shù)”；（2）若為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.

2024年茂名市高三年級第一次綜合測試數(shù)學參考答案一、單選題題號12345678答案CABCAACD二、多選題題號9101112答案CDBCDACDACD1.【答案】C【解析】集合，，則，所以集合的子集個數(shù)為.故選C.2.【答案】A【解析】解不等式得或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選A.3.【答案】B【解析】.故選B.4.【答案】C【解析】因為，所以，所以.故選C.5.【答案】A【解析】因為，因為直線垂直于軸，令，代入橢圓方程可得，解得，所以，因為，所以，即，即，所以，解得.故選A.6.【答案】A【解析】因為為奇函數(shù)，所以關于對稱，又關于原點對稱，所以的周期為4，所以.故選A.7.【答案】C【解析】令，，得，則，即，即，且，那么，則.故選C.8.【答案】D【解析】由題意，，兩邊取倒數(shù)可化為，所以，，，由累加法可得，，因為，所以，所以，因為數(shù)列是遞減數(shù)列，故，即，整理可得，，因為，，所以，故.故選D.9.【答案】CD【解析】由題意，，故在，上單調遞減，在上單調遞增，若函數(shù)在區(qū)間上單調，則或或解得或或，即或.故選CD.10.【答案】BCD【解析】因為拋物線的方程為，所以，準線方程為，A錯誤；過，和的中點分別做準線的正線，，，則，連接，，因為，所以，以為直徑的圓與準線相切于點，B正確；拋物線的焦點為，設，兩點坐標分別為，，由拋物線的焦半徑公式可知，若，又因為，此時，則線段中點的橫坐標為，C正確；因為，當且僅當軸時等號成立，所以，若，則這樣的直線有且只有一條，此時軸，D正確.故選BCD.11.【答案】ACD【解析】與所成的角即為與所成的角，為60°，A正確；因為直線，所成角是90°，所以過空間一點與兩直線所成角為60°的直線有4條，B錯誤；易知平面為過，，三點的截面，該截面為梯形，周長為，C正確；對于D，如圖所示，取，的靠近，的三等分點，，連接，，，，易知，，故點，，，，共面，該截面圖形為五.邊形，D正確.故選ACD.12.【答案】ACD【解析】易知，不共線，若是銳角，，易知共有100種情況，其中共有10種，與有相同種情況，即45種，所以是銳角的概率為，A正確；若是銳角，恒成立，所以是銳角的概率為1，B錯誤；若是銳角三角形，則即所以，共有9種情況，所以是銳角三角形的概率為，C正確；若，則，易知該不等式共有組正整數(shù)解，所以的面積不大于5的概率為，D正確.故選ACD.13.【答案】【解析】∵，∴.14.【答案】【解析】依次連接四個球的球心，，，，則四面體為正四面體，且邊長為，所以到底面的距離為，所以最高點到平臺的距離為.15.【答案】【解析】設點，因為，所以，化簡得，所以點的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，又因為直線過定點，所以點到直線的距離的最大值為點到的距離加上圓的半徑，故最大值為.16.【答案】【解析】由于在區(qū)間上有且只有兩個零點，所以，即，由得，，，∵，∴，∴或解得或，所以的取值范圍是.17.解：（1）由正弦定理及，得，又，所以，又，∴，∴，即，又，∴.（2）由及，所以.當且僅當時等號成立，所以的最小值為.18.解：（1）該品種石榴的平均質量為，所以該品種石榴的平均質量為.（2）由題可知，這7個石榴中，質量在，，上的頻率比為，所以執(zhí)取們質量在，，上的石榴個數(shù)分別為2，2，3.（?。┯洝俺槿〉?個石榴不完全來自同一區(qū)間”，“這3個石榴恰好來自不同區(qū)間”，則，，所以，即這3個石榴恰好來自不同區(qū)間的概率為.（ⅱ）由題意的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以的分布列為0123所以.19.（1）解：由于，則，當時，，則，；當時，符合上式，則，.（2）證明：由于，那么，∵，∴，那么，即證.20.（1）證明：由于平面平面，平面平面，過點作的嚴線交的延長線于點，則平面.連接交于，連接，∵，，∴，∴，又，，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，即，又平面，平面，∴，又，∴平面，又∵平面，∴.（2）解：以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，由于在上，設，則，∴，又平面的法向量，設直線與平面所成角為，∴，解得或（舍去），∴，∴，，，設平面的法向共，平而的法向共，則即，取，得，，∴，故平面與平面夾角的余弦值為.21.（1）解：因為，所以，雙曲線的一條漸近線為，因為雙曲線的右頂點為，設右頂點到浙近線的距離為，由題意得解得則的標準方程為.（2）證明：①當，即時，設點，代入雙曲線方程得，，解得，取第二象限的點，則，因為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，令，解得，即，因為直線是的角平分線，且.，所以直線的斜率為，直線的方程為，令，解得，即，此時，即是的中點；②當時，設直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立方程消去得，由韋達定理得，，又因為，所以，，點，又因為，所以，由題意可知，直線的斜率存在，設為，則直線：，因為是的角平分線，所以，所以，又因為，，所以，即，即，得或，由題意知和異號，所以，所