2023-2024學(xué)年廣東省深圳市福田區(qū)紅嶺實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題福田區(qū)紅嶺實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)12月月考數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每題3分，共30分）1．下列四種圖案中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．一個(gè)正方體截去四分之一，得到如圖所示的幾何體，其左視圖是（）A． B． C． D．3．因深圳市委正緊緊圍繞打造“志愿者之城”4.0升級(jí)版，推動(dòng)志愿服務(wù)事業(yè)朝著更專業(yè)、更精細(xì)、更規(guī)范的方向不斷邁進(jìn)，截至2022年底，深圳市注冊(cè)志愿者已達(dá)3510000人，平均每5個(gè)深圳市民里就有一個(gè)志愿者．其中數(shù)據(jù)3510000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．3.51×105 B．3.51×106 C．3.51×107 D．0.351×1074．下列計(jì)算中，結(jié)果正確的是（）A．（－pq）3＝p3q3 B．x·x3＋x2·x2＝x8 C．＝±5 D．（a2）3＝a65．在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的15名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)绫硭荆煽?jī)/米1.501.601.651.701.75人數(shù)23541這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）A．1.65米，1.65米 B．1.65米，1.70米 C．1.75米，1.65米 D．1.50米，1.60米6．解不等式組時(shí)，不等式①②的解集在同一條數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．7．小華將一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如圖所示的方式擺放，其中AB∥EF，則∠1的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．75° D．105°8．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木條，繩子還余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木條，木條余1尺，問木條長(zhǎng)多少尺？若設(shè)木條長(zhǎng)x尺，繩子長(zhǎng)y尺，則可列方程組為（）A． B． C． D．9．如圖，把一張矩形紙片ABCD按所示方法進(jìn)行兩次折疊，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，則AB的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．10．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，連接DF，分別交AE，AC于點(diǎn)G，M．P是線段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM．有下列四個(gè)結(jié)論：①AE垂直平分DM；②PM＋PN的最小值為3；③CF2＝GE?AE；④S△ADM＝6．其中正確的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③二．填空題（每題3分，共15分）11．分解因式：2a2＋8ab＋8b2＝．12．若二次根式有意義，則x的取值范圍是．13．“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長(zhǎng)度為寸．14．如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N；②以點(diǎn)D為圓心，以AM長(zhǎng)為半徑作弧，交DB于點(diǎn)M′；③以點(diǎn)M′為圓心，以MN長(zhǎng)為半徑作弧，在∠BAC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N′；④過點(diǎn)N′作射線DN′交BC于點(diǎn)E．若△BDE與四邊形ACED的面積比為4：21，則的值為．15．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C，滿足A1B1∥AC，過點(diǎn)B作BE⊥A1C，垂足為E，連接AE，若S△ABE＝3S△ACE，則AB的長(zhǎng)為．三．解答題（共55分）16．（5分）計(jì)算：．17．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．18．（8分）某校為落實(shí)“雙減”工作，推行“五育并舉”，計(jì)劃成立五個(gè)興趣活動(dòng)小組（每個(gè)學(xué)生只能參加一個(gè)活動(dòng)小組）：A．音樂，B．美術(shù)，C．體育，D．閱讀，E．人工智能．為了解學(xué)生對(duì)以上興趣活動(dòng)的參與情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：根據(jù)圖中信息，完成下列問題：（1）①補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；②扇形統(tǒng)計(jì)圖中的圓心角α的度數(shù)為．（2）若該校有3600名學(xué)生，估計(jì)該校參加E組（人工智能）的學(xué)生人數(shù)；（3）該學(xué)校從E組中挑選出了表現(xiàn)最好的兩名男生和兩名女生，計(jì)劃從這四位同學(xué)中隨機(jī)抽取兩人參加市青少年人工智能競(jìng)賽，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．19．（8分）隨著國(guó)家鄉(xiāng)村振興政策的推進(jìn)，鳳凰村農(nóng)副產(chǎn)品越來越豐富．為增加該村村民收入，計(jì)劃定價(jià)銷售某土特產(chǎn)，他們把該土特產(chǎn)（每袋成本10元）進(jìn)行4天試銷售，日銷量y（袋）和每袋售價(jià)x（元）記錄如下：時(shí)間第一天第二天第三天第四天x/元15202530y/袋25201510若試銷售和正常銷售期間，日銷量y與每袋售價(jià)x的一次函數(shù)關(guān)系相同，解決下列問題：（1）求日銷量y關(guān)于每袋售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）請(qǐng)你幫村民設(shè)計(jì)，每袋售價(jià)定為多少元，才能使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．（利潤(rùn)＝銷售額－成本）20．（9分）如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E，AE平分∠BAC，過點(diǎn)E作ED⊥AC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．（1）求證：PE是⊙O的切線；（2）若，BP＝4，求CD的長(zhǎng)．21．（9分）視力表中蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)知識(shí)，如：每個(gè)“”形圖都是正方形結(jié)構(gòu)，同一行的“”是全等圖形且對(duì)應(yīng)著同一個(gè)視力值，不同的檢測(cè)距離需要不同的視力表．素材1國(guó)際通用的視力表以5米為檢測(cè)距離，任選視力表中7個(gè)視力值n，測(cè)得對(duì)應(yīng)行的“”形圖邊長(zhǎng)b（mm），在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)如圖1．探究1檢測(cè)距離為5米時(shí)，歸納n與b的關(guān)系式，并求視力值1.2所對(duì)應(yīng)行的“”形圖邊長(zhǎng)．素材2圖2為視網(wǎng)膜成像示意圖，在檢測(cè)視力時(shí)，眼睛能看清最小“”形圖所成的角叫做分辨視角θ．視力值n與分辨視角θ（分）的對(duì)應(yīng)關(guān)系近似滿足n＝（0.5≤θ≤10）．探究2當(dāng)n≥1.0時(shí)，屬于正常視力，根據(jù)函數(shù)增減性寫出對(duì)應(yīng)的分辨視角θ的范圍．素材3如圖3，當(dāng)θ確定時(shí)，在A處用邊長(zhǎng)為b1的Ⅰ號(hào)“”測(cè)得的視力與在B處用邊長(zhǎng)為b2的Ⅱ號(hào)“”測(cè)得的視力相同．探究3若檢測(cè)距離為3米，求視力值1.2所對(duì)應(yīng)行的“”形圖邊長(zhǎng)．22．（10分）過四邊形ABCD的頂點(diǎn)A作射線AM，P為射線AM上一點(diǎn)，連接DP．將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至AQ，記旋轉(zhuǎn)角∠PAQ＝α，連接BQ．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，數(shù)學(xué)興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形ABCD是正方形，且α＝90°．無論點(diǎn)P在何處，總有BQ＝DP，請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論．（2）【類比遷移】如圖2，如果四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝α＝60°，∠MAD＝15°，連接PQ．當(dāng)PQ⊥BQ，AB＝時(shí)，求AP的長(zhǎng)；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，如果四邊形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，AM平分∠DAC，α＝90°．在射線AQ上截取AR，使得AR＝AP．當(dāng)△PBR是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出AP的長(zhǎng)．

紅嶺實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)12月月考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．下列四種圖案中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．原圖不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．原圖是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；C．原圖不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D．原圖不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：B．2．一個(gè)正方體截去四分之一，得到如圖所示的幾何體，其左視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：A、選項(xiàng)不符合三種視圖，不符合題意；B、選項(xiàng)是主視圖，不符合題意；C、選項(xiàng)是右視圖，不符合題意；D、選項(xiàng)是左視圖，符合題意；故選：D．3．因深圳市委正緊緊圍繞打造“志愿者之城”4.0升級(jí)版，推動(dòng)志愿服務(wù)事業(yè)朝著更專業(yè)、更精細(xì)、更規(guī)范的方向不斷邁進(jìn)，截至2022年底，深圳市注冊(cè)志愿者已達(dá)3510000人，平均每5個(gè)深圳市民里就有一個(gè)志愿者．其中數(shù)據(jù)3510000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．3.51×105 B．3.51×106 C．3.51×107 D．0.351×107【解答】解：3510000＝3.51×106，故選：B．4．下列計(jì)算中，結(jié)果正確的是（）A．（－pq）3＝p3q3 B．x?x3＋x2?x2＝x8 C．＝±5 D．（a2）3＝a6【解答】解：A：（－pq）3＝（－p）3q3＝－p3q3，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B：x?x3＋x2?x2＝x4＋x4＝2x4，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，C：＝5，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D：（a2）3＝a2×3＝a6．故答案為：D．5．在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的15名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)绫硭荆煽?jī)/米1.501.601.651.701.75人數(shù)23541這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）A．1.65米，1.65米 B．1.65米，1.70米 C．1.75米，1.65米 D．1.50米，1.60米【解答】解：由表可知1.65m出現(xiàn)次數(shù)最多，有5次，所以眾數(shù)為1.65m，這15個(gè)數(shù)據(jù)最中間的數(shù)據(jù)是第8個(gè)，即1.65m，所以中位數(shù)為1.65m，故選：A．6．解不等式組時(shí)，不等式①②的解集在同一條數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：，解不等式①得：x＞－4，解不等式②得：x≥1，將不等式①②的解集在同一條數(shù)軸上表示如圖所示：∴該不等式組的解集為：x≥1，故選：B．7．小華將一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如圖所示的方式擺放，其中AB∥EF，則∠1的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．75° D．105°【解答】解：設(shè)AB與DF交于點(diǎn)O，由題意得，∠F＝45°，∠A＝60°，∵AB∥EF，∴∠AOF＝∠F＝45°，∴∠1＝180°－∠A－∠AOF＝180°－60°－45°＝75°．故選：C．8．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木條，繩子還余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木條，木條余1尺，問木條長(zhǎng)多少尺？若設(shè)木條長(zhǎng)x尺，繩子長(zhǎng)y尺，則可列方程組為（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)木條長(zhǎng)x尺，繩子長(zhǎng)y尺，所列方程組為：．故選：A．9．如圖，把一張矩形紙片ABCD按所示方法進(jìn)行兩次折疊，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，則AB的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．【解答】解：由折疊補(bǔ)全圖形如圖所示，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，由第一次折疊得：∠DA'E＝∠A＝90°，∠ADE＝∠ADC＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AE＝AD＝1，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE＝AD＝，由第二次折疊知，CD＝DE＝，∴AB＝．故選：A．10．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，連接DF，分別交AE，AC于點(diǎn)G，M．P是線段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM．有下列四個(gè)結(jié)論：①AE垂直平分DM；②PM＋PN的最小值為3；③CF2＝GE?AE；④S△ADM＝6．其中正確的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，∵BF＝CE，∴BC－BF＝DC－CE，即CF＝DE，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF＋∠ADG＝90°，∴∠DAE＋∠ADG＝90°，∴∠AGD＝90°，∴∠AGM＝90°，∴∠AGM＝∠AGD，∵AE平分∠CAD，∴∠MAG＝∠DAG，又AG為公共邊，∴△AGM≌△AGD（ASA），∴GM＝GD，又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，∴AE垂直平分DM，故①正確；②如圖，連接BD與AC交于點(diǎn)O，交AG于點(diǎn)H，連接HM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即DO⊥AM，∵AE垂直平分DM，∴HM＝HD，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)H重合時(shí)，PM＋PN的值最小，此時(shí)PM＋PN＝HM＋HO＝HD＋HO＝DO，即PM＋PN的最小值是DO的長(zhǎng)，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴AC＝BD＝，∴，即PM＋PN的最小值為，故②錯(cuò)誤；③∵AE垂直平分DM，∴∠DGE＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠DGE＝∠ADE，又∵∠DEG＝∠AED，∴△DGE∽△ADE，∴，即DE2＝GE?AE，由①知CF＝DE，∴CF2＝GE?AE，故③正確；④∵AE垂直平分DM，∴AM＝AD＝4，又，∴，故④錯(cuò)誤；綜上，正確的是：①③，故選：D．二．填空題（共6小題）11．分解因式：2a2＋8ab＋8b2＝2（a＋2b）2．【解答】解：2a2＋8ab＋8b2＝2（a2＋4ab＋4b2）＝2（a＋2b）2．故答案為：2（a＋2b）2．12．若二次根式有意義，則x的取值范圍是x＜2．【解答】解：∵二次根式有意義，∴2－x＞0，解得：x＜2．故答案為：x＜2．13．“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長(zhǎng)度為26寸．【解答】解：連接OA，設(shè)⊙O的半徑是r寸，∵直徑CD⊥AB，∴AE＝AB＝×10＝5寸，∵CE＝1寸，∴OE＝（r－1）寸，∵OA2＝OE2＋AE2，∴r2＝（r－1）2＋52，∴r＝13，∴直徑CD的長(zhǎng)度為2r＝26寸．故答案為：26．14．如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N；②以點(diǎn)D為圓心，以AM長(zhǎng)為半徑作弧，交DB于點(diǎn)M′；③以點(diǎn)M′為圓心，以MN長(zhǎng)為半徑作弧，在∠BAC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N′；④過點(diǎn)N′作射線DN′交BC于點(diǎn)E．若△BDE與四邊形ACED的面積比為4：21，則的值為．【解答】解：由作圖知，∠A＝∠BDE，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△BAC的面積：△BDE的面積＝（△BDE的面積＋四邊形ACED的面積）：△BDE的面積＝1＋四邊形ACED的面積：△BDE的面積＝1＋＝，∴△BDC的面積：△BAC的面積＝（）2＝，∴＝，∴＝．故答案為：．15．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C，滿足A1B1∥AC，過點(diǎn)B作BE⊥A1C，垂足為E，連接AE，若S△ABE＝3S△ACE，則AB的長(zhǎng)為4．【解答】解：設(shè)A1C交AB于D，如圖：∵A1B1∥AC，∴∠A1＝∠A1CA，∵將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C，∴∠A1＝∠BAC，∴∠A1CA＝∠BAC，∴CD＝AD，∵∠ACB＝90°，∴∠CBD＋∠BAC＝90°＝∠A1CA＋∠BCD，∴∠CBD＝∠BCD，∴BD＝CD，∴BD＝CD＝AD，∴S△BDE＝S△ADE＝S△ABE，∵S△ABE＝3S△ACE，∴S△BDE＝S△ADE＝S△ACE，∴＝，∴＝，設(shè)CE＝2x，則DE＝3x，CD＝5x＝BD＝AD，∴BE＝＝4x，∴BC＝＝2x，∵∠BCE＝∠CBA，∠BEC＝90°＝∠BCA，∴△BCE∽△ABC，∴＝，∵AC＝8，∴＝，∴AB＝4．故答案為：4．三．解答題（共7小題）16．計(jì)算：．【解答】解：原式＝＝．17．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【解答】解：原式＝（－）?＝?＝?＝－x2－x，當(dāng)x＝時(shí)，原式＝－（）2－＝－2－．18．某校為落實(shí)“雙減”工作，推行“五育并舉”，計(jì)劃成立五個(gè)興趣活動(dòng)小組（每個(gè)學(xué)生只能參加一個(gè)活動(dòng)小組）：A．音樂，B．美術(shù)，C．體育，D．閱讀，E．人工智能．為了解學(xué)生對(duì)以上興趣活動(dòng)的參與情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：根據(jù)圖中信息，完成下列問題：（1）①補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；②扇形統(tǒng)計(jì)圖中的圓心角α的度數(shù)為120°．（2）若該校有3600名學(xué)生，估計(jì)該校參加E組（人工智能）的學(xué)生人數(shù)；（3）該學(xué)校從E組中挑選出了表現(xiàn)最好的兩名男生和兩名女生，計(jì)劃從這四位同學(xué)中隨機(jī)抽取兩人參加市青少年人工智能競(jìng)賽，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．【解答】解：（1）由題意知，被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為30÷10%＝300（人），所以D小組人數(shù)為300－（40＋30＋70＋60）＝100（人），補(bǔ)全圖形如下：②扇形統(tǒng)計(jì)圖中的圓心角α的度數(shù)為360°×＝120°，故答案為：120°；（2）3600×＝720（名），答：估計(jì)該校參加E組（人工智能）的學(xué)生有720名；（3）畫樹狀圖為：由樹狀圖知，共有12種等可能的結(jié)果，其中一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)為8，所以恰好抽到一名男生一名女生的概率為＝．19．隨著國(guó)家鄉(xiāng)村振興政策的推進(jìn)，鳳凰村農(nóng)副產(chǎn)品越來越豐富．為增加該村村民收入，計(jì)劃定價(jià)銷售某土特產(chǎn)，他們把該土特產(chǎn)（每袋成本10元）進(jìn)行4天試銷售，日銷量y（袋）和每袋售價(jià)x（元）記錄如下：時(shí)間第一天第二天第三天第四天x/元15202530y/袋25201510若試銷售和正常銷售期間，日銷量y與每袋售價(jià)x的一次函數(shù)關(guān)系相同，解決下列問題：（1）求日銷量y關(guān)于每袋售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）請(qǐng)你幫村民設(shè)計(jì)，每袋售價(jià)定為多少元，才能使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．（利潤(rùn)＝銷售額－成本）【解答】解：（1）依題意，根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，設(shè)日銷售量y（袋）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，得，解得，故日銷售量y（袋）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式為：y＝－x＋40；（2）依題意，設(shè)利潤(rùn)為w元，得w＝（x－10）（－x＋40）＝－x2＋50x－400，配方，得w＝－（x－25）2＋225，∵－1＜0∴當(dāng)x＝25時(shí)，w取得最大值，最大值為225，故要使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤(rùn)最大，每袋的銷售價(jià)應(yīng)定為25元，每日銷售的最大利潤(rùn)是225元．20．如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E，AE平分∠BAC，過點(diǎn)E作ED⊥AC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．（1）求證：PE是⊙O的切線；（2）若，BP＝4，求CD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖，連接OE，∵AE平分∠BAC，∴∠OAE＝∠DAE，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠OAE，∴∠DAE＝∠OEA，∴OE∥AD，∵ED⊥AC，∴OE⊥PD，∵OE是⊙O的半徑，∴PE是⊙O的切線；（2）解：∵＝，BP＝4，OB＝OE，∴＝，∴OE＝2，∴AB＝2OE＝4，∴AP＝AB＋BP＝8，在Rt△APD中，sin∠P＝＝，∴AD＝AP＝，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°＝∠AEC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（ASA），∴AB＝AC＝4，∴CD＝AC－AD＝4－＝，∴CD的長(zhǎng)為．21．視力表中蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)知識(shí)，如：每個(gè)“”形圖都是正方形結(jié)構(gòu)，同一行的“”是全等圖形且對(duì)應(yīng)著同一個(gè)視力值，不同的檢測(cè)距離需要不同的視力表．素材1國(guó)際通用的視力表以5米為檢測(cè)距離，任選視力表中7個(gè)視力值n，測(cè)得對(duì)應(yīng)行的“”形圖邊長(zhǎng)b（mm），在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)如圖1．探究1檢測(cè)距離為5米時(shí)，歸納n與b的關(guān)系式，并求視力值1.2所對(duì)應(yīng)行的“”形圖邊長(zhǎng)．素材2圖2為視網(wǎng)膜成像示意圖，在檢測(cè)視力時(shí)，眼睛能看清最小“”形圖所成的角叫做分辨視角θ．視力值n與分辨視角θ（分）的對(duì)應(yīng)關(guān)系近似滿足n＝（0.5≤θ≤10）．探究2當(dāng)n≥1.0時(shí)，屬于正常視力，根據(jù)函數(shù)增減性寫出對(duì)應(yīng)的分辨視角θ的范圍．素材3如圖3，當(dāng)θ確定時(shí)，在A處用邊長(zhǎng)為b1的Ⅰ號(hào)“”測(cè)得的視力與在B處用邊長(zhǎng)為b2的Ⅱ號(hào)“”測(cè)得的視力相同．探究3若檢測(cè)距離為3米，求視力值1.2所對(duì)應(yīng)行的“”形圖邊長(zhǎng)．【解答】解：探究1：由圖象中的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律得到n與b成反比例關(guān)系，設(shè)，將其中一點(diǎn)（9，0.8）代入得：，解得：k＝7.2，∴，將其余各點(diǎn)一一代入驗(yàn)證，都符合關(guān)系式；將n＝1.2代入n＝得：b＝6；答：檢測(cè)距離為5米時(shí)，視力值1.2所對(duì)應(yīng)行的“E”形圖邊長(zhǎng)為6mm，視力值1.2所對(duì)應(yīng)行的“E”形圖邊長(zhǎng)為6mm；探究2：∵，∴在自變量θ的取值范圍內(nèi)，n隨著θ的增大而減小，∴當(dāng)n≥1.0時(shí)，0＜θ≤1.0，∵0.5≤θ≤10，∴0.5≤θ≤1.0；探究3：由素材可知，當(dāng)某人的視力確定時(shí)，其分辨視角也是確定的，由相似三角形性質(zhì)可得＝，由探究1知b1＝6，∴＝，解得，答：檢測(cè)距離為3m時(shí)，視力值1.2所對(duì)應(yīng)行的“E”形圖邊長(zhǎng)為．22．過四邊形ABCD的頂點(diǎn)A作射線AM，P為射線AM上一點(diǎn)，連接DP．將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至AQ，記旋轉(zhuǎn)角∠PAQ＝α，連接BQ．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，數(shù)學(xué)興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形ABCD是正方形，且α＝90°．無論點(diǎn)P在何處，總有BQ＝DP，請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論．（2）【類比遷移】如圖2，如果四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝α＝60°，∠MAD＝15°，連接PQ．當(dāng)PQ⊥BQ，AB＝時(shí)，求AP的長(zhǎng)；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，如果四邊形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，AM平分∠DAC，α＝90°．在射線AQ上截取AR，使得AR＝AP．當(dāng)△PBR是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出AP的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠DAP＋∠BAM＝90°，∵∠PAQ＝90°，∴∠BAQ＋∠BAM＝90°，∴∠DAP＝∠BAQ，∵將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至AQ，∴AP＝AQ，∴△ADP≌△ABQ（SAS），∴BQ＝DP．（2）解：如圖2，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，連接BP，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，由旋轉(zhuǎn)得：AP＝AQ，∵∠DAB＝α＝60°，即∠DAB＝∠PAQ＝60°，∴△ADP≌△ABQ（SAS），∴BQ＝DP，∠APD＝∠AQB，∵AP＝AQ，∠PAQ＝60°，∴△APQ是等邊三角形，∴∠AQP＝60°，∵PQ⊥BQ，∴∠BQP＝90°，∴∠AQB＝∠AQP＋∠BQP＝60°＋90°＝150°，∴∠APD＝∠AQB＝150°，∴∠DPM＝180°－∠APD＝180°－150°＝30°，∵∠MAD＝15°，∴∠ADP＝∠DPM－∠MAD＝30°－15°＝15°，∴∠ADP＝∠MAD，∴AP＝DP，∴AQ＝BQ＝PQ＝AP，∴∠ABQ＝∠BAQ＝∠MAD＝15°，∴∠PAH＝∠PAQ－∠BAQ＝60°－15°＝45°，∵PH⊥A