安徽省六安市新世紀(jì)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷-A4

答案第=page88頁，共=sectionpages99頁六安市新世紀(jì)中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期12月份高二數(shù)學(xué)月考試卷必修二：第八章立體幾何初步、第九章統(tǒng)計(jì)、第十章概率，選擇性必修一：第一章第I卷（選擇題）一、單選題（每題5分總計(jì)40分）1．若平面α//β，且平面的一個(gè)法向量為，則平面的法向量可以是（）A． B． C． D．2．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一衰分問題：“今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)九千人，南鄉(xiāng)五千四百人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役五百人.”若要用分層抽樣從這三個(gè)鄉(xiāng)中抽出500人服役，則北鄉(xiāng)比南鄉(xiāng)多抽出人數(shù)為（

）A．60 B．70 C．80 D．903．已知正方體，點(diǎn)是上底面的中心，若，則等于（

）A．2 B． C． D．4．2023年“中華情·中國夢”中秋展演系列活動在廈門舉辦，包含美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽，書畫筆會，中秋文藝晚會等內(nèi)容．假如在美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽中，某區(qū)域有3幅不同的美術(shù)作品、3幅不同的書法作品，若從這6幅作品中隨機(jī)挑選2幅作品掛在同一面墻上，則選出的2幅作品為1幅美術(shù)作品和1幅書法作品的概率為（

）A． B． C． D．5．設(shè)、為兩條不同的直線，、為兩個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；上述命題中，所有真命題的序號是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④6．一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中，下列結(jié)論：①；②；③MN與AB是異面直線；④BF與CD成角，其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．③④7．在四面體中，平面，，則該四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．某校200名學(xué)生參加環(huán)保知識競賽，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的考試成組（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．頻率分布直方圖中a的值為0.006B．估計(jì)某校成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為50人C．估計(jì)這20名學(xué)生考試成績的眾數(shù)為80分D．估計(jì)這20名學(xué)生考試成績的第60百分位數(shù)為80分二、多選題（每題6分，選錯(cuò)或多選不得分，部分對答部分分，總計(jì)18分）9．若是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是（）A．B．C． D．10．下列說法正確的是（

）A．一組樣本數(shù)據(jù)的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和為60B．?dāng)?shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23C．若一個(gè)樣本容量為8的樣本的平均數(shù)是5，方差為2.現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)樣本的平均數(shù)不變，方差變大D．若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1611．柜子里有雙不同的鞋子，從中隨機(jī)地取出只，下列計(jì)算結(jié)果正確的是（

）A．“取出的鞋成雙”的概率等于B．“取出的鞋都是左鞋”的概率等于C．“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于D．“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成雙”的概率等于第II卷（非選擇題）三、填空題（每題5分總計(jì)15分）12．已知向量，，滿足，則．13．在四棱錐中，底面為平行四邊形，與交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，，，，則．（用，，表示向量）14．如圖，邊長為的正的中線與中位線相交于，已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，現(xiàn)給出下列命題，其中正確的命題有（只需填上正確命題的序號）．①動點(diǎn)在平面上的射影在線段上；②三棱錐的體積有最大值；③恒有平面平面；④異面直線與不可能互相垂直；⑤異面直線與所成角的取值范圍是．四、解答題15（第一問6分，第二問7分總計(jì)13分）．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體，，，．求：(1)向量，，的坐標(biāo)；(2)，的坐標(biāo)．16（第一問7分，第二問8分總計(jì)15分）．甲、乙兩人每下一盤棋，甲獲勝的概率是0.4，甲不輸?shù)母怕蕿?.9．(1)若甲、乙兩人下一盤棋，求他們下成和棋的概率；(2)若甲、乙兩人連下兩盤棋，假設(shè)兩盤棋之間的勝負(fù)互不影響，求甲至少獲勝一盤的概率．17（第一問7分，第二問8分總計(jì)15分）．如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M為CE的中點(diǎn)．(1)求證：BM∥平面ADEF；(2)求證：平面BDE.18（第一問5分，第二問6分，第三問6分總計(jì)17分）．某校為選拔參加數(shù)學(xué)聯(lián)賽的同學(xué)，先進(jìn)行校內(nèi)數(shù)學(xué)競賽，為了解校內(nèi)競賽成績，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績，并作出頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：(1)求頻率分布直方圖中a的值．若從成績不低于70分的同學(xué)中，按分層抽樣方法抽取12人的成績，求12人中成績不低于90分的人數(shù).(2)用樣本估計(jì)總體，估計(jì)該校學(xué)生首輪數(shù)學(xué)競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù).(3)若甲、乙兩位同學(xué)均進(jìn)入第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲一等獎的概率為，乙復(fù)賽獲一等獎的概率為，甲、乙是否獲一等獎互不影響，求至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲一等獎的概率．19（第一問8分，第二問9分總計(jì)17分）．如圖，在直三棱柱中，，，P為上的動點(diǎn)，Q為棱的中點(diǎn)．(1)設(shè)平面平面，若P為的中點(diǎn)，求證：；(2)設(shè)，問線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由．參考答案：題號12345678910答案AACBDBCDABDAD題號11答案BC1．A【分析】根據(jù)面面平行判斷出，法向量互相平行即可求解.【詳解】若平面α//則兩個(gè)平面的法向量互相平行，所以平面的法向量為，所以當(dāng)時(shí)，向量為，故選：A.2．A【分析】根據(jù)分層抽樣原理建立比例關(guān)系，即可得到結(jié)論．【詳解】由題意知，抽樣比為；所以北鄉(xiāng)應(yīng)抽，南鄉(xiāng)應(yīng)抽，所以，即北鄉(xiāng)比南鄉(xiāng)多抽60人．故選：A3．C【分析】利用空間向量基本定理，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征求解作答.【詳解】正方體，點(diǎn)是上底面的中心，如圖，則，不共面，又，于是得，所以.故選：C4．B【分析】由題意，根據(jù)列舉法，結(jié)合古典概型概率的計(jì)算公式即可求解.【詳解】記3幅美術(shù)作品分別為，3幅書法作品分別為，從中隨機(jī)挑選2幅作品，不同的選法有，，共15種，其中選出的2幅作品恰好為1幅美術(shù)作品和1幅書法作品的不同選法有，共9種，故所求概率為．故選：B5．D【分析】根據(jù)線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系逐項(xiàng)判斷可得答案【詳解】對于①，平面與平面也可能相交，故錯(cuò)誤；對于②，根據(jù)垂直同一條的直線的兩個(gè)平面平行得正確；對于③，直線與直線可能相交，可能異面，故錯(cuò)誤；對于④根據(jù)垂直同一平面的兩條直線平行正確；故答案為：D．6．B【分析】將幾何體還原，即可對各命題進(jìn)行判斷，得出其真假．【詳解】將正方體還原，如圖所示：由圖可知，①不正確；②正確；③正確；④BF與CD平行，不正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征的理解，線線關(guān)系的判斷，異面直線所成角的求法，意在考查學(xué)生的直觀想象能力，屬于基礎(chǔ)題．7．C【解析】根據(jù)題目條件先確定出外接球的球心，得出外接球半徑，然后計(jì)算表面積.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，且平面，平面，所以平面，所?因?yàn)椋?，，，根?jù)該幾何體的特點(diǎn)可知，該四面體的外接球球心位于的中點(diǎn)，則外接球半徑，故該四面體的外接球的表面積為.故選：C.,【點(diǎn)睛】本題考查棱錐的外接球問題，難度一般，根據(jù)幾何條件確定出球心是關(guān)鍵.8．D【分析】根據(jù)所有矩形的面積和為1，求出，由此利用頻率分布直方圖結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解．【詳解】由頻率分布直方圖，得：，解得，故A錯(cuò)誤；總體中成績落在,內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故B錯(cuò)誤．這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)為75，故C錯(cuò)誤；前三個(gè)矩形的面積和為，這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的第60百分?jǐn)?shù)為80，故D正確；故選：D9．ABD【分析】利用空間基底的定義以及空間向量共面定理依次判斷可得結(jié)論.【詳解】由于是空間的一個(gè)基底，所以不共面，對于A，向量分別與共線，所以不共面，能構(gòu)成空間一個(gè)基底；對于B，不存在實(shí)數(shù)滿足，因此不共面，能構(gòu)成空間一個(gè)基底；對于C，由于，因此這三個(gè)向量是共面的，不能構(gòu)成基底.對于D，不存在實(shí)數(shù)滿足，因此不共面，能構(gòu)成空間一個(gè)基底.故選：ABD10．AD【分析】對于A，由題意可得樣本容量為20，平均數(shù)是3，從而可得樣本數(shù)據(jù)的總和，即可判斷；對于B，根據(jù)百分位數(shù)的定義，求出第70百分位數(shù)，即可判斷；對于C，由題意可求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差，即可判斷,對于D，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差為8，可得方差為64，從而可得新數(shù)據(jù)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差，即可判斷；【詳解】對于A，由方差的公式可知，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，這組樣本數(shù)據(jù)的總和為，A正確；對于B，數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10個(gè)數(shù)，從小到大排列為12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，故選擇第7和第8個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即，所以第70百分位數(shù)是23.5，故B錯(cuò)誤；對于C，某8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，設(shè)此時(shí)這9個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則，故C錯(cuò)誤．對于D，樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為8，故數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，故D正確；故選：AD．11．BC【分析】用列舉法列出事件的樣本空間，即可直接對選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】記雙不同的鞋子按左右為，隨機(jī)取只的樣本空間為，共種，則“取出的鞋成雙”的概率等于，A錯(cuò)；“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，B正確；“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于，C正確；“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成雙”的概率等于，D錯(cuò).故選：BC12．6【分析】根據(jù)空間向量減法和數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，∵，則，解得．故答案為：6．13．【分析】利用空間向量線性運(yùn)算求得正確結(jié)論.【詳解】．故答案為：．14．①②③⑤．【分析】由為正三角形可探討過作面的垂線的垂足的位置在上，從而可以得到①②③，利用異面直線所成角的定義可知⑤的準(zhǔn)確性，通過舉反例否定④，即可的答案．【詳解】過作面，垂足為為正三角形且中線與中位線相交，.又面面∴面面且面面.在上，故①對③對．底面面積是個(gè)定值，當(dāng)為時(shí)，三棱錐的面積最大，故②正確.由異面直線所成的角的定義知：異面直線與所成角的取值范圍是，故⑤正確.在是繞旋轉(zhuǎn)的過程中異面直線與可能互相垂直，故④不正確.故答案為①②③⑤【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，以及線面，面面垂直的判斷和性質(zhì)，同時(shí)也考查了異面直線所成角，是個(gè)基礎(chǔ)題．15．(1)，，(2)，【分析】（1）先寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)；（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算加法和減法即可.【詳解】（1）由已知，則，，；（2），.16．(1)0.5(2)0.64【分析】（1）用互斥事件概率的加法公式解決.（2）分析至少有一次獲勝的事件包括兩次都獲勝，第一次獲勝第二次未獲勝和第一次未獲勝第二次獲勝三種情況。又因?yàn)槿N情況之間互斥和兩盤棋之間的勝負(fù)互不影響.利用互斥事件的概率加法公式和獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式和對立事件概率的知識求解.【詳解】（1）設(shè)事件表示甲獲勝，事件表示和棋，事件表示甲不輸．則．因?yàn)楹推迮c獲勝是互斥的，由概率的可加性，得．因?yàn)?，所以?）設(shè)事件表示甲獲勝，則表示甲未獲勝.設(shè)下兩次棋至少有一次獲勝的事件為，則，因?yàn)閮杀P棋之間的勝負(fù)互不影響，且至少有一次獲勝包括的三種情況是互斥的.所以17．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）依題意可以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量共面定理可證明，即可證明平面；（2）由空間向量數(shù)量積為零可證明，，再由線面垂直的判定定理即可證明平面.【詳解】（1）根據(jù)題意可知平面平面，平面平面，又是正方形，所以，平面，所以平面，從而可得，，兩兩垂直；以D為原點(diǎn)，分別以，，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，又為的中點(diǎn)，所以，則，且平面的一個(gè)法向量為n=0,1,0，因?yàn)?，可知，又平面，所以∥平?（2）因?yàn)橐字?，所以；又，可得；又，平面，所以平?18．(1)，12人中成績不低于90分的人數(shù)為1；(2)平均數(shù)約為分，中位數(shù)約為分；(3).【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的頻率和為1可求的值，再根據(jù)分層隨機(jī)抽樣可得12人中成績不低于90分的人數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖及平均數(shù)與中位數(shù)的定義計(jì)算即可；（3）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式及對立事件的概率公式即可求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，解得.的頻率為，的頻率為，90,100的頻率為，按分層抽樣方法抽取12人的成績，則12人中成績不低于90分的人數(shù)為.（2）該校學(xué)生首輪數(shù)學(xué)競賽成績的平均數(shù)為：.的頻率為，的頻率為，設(shè)中位數(shù)為,則，則，解得，故該校學(xué)生首輪數(shù)學(xué)競賽成績的平均數(shù)約為分，中位數(shù)約為分.（3）設(shè)“至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲一等獎”，則,故至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲一等獎的概率為.