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遼寧省朝陽(yáng)市建平縣二中2025屆高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù),,的部分圖象如圖所示,則函數(shù)表達(dá)式為()A. B.C. D.2.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.等比數(shù)列若則()A.±6 B.6 C.-6 D.4.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn),以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)及點(diǎn),則雙曲線的方程為()A. B. C. D.5.如圖,已知三棱錐中,平面平面,記二面角的平面角為,直線與平面所成角為,直線與平面所成角為,則()A. B. C. D.6.已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為9,若點(diǎn),則的最大值為()A.3 B.6 C.9 D.127.函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示,則可能是()A.B.C.D.8.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則()A.23 B.25 C.28 D.299.函數(shù)的部分圖象大致是()A. B.C. D.10.已知非零向量,滿足,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解:11.己知函數(shù)若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.如圖,在三棱錐中,平面,,現(xiàn)從該三棱錐的個(gè)表面中任選個(gè),則選取的個(gè)表面互相垂直的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.經(jīng)過(guò)橢圓中心的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,垂足為點(diǎn).設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.則的值是________________.14.已知一個(gè)四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球的表面上,且,,則__________.15.已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),P為拋物線上的點(diǎn),且,若雙曲線C中心在原點(diǎn),F(xiàn)是它的一個(gè)焦點(diǎn),且過(guò)P點(diǎn),當(dāng)m取最小值時(shí),雙曲線C的離心率為_(kāi)_____.16.已知等比數(shù)列滿足公比,為其前項(xiàng)和,,,構(gòu)成等差數(shù)列,則_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),其短半軸長(zhǎng)為1,一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)在直線上,且.(1)證明:直線與圓相切;(2)設(shè)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí),求的長(zhǎng).18.(12分)某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商在其開(kāi)發(fā)的某小區(qū)前修建了一個(gè)弓形景觀湖.如圖,該弓形所在的圓是以為直徑的圓,且米,景觀湖邊界與平行且它們間的距離為米.開(kāi)發(fā)商計(jì)劃從點(diǎn)出發(fā)建一座景觀橋(假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行),橋面在湖面上的部分記作.設(shè).(1)用表示線段并確定的范圍;(2)為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景,所以要將的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)到最長(zhǎng),求的最大值.19.(12分)已知函數(shù),且曲線在處的切線方程為.(1)求的極值點(diǎn)與極值.(2)當(dāng),時(shí),證明:.20.(12分)已知.(1)已知關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解,求的取值范圍;(2)求不等式的解集.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位,建立極坐標(biāo)系.(1)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為,若直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A.B,求AB的長(zhǎng);(2)設(shè)M、N是曲線C上的兩點(diǎn),若,求面積的最大值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線交于兩點(diǎn).(1)求的長(zhǎng);(2)在以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求點(diǎn)到線段中點(diǎn)的距離.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)圖像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊點(diǎn)求出,化簡(jiǎn)即得所求.【詳解】由圖像知,,,解得,因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn),所以,,即,解得,因?yàn)?,所以?故選:A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
或,從而明確充分性與必要性.【詳解】,由可得:或,即能推出,但推不出∴“”是“”的必要不充分條件故選【點(diǎn)睛】本題考查充分性與必要性,簡(jiǎn)單三角方程的解法,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)代入可得解,由等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)確定值即可.【詳解】由等比數(shù)列中等比中項(xiàng)性質(zhì)可知,,所以,而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,注意項(xiàng)的符號(hào)特征,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程:,再將點(diǎn)代入可得,連接,根據(jù)圓的性質(zhì)可得,從而可求出,再由即可求解.【詳解】由雙曲線,則漸近線方程:,,連接,則,解得,所以,解得.故雙曲線方程為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),需掌握雙曲線的漸近線求法,屬于中檔題.5、A【解析】
作于,于,分析可得,,再根據(jù)正弦的大小關(guān)系判斷分析得,再根據(jù)線面角的最小性判定即可.【詳解】作于,于.因?yàn)槠矫嫫矫?平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因?yàn)?故.故,當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取等號(hào).又直線與平面所成角為,且為直線與平面內(nèi)的直線所成角,故,當(dāng)且僅當(dāng)平面時(shí)取等號(hào).故.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關(guān)系,同時(shí)運(yùn)用線面角的最小性進(jìn)行判定.屬于中檔題.6、C【解析】
分析:先畫(huà)出滿足約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用平面區(qū)域的面積為9求出,然后分析平面區(qū)域多邊形的各個(gè)頂點(diǎn),即求出邊界線的交點(diǎn)坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值.詳解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示:則,所以平面區(qū)域的面積,解得,此時(shí),由圖可得當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值9,故選C.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問(wèn)題,在求解的過(guò)程中,首先需要正確畫(huà)出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域,之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式,判斷z的幾何意義,之后畫(huà)出一條直線,上下平移,判斷哪個(gè)點(diǎn)是最優(yōu)解,從而聯(lián)立方程組,求得最優(yōu)解的坐標(biāo),代入求值,要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種:斜率型、截距型、距離型;根據(jù)不同的形式,應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.7、B【解析】
根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;【詳解】解:當(dāng)時(shí),,無(wú)意義,故排除A;又,則,故排除D;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,所以不單調(diào),故排除C;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式,這類問(wèn)題利用特殊值與排除法是最佳選擇,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
由可求,再求公差,再求解即可.【詳解】解:是等差數(shù)列,又,公差為,,故選:D【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算求解能力和推理論證能力,是基礎(chǔ)題.9、C【解析】
判斷函數(shù)的性質(zhì),和特殊值的正負(fù),以及值域,逐一排除選項(xiàng).【詳解】,函數(shù)是奇函數(shù),排除,時(shí),,時(shí),,排除,當(dāng)時(shí),,時(shí),,排除,符合條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,屬于基礎(chǔ)題型,一般根據(jù)選項(xiàng)判斷函數(shù)的奇偶性,零點(diǎn),特殊值的正負(fù),以及單調(diào)性,極值點(diǎn)等排除選項(xiàng).10、C【解析】
根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算,由向量的關(guān)系,可得選項(xiàng).【詳解】,,∴等價(jià)于,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和命題的充分、必要條件,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
考慮當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,令,則有兩個(gè)不同的零點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)榈膱D象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì),所以時(shí),有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令,則在有兩個(gè)不同的零點(diǎn).又,當(dāng)時(shí),,故在上為增函數(shù),在上至多一個(gè)零點(diǎn),舍.當(dāng)時(shí),若,則,在上為增函數(shù);若,則,在上為減函數(shù);故,因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn),所以,解得.又當(dāng)時(shí),且,故在上存在一個(gè)零點(diǎn).又,其中.令,則,當(dāng)時(shí),,故為減函數(shù),所以即.因?yàn)椋栽谏弦泊嬖谝粋€(gè)零點(diǎn).綜上,當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同的零點(diǎn).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),一般地,較為復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn),必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合零點(diǎn)存在定理說(shuō)明零點(diǎn)的存在性,本題屬于難題.12、A【解析】
根據(jù)線面垂直得面面垂直,已知平面,由,可得平面,這樣可確定垂直平面的對(duì)數(shù),再求出四個(gè)面中任選2個(gè)的方法數(shù),從而可計(jì)算概率.【詳解】由已知平面,,可得,從該三棱錐的個(gè)面中任選個(gè)面共有種不同的選法,而選取的個(gè)表面互相垂直的有種情況,故所求事件的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率,解題關(guān)鍵是求出基本事件的個(gè)數(shù).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
作出圖形,設(shè)點(diǎn),則、,設(shè)點(diǎn),利用點(diǎn)差法得出,利用斜率公式得出,進(jìn)而可得出,可得出,由此可求得的值.【詳解】設(shè)點(diǎn),則、,設(shè)點(diǎn),則,兩式相減得,即,即,由斜率公式得,,,故,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中角的余弦值的求解,涉及了點(diǎn)差法與斜率公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.14、【解析】由題意可得,該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)位于一個(gè)長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上,設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高為,由題意可得:,據(jù)此可得:,則球的表面積:,結(jié)合解得:.點(diǎn)睛:與球有關(guān)的組合體問(wèn)題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形,明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖,如球內(nèi)切于正方體,切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心,正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑;球外接于正方體,正方體的頂點(diǎn)均在球面上,正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.15、【解析】
由點(diǎn)坐標(biāo)可確定拋物線方程,由此得到坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;過(guò)作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,根據(jù)拋物線定義可得,可知當(dāng)直線與拋物線相切時(shí),取得最小值;利用拋物線切線的求解方法可求得點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)雙曲線定義得到實(shí)軸長(zhǎng),結(jié)合焦距可求得所求的離心率.【詳解】是拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)拋物線方程為,準(zhǔn)線方程為過(guò)作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,則設(shè)直線的傾斜角為,則當(dāng)取得最小值時(shí),最小,此時(shí)直線與拋物線相切設(shè)直線的方程為,代入得:,解得:或雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為,焦距為雙曲線的離心率故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解問(wèn)題,涉及到拋物線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用、雙曲線定義的應(yīng)用;關(guān)鍵是能夠確定當(dāng)取得最小值時(shí),直線與拋物線相切,進(jìn)而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得點(diǎn)坐標(biāo).16、0【解析】
利用等差中項(xiàng)以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由,,是等差數(shù)列可知因?yàn)?,所以,故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)分斜率為0,斜率不存在,斜率不為0三種情況討論,設(shè)的方程為,可求解得到,,可得到的距離為1,即得證;(2)表示的面積為,利用均值不等式,即得解.【詳解】(1)由題意,橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,且,所以.所以橢圓的方程為.由點(diǎn)在直線上,且知的斜率必定存在,當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí),,,于是,到的距離為1,直線與圓相切.當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí),設(shè)的方程為,與聯(lián)立得,所以,,從而.而,故的方程為,而在上,故,從而,于是.此時(shí),到的距離為1,直線與圓相切.綜上,直線與圓相切.(2)由(1)知,的面積為,上式中,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立,所以面積的最小值為1.此時(shí),點(diǎn)在橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn),為.不妨設(shè)為長(zhǎng)軸左端點(diǎn),則直線的方程為,代入橢圓的方程解得,即,,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓綜合,考查了直線和圓的位置關(guān)系判斷,面積的最值問(wèn)題,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于較難題.18、(1),;(2)米.【解析】
(1)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)再在中利用正弦定理求解,再根據(jù)求解,進(jìn)而求得.再根據(jù)確定的范圍即可.(2)根據(jù)(1)有,再設(shè),求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.【詳解】解:過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)則,在中,,,由正弦定理得:,,,,,因?yàn)?化簡(jiǎn)得,令,,且,因?yàn)?故令即,記,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,又,當(dāng)時(shí),取最大值,此時(shí),的最大值為米.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用,需要根據(jù)題意建立角度與長(zhǎng)度間的關(guān)系,進(jìn)而求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)三角函數(shù)值求解對(duì)應(yīng)的最值即可.屬于難題.19、(1)極小值點(diǎn)為,極小值為,無(wú)極大值;(2)證明見(jiàn)解析【解析】
先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合已知及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求,結(jié)合單調(diào)性即可求解函數(shù)的極值點(diǎn)及極值;令,問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求.【詳解】(1)由題得函數(shù)的定義域?yàn)?,由已知得,解得∴,令,得令,得,∴在上單調(diào)遞增.令,得∴在上單調(diào)遞減∴的極小值點(diǎn)為,極小值為,無(wú)極大值.(2)證明:由(1)知,∴,令,即∵,,∴恒成立.∴在上單調(diào)遞增又,∴在上恒成立∴在上恒成立∴,即∴【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】
(1)依據(jù)能成立問(wèn)題知,,然后利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值,即求得的取值范圍;(2)按照零點(diǎn)分段法解含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式即可?!驹斀狻恳?yàn)椴坏仁接袑?shí)數(shù)解,所以因?yàn)?,所以故。①?dāng)時(shí),,所以,故②當(dāng)時(shí),,所以,故③當(dāng)時(shí),,所以,故綜上,原不等式的解集為?!军c(diǎn)睛】本題主要考查
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