福建省普通高中2023年學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第16頁/共16頁2023年1月福建省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題（考試時間：90分鐘；滿分：100分）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷1至4頁，第II卷5至6頁．注意事項：1．答題前，考生將自己的考生號、姓名填寫在試題卷、答題卡上．考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“考生號、姓名”與考生本人考生號、姓名是否一致．2．第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．第II卷用黑色字跡簽字筆在答題卡上作答．在試題卷上作答，答案無效．3．考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷和答題卡一并收回．參考公式：樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差其中為樣本平均數(shù)柱體體積公式，其中為底面面積，為高臺體體積公式，其中，分別為上、下底面面積，為高錐體體積公式，其中為底面面積，為高球的表面積公式，球的體積公式，其中為球的半徑第I卷（選擇題57分）一、單項選擇題：本題共15小題，每小題3分，共45分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，利用交集的定義求解作答.【詳解】集合，，則.故選：D2.已知角的頂點與直角坐標(biāo)系的原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，那么，下列各角與角終邊相同的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用終邊相同的角的集合逐一對各個選項分析判斷即可求出結(jié)果.【詳解】因為與角終邊相同的角的集合為，當(dāng)時，得到，又，所以易知BCD均不符合題意.故選：A.3.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解，即可得出函數(shù)的定義域.【詳解】解，可得，所以，函數(shù)的定義域是.故選：B.4.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)可得f（2）?f（3）＜0，再利用函數(shù)的零點的判定定理可得函數(shù)f（x）＝2x+x﹣7的零點所在的區(qū)間．【詳解】∵函數(shù)f（x）＝2x+x﹣7，∴f（2）＝﹣1＜0，f（3）＝4＞0，f（2）?f（3）＜0，根據(jù)函數(shù)的零點的判定定理可得，函數(shù)f（x）＝2x+x﹣7的零點所在的區(qū)間是（2，3），故選C．【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.計算（）A. B.0 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)的運算法則即可求出結(jié)果.【詳解】因為，故選：B.6.已知，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，利用基本不等式，即可求解.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：C.7.下列向量組中，可以用來表示該平面內(nèi)的任意一個向量的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理可知，表示平面內(nèi)的任意向量的兩個向量不能共線，結(jié)合選項，即可判斷.【詳解】表示平面內(nèi)的任意一個向量的兩個向量不能共線，A.向量是零向量，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故A錯誤；B.，兩個向量共線，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故B錯誤；C.，兩個向量共線，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故C錯誤；D.不存在實數(shù)，使，所以向量不共線，所以可以表示平面內(nèi)的任意向量，故D正確.故選：D8.的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且，，，則邊的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理可求得邊的長.【詳解】因為，，，由正弦定理，可得.故選：B.9.甲、乙兩人進行投籃比賽，他們每次投中的概率分別為，，且他們是否投中互不影響．若甲、乙各投籃一次，則兩人都投中的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)獨立事件同時發(fā)生概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)甲投中為事件，乙投中為事件，兩事件相互獨立，所以.故選：B10.為了得到y(tǒng)=sin(x+),的圖象，只需把曲線y=sinx上所有的點A.向左平行移動個單位長度 B.向左平行移動個單位長度C.向右平行移動個單位長度 D.向右平行移動個單位長度【答案】B【解析】【詳解】需把曲線y=sinx上所有的點向左平行移動個單位長度,得到y(tǒng)=sin(x+),的圖象.故選B.11.不等式解集為（）A.或. B.或.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求解.【詳解】不等式，解得：或，所以不等式的解集為或.故選：B12.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪以及對數(shù)的運算性質(zhì)，可得，，進而根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】因為，，所以，.故選：A.13.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)解析式得出函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，即可得出答案.【詳解】設(shè)，則，所以為偶函數(shù)，所以A、B項錯誤.又當(dāng)時，為增函數(shù)，所以C項錯誤，故D項正確.故選：D.14.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用充分條件和必要條件的判斷方法即可得出結(jié)果.【詳解】若，則，又因為，所以，即，若，因為，當(dāng)時，不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.15.某學(xué)校新建的天文觀測臺可看作一個球體，其半徑為．現(xiàn)要在觀測臺的表面涂一層防水漆，若每平方米需用涂料，則共需要涂料（單位：）（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用球的表面積公式求出表面積，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以球的表面積為，又每平方米需用涂料，所以共需涂料.故選：D二、多項選擇題：本題共4小題，每小題3分，共12分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得3分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．16.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后將代入，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】對于A項，設(shè)，函數(shù)定義域為R，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；對于B項，因為函數(shù)的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；對于C項，設(shè)，函數(shù)定義域為R，但，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯誤；對于D項，設(shè)，函數(shù)定義域為R，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故D正確.故選：AD.17.袋中有大小和質(zhì)地均相同的5個球，其中2個紅球，3個黑球．現(xiàn)從中隨機摸取2個球，下列結(jié)論正確的有（）A.“恰有一個紅球”和“都是紅球”是對立事件B.“恰有一個黑球”和“都是黑球”是互斥事件C.“至少有一個黑球”和“都是紅球”是對立事件D.“至少有一個紅球”和“都是紅球”是互斥事件【答案】BC【解析】【分析】以黑球的個數(shù)為切入點，試驗的樣本空間為.將事件用集合表示出來，即可得出答案.【詳解】以黑球的個數(shù)為切入點，試驗的樣本空間為.對于A項，“恰有一個紅球”可用來表示，“都是紅球”可用事件來表示.所以，事件互斥，但不是對立事件，故A項錯誤；對于B項，“恰有一個黑球”可用來表示，“都是黑球”可用事件來表示.所以事件互斥，故B項正確；對于C項，“至少有一個黑球”可用事件來表示，“都是紅球”可用事件來表示.所以，事件為互斥事件，也是對立事件，故C項正確；對于D項，“至少有一個紅球”可用事件來表示，“都是紅球”可用事件來表示.所以，事件，即交事件為“都是紅球”，故D項錯誤.故選：BC.18.如圖，在長方體中，，下列命題正確的有（）A.B.C.平面平面D.平面平面【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)推得，即可判斷A項；根據(jù)長方體的性質(zhì)推得四邊形是平行四邊形，得出，即可判斷B項；根據(jù)長方體的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理，可得出平面，即可得出C項；根據(jù)長方體的性質(zhì)以及線面平行的判定定理，可得出平面，平面，然后即可判定面面平行，得出D項.【詳解】對于A項，由長方體的性質(zhì)可知.又不垂直，所以不垂直，故A錯誤；對于B項，由長方體的性質(zhì)可知，，所以，四邊形是平行四邊形，所以，.因為不平行，所以不平行，故B錯誤；對于C項，因為，根據(jù)長方體的性質(zhì)可知是正方形，所以，.根據(jù)長方體的性質(zhì)可知，平面，平面，所以，.因為平面，平面，，所以，平面.因為平面，所以平面平面，故C項正確；對于D項，由B知，.因為平面，平面，所以平面.根據(jù)長方體的性質(zhì)可知，，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.因為平面，平面，，所以平面平面，故D項正確.故選：CD.19.某簡諧運動在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，下列判斷正確的有（）A.該簡諧運動的振幅是B.該簡諧運動的初相是C.該簡諧運動往復(fù)運動一次需要D.該簡諧運動往復(fù)運動25次【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合簡諧運動在一個周期內(nèi)的圖象可判斷A；設(shè)該函數(shù)解析式為，由簡諧運動在一個周期內(nèi)的圖象可得，把點代入解析式可得，可判斷BCD.【詳解】對于A，由簡諧運動在一個周期內(nèi)的圖象可得該簡諧運動的振幅是，故A正確；對于B，設(shè)該函數(shù)解析式為，由簡諧運動在一個周期內(nèi)的圖象可得，可得，所以，所以，因為把點代入解析式可得，所以，所以，若，則，故B正確；對于C，由B可知，故C錯誤；對于D，該簡諧運動往復(fù)運動次，故D正確故選：ABD.第II卷（非選擇題43分）（請考生在答題卡上作答）三、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分．20.已知虛數(shù)單位，計算________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算，計算即可得出答案.【詳解】因為.故答案為：.21.已知函數(shù)，則________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達式由內(nèi)向外計算即可.【詳解】，，.故答案為：1.22.已知向量，，且與的夾角為，則________．【答案】##【解析】【分析】先求向量與的數(shù)量積及和的模，再利用向量夾角公式即得．【詳解】向量，，所以，，，則，故答案為：．23.已知定義在上的函數(shù)同時滿足下列兩個條件：①，，；②，，．試給出函數(shù)的一個解析式：________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)已知結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可知指數(shù)函數(shù)滿足①；由②可知，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).所以可取，即可滿足.故答案為：.四、解答題：本題共3小題，共27分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．24.已知為第一象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用平方關(guān)系即可求出結(jié)果；（2）先利用（1）中結(jié)論求出，再利用誘導(dǎo)公式和正切的二倍角公式即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為為第一象限角，且，所以.小問2詳解】由（1）知，又.25.如圖，三棱錐中，，分別是，的中點．（1）求證：平面；（2）若，，，，，，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）分別取的中點為，連結(jié).可證明四邊形為平行四邊形，，然后即可根據(jù)線面平行的判定定理得出證明；（2）在中，根據(jù)余弦定理求得.進而在中，根據(jù)勾股定理得出.結(jié)合已知條件，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得出平面.根據(jù)面積公式求出的面積，即可根據(jù)棱錐的體積公式得出答案.【小問1詳解】如圖，分別取的中點為，連結(jié).因為分別為的中點，所以，，且，，，所以，且.所以，四邊形為平行四邊形，所以，.因為平面，平面，所以，平面.【小問2詳解】由已知可得，在中，有，，，根據(jù)余弦定理可知，，所以，.在中，有，所以，，.因為，平面，平面，，所以，平面.又，所以，.26.某地有農(nóng)村居民320戶，城鎮(zhèn)居民180戶．為了獲得該地居民的戶月均用水量的信息，采用分層抽樣的方法抽取得樣本，并觀測的指標(biāo)值（單位：），計算得農(nóng)村居民戶樣本的均值為，方差為，城鎮(zhèn)居民戶樣本的均值為，方差為．（1）根據(jù)以上信息，能否求出的均值和方差？說明你的依據(jù)；（2）如果中農(nóng)村居民戶、城鎮(zhèn)居民戶的樣本量都是25，求的均值和方差；（3）能否用（2）的結(jié)論估計該地居民的戶月均用水量的均值和方差？若能，請說明理由；若不能，請給出一個可以用來估計該地居民的戶月均用水量的均值和方差的樣本．【答案】（1）能，理由見解析（2）均值為，方差為（3）不能，樣本中農(nóng)村戶數(shù)為32，城鎮(zhèn)居民戶數(shù)為18【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣求出從農(nóng)村以及城鎮(zhèn)