廣東署山市禪城區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期調(diào)研試題一含解析

Page18廣東省佛山市禪城區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期調(diào)研試題（一）留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生要?jiǎng)?wù)必填涂答題卷上的有關(guān)項(xiàng)目．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上．3．非選擇題必需用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫(xiě)在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)運(yùn)用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無(wú)效．4．請(qǐng)考生保持答題卷的整齊．考試結(jié)束后，將答題卷交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】先解出集合中的不等式，再依據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以?故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z滿意，則（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算先求z，再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即得.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C.3.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù) D.是奇函數(shù)【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性對(duì)選項(xiàng)逐一說(shuō)明即可.【詳解】易知選項(xiàng)ABCD中的函數(shù)定義域即為；因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，對(duì)于A，，故是奇函數(shù)，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故是偶函數(shù)，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故是奇函數(shù)，即C正確；對(duì)于D，，故是偶函數(shù)，即D錯(cuò)誤；故選：C.4.已知中，，且，則（）A. B. C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】利用向量的運(yùn)算以及模長(zhǎng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以因?yàn)橹?，，所?故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.5.己知函數(shù)，則對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)條件干脆計(jì)算，進(jìn)而即得．【詳解】因?yàn)?，所以，故A正確，C錯(cuò)誤；，不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤.故選：A．6.若是等差數(shù)列，且是方程的兩個(gè)根，則（）A.4046 B.4044 C. D.【答案】C【解析】【分析】由題可得，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式即得.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)根，所以，所以，所以.故選：C.7.《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，直角三角形中最小的一個(gè)角為，且小正方形與大正方形的面積之比為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為a，則小正方形的邊長(zhǎng)為，依據(jù)已知可得，由同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)得，結(jié)合角的范圍求.【詳解】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為a，則小正方形的邊長(zhǎng)為，故，故，即，解得或.因，則，故.故選：A8.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，方差是2，則由這5個(gè)數(shù)據(jù)組成的新的一組數(shù)據(jù)的方差是（）A4 B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知條件利用方差公式求解即可【詳解】因?yàn)橐唤M數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，方差是2，所以，，所以，，所以的平均數(shù)為，所以的方差為，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.已知函數(shù)，則（）A.B.在處的切線是C.在上單調(diào)遞減D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】求出函數(shù)值驗(yàn)證選項(xiàng)A，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程驗(yàn)證選項(xiàng)B，圖像或特別值法驗(yàn)證選項(xiàng)C，數(shù)形結(jié)合驗(yàn)證選項(xiàng)D【詳解】∵∴，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；時(shí)，，，，，在處的切點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)，切線斜率為-1，切線方程為，B選項(xiàng)正確；做了函數(shù)圖像，如圖所示：由圖像可知，在R上不是單調(diào)遞減的，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖像可知，直線在y軸上截距小于等于2時(shí)，與的圖像有2個(gè)交點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：BD10.若，且，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算、特值法以及依據(jù)式子的幾何意義進(jìn)行求解推斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，即，可看作部分圓上的點(diǎn)到直線的距離不大于2，因?yàn)閳A心在直線上，半徑為2，故恒成立，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，且，令，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.九月伊始，佛山市某中學(xué)社團(tuán)招新活動(dòng)開(kāi)展得如火如荼，小王、小李、小張三位同學(xué)安排從籃球社、足球社、羽毛球社三個(gè)社團(tuán)中各自任選一個(gè)，每人選擇各社團(tuán)的概率均為，且每人選擇相互獨(dú)立，則（）A.三人選擇社團(tuán)一樣的概率為B.三人選擇社團(tuán)各不相同的概率為C.至少有兩人選擇籃球社的概率為D.在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為【答案】ACD【解析】分析】利用互斥事務(wù)、相互獨(dú)立事務(wù)概率公式計(jì)算推斷A，B，C；利用條件概率公式計(jì)算推斷D作答.【詳解】對(duì)于A，三人選擇社團(tuán)一樣的事務(wù)是都選籃球社的事務(wù)、都選足球社的事務(wù)、都選羽毛球社的事務(wù)的和，它們互斥，三人選擇社團(tuán)一樣的概率為，A正確；對(duì)于B，三人選擇社團(tuán)各不相同的事務(wù)，是小王從3個(gè)社團(tuán)中任選1個(gè)，小李從余下兩個(gè)中任選1個(gè)，最終1個(gè)社團(tuán)給小張的事務(wù)，共6個(gè)不同結(jié)果，因此三人選擇社團(tuán)各不相同的概率為，B不正確；對(duì)于C，至少有兩人選擇籃球社的事務(wù)是恰有2人選籃球社與3人都選籃球社的事務(wù)和，其概率為，C正確；對(duì)于D，令至少有兩人選擇羽毛球社的事務(wù)為A，由選項(xiàng)C知，，小王選擇羽毛球社的事務(wù)為B，則事務(wù)AB是含小王只有2人擇羽毛球社的事務(wù)和3人都擇羽毛球社的事務(wù)和，其概率，所以在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為，D正確.故選：ACD12.“提丟斯數(shù)列”是18世紀(jì)由德國(guó)物理學(xué)家提丟斯給出的，詳細(xì)如下：取0，3，6，12，24，48，96，…，這樣一組數(shù)，簡(jiǎn)單發(fā)覺(jué)，這組數(shù)從第3項(xiàng)起先，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍，將這組數(shù)的每一項(xiàng)加上4，再除以10，就得到“提丟斯數(shù)列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，…，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.“提丟斯數(shù)列”是等比數(shù)列B.“提丟斯數(shù)列”的第99項(xiàng)為C.“提丟斯數(shù)列”的前31項(xiàng)和為D.“提丟斯數(shù)列”中，不超過(guò)300的有11項(xiàng)【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)已知，利用等比數(shù)列的概念、求和公式進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，所以“提丟斯數(shù)列”不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)“提丟斯數(shù)列”為數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，“提丟斯數(shù)列”的前31項(xiàng)和為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由有：，所以“提丟斯數(shù)列”中，不超過(guò)300的有11項(xiàng)，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.首屆國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)得主，雜交水稻之父袁隆平院士為全世界糧食問(wèn)題和農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展貢獻(xiàn)了中國(guó)力氣，某雜交水稻種植探討所調(diào)查某地水稻的株高時(shí)，發(fā)覺(jué)株高（單位：）聽(tīng)從正態(tài)分布，若測(cè)量10000株水稻，株高在的約有______株．（若，，）【答案】1359【解析】【分析】先依據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性得到株高在的概率，再求出株高在的株數(shù).【詳解】依據(jù)題意可知，，所以，，所以，所以株高在的約有株.故答案為：1359.14.已知函數(shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減，則___________．（寫(xiě)出符合條件的一個(gè)答案即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減，所以.故答案為：.15.已知數(shù)列滿意（且），且，則___________．【答案】【解析】【分析】利用項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系可得，然后依據(jù)等比數(shù)列的定義即得.詳解】當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，，∴，∴，即又，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，∴.故答案為：.16.設(shè)，則a，b，c大小關(guān)系是____________．【答案】##．【解析】【分析】通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)探討函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較大小.【詳解】令，，則，令，得，即在上單調(diào)遞增，，∴，即，即，令，則，令得，即在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，所以，?所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大?。唬?）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化、和角的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.（2）利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式求解.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理可知：，得，因?yàn)椋?，∵，∴，，∴，即．【小?wèn)2詳解】由，得，由余弦定理可得：，又，，則，即，解得，故的面積為．18.已知公差不為零的等差數(shù)列和等比數(shù)列，滿意，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若表示不大于m的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，求．【答案】（1）（2）26【解析】【分析】（1）依據(jù)已知，利用數(shù)列的性質(zhì)建立方程組求解.（2）利用錯(cuò)位相減法以及式子的結(jié)構(gòu)特征、進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為d，的公比為，因?yàn)?，，，所以，整理可得：，解得或（舍），所以．【小?wèn)2詳解】由（1）有：，則，，兩式相減得，整理得，明顯，且，故為遞增數(shù)列，又因?yàn)?，，…所以，?dāng)時(shí)，，所以．19.已知函數(shù)．（1）若是的極大值點(diǎn)，求a的值；（2）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的三條切線，求a的取值范圍．【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)給定的極值點(diǎn)，求出a值，再驗(yàn)證即可作答.（2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討三次函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)作答.【小問(wèn)1詳解】，由解得或，當(dāng)時(shí)，，由得或，由得，即在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在處取得微小值，不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，，由得或，由得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)作曲線的切線的切點(diǎn)為，則切線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，整理得，令，依題意，有三個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由得或，由得，即在上遞增，在上遞減，函數(shù)在處取極大值，在處取微小值，而，則只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由得或，由得，即在上遞增，在上遞減，函數(shù)在處取極大值，在處取微小值，而，要使有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以a的取值范圍是．20.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．（1）若，的面積為，D為邊的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度；（2）若E為邊上一點(diǎn)，且，，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的面積公式、余弦定理以及向量的運(yùn)算、模長(zhǎng)公式進(jìn)行求解.（2）利用向量的運(yùn)算、模長(zhǎng)公式以及基本不等式的常數(shù)代換法求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，的面積為，所以，即，又，由余弦定理可得：，即，得，又∵D為邊的中點(diǎn)，∴，則，即，∴中線的長(zhǎng)度為．【小問(wèn)2詳解】∵E為邊上一點(diǎn)，，∴，∴，即，∴，又，∴，∴，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，有最小值．21.2024年是中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某市團(tuán)委確定舉辦一次共青團(tuán)史學(xué)問(wèn)擂臺(tái)賽．該市A縣團(tuán)委為此舉辦了一場(chǎng)選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過(guò)后才能參與決賽，決賽通過(guò)后將代表A縣參與市賽．已知A縣甲、乙、丙3位選手都參與初賽且通過(guò)初賽的概率均為，通過(guò)初賽后再通過(guò)決賽的概率依次為，，，假設(shè)他們之間通過(guò)與否互不影響．（1）求這3人中至少有1人通過(guò)初賽的概率；（2）設(shè)這3人中參與市賽的人數(shù)為，求的分布列；（3）某品牌商贊助了A縣的這次共青團(tuán)史學(xué)問(wèn)擂臺(tái)賽，供應(yīng)了兩種嘉獎(jiǎng)方案：方案1：參與了選拔賽的選手都可參與抽獎(jiǎng)，每人抽獎(jiǎng)1次，每次中獎(jiǎng)的概率均為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次獎(jiǎng)1000元；方案2：參與了選拔賽未進(jìn)市賽的選手一律獎(jiǎng)600元，進(jìn)入了市賽的選手獎(jiǎng)1200元．若品牌商希望賜予選手更多的嘉獎(jiǎng)，試從三人獎(jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇哪種方案更好．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析（3）品牌商選擇方案2更好【解析】【分析】（1）利用對(duì)立事務(wù)以及相互獨(dú)立事務(wù)的概率公式進(jìn)行求解.（2）利用互斥事務(wù)、相互獨(dú)立事務(wù)的概率公式以及離散型隨機(jī)變量分布列的寫(xiě)法求解.（3）利用二項(xiàng)分布以及離散型隨機(jī)變量分布列的期望計(jì)算進(jìn)行比較.【小問(wèn)1詳解】3人都沒(méi)通過(guò)初賽的概率為，所以這三人中至少有1人通過(guò)初賽的概率．【小問(wèn)2詳解】依題意可能取值為0，1，2，3．設(shè)事務(wù)A表示“甲參與市賽”，事務(wù)B表示“乙參與市賽”，事務(wù)C表示“丙參與市賽”，則，則，，，，所以分布列為：0123P【小問(wèn)3詳解】方案1：設(shè)三人中獎(jiǎng)人數(shù)為X，所獲獎(jiǎng)金總額為Y元，則，且，所以元，方案2：記甲、乙、丙三人獲得獎(jiǎng)金之和為Z元，方法1：則Z的全部可能取值為1800，2400，3000，3600，由（2）知，Z的分布列為：Z1800240030003600P則，因?yàn)椋詮娜霜?jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇方案2更好．方法2：由（2）知，，方案2等價(jià)于只要參與了選拔賽即嘉獎(jiǎng)600元，進(jìn)入了市賽的選手再獎(jiǎng)600元．則，因?yàn)?，所以從三人?jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇方案2更好．22.設(shè)．（1）當(dāng)時(shí)，探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）先將參數(shù)的值代入函數(shù)解析式，然后求出導(dǎo)函數(shù)，再依據(jù)和分別得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間.（2）先令，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再將參數(shù)分為和兩種狀況分類探討即可.【小