廣東署山市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次段考試題10月

第=page88頁，共=sectionpages88頁Page82024~2024學(xué)年度高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次段考試題一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．對于空間一點O和不共線三點A，B，C，且有，則(

)A.O，A，B，C四點共面 B.P，A，B，C四點共面

C.O，P，B，C四點共面 D.O，P，A，B，C五點共面點P’與P關(guān)于平面xOy對稱，點P”與P’關(guān)于z軸對稱，則點P”與P關(guān)于(

)對稱.A.x軸 B.平面yOz C.原點O D.不是以上答案假如A，B是互斥事務(wù)，那么(

)A.是必定事務(wù) B.與肯定是互斥事務(wù) C.與肯定不是互斥事務(wù) D.是必定事務(wù)已知兩個不重合的平面與平面ABC，若平面的法向量為，，，則(

)A.平面平面ABC B.平面平面ABC

C.平面、平面ABC相交但不垂直 D.以上均有可能甲、乙兩人每人可以用手出0，5，10三種數(shù)字，同時可以喊0，5，10，15，20五種數(shù)字。某人若所喊數(shù)字等于兩人所出數(shù)字之和則勝。若甲喊10，乙喊15，則(

)A.甲勝的概率大B.乙勝的概率大C.甲、乙勝的概率一樣大 D.不能確定一次數(shù)學(xué)測試某班成果的頻率分布直方圖如圖所示；則此次測試成果的班級平均數(shù)與中位數(shù)分別為(

)A.115、115B.117.7、117.5C.114、117.5D.117.5、117.7如圖，在一個的二面角的棱上有兩個點A，B，AC，BD在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，且，，則CD的長為(

)A.2aB.C.aD.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，沿對角線BD將折起到的位置，使得平面平面BCD，過BC的平面與PD交于M，則面積的最小值為(

)A.B.C.D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．若，，，則事務(wù)A與B的關(guān)系錯誤是(

)A.事務(wù)A與B相互獨立 B.事務(wù)A與B對立

C.事務(wù)A與B互斥 D.事務(wù)A與B既互斥又獨立下列說法正確的是(

)A.用簡潔隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則個體m被抽到的概率是

B.已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是

C.數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23

D.若樣本數(shù)據(jù)的標準差為8，則數(shù)據(jù)的標準差為32已知正三棱柱，，P點滿意，其中則下列說法正確的是(

)A.當時，的面積是定值B.當時，的周長是定值

C.當時，的面積是定值D.當時，三棱錐的體積為定值如圖，在正四面體ABCD中，M，N分別是線段AB，不含端點上的動點，則下列說法正確的是(

)A.對隨意點M，N，都有MN與AD異面

B.存在點M，N，使得MN與BC垂直

C.對隨意點M，存在點N，使得與，共面

D.對隨意點M，存在點N，使得MN與AD，BC所成的角相等三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．若平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，且，則__________.將一個骰子先后拋擲兩次，事務(wù)A表示“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點”，事務(wù)B表示“其次次的點數(shù)不小于5”，則__________.如圖，三棱錐中，，，的面積為8，則三棱錐外接球的表面積的最小值為__________.正方體棱長為1，M,N為該正方體外接球球O表面上的兩點，P在正方體表面且不在直線MN上，若，則的最小值為__________.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（本小題滿分10分）如圖，在四面體OABC中，，N是棱BC的中點，P是線段MN的中點．設(shè)，，．(1)用，，表示向量；(2)已知，，求的大?。ū拘☆}滿分12分）在某社區(qū)舉辦的《“環(huán)保我參加”有獎問答競賽》活動中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關(guān)環(huán)保學(xué)問的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是，乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是.若各家庭回答是否正確互不影響.（1）求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；（2）求甲、乙、丙三個家庭中恰有2個家庭回答正確這道題的概率.（本小題滿分12分）如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，．(1)用向量法求證：共面；(2)當時，求異面直線MN與BC所成角的余弦值．（本小題滿分12分）如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的eq\r(2)倍，點P為側(cè)棱SD上的點．(1)求證：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC，若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由．（本小題滿分12分）小王、小李兩位同學(xué)玩擲骰子（骰子質(zhì)地勻稱）嬉戲，規(guī)則：小王先擲一次骰子，向上的點數(shù)記為a，小李再擲一次骰子，向上的點數(shù)記為b，(a,b)表示一次嬉戲的結(jié)果.（1）已知向量，,求滿意的概率；（2）規(guī)定：若方程在區(qū)間上有實數(shù)根，則小王贏；否則小李贏。試問這個嬉戲規(guī)則公允嗎？請說明理由.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，（1）若M,N分別是PD，AB中點，求證：（2）已知，，，若，求二面角的余弦值.2024~2024學(xué)年度上學(xué)期第一次段考數(shù)學(xué)參考答案與評分標準第一部分選擇題、填空題答案與解析題號123456789101112答案BCDAAC

ADBCDABACDACD題號13141516答案712.【解析】對于選項A，對隨意點M，N，假設(shè)MN與AD共面，則M、N、A、D四點共面，

因為，則平面ADNM，同理得到平面ADNM，

則平面ADNM，又平面ADNM，

則A、B、C、D四點共面，不符合條件，故MN與AD異面，故A正確；

將正四面體放入正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)正方體的棱長為1，則，，，，因為M，N分別是線段AB，不含端點上的動點，可設(shè)，，其中，，

則，，，

，故與不垂直，故B錯誤；

假設(shè)與，共面，則存在實數(shù)x，y滿意，

即，解得，

即對于隨意實數(shù)b且，當時，總有，

即對于隨意點M，存在點N，使得與，共面，故C正確；

設(shè)與的夾角為，與的夾角為，

則，，

可知、均為銳角，則直線MN與BC所成角為，直線MN與AD所成角為，

當時，，即，

即，可得，即MN與AD，BC所成的角相等，故D正確.故選16.【解析】其次部分解答題答案與評分標準17.【解】(1)連接，因為N是棱BC的中點，所以，1分因為M是棱OA上靠近A的三等分點，所以.5分(2)7分因為，，所以，故.10分18.【解】（1）記A=“甲家庭回答正確這道題”,B=“乙家庭回答正確這道題”,C=“丙家庭回答正確這道題”1分由于相互獨立，所以由于和相互獨立，2分則，所以所以乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率分別為6分（2）因為相互獨立，且相互互斥，8分所以恰有2個家庭回答正確這道題的概率為.12分19.【解】(1)證明：，2分，，4分又，共面．6分(2)設(shè)，當時，7分8分，9分10分11分異面直線MN與BC所成角的余弦值為12分20.【解】(1)證明：連接BD，設(shè)AC交BD于點O，則AC⊥BD.1分連接SO，由題意知SO⊥平面ABCD.2分以O(shè)為坐標原點，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(OS,\s\up8(→))所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖．設(shè)底面邊長為a，則高SO＝eq\f(\r(6),2)a，于是Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(6),2)a))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，eq\o(SD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，－\f(\r(6),2)a))，5分則eq\o(OC,\s\up8(→))·eq\o(SD,\s\up8(→))＝0.故OC⊥SD.從而AC⊥SD.6分(2)棱SC上存在一點E，使BE∥平面PAC.7分理由如下：由已知條件知eq\o(DS,\s\up8(→))是平面PAC的一個法向量，且eq\o(DS,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，\f(\r(6),2)a))，8分eq\o(CS,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(2),2)a，\f(\r(6),2)a))，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0)).設(shè)eq\o(CE,\s\up8(→))＝teq\o(CS,\s\up8(→))，則eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋teq\o(CS,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a（1－t），\f(\r(6),2)at))，10分而eq\o(BE,\s\up8(→))·eq\o(DS,\s\up8(→))＝0?t＝eq\f(1,3).即當SE∶EC＝2∶1時，BE⊥DS.11分而BE?平面PAC，故BE∥平面PAC.12分21.【解】Ω={(x，y)|x，y∈{1，2