四川省南充市南部縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考文試題含解析

Page16四川省南充市南部縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考（文）試題滿分：150分時(shí)間：120分鐘留意事項(xiàng)：1．答卷前考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上.2．選擇題用2B鉛筆在對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，主觀題用0.5毫米黑色簽字筆答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).3．考生必需保持答題卡的整齊，考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分.每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.2.“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行推斷即可.【詳解】當(dāng)，則且或且，此時(shí)方程表示的曲線肯定為雙曲線；則充分性成立；若方程表示的曲線為雙曲線，則，則必要性成立，故選：.3.已知橢圓的長軸長為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由橢圓方程可得，由此可得長軸長.【詳解】由橢圓方程知：，橢圓長軸長為.故選：A.4.與圓及圓都外切的圓的圓心在（）A.一個(gè)橢圓上 B.雙曲線的一支上C一條拋物線上 D.一個(gè)圓上【答案】B【解析】【分析】設(shè)動(dòng)圓的圓心為P，半徑為r,圓的圓心為O（0，0）,圓的圓心為F（4，0）,則，依據(jù)雙曲線得定義可得答案.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心為P，半徑為r，而圓的圓心為，半徑為1；圓,即的圓心為，半徑為2.依題意得，，則所以點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支.故選：B5.在第個(gè)“三八”國際婦女節(jié)到來之際，我們年級(jí)組給每位女老師送了火紅的玫瑰和熱忱洋溢的賀卡，其中我最喜愛的一句話英文翻譯是：“Youstandonthepodiumasanoathandtelltheordinaryasafairlytale.”統(tǒng)計(jì)如下表：字母yousapdetflinmrh頻數(shù)35231014461435133累計(jì)頻數(shù)為，則字母“”出現(xiàn)的頻率約為多少？（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由頻數(shù)和總數(shù)干脆計(jì)算即可.【詳解】由表格數(shù)據(jù)可知：字母“”對(duì)應(yīng)的頻數(shù)為，字母“”出現(xiàn)的頻率約為.故選：B.6.過點(diǎn)作直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線有（）條A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】當(dāng)斜率不存在和斜率為零時(shí)，可知滿意題意的狀況是斜率為零的狀況；當(dāng)直線斜率不為零時(shí)，將直線與拋物線方程聯(lián)立，利用可求得的兩個(gè)解，由此可得兩條直線；綜合可得最終結(jié)果.【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，與拋物線無交點(diǎn)，不合同意；當(dāng)直線斜率為零時(shí)，，與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿意題意；當(dāng)直線斜率不為零時(shí)，，即，由得：，則，解得：，滿意題意的直線有兩條；綜上所述：過點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有條.故選：C.7.雙曲線的焦距是虛軸長的2倍，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及所給條件列式即可.【詳解】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則，由焦距是虛軸長的2倍知，即，所以，即，故選：B.8.一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】依據(jù)光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線方程為，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可求得斜率.【詳解】依據(jù)光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線方程為，即，又由反射光線與圓相切，可得，整理得，解得或.故選：D.【點(diǎn)睛】過肯定點(diǎn)，求圓的切線時(shí)，首先推斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．若點(diǎn)在圓外，有兩個(gè)結(jié)果，若只求出一個(gè)，應(yīng)當(dāng)考慮切線斜率不存在的狀況.9.中國有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算籌來進(jìn)行計(jì)算的，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算，算籌的擺放形式有縱、橫兩種形式，如圖所示．表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式須要縱橫相間，個(gè)位，百位，萬位數(shù)用縱式表示，十位，千位，十萬位用橫式表示，以此類推．例如6613用算籌表示就是，則9117用算籌可表示為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意各位數(shù)碼的籌式須要縱橫相間，個(gè)位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位用橫式表示，則用算籌可表示為，故選A.【詳解】10.已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則的最大值為（）．A.13 B.12 C.25 D.16【答案】C【解析】【分析】依據(jù)橢圓定義可得，利用基本不等式可得結(jié)果.【詳解】由橢圓方程知：；依據(jù)橢圓定義知：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的最大值為.故選：C.11.設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（）A. B.3 C. D.2【答案】B【解析】【分析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)馬上可得到，代入中計(jì)算即可.【詳解】由已知，不妨設(shè)，則，因?yàn)椋渣c(diǎn)在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【點(diǎn)晴】本題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的計(jì)算問題，涉及到雙曲線的定義，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道中檔題.12.已知是橢圓的左焦點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，軸，若，則該橢圓的離心率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得（a+c），再依據(jù)b2＝a2﹣c2，即可得到4c2+3ac﹣a2＝0，兩邊同除以a2得：4e2+3e﹣1＝0，解得即可.【詳解】依據(jù)橢圓幾何性質(zhì)可知|PF|，|AF|＝a+c，所以（a+c），即4b2＝3a2﹣3ac，因?yàn)閎2＝a2﹣c2，所以有4a2﹣4c2＝3a2﹣3ac，整理可得4c2+3ac﹣a2＝0，兩邊同除以a2得：4e2+3e﹣1＝0，所以（4e﹣1）（e+1）＝0，由于0＜e＜1，所以e．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的求法，考查橢圓性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問，考查推理論證實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分13.雙曲線的漸近線方程為_____________.【答案】【解析】【分析】將雙曲線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)漸近線的概念，即可求出結(jié)果.【詳解】由于雙曲線，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.14.在直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1?F2在y軸上，離心率為，過F1的直線l交C于A?B兩點(diǎn)，且的周長為16，那么C的方程為___________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合橢圓的定義可得，再結(jié)合離心率可求出的值，從而求出，可寫出橢圓方程.【詳解】由題可設(shè)橢圓方程為，由橢圓的定義可知：的周長為，所以，解得；因?yàn)殡x心率為，所以，則，所以橢圓的方程為：.故答案為：.15.已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，是其左右焦點(diǎn)，且，則三角形的面積為_________【答案】【解析】【分析】由橢圓方程可得，利用橢圓定義和余弦定理可構(gòu)造方程求得，由三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由橢圓方程知：，，則；由橢圓定義知：，由余弦定理得：，，解得：，.故答案為：.16.能說明“，則方程表示的曲線為橢圓或雙曲線”是錯(cuò)誤的一組的值是_________（答案不唯一，滿意條件即可）【答案】，（答案不唯一，滿意或即可）【解析】【分析】依據(jù)方程表示橢圓和雙曲線的要求可得曲線既不是橢圓也不是雙曲線時(shí)滿意的條件，選取一組滿意條件的數(shù)字即可.【詳解】若方程表示橢圓，則；若方程表示雙曲線，則；則只需滿意或，則方程表示的曲線既不是橢圓也不是雙曲線，則一組不滿意題意的解為，.故答案為：，（答案不唯一）.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.某企業(yè)聘請(qǐng)，一共出名應(yīng)聘者參與筆試，他們的筆試成果都在內(nèi)，依據(jù)分組，得到如下頻率分布直方圖：（1）求圖中的值；（2）用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)為內(nèi)抽取一個(gè)容量為的樣本，從樣本中隨意抽取人，求這兩人分?jǐn)?shù)都在內(nèi)的概率．（3）該企業(yè)依據(jù)筆試成果從高到低進(jìn)行錄用，若安排錄用人，估計(jì)應(yīng)當(dāng)把錄用的分?jǐn)?shù)線定為多少？【答案】（1）（2）（3）分【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率總和為可構(gòu)造方程求得的值；（2）依據(jù)分層抽樣原則可確定分?jǐn)?shù)在和的人數(shù)，采納列舉法得到全部基本領(lǐng)件和滿意題意的基本領(lǐng)件，利用古典概型概率公式可求得結(jié)果；（3）計(jì)算可知錄用比例為，從分?jǐn)?shù)自高到低進(jìn)行運(yùn)算，可計(jì)算得到頻率和為所對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù).【小問1詳解】，.【小問2詳解】由頻率分布直方圖知：樣本中分?jǐn)?shù)在和的人數(shù)占比為，樣本中分?jǐn)?shù)在人數(shù)為人，記為；分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人，記為；則從樣本中隨意抽取人，全部可能的結(jié)果為：，，，，，，，，，，共種；其中兩人分?jǐn)?shù)都在的狀況有：，，，共種；抽取的兩人分?jǐn)?shù)都在內(nèi)的概率.【小問3詳解】由題意得：，設(shè)分?jǐn)?shù)線定為，則，解得：，即分?jǐn)?shù)線應(yīng)當(dāng)定為分.18.已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，開口向右且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若過的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離可得，由此可得拋物線方程；（2）設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理形式，利用弦長公式可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而可得直線方程.【小問1詳解】設(shè)拋物線，拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】由（1）得：，設(shè)直線，，，由得：，則，，解得：，直線方程為：或，即或.19.已知橢圓的短軸長為，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）假設(shè)橢圓方程，依據(jù)短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，由此可得橢圓方程；（2）利用點(diǎn)差法可求得直線斜率，由此可得直線方程.【小問1詳解】由題意可設(shè)橢圓方程為：，則，解得：，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】設(shè)，，則，兩式作差得：，直線斜率，又中點(diǎn)為，，，，直線方程為：，即.20.已知圓圓心在直線上，且過和兩點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）假設(shè)圓心坐標(biāo)，利用可構(gòu)造方程求得圓心和半徑，由此可得圓方程；（2）設(shè)，依據(jù)，由即可得到所求的軌跡方程.【小問1詳解】設(shè)圓心，則，即，解得：，，又圓心，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】為弦中點(diǎn)，，即，設(shè)，則，，，即點(diǎn)的軌跡方程為：.21.年是“十四五”開局之年，也是中國共產(chǎn)黨成立周年，上海市政府與國家發(fā)展和改革委員會(huì)、科技部等主辦世界人工智能大會(huì)是一場(chǎng)領(lǐng)域的國際盛會(huì)，聚集上千位來自國內(nèi)外的“最強(qiáng)大腦”，綻開近百場(chǎng)高端論壇頭腦風(fēng)暴.某高校學(xué)生受大會(huì)展示項(xiàng)目啟發(fā)，確定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的嬉戲，如圖兩個(gè)信號(hào)源相距米，是的中點(diǎn)，過的直線與直線的夾角為，機(jī)器貓?jiān)谥本€上運(yùn)動(dòng)，機(jī)器鼠的位置始終滿意：兩點(diǎn)同時(shí)發(fā)出信號(hào)，機(jī)器鼠接收到點(diǎn)的信號(hào)比接收到點(diǎn)的信號(hào)晚秒（注：信號(hào)每秒傳播米）.在時(shí)刻，測(cè)得機(jī)器鼠與點(diǎn)的距離為米.（1）以為原點(diǎn)，直線為軸建立如圖直角坐標(biāo)系，求時(shí)刻機(jī)器鼠所在的坐標(biāo).（2）嬉戲設(shè)定：機(jī)器鼠在距離直線不超過米的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn).假如機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，是否有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn)？【答案】（1）（2）沒有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn)【解析】【分析】（1）依據(jù)機(jī)器鼠接收到點(diǎn)的信號(hào)比接收到點(diǎn)的信號(hào)晚秒可得，滿意雙曲線定義，由此可得點(diǎn)軌跡方程，由可得所求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將與點(diǎn)軌跡方程聯(lián)立，可求得，則可知與直線平行且距離不超過米的直線與點(diǎn)軌跡無交點(diǎn)，由此可得結(jié)論.【小問1詳解】由題意得：，，機(jī)器鼠接收到點(diǎn)的信號(hào)比接收到點(diǎn)的信號(hào)晚秒，機(jī)器鼠距離點(diǎn)的距離比距離點(diǎn)的距離多米，設(shè)機(jī)器鼠位置為，則，點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線的右半支，點(diǎn)軌跡方程為：；在時(shí)刻，測(cè)得機(jī)器鼠與點(diǎn)的距離為米，即，，即時(shí)刻機(jī)器鼠所在的坐標(biāo)為.【小問2詳解】由題意得：直線；與直線平行且距離不超過米的直線方程為：，由得：，則，，，與無交點(diǎn)，即沒有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn).（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.已知在中，角所對(duì)的邊分別為.已知，，.（1）求的值.（2）求的值.【答