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2025屆浙江省杭州市浙大附中高三一診考試數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.己知函數(shù)若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.在我國(guó)傳統(tǒng)文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五個(gè)物質(zhì)類別,在五者之間,有一種“相生”的關(guān)系,具體是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個(gè),這二者具有相生關(guān)系的概率是()A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.83.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),,則A. B.C. D.4.?dāng)?shù)列滿足:,則數(shù)列前項(xiàng)的和為A. B. C. D.5.已知函數(shù)()的最小值為0,則()A. B. C. D.6.要排出高三某班一天中,語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)各節(jié),自習(xí)課節(jié)的功課表,其中上午節(jié),下午節(jié),若要求節(jié)語(yǔ)文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰(注意:上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法種數(shù)是()A. B. C. D.7.已知函數(shù),且),則“在上是單調(diào)函數(shù)”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),角的終邊經(jīng)過點(diǎn)且,則()A. B. C. D.9.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,又稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的,如圖(1)),類比“趙爽弦圖”,可類似地構(gòu)造如圖(2)所示的圖形,它是由個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正六邊形組成的一個(gè)大正六邊形,設(shè),若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為()A. B.C. D.10.函數(shù)的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.11.如圖,用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為()A. B. C. D.12.若函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在邊長(zhǎng)為的菱形中,點(diǎn)在菱形所在的平面內(nèi).若,則_____.14.已知函數(shù),則________;滿足的的取值范圍為________.15.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.16.若函數(shù)在和上均單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓C的離心率為且經(jīng)過點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)過點(diǎn)(0,2)的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B,以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點(diǎn)M在橢圓C上,求直線l的方程.18.(12分)已知函數(shù)(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若且A為銳角,a=3,sinC=2sinB,求△ABC的面積.19.(12分)已知函數(shù),.(1)若,,求實(shí)數(shù)的值.(2)若,,求正實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù),,設(shè).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)方程(其中為常數(shù))的兩根分別為,,證明:.(注:是的導(dǎo)函數(shù))21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若函數(shù)在是單調(diào)遞減的函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,證明:.22.(10分)已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
考慮當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,令,則有兩個(gè)不同的零點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)榈膱D象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì),所以時(shí),有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令,則在有兩個(gè)不同的零點(diǎn).又,當(dāng)時(shí),,故在上為增函數(shù),在上至多一個(gè)零點(diǎn),舍.當(dāng)時(shí),若,則,在上為增函數(shù);若,則,在上為減函數(shù);故,因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn),所以,解得.又當(dāng)時(shí),且,故在上存在一個(gè)零點(diǎn).又,其中.令,則,當(dāng)時(shí),,故為減函數(shù),所以即.因?yàn)?,所以在上也存在一個(gè)零點(diǎn).綜上,當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同的零點(diǎn).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),一般地,較為復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn),必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合零點(diǎn)存在定理說明零點(diǎn)的存在性,本題屬于難題.2、B【解析】
利用列舉法,結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個(gè),所有可能的方法為:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共種,其中由相生關(guān)系的有金水、木水、木火、火土、金土,共種,所以所求的概率為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
由可得,所以,故選B.4、A【解析】分析:通過對(duì)an﹣an+1=2anan+1變形可知,進(jìn)而可知,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.詳解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴數(shù)列前項(xiàng)的和為,故選A.點(diǎn)睛:裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向,突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),常見的裂項(xiàng)技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.5、C【解析】
設(shè),計(jì)算可得,再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè),則,則,由于函數(shù)的最小值為0,作出函數(shù)的大致圖像,結(jié)合圖像,,得,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.6、C【解析】
根據(jù)題意,分兩種情況進(jìn)行討論:①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午;②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目,由分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分兩種情況進(jìn)行討論:①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午,要求節(jié)語(yǔ)文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰,將節(jié)語(yǔ)文課和節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁,然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午,由于節(jié)英語(yǔ)課不加以區(qū)分,此時(shí),排法種數(shù)為種;②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午.語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午,但節(jié)語(yǔ)文課不加以區(qū)分,節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分,節(jié)英語(yǔ)課也不加以區(qū)分,此時(shí),排法種數(shù)為種.綜上所述,共有種不同的排法.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于中等題.7、C【解析】
先求出復(fù)合函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)的充要條件,再看其和的包含關(guān)系,利用集合間包含關(guān)系與充要條件之間的關(guān)系,判斷正確答案.【詳解】,且),由得或,即的定義域?yàn)榛?,(且)令,其在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,在上是單調(diào)函數(shù),其充要條件為即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題,充要條件的判斷,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式,考查計(jì)算能力.9、D【解析】
設(shè),則,小正六邊形的邊長(zhǎng)為,利用余弦定理可得大正六邊形的邊長(zhǎng)為,再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意,設(shè),則,即小正六邊形的邊長(zhǎng)為,所以,,,在中,由余弦定理得,即,解得,所以,大正六邊形的邊長(zhǎng)為,所以,小正六邊形的面積為,大正六邊形的面積為,所以,此點(diǎn)取自小正六邊形的概率.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性,可排除D;求得及,由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)可判斷在上單調(diào)遞增,即可排除AC選項(xiàng).【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù),故排除D.又,易知當(dāng)時(shí),;又當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,所以,綜上,時(shí),,即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,故排除A,C.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系,屬于中檔題.11、D【解析】
先求出球心到四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的距離,再加上側(cè)面三角形的高,即可求解.【詳解】設(shè)四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的圓心為,球心為,由題意,球的體積為,即可得球的半徑為1,又由邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,可得圓的半徑為,利用球的性質(zhì)可得,又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高,其中高為,所以球心到底面的距離為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
求得的導(dǎo)函數(shù),由此構(gòu)造函數(shù),根據(jù)題意可知在上有變號(hào)零點(diǎn).由此令,利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法,求得的取值范圍.【詳解】,設(shè),要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),即在上有變號(hào)零點(diǎn),令,則,令,則問題即在上有零點(diǎn),由于在上遞增,所以的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查方程零點(diǎn)問題的求解策略,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
以菱形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,再設(shè),根據(jù)求出的坐標(biāo),進(jìn)而求得即可.【詳解】解:連接設(shè)交于點(diǎn)以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則:設(shè)得,解得,,或,顯然得出的是定值,取則,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立平面直角坐標(biāo)系求解向量數(shù)量積的有關(guān)問題,屬于中檔題.14、【解析】
首先由分段函數(shù)的解析式代入求值即可得到,分和兩種情況討論可得;【詳解】解:因?yàn)?,所以,∵,∴?dāng)時(shí),滿足題意,∴;當(dāng)時(shí),由,解得.綜合可知:滿足的的取值范圍為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】試題分析:由題意得,因?yàn)閽佄锞€,即,即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.考點(diǎn):拋物線的性質(zhì).16、【解析】
化簡(jiǎn)函數(shù),求出在上的單調(diào)遞增區(qū)間,然后根據(jù)在和上均單調(diào)遞增,列出不等式求解即可.【詳解】由知,當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在和上均單調(diào)遞增,,
,
的取值范圍為:.
故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于m的方程組,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)橢圓的離心率、橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)以及列方程,由此求得,進(jìn)而求得橢圓的方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,寫出韋達(dá)定理.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及向量加法的幾何意義得到,由此求得點(diǎn)的坐標(biāo),將的坐標(biāo)代入橢圓方程,化簡(jiǎn)后可求得直線的斜率,由此求得直線的方程.【詳解】(1)由橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上,所以,且解得,所以橢圓的方程為.(2)顯然直線的斜率存在,設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為,設(shè),由消去得,所以,由已知得,所以,由于點(diǎn)都在橢圓上,所以,展開有,又,所以,經(jīng)檢驗(yàn)滿足,故直線的方程為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】
(1)利用降次公式、輔助角公式化簡(jiǎn)解析式,根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,求得的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)先由求得,利用正弦定理得到,結(jié)合余弦定理列方程,求得,由此求得三角形的面積.【詳解】(1)函數(shù),,由,得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)因?yàn)榍覟殇J角,所以.由及正弦定理可得,又,由余弦定理可得,解得,.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形的面積公式,屬于中檔題.19、(1)1(2)【解析】
(1)求得和,由,,得,令,令導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性,利用,即可求解.(2)解法一:令,利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為,令(),利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性,分類討論,即可求解.解法二:可利用導(dǎo)數(shù),先證明不等式,,,,令(),利用導(dǎo)數(shù),分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.【詳解】(1)由題意,得,,由,…①,得,令,則,因?yàn)?,所以在單調(diào)遞增,又,所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故方程①有且僅有唯一解,實(shí)數(shù)的值為1.(2)解法一:令(),則,所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;故.令(),則.(i)若時(shí),,在單調(diào)遞增,所以,滿足題意.(ii)若時(shí),,滿足題意.(iii)若時(shí),,在單調(diào)遞減,所以.不滿足題意.綜上述:.解法二:先證明不等式,,,…(*).令,則當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以,即.變形得,,所以時(shí),,所以當(dāng)時(shí),.又由上式得,當(dāng)時(shí),,,.因此不等式(*)均成立.令(),則,(i)若時(shí),當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;故.(ii)若時(shí),,在單調(diào)遞增,所以.因此,①當(dāng)時(shí),此時(shí),,,則需由(*)知,,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),所以.②當(dāng)時(shí),此時(shí),,則當(dāng)時(shí),(由(*)知);當(dāng)時(shí),(由(*)知).故對(duì)于任意,.綜上述:.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力,對(duì)于恒成立問題,通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.20、(1)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)見解析【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),由確定增區(qū)間
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