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文檔簡介
甘肅省張掖二中2025屆高三第五次模擬考試數學試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知點P在橢圓τ:=1(a>b>0)上,點P在第一象限,點P關于原點O的對稱點為A,點P關于x軸的對稱點為Q,設,直線AD與橢圓τ的另一個交點為B,若PA⊥PB,則橢圓τ的離心率e=()A. B. C. D.2.等比數列中,,則與的等比中項是()A.±4 B.4 C. D.3.已知集合,則等于()A. B. C. D.4.從拋物線上一點(點在軸上方)引拋物線準線的垂線,垂足為,且,設拋物線的焦點為,則直線的斜率為()A. B. C. D.5.一個四面體所有棱長都是4,四個頂點在同一個球上,則球的表面積為()A. B. C. D.6.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時期的數學著作《孫子算經》卷下第二十六題,叫做“物不知數”,原文如下:今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關的問題:將1到2020這2020個自然數中被5除余3且被7除余2的數按照從小到大的順序排成一列,構成一個數列,則該數列各項之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.612427.設函數,若函數有三個零點,則()A.12 B.11 C.6 D.38.拋物線C:y2=2px的焦點F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A.2+1 B.22+3 C.9.已知展開式的二項式系數和與展開式中常數項相等,則項系數為()A.10 B.32 C.40 D.8010.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動;“書”,指各種歷史文化知識;“數”,指數學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“數”必須排在第三節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰排課,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種11.雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.12.已知為一條直線,為兩個不同的平面,則下列說法正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某種牛肉干每袋的質量服從正態(tài)分布,質檢部門的檢測數據顯示:該正態(tài)分布為,.某旅游團游客共購買這種牛肉干100袋,估計其中質量低于的袋數大約是_____袋.14.已知,則________.(填“>”或“=”或“<”).15.給出以下式子:①tan25°+tan35°tan25°tan35°;②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°);③其中,結果為的式子的序號是_____.16.已知a,b均為正數,且,的最小值為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知平面與直線均垂直于所在平面,且.(1)求證:平面;(2)若,求與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知,均為正數,且.證明:(1);(2).19.(12分)某商店舉行促銷反饋活動,顧客購物每滿200元,有一次抽獎機會(即滿200元可以抽獎一次,滿400元可以抽獎兩次,依次類推).抽獎的規(guī)則如下:在一個不透明口袋中裝有編號分別為1,2,3,4,5的5個完全相同的小球,顧客每次從口袋中摸出一個小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球編號一次比一次大(如1,2,5),則獲得一等獎,獎金40元;若摸得的小球編號一次比一次小(如5,3,1),則獲得二等獎,獎金20元;其余情況獲得三等獎,獎金10元.(1)某人抽獎一次,求其獲獎金額X的概率分布和數學期望;(2)趙四購物恰好滿600元,假設他不放棄每次抽獎機會,求他獲得的獎金恰好為60元的概率.20.(12分)在四棱錐中,底面是平行四邊形,底面.(1)證明:;(2)求二面角的正弦值.21.(12分)設(1)證明:當時,;(2)當時,求整數的最大值.(參考數據:,)22.(10分)已知函數是減函數.(1)試確定a的值;(2)已知數列,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
設,則,,,設,根據化簡得到,得到答案.【詳解】設,則,,,則,設,則,兩式相減得到:,,,即,,,故,即,故,故.故選:.【點睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學生的計算能力和轉化能力.2、A【解析】
利用等比數列的性質可得,即可得出.【詳解】設與的等比中項是.
由等比數列的性質可得,.
∴與的等比中項
故選A.【點睛】本題考查了等比中項的求法,屬于基礎題.3、C【解析】
先化簡集合A,再與集合B求交集.【詳解】因為,,所以.故選:C【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法,屬于基礎題.4、A【解析】
根據拋物線的性質求出點坐標和焦點坐標,進而求出點的坐標,代入斜率公式即可求解.【詳解】設點的坐標為,由題意知,焦點,準線方程,所以,解得,把點代入拋物線方程可得,,因為,所以,所以點坐標為,代入斜率公式可得,.故選:A【點睛】本題考查拋物線的性質,考查運算求解能力;屬于基礎題.5、A【解析】
將正四面體補成正方體,通過正方體的對角線與球的半徑關系,求解即可.【詳解】解:如圖,將正四面體補形成一個正方體,正四面體的外接球與正方體的外接球相同,∵四面體所有棱長都是4,∴正方體的棱長為,設球的半徑為,則,解得,所以,故選:A.【點睛】本題主要考查多面體外接球問題,解決本題的關鍵在于,巧妙構造正方體,利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線,從而將問題巧妙轉化,屬于中檔題.6、C【解析】
根據“被5除余3且被7除余2的正整數”,可得這些數構成等差數列,然后根據等差數列的前項和公式,可得結果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數構成首項為23,公差為的等差數列,記數列則令,解得.故該數列各項之和為.故選:C.【點睛】本題考查等差數列的應用,屬基礎題。7、B【解析】
畫出函數的圖象,利用函數的圖象判斷函數的零點個數,然后轉化求解,即可得出結果.【詳解】作出函數的圖象如圖所示,令,由圖可得關于的方程的解有兩個或三個(時有三個,時有兩個),所以關于的方程只能有一個根(若有兩個根,則關于的方程有四個或五個根),由,可得的值分別為,則故選B.【點睛】本題考查數形結合以及函數與方程的應用,考查轉化思想以及計算能力,屬于常考題型.8、A【解析】
先由題和拋物線的性質求得點P的坐標和雙曲線的半焦距c的值,再利用雙曲線的定義可求得a的值,即可求得離心率.【詳解】由題意知,拋物線焦點F1,0,準線與x軸交點F'(-1,0),雙曲線半焦距c=1,設點Q(-1,y)ΔFPQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形,即PF所以PQ⊥拋物線的準線,從而PF⊥x軸,所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A【點睛】本題考查了圓錐曲線綜合,分析題目,畫出圖像,熟悉拋物線性質以及雙曲線的定義是解題的關鍵,屬于中檔題.9、D【解析】
根據二項式定理通項公式可得常數項,然后二項式系數和,可得,最后依據,可得結果.【詳解】由題可知:當時,常數項為又展開式的二項式系數和為由所以當時,所以項系數為故選:D【點睛】本題考查二項式定理通項公式,熟悉公式,細心計算,屬基礎題.10、C【解析】
根據“數”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門全排列,即可求解.【詳解】由題意,“數”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰時,可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié),有3種,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門全排列,安排在剩下的3個位置,有種,所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.故選:C.【點睛】本題主要考查了排列、組合的應用,其中解答中認真審題,根據題設條件,先排列有限制條件的元素是解答的關鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎題.11、C【解析】
根據雙曲線的標準方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知,雙曲線的漸近線方程是.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意雙曲線的簡單性質的合理運用.12、D【解析】A.若,則或,故A錯誤;B.若,則或故B錯誤;C.若,則或,或與相交;D.若,則,正確.故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
根據正態(tài)分布對稱性,求得質量低于的袋數的估計值.【詳解】由于,所以,所以袋牛肉干中,質量低于的袋數大約是袋.故答案為:【點睛】本小題主要考查正態(tài)分布對稱性的應用,屬于基礎題.14、【解析】
注意到,故只需比較與1的大小即可.【詳解】由已知,,故有.又由,故有.故答案為:.【點睛】本題考查對數式比較大小,涉及到換底公式的應用,考查學生的數學運算能力,是一道中檔題.15、①②③【解析】
由已知分別結合和差角的正切及正弦余弦公式進行化簡即可求解.【詳解】①∵tan60°=tan(25°+35°),tan25°+tan35°tan25°tan35°;tan25°tan35°,,②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)=2(sin35°cos25°+cos35°sin25°),=2sin60°;③tan(45°+15°)=tan60°;故答案為:①②③【點睛】本題主要考查了兩角和與差的三角公式在三角化簡求值中的應用,屬于中檔試題.16、【解析】
本題首先可以根據將化簡為,然后根據基本不等式即可求出最小值.【詳解】因為,所以,當且僅當,即、時取等號,故答案為:.【點睛】本題考查根據基本不等式求最值,基本不等式公式為,在使用基本不等式的時候要注意“”成立的情況,考查化歸與轉化思想,是中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)【解析】
(Ⅰ)證明:過點作于點,∵平面⊥平面,∴平面又∵⊥平面∴∥,又∵平面∴∥平面(Ⅱ)∵平面∴,又∵∴∴∴點是的中點,連結,則∴平面∴∥,∴四邊形是矩形設,得:,又∵,∴,從而,過作于點,則∴是與平面所成角∴,∴與平面所成角的正弦值為考點:面面垂直的性質定理;線面平行的判定定理;線面垂直的性質定理;直線與平面所成的角.點評:本題主要考查了線面平行的證明和直線與平面所成的角,屬立體幾何中的常考題型,較難.本題也可以用向量法來做:用向量法解題的關鍵是;首先正確的建立空間直角坐標系,正確求解平面的一個法向量.注意計算要仔細、認真.≌18、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)由進行變換,得到,兩邊開方并化簡,證得不等式成立.(2)將化為,然后利用基本不等式,證得不等式成立.【詳解】(1),兩邊加上得,即,當且僅當時取等號,∴.(2).當且僅當時取等號.【點睛】本小題主要考查利用基本不等式證明不等式成立,考查化歸與轉化的數學思想方法,屬于中檔題.19、(1)分布見解析,期望為;(2).【解析】
(1)先明確X的可能取值,分別求解其概率,然后寫出分布列,利用期望公式可求期望;(2)獲得的獎金恰好為60元,可能是三次二等獎,也可能是一次一等獎,兩次三等獎,然后分別求解概率即可.【詳解】(1)由題意知,隨機變量X的可能取值為10,20,40且,,所以,即隨機變量X的概率分布為X102040P所以隨機變量X的數學期望.(2)由題意知,趙四有三次抽獎機會,設恰好獲得60元為事件A,因為60=20×3=40+10+10,所以.【點睛】本題主要考查隨機變量的分布列及數學期望,明確隨機變量的所有取值是求解的第一步,再求解對應的概率,側重考查數學建模的核心素養(yǎng).20、(1)見解析(2)【解析】
(1)利用正弦定理求得,由此得到,結合證得平面,由此證得.(2)建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值,再轉化為正弦值.【詳解】(1)在中,由正弦定理可得:,,底面,平面,;(2)以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,,設平面的法向量為,由可得:,令,則,設平面的法向量為,由可得:,令,則,設二面角的平面角為,由圖可知為鈍角,則,,故二面角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.21、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)將代入函數解析式可得,構造函數,求得并令,由導函數符號判斷函數單調性并求得最大值,由即可證明恒成立,即不等式得證.(2)對函數求導,變形后討論當時的函數單調情況:當時,可知滿足題意;將不等式化簡后構造函數,利用導函數求得極值點與函數的單調性,從而求得最小值為,分別依次代入檢驗的符號,即可確定整數的最大值;當時不滿足題意,因為求整數的最大值,所以時無需再討論.【詳解】(1)證明:當時代入可得,令,,則,令解得,當時,所以在單調遞增,當時,所以在單調遞減,所以,則,即成立.(2)函數則,若時,當時,,則在時單調遞減,所以,即當
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