湖南省各地2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

湖南省各地2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個面中最大面的面積為（）A． B． C． D．2．在中，角的對邊分別為，，若，，且，則的面積為（）A． B． C． D．3．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．5．已知向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．6．拋物線y2=ax(a>0)的準線與雙曲線C:x28A．8 B．6 C．4 D．27．關(guān)于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，下列敘述正確的是（）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減8．已知是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點（A在右支，B在左支）若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．將一塊邊長為的正方形薄鐵皮按如圖（1）所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，將該容器按如圖（2）放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為，則的值為（）A．6 B．8 C．10 D．1210．已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，則的解集是A． B．C． D．11．已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．12．已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為____________.14．在一塊土地上種植某種農(nóng)作物，連續(xù)5年的產(chǎn)量（單位：噸）分別為9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.則該農(nóng)作物的年平均產(chǎn)量是______噸.15．直線是曲線的一條切線為自然對數(shù)的底數(shù))，則實數(shù)__________.16．已知隨機變量，且，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，、、分別是角、、的對邊，且.（1）求角的值；（2）若，且為銳角三角形，求的取值范圍.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知圓，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線平分圓M的周長.（1）求圓M的半徑和圓M的極坐標(biāo)方程；（2）過原點作兩條互相垂直的直線，其中與圓M交于O，A兩點，與圓M交于O，B兩點，求面積的最大值.19．（12分）近年來，隨著“霧霾”天出現(xiàn)的越來越頻繁，很多人為了自己的健康，外出時選擇戴口罩，在一項對人們霧霾天外出時是否戴口罩的調(diào)查中，共調(diào)查了人，其中女性人，男性人，并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)畫出等高條形圖如圖所示：（1）利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關(guān)系并說明理由；（2）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立一個列聯(lián)表；（3）能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩的關(guān)系.附：20．（12分）如圖，在三棱錐中，，，，平面平面，、分別為、中點．（1）求證：；（2）求二面角的大?。?1．（12分）已知函數(shù)在上的最大值為3.（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）若銳角中角所對的邊分別為，且，求的取值范圍.22．（10分）已知等差數(shù)列的前n項和為，等比數(shù)列的前n項和為，且，，.（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積．【詳解】解：分析題意可知，如下圖所示，該幾何體為一個正方體中的三棱錐，最大面的表面邊長為的等邊三角形，故其面積為，故選B．【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問題．2、C【解析】

由，可得，化簡利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面積．【詳解】解：，，且，，化為：．，解得．．故選：．【點睛】本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．3、D【解析】

先根據(jù)已知條件求解出的通項公式，然后根據(jù)的單調(diào)性以及得到滿足的不等關(guān)系，由此求解出的取值范圍.【詳解】由已知得，則.因為，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，則，化簡得，所以.故選：D.【點睛】本題考查數(shù)列通項公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求解參數(shù)范圍，難度一般.已知數(shù)列單調(diào)性，可根據(jù)之間的大小關(guān)系分析問題.4、C【解析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合各選項進行判斷即可.【詳解】A：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；B：在上不單調(diào)，不符合題意；C：為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，符合題意；D：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.故選：C.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由已知向量的坐標(biāo)，利用平面向量的夾角公式，直接可求出結(jié)果.【詳解】解：由題意得，設(shè)與的夾角為，，由于向量夾角范圍為：，∴.故選：B.【點睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角，注意向量夾角的范圍.6、A【解析】

求得拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，解得兩交點，由三角形的面積公式，計算即可得到所求值．【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準線為x=-a4，雙曲線C:x28-y24【點睛】本題考查三角形的面積的求法，注意運用拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

先用誘導(dǎo)公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選：C【點睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長為，然后在中應(yīng)用余弦定理得的等式，從而求得離心率．【詳解】由題意，，又，∴，∴，在中，即，∴．故選：D．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線的定義把到兩焦點距離用表示，然后用余弦定理建立關(guān)系式．9、D【解析】

推導(dǎo)出，且，，，設(shè)中點為，則平面，由此能表示出該容器的體積，從而求出參數(shù)的值．【詳解】解：如圖（4），為該四棱錐的正視圖，由圖（3）可知，，且，由為等腰直角三角形可知，，設(shè)中點為，則平面，∴，∴，解得.故選：D【點睛】本題考查三視圖和錐體的體積計算公式的應(yīng)用，屬于中檔題.10、D【解析】

先由是偶函數(shù)，得到關(guān)于直線對稱；進而得出單調(diào)性，再分別討論和，即可求出結(jié)果.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以關(guān)于直線對稱；因此，由得；又在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增；所以，當(dāng)即時，由得，所以，解得；當(dāng)即時，由得，所以，解得；因此，的解集是.【點睛】本題主要考查由函數(shù)的性質(zhì)解對應(yīng)不等式，熟記函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性等性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.11、C【解析】試題分析：設(shè)的交點為，連接，則為所成的角或其補角；設(shè)正四棱錐的棱長為，則，所以，故C為正確答案．考點：異面直線所成的角．12、C【解析】

由可得，故可求的值.【詳解】因為，所以，故，因為正項等比數(shù)列，故，所以，故選C.【點睛】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（或?qū)懗桑窘馕觥?/p>

設(shè)與的夾角為，通過，可得，化簡整理可求出，從而得到答案.【詳解】設(shè)與的夾角為可得，故，將代入可得得到，于是與的夾角為.故答案為：.【點睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運算，向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計算能力.14、10【解析】

根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計算即得.【詳解】由題得，.故答案為：10【點睛】本題考查求平均數(shù)，是基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)切線的斜率為，利用導(dǎo)數(shù)列方程，由此求得切點的坐標(biāo)，進而求得切線方程，通過對比系數(shù)求得的值.【詳解】，則，所以切點為，故切線為，即，故.故答案為：【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線方程有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.16、0.1【解析】

根據(jù)原則，可得，簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：隨機變量，則期望為所以故答案為：【點睛】本題考查正態(tài)分布的計算，掌握正態(tài)曲線的圖形以及計算，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2).【解析】

（1）根據(jù)題意，由余弦定理求得，即可求解C角的值；（2）由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得到，再根據(jù)為銳角三角形，求得，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由題意知，∴，由余弦定理可知，，又∵，∴.（2）由正弦定理可知，，即∴，又∵為銳角三角形，∴，即，則，所以，綜上的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.18、（1），（2）【解析】

先求出，再求圓的半徑和極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)求出,,再求出得解.【詳解】（1）將化成直角坐標(biāo)方程，得則，故，則圓，即，所以圓M的半徑為.將圓M的方程化成極坐標(biāo)方程，得.即圓M的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，則,用代替.可得,【點睛】本題主要考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化，考查極徑的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19、（1）圖形見解析，理由見解析；（2）見解析；（3）犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系【解析】

（1）利用等高條形圖中兩個深顏色條的高比較得出性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系；（2）填寫列聯(lián)表即可；（3）由表中數(shù)據(jù)，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論．【詳解】解：（1）在等高條形圖中，兩個深色條的高分別表示女性和男性中霧霾天外出戴口罩的頻率，比較圖中兩個深色條的高可以發(fā)現(xiàn)，女性中霧霾天外出帶口罩的頻率明顯高于男性中霧霾天外出帶口罩的頻率，因此可以認為性別與霧霾天外出帶口罩有關(guān)系.（2）列聯(lián)表如下：戴口罩不戴口罩合計女性男性合計（3）由（2）中數(shù)據(jù)可得：.所以，在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系.【點睛】本題考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗的應(yīng)用問題，也考查了登高條形圖的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．20、(1)證明見解析；(2)60°.【解析】試題分析：（1）連結(jié)PD，由題意可得,則AB⊥平面PDE，；（2）法一：結(jié)合幾何關(guān)系做出二面角的平面角，計算可得其正切值為，故二面角的大小為；法二：以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，計算可得平面PBE的法向量．平面PAB的法向量為．據(jù)此計算可得二面角的大小為.試題解析：（1）連結(jié)PD，PA=PB，PDAB．，BCAB，DEAB．又，AB平面PDE，PE平面PDE，∴ABPE．（2）法一：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．則DEPD,又EDAB，PD平面AB=D，DE平面PAB,過D做DF垂直PB與F，連接EF，則EFPB，∠DFE為所求二面角的平面角，則：DE=，DF=，則，故二面角的大小為法二：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．如圖，以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0，，0)，=(1，0，)，=(0，，）．設(shè)平面PBE的法向量，令，得．DE平面PAB，平面PAB的法向量為．設(shè)二面角的大小為，由圖知，，所以即二面角的大小為.21、（1）,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）運用降冪公式和輔助角公式，把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式形式，根據(jù)已知，可以求出的值，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）由（1）結(jié)合已知，可以求出角的值，通過正弦定理把問題的取值范圍轉(zhuǎn)化為兩邊對角的正弦值的比值的取值范圍，結(jié)合已知是銳角三角形，三角形內(nèi)角和定理，最后求出的取值范圍.【詳解】解：（1）由已知，所以因此令得因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）由已知，∴由得，因此所以因為為銳角三角形，所以，