2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【新定義問題】方程與不等式中的新定義問題（解析版）

方程與不等式中的新定義問題

知識方法精講

1.解新定義題型的方法：

方法一：從定義知識的新情景問題入手

這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學(xué)生閱讀理解能

力，分析問題和解決問題的能力.因此在解這類型題時就必須先認(rèn)真閱讀，正理解新定義的

含義；再運(yùn)用新定義解決問題；然后得出結(jié)論。

方法二：從數(shù)學(xué)理論應(yīng)用探究問題入手

對于涉及到數(shù)學(xué)理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細(xì)研究前面的問題解法.即

前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時，認(rèn)真

閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問題和內(nèi)容，并注意這些新知識運(yùn)用的方法步驟.

方法三：從日常生活中的實(shí)際問題入手

對于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題,那么處理此類問題需要結(jié)合生活實(shí)際,

再將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，從而利用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答。

2.解新定義題型的步驟：

(1)理解“新定義”一一明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.

⑵重視“舉例”，利用“舉例”檢驗是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的解

題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.

(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

選擇題(共6小題)

1.(2021秋?渦陽縣期末)將關(guān)于x的一元二次方程f-px+q=O變形為f=px-q,就

可以將f表示為關(guān)于x的一次多項式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如

x3=x-x2=x(px-q)=...,我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較

高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法"，已知：且x>0,貝|/-2/+2》+1的值為()

A.1-V5B.1+V5C.3-V5D.3+75

【考點(diǎn)】解一元二次方程-公式法；高次方程；代數(shù)式求值

【分析】由題可知f=x+l,將所求式子變形為x(x+l)-2。+1)+2工+1再求解即可.

【解答】ft?：vx2-x-l=0,

/.X2=X+1,

-212+2x+1

=+1)—2(x+1)+2x+1

—+x—2x—2+2x+1

—+x—1

=(x+1)+x—1

=2x，

vx2-x-1=0的根為x=]+E或x=-,

22

,/x>0,

1+75

..x-,

2

-2尤~+2x+1=1+y/5,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查高次方程的解，理解題中所給降次的方法，靈活降次，準(zhǔn)確求一元二次方

程的根是解題的關(guān)鍵.

2.(2021?羅湖區(qū)校級模擬)對于實(shí)數(shù)。和6,定義一種新運(yùn)算"兇"為：a?b=-^,,

a-b

這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算.例如：1③3='=-1?則方程x③2=二一-1的解是()

1-328x-4

A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7

【考點(diǎn)】解分式方程；實(shí)數(shù)的運(yùn)算

【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算列出分式方程，計算即可求出解.

【解答】解：已知等式整理得：—=—--1,

x-4x-4

去分母得：l=2-x+4,

解得：x=5,

經(jīng)檢驗x=5是分式方程的解.

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查了解分式方程，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

(a>b)

3.（2021秋?南皮縣校級月考）定義一種新運(yùn)算：?！蕉?一"，若5Xx=2,

b7、

(za<b)

則x的值為（）

A10D5—10「5n5f15

A.一B.一或一C.—D.一或一

323222

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算；解分式方程

【分析】根據(jù)題意得出兩種情況：x<5和x>5,得出分式方程，再求出方程的解即可.

【解答】解：5Xx=2,

當(dāng)x<5時，原方程化為：工=2,

當(dāng)x>5時，原方程化為:

-3x=-10,

經(jīng)檢驗x=3是原方程的解，

2

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵.

4.（2021?福田區(qū)一模）對于實(shí)數(shù)a,b,定義一種新運(yùn)算"兇"為：a?b=-^,這

a-b2

里等式右邊是通常的實(shí)數(shù)運(yùn)算.例如：103=^=--,則方程（-1）=—&--1的解

1-324x-1

是（）

A.x=4C.x=6

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；解分式方程

【分析】已知方程利用題中的新定義化簡，計算即可求出解.

【解答】解：根據(jù)題中的新定義化簡得：—=—-1,

X—1X—1

去分母得：2=6-x+l,

解得：x=5,

經(jīng)檢驗x=5是分式方程的解.

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查了解分式方程，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

5.（2017?杜爾伯特縣二模）定義：如果一元二次方程爾+6x+c=0（aw0）滿足a+b+c=0,

那么我們稱這個方程為“和諧”方程；如果一元二次方程辦2+樂+，=0（。40）滿足

6+c=0那么我們稱這個方程為“美好”方程，如果一個一元二次方程既是“和諧”方

程又是“美好”方程，則下列結(jié)論正確的是（）

A.方有兩個相等的實(shí)數(shù)根B.方程有一根等于0

C.方程兩根之和等于0D.方程兩根之積等于0

【考點(diǎn)】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系

【分析】根據(jù)已知得出方程ox?+bx+c=0（a20）有兩個根x=l或x=-l,再判斷即可.

【解答】解：,把x=1代入方程，+6x+c=0得出：a+b+c=Q,

把x=-1代入方程ax2+bx+c=O得出a-b+c=Q,

方程辦2+bx+c=0（a片0）有兩個根x=1或x=-1,

.?.1+（-1）=0,

即只有選項C正確；選項/、B、。都錯誤；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，主要考查學(xué)

生的理解能力和計算能力.

6.（2020秋?隨縣期末）規(guī)定一種新運(yùn)算：=/一26,若2兇［1笆）（-刈=6,貝（lx的

值為（）

A.-1B.1C.2D.-2

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算；解一元一次方程

【分析】首先根據(jù)題意，可得：10（-X）=12-2X（-X）=1+2X,所以2笆）（1+2x）=6,所以

22-2（1+2X）=6；然后根據(jù)解一元一次方程的方法，求出x的值為多少即可.

【解答】解：?.?。名)6=/一26,

10(-X)=12-2X(-X)=1+2X,

v2?[l?(-x)]=6,

20(1+2x)=6,

:.22-2(1+2尤)=6,

去括號，可得：4-2-4x=6,

移項，可得：-4x=6-4+2,

合并同類項，可得：-4x=4,

系數(shù)化為1,可得：x=-l.

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：

去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1.

二.填空題(共5小題)

7.(2021秋?建華區(qū)期末)對于非零的兩個有理數(shù)a、b,我們給出一種新的運(yùn)算③，規(guī)

定：a?b=---,若l?(x+l)=l,貝曦的值為―—L—.

ba2

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算；解一元一次方程；解分式方程

【分析】先根據(jù)新運(yùn)算得出方程」―-1=1,再方程兩邊都乘X+1得出2(x+l)=l,求出方

X+1

程的解，再進(jìn)行檢驗即可.

【解答】解：+

.」-L1,

X+11

即，=2,

X+1

方程兩邊都乘x+1,得2(x+l)=l,

解得：X」，

2

檢驗：當(dāng)％=-工時，x+lwO,所以％=-,是原方程的解，

22

故答案為：-工.

2

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算和解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此

題的關(guān)鍵，注意：解分式方程一定要進(jìn)行檢驗.

8.（2021秋?東莞市期末）新定義一種運(yùn)算“☆”，規(guī)定.☆6=必+。-6.若2^x=x+

2,則x的值為2.

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算；解一元一次方程

【分析】根據(jù)題意，可得：2x+2-x=2x+x-2,據(jù)此求出x的值為多少即可.

【解答】解：'：b=ab+a-b,2眾x=x^2,

2x+2—x—2x+x—2,

整理，可得：2x=4,

解得x=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，以及解一元一次方程的方法，要熟練掌握，解

一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1.

9.（2020秋?福田區(qū)校級期末）對x,y定義一種新運(yùn)算“※"，規(guī)定：x※/=機(jī)*+"了（其

中",“均為非零常數(shù)），若酷1=4,1X2=3.則2X1的值是9.

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算；解二元一次方程組

【分析】由已知條件，根據(jù)所給定義可得到關(guān)于根、〃的方程組，則可求得.、”的值，再

代入計算即可.

【解答】解：???1X1=4,住2=3,

m+n=4

m+1n=3

m=5

解得:

M=-1

貝IxXy=5x-y

.12X1=2x5-1=9,

故答案為：9.

【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本

題的關(guān)鍵.

10.(2020春?思明區(qū)校級期末)新定義：對非負(fù)數(shù)X“四舍五入”到個位的值記為(X).即

當(dāng)"為非負(fù)整數(shù)時，若+1■則(x)=〃.如(0.46)=0,(3.67)=4.給出下列關(guān)于(x)

的結(jié)論：

①(1.493)=1；

②(2x)=2。)；

③若(gx-1)=4,則x的取值范圍是"<11；

④當(dāng)x^O,m為非負(fù)整數(shù)時，有(m+2020x)=機(jī)+(2020x)；

其中正確的結(jié)論有①③④(填寫所有正確的序號).

【考點(diǎn)】近似數(shù)和有效數(shù)字；解一元一次方程

【分析】對于①可直接判斷，②可用舉反例法判斷，③、④我們可以根據(jù)題意所述利用不等

式判斷.

【解答】解：①(1.493)=1,故①符合題意；

②(2x)w2(x),例如當(dāng)x=0.3時，(2x)=1,2(x)=0,故②不符合題意；

③若(gx-l)=4,則4-g4x-l<4+；,解得：三<11,故③符合題意；

④為非負(fù)整數(shù)，故(加+2020x)=加+(2020x),故④符合題意；

綜上可得①③④正確.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次方程以及一元一次不等式組的應(yīng)用和理解題意的能力，關(guān)鍵

是看到所得值是個位數(shù)四舍五入后的值，問題可得解.

11.(2020秋?奉賢區(qū)期末)已知°和b兩個有理數(shù)，規(guī)定一種新運(yùn)算“*”為：a*b=U

a+b

(其中a+6#0),若加*(—)=—，則加

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算；解分式方程

【分析】已知等式利用題中的新定義化簡，計算即可求出他的值.

3

冽5+35

【解答】解：已知等式利用題中的新定義化簡得：-J=--,即義士=-2

機(jī)_332吁33

2

整理得：3(2加+3)=—5(2冽-3),

去括號得：6m+9=—10m+15>

移項合并得：16加=6,

3

解得：m=-,

8

經(jīng)檢驗羽=3是分式方程的解，

8

則加=—.

8

故答案為：—.

8

【點(diǎn)評】此題考查了解分式方程，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

三.解答題(共14小題)

12.(2021秋?市中區(qū)期末)用定義一種新運(yùn)算：對于任意有理數(shù)a和6,規(guī)定

b=ab2+lab+a.如：1^3=lx32+2x1x3+1=16.

(1)(-2)☆3=_-32_；

(2)若(一☆3)^(-2)=16,求a的值；

(3)“作差法”是常見的比較代數(shù)式大小的一種方法，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只

要作出它們的差M-N,若M-N>0,則M>N；若M-N=0,則"=N；若M-N<Q,

則”<N.若2^x=〃z,(：x)+3=w(其中x為有理數(shù))，試比較機(jī)，力的大小.

【考點(diǎn)】解一元一次方程；有理數(shù)的混合運(yùn)算；整式的混合運(yùn)算

【分析】(1)利用規(guī)定的運(yùn)算方法直接代入計算即可；

(2)利用規(guī)定的運(yùn)算方法得出方程，求得方程的解即可；

(3)利用規(guī)定的運(yùn)算方法得出他、n,再進(jìn)一步作差即可比較大小.

【解答】解：(1)原式=-2X32+2X(-2)X3+(-2)

=-18-12-2

=-32；

故答案為：-32.

(2)根據(jù)題意得：：(〃+1)+3(。+1)+，

99「。a1

=一。+—+3。+3+—+—

2222

=8〃+8

(8a+8)x(-2)2+2x(8a+8)x(-2)+(8a+8)=16

整理得，8〃+8=16

解得：4=1；

?931

（3）已知等式整理得：m=1x~+4x+2,n=—x+—x+—x=4x,

424

m-n=2x*2+2>0,

m>n.

【點(diǎn)評】本題考查了新定義，涉及到了有理數(shù)的混合運(yùn)算、一元一次方程.解題的關(guān)鍵是根

據(jù)新定義進(jìn)行化簡整理.

13.（2021秋?西城區(qū)期末）我們將數(shù)軸上點(diǎn)尸表示的數(shù)記為巧對于數(shù)軸上不同的三個點(diǎn)

M,N,T,若有赤-*=人（%-芍），其中后為有理數(shù)，則稱點(diǎn)N是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)7的''人

星點(diǎn)”.已知在數(shù)軸上，原點(diǎn)為。，點(diǎn)N,點(diǎn)8表示的數(shù)分別為福=-2,%=3.

（1）若點(diǎn)8是點(diǎn)/關(guān)于原點(diǎn)。的“后星點(diǎn)”，則左=_-士_；若點(diǎn)C是點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)臺的

一2

“2星點(diǎn)”，則％=―；

（2）若線段在數(shù)軸上沿正方向運(yùn)動，每秒運(yùn)動1個單位長度，取線段N3的中點(diǎn)。.是

否存在某一時刻，使得點(diǎn)。是點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)。的“-2星點(diǎn)”？若存在，求出線段N3的運(yùn)動

時間；若不存在，請說明理由；

（3）點(diǎn)0在數(shù)軸上運(yùn)動（點(diǎn)。不與4,3兩點(diǎn)重合），作點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)。的“3星點(diǎn)”，記

為4,作點(diǎn)2關(guān)于點(diǎn)。的“3星點(diǎn)”，記為B.當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動時，QH+。9是否存在最小值？

若存在，求出最小值及相應(yīng)點(diǎn)。的位置；若不存在，請說明理由.

A0B

-7-6-5-4-3-2-101234567

【考點(diǎn)】數(shù)軸；一元一次方程的應(yīng)用；規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】（1）由“左星點(diǎn)”的定義列出方程可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為0,點(diǎn)B表示的數(shù)a+5,則線段的中點(diǎn)。表示的數(shù)為次至，由

2

“左星點(diǎn)”的定義列出方程可求解；

（3）先求出H,2'表示的數(shù)，可求04+。Q=|-6-3y|+|9-3y],由絕對值的性質(zhì)可求解.

【解答】解：（1）???點(diǎn)8是點(diǎn)/關(guān)于原點(diǎn)。的“后星點(diǎn)”，

.?.3-0=?-2-0),

3

解得：k=~,

2

?.?點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“2星點(diǎn)”，

XQ—3=2x(—2—3),

/.=-7,

故答案為：—，-7;

2

(2)設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為0,點(diǎn)2表示的數(shù)a+5,則線段N3的中點(diǎn)。表示的數(shù)為^

2

;點(diǎn)D是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)。的“-2星點(diǎn)”，

^y^-0=-2x(a-0),

5

..6Z-.....，

6

--+2

?.?I._—_6_—_7,

16

.?.當(dāng)f=工，使得點(diǎn)D是點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)。的“-2星點(diǎn)”；

6

(3)當(dāng)點(diǎn)。在線段A8(點(diǎn)。不與/,B兩點(diǎn)重合)上時，存在最小值，理由如

下：

設(shè)點(diǎn)。表示的數(shù)為

:點(diǎn)、A'是點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)。的“3星點(diǎn)”，

二點(diǎn)4表示的數(shù)為-6-2y,

:點(diǎn)、B'是點(diǎn)3關(guān)于點(diǎn)0的“3星點(diǎn)”，

.?.點(diǎn)2'表示的數(shù)是9-2y,

:.QA'+QB'=\-6-2y-y\+\9-2y-y^\-6-?>y\+\9-2ly\,

當(dāng)〉<一2時，QA'+QB'=3-9y>2\.

當(dāng)一2<y<3時，QA'+QB'=\5,

當(dāng)y>3時，QA'+QB'=6y-3>15,

.?.當(dāng)點(diǎn)。在線段N3(點(diǎn)。不與N,3兩點(diǎn)重合)上時，。4+。8’存在最小值，最小值為

15.

【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，絕對值，理解“左星點(diǎn)”的定義并運(yùn)用是解題的

關(guān)鍵.

14.(2021秋?長沙期末)若關(guān)于x的方程ax+6=0(aW0)的解與關(guān)于y的方程

cy+d=0(cH0)的解滿足|x-y|=1,則稱方程ox+6=0(a*0)與方程qv+d=0(cH0)是"美

好方程”.例如：方程2x+l=5的解是x=2,方程＞-1=0的解是y=l,因為|x-y|=l,

方程2x+1=5與方程y-1=0是"美好方程".

(1)請判斷方程5x-3=2與方程2(y+l)=3是不是“美好方程”，并說明理由；

(2)若關(guān)于x的方程白芋-x=2左+1與關(guān)于y的方程4y-1=3是“美好方程”，請求出左

的值；

(3)若無論俏取任何有理數(shù)，關(guān)于x的方程在變一|=機(jī)(°,b為常數(shù))與關(guān)于y的方

程y+l=2y-5都是“美好方程”，求成的值.

【考點(diǎn)】絕對值；一元一次方程的解

【分析】(1)分別求出兩個方程的解，再由定義進(jìn)行驗證即可；

(2)求出方程4了-1=3的解是y=l,再由定義可得再由x的值分別求發(fā)的值即

可；

(3)先求方程y+l=2y-5的解為y=6,再由定義可得|x-6|=l,再由x的值分別求加的

值即可.

【解答】解：⑴5尤-3=2的解是x=l,

2(y+1)=3的解是V=g，

,1,

?'-Ix-y|=Jw1，

二方程5無一3=2與方程2(y+1)=3不是“美好方程”；

(2)4y-l=3的解是y=l,

...方程史芋一%=2左+1與方程4y-1=3是“美好方程”，

%—11=1,

x=0或x=2,

當(dāng)％=0時，k=--；

3

當(dāng)％=2時，k=0；

(3)＞+1=2歹一5的解為》=6,

...方程在詈一，=機(jī)與方程＞+l=2y-5是“美好方程”，

x—61—1,

x=7或x=—5

14+mab

當(dāng)x=7時,一=m,

32

28+2ma—3b=6m,

/.(2a-6)m=36-28，

?.?無論相取任何有理數(shù)都成立,

.'.2a—6=0936—28=0,

“3,b巨

3

二.ab=28；

-10+mab

當(dāng)％=—5時,—=m

329

-20+Ima-36=6m,

/.(2a-6)m=20-36，

v無論m取任何有理數(shù)都成立,

2。-6=0,20—3b=0,

6=型

3

，ab=20；

綜上所述：仍的值為20或28.

【點(diǎn)評】本題考查一元一次方程的解，理解定義，熟練一元一次方程的解法，絕對值的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

15.(2021秋?慶陽期末)若規(guī)定這樣一種新運(yùn)算法則：a^b=a2-2ab.如

3*(-2)=3*-2x3x(-2)=21.

(1)求5*(-3)的值;

(2)若(一4)*%=-6-2、，求工的值.

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算；解一元一次方程

【分析】(1)先根據(jù)新運(yùn)算得出5*(-3)=52-2x5x(-3),再根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計

算即可;

(2)先根據(jù)新運(yùn)算得出(-4)2-2x(-4)，=6-2x,再根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計算，最

后根據(jù)等式的性質(zhì)求出方程的解即可.

【解答】解：(1)5*(-3)

=52-2X5X(-3)

=25+30

=55；

(2)(-4)*x=-6-2x,

(-4)2-2X(-4)-X--6-2X,

16+8x=—6—2x,

8x+2x=—6—16,

10x=-22,

x——2.2?

【點(diǎn)評】不考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算和解一元一次方程，能正確根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則

進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵.

16.(2021秋?任城區(qū)期末)用“X”定義一種新運(yùn)算：對于任意有理數(shù)0和6,規(guī)定.※

b=a(a+b).

例如：1X2=1X(1+2)=1X3=3.

(1)求(一3)派5的值；

(2)若(-2)X(3x-2)=x+1,求x的值.

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算；解一元一次方程

【分析】(1)由新運(yùn)算的定義把式子轉(zhuǎn)化為(-3)(-3+5),再進(jìn)行運(yùn)算；

(2)由新運(yùn)算的定義把式子轉(zhuǎn)化為(-2)[(-2)+(3工-2)]=》+1,然后解方程求x；

【解答】解：(1)由題意知，(-3)X5=(-3)x[(-3)+5]=(-3)x2=-6.

(2)由題意知,(-2)X(3x-2)=(-2)x[(-2)+(3x-2)]=(-2)x(3x-4)=-6x+8,

?.?(-2)X(3x-2)=x+l,

-6x+8—x+1.

移項得：

-lx=-7,

方程兩邊都除以-7得：

x=l.

...尤的值為1.

【點(diǎn)評】本題是閱讀型題目，弄清題目中定義的含義是解題的關(guān)鍵.

17.（2021秋?錦江區(qū)校級期末）小兵喜歡研究數(shù)學(xué)問題，在學(xué)習(xí)一元一次方程后，他給出

一個新定義：若%是關(guān)于x的一元一次方程ox+6=0（。w0）的解，為是關(guān)于y的方程的所

有解的其中一個解，且吃,為滿足/+%=100,則稱關(guān)于y的方程為關(guān)于x的一元一次方

程的“友好方程”.例如：一元一次方程3》-2關(guān)-99=0的解是％=99,方程/+1=2的

所有解是y=l或y=-l,當(dāng)%=1時，x0+y0=100,所以/+1=2為一元一次方程

3x-2x-99=0的“友好方程”.

（1）已知關(guān)于y的方程：①2y-2=4,②|川=2,

以上哪個方程是一元一次方程3x-2x-102=0的“友好方程”？

請直接寫出正確的序號是②.

（2）若關(guān)于y的方程|2/-2|+3=5是關(guān)于x的一元一次方程x-與包=。+1的“友好方

程”，請求出a的值.

（3）如關(guān)于y的方程2%|y-49|=m+n是關(guān)于x的一元一次方程+45〃=54m

的“友好方程”，請直接寫出的值.

n

【考點(diǎn)】一元一次方程的定義；含絕對值符號的一元一次方程；解一元二次方程-直接開平

方法

【分析】（1）先求出一元一次方程3x-2x-102=0的解，再解出2?-2=4和|川=2,根據(jù)

“友好方程”的定義判斷即可；

（2）解出|2y一2|+3=5得解，再解出》一在券=q+1的解是。+3,分類討論，令

X0+%=100，即可求出a的值；

（3）先解出一元一次方程加x+45幾=54加的解，再根據(jù)與+盟=100表示出歹，將y代入到

方程2冽|y-49|+冽I；」=冽+〃中化簡即可.

【解答】解：（1）3%-2%-102=0的解為/=102,

方程2>-2=4的解是?=3,%+為。100；故不是“友好方程”；

方程Iy|=2的解是y=2或y=-2,當(dāng)%=-2時，/+盟=100,故是“友好方程”，

故答案是：②

(2)方程|2了-2|+3=5的解是y=2或y=0,一元一次方程x-與&=。+1的解是

X=Q+3，

若%=0,%+%=100,則4+3+0=100,解得0=97；

若%=2,%+%=100,貝iJa+3+2=100,解得a=95；

答:°的值為97或95.

/C、BLL1々刀乙曰54冽一45〃45〃

(3)TUX+45〃—54冽，角牛x=-------------=54--------,

mm

'：x0+y0=100，

45〃45〃

.\j；=100-x=100-(54-------)=46+——；

0mm

八Im(y-1)

?/2m|y-49|H----———=m+n

_45〃,45冽+45〃

2m46H---------49H---------------=m+n；

m45

_.45〃c.

2m|-------3|+m+n=m+n；

m

即2加|j—3|=0.

m

???分母m不能為0；

45〃r

-------3=0,即/*=15”；

m

m+nm,，/

-------=—+1=16；

nn

答：%*的值為16.

n

【點(diǎn)評】本題考查解一元一次方程，理解題目定義中的“友好方程”是解題的關(guān)鍵，再通過

解一元一次方程的方法求解.

18.(2020?麗水模擬)新定義：如果一個矩形，它的周長和面積分別是另外一個矩形的周

長和面積的一半，則這個矩形是另一個矩形的“減半”矩形.

(1)已知矩形ABCD的長12、寬2,矩形EFGH的長4、寬3，試說明矩形EFGH是矩形ABCD

的“減半”矩形.

(2)矩形的長和寬分別為2,1時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并請說明理由.

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用

【分析】(1)分別計算出矩形/BCD是矩形所GH周長和面積即可說明矩形MG"是矩形

4BCD的“減半”矩形.

(2)假設(shè)存在，不妨設(shè)“減半”矩形的長和寬分別為x、y,根據(jù)如果存在另一個矩形，

它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，可列出方程組求解.

【解答】解：(1)由題意可知：矩形/BCD的周長=(12+2)x2=28,面積=12x2=24,

矩形EFG8的周長=(4+3)xl4,面積=3x4=12,

所以矩形所G"是矩形的“減半”矩形；

(2)不存在.理由如下：

假設(shè)存在，不妨設(shè)“減半”矩形的長和寬分別為x、y,

,3

則《x+，y=—2，

xy=\

由①得：y=--x

2

把③代入②得：x2--x+l=0,

2

,2A9.7

b-4ac=--4=——<0,

44

所以不存在.

【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵知道相似圖形的面積比，周長比的關(guān)系.

19.(2020秋?江北區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/(-3,0),5(3,0),若在坐標(biāo)軸

上存在點(diǎn)C,使得NC+BC=k,則稱點(diǎn)C為點(diǎn)A,8的“人的和諧點(diǎn)”.例如C坐標(biāo)為(0,0)

時，AC+BC=6,則稱C(0,0)為點(diǎn)/,3的“6的和諧點(diǎn)”.

(1)若點(diǎn)C為點(diǎn)/,3的“人的和諧點(diǎn)”，且A43C為等腰直角三角形，求后的值；

(2)A,3的“10的和諧點(diǎn)”有幾個，請分別求出坐標(biāo)；

(3)直接指出/,8的“人的和諧點(diǎn)”的個數(shù)情況和相應(yīng)的左取值條件.

【考點(diǎn)】三角形綜合題

【分析】(1)先由/、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出N5=6,再根據(jù)等腰直角三角形的定義得到

AO=BO=OC=3,然后根據(jù)“左的和諧點(diǎn)”的定義即可求解；

(2)設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)/,8的“10的和諧點(diǎn)”，分類討論：①如果點(diǎn)C在x軸上，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)

為(x,0),#|x+3|+|x-3|=10,結(jié)合x取值范圍解方程即可；②如果點(diǎn)C在y軸上，設(shè)C點(diǎn)

坐標(biāo)為(0/).根據(jù)勾股定理求得。C,即可求解；

(3)由=6,可知點(diǎn)A,8的“左的和諧點(diǎn)”的個數(shù)情況分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)左<6

時，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知N,8的“人的和諧點(diǎn)”沒有；②當(dāng)加=6時，x軸上-3與

3之間的任意一個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)都是/,B的“左的和諧點(diǎn)”，所以有無數(shù)個；③當(dāng)〃?>6時,

A,8的“左的和諧點(diǎn)”x軸上有2個，y軸上也有2個，一共有4個.

【解答】解：(1)?.?點(diǎn)/(一2,0),5(2,0),

/B=3-(-3)=6,

vA48C為等腰直角三角形，

AC=BC=3叵,

AC+BC=642,

即左=6&；

(2)設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)/,3的“10的和諧點(diǎn)”，分類討論：

①如果點(diǎn)C在x軸上，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0).

AC+BC=10,

.".|x+3|+|x-3|=10,

當(dāng)23時，-(x+3)-(x-3)=10,

解得x=-5,

所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,0)；

當(dāng)一3＜9時，(x+3)-(x-3)=10,x無解；

當(dāng)x＞3時，(x+3)+(x-3)=10,

解得x=5,

所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)；

②如果點(diǎn)C在y軸上，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,y).

AC+BC=10.

AC=BC=5，

.?.尸±4，

所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),(0,-4)；

綜上所述，A,3的“10的和諧點(diǎn)”有4個，坐標(biāo)為(-5,0),(5,0),(0,4),(0,-4)；

⑶AB=6,

.?.點(diǎn)/,8的“左的和諧點(diǎn)”的個數(shù)情況分三種情況：

①當(dāng)左＜6時，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A,8的“人的和諧點(diǎn)”沒有；

②當(dāng)左=6時，x軸上-3與3之間的任意一個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)都是4,3的“左的和諧點(diǎn)”，

A,8的“后的和諧點(diǎn)”有無數(shù)個；

③當(dāng)后＞6時，A,B的“后的和諧點(diǎn)”x軸上有2個，＞軸上也有2個，A,5的”后的

和諧點(diǎn)”有4個.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，兩點(diǎn)間的距離公式，同時考查學(xué)生的閱讀理解能力和知識的

遷移能力.正確理解N,8的”人的和諧點(diǎn)”的定義是解題的前提，運(yùn)用方程思想、分類討

論是解題的關(guān)鍵.

20.(2020秋?九龍坡區(qū)期末)若在一個兩位正整數(shù)/的個位數(shù)與十位數(shù)字之間添上數(shù)字6,

組成一個新的三位數(shù)，我們稱這個三位數(shù)為/的“至善數(shù)”，如13的“至善數(shù)”為163；

若將一個兩位正整數(shù)3加6后得到一個新數(shù)，我們稱這個新數(shù)為8的“明德數(shù)”，如13的

“明德數(shù)”為19.

(1)38的“至善數(shù)”是368,“明德數(shù)”是—；

(2)若個兩位正整數(shù)M的“明德數(shù)”的各位數(shù)字之和是M的“至善數(shù)”各位數(shù)字之和

的一半，求出滿足條件的所有兩位正整數(shù)”的值.

【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用

【分析】(1)根據(jù)“至善數(shù)”和“明德數(shù)”的定義計算即可得答案；

(2)設(shè)M的十位數(shù)字為0,個位數(shù)字為6,分別寫出河的“至善數(shù)”和“明德數(shù)”的各個

數(shù)位上的數(shù)字之和，“明德數(shù)”的個位可能存在進(jìn)位，故分兩類計算即可.

【解答】解：(1)38的“至善數(shù)”是368；“明德數(shù)”是38+6=44.

故答案為：368；44；

(2)設(shè)M的十位數(shù)字為a,個位數(shù)字為6,則M的至善數(shù)的各位數(shù)字之和是a+6+6.

M的明德數(shù)各位數(shù)字之和是a+6+6(當(dāng)曰<4時)或。+1+(6+6-10)(當(dāng)4小避時).

由題意得：0~^<4時，a+6+6=；(a+6+6).

:.a+b=-6,不符合題意；

或者：當(dāng)4^^時，a+l+(6+6-10)=；(a+6+6).

a+b=12.

a=3,6=9或a=4,6=8或。=5,6=7或。=6,6=6或a=7,6=5或。=8,6=4.

，滿足條件的所有兩位正整數(shù)M的值是：39或48或57或66或75或84.

【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，此題屬于新定義在數(shù)字問題中的應(yīng)用，讀懂定義

并正確列式是解題的關(guān)鍵.

21.(2020秋?鳳凰縣期末)閱讀下列材料，然后回答問題：

對于實(shí)數(shù)x、y我們定義一種新運(yùn)算Z(x,y)=ax+力，(其中a、6均為非零常數(shù))，等式

右邊是通常的四則運(yùn)算，由這種運(yùn)算得到的數(shù)我們稱之為線性數(shù)，記為其中x、y

叫做線性數(shù)的一個數(shù)對，若實(shí)數(shù)X、V都取正整數(shù)，我們稱這樣的線性數(shù)為正格線性數(shù)，這

時的X、y叫做正格線性數(shù)的正格數(shù)對.

(1)若Z(x,y)=x+3y,則〃2.D=5,Z(|,1)=；

(2)已知Z(x,y)=3x+6y,Z(1,1)=2,若正格線性數(shù)￡(x,fcc)=18(其中后為整數(shù))，

問是否有滿足這樣條件的正格數(shù)對？若有，請找出，若沒有，請說明理由.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；一元一次方程的解

【分析】(1)原式利用題中的新定義計算即可求出值；

(2)根據(jù)題中的新定義化簡已知等式，由x,y都為正整數(shù)，左為整數(shù)，確定出所求即可.

【解答】解：⑴根據(jù)題中的新定義得：〃2,l)=2+lx3=2+3=5,|)=|+3X|=3；

故答案為：5；3；

(2)根據(jù)題中的新定義化簡￡(L1)=2,得：3x-+-b=2,

3232

解得：b=2,

化簡工(x,fcr)=18,得：3x+2kx=18,

依題意，x,y都為正整數(shù)，左是整數(shù)，

二.3+2先是奇數(shù)，

3+2左=1,3,9,

解得：k=-l,0,3,

當(dāng)人=-1時，x=18,fcr=—18,舍去；

當(dāng)左=0時，x=6,kx=0舍去；

當(dāng)左=3時，x=2,kx=6,

綜上，后=3時，存在正格數(shù)對x=2,y=6滿足條件.

【點(diǎn)評】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

22.(2020秋?新賓縣期末)用“*”定義一種新運(yùn)算：對于任意有理數(shù)。和6,規(guī)定

a*b=ab2+2ab-b.如：1*3=1x32+2xlx3-3=12.

(1)求(-2)*4的值；

(2)若(x-l)*3=12,求x的值.

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算；解一元一次方程

【分析】(1)按規(guī)定的運(yùn)算程序運(yùn)算求值即可；

（2）根據(jù)新運(yùn)算，先把方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，再求x的值.

【解答】解：（1）（-2）*4

=-2x4?+2x（-2）x4-4

=-32-16-4

=-52；

(2)由題可知，(x-l)*3=12,

貝?。?I*+2(x-1)x3-3=12,

整理得：15x=30,

解得：x=2.

【點(diǎn)評】本題考查了新定義運(yùn)算及解一元一次方程，掌握新定義運(yùn)算的運(yùn)算過程是解決本題

的關(guān)鍵.

2,

----,a>b

ab

23.（2020秋?中山區(qū)期末）當(dāng)a片6時，定義一種新運(yùn)算：F（a,b）=,-，例如:

2b7

----,a<b

、b-a

尸（3,D=六=1，％-1，旬=片=|

（1）直接寫出尸2；

(2)若F(m,2)-F(2,m)=l,求出用的值.

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算；解分式方程

【分析】（1）根據(jù)題中的新運(yùn)算計算即可;

（2）已知等式利用題中的新運(yùn)算化簡，計算即可求出〃7的值.

【解答】解：（1）根據(jù)題中的新運(yùn)算得：F（a+l,a）=---=2；

a+1-a

故答案為：2；

（2）當(dāng)冽>2時，F(xiàn)（m,2）-F（2,冽）=1化簡得：—------=1,

m-2m-2

4

解得：m=—<2f不合題意，舍去；

3

4?

當(dāng)冽<2時，尸（加，2）-F（2,加）=1化簡得：------=1,

2-m2-m

角畢得：m=0<2f

綜上，m=0.

【點(diǎn)評】此題考查了解分式方程，有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵.

24.（2020春?萬州區(qū)期末）閱讀下列材料解答問題:

新定義：對非負(fù)數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為<x>,即：當(dāng)力為非負(fù)整數(shù)時，如果

1、