2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【轉(zhuǎn)化思想】圓中的轉(zhuǎn)化思想（原卷版）VIP

圓中的轉(zhuǎn)化思想

知識(shí)方法精講

1.轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思

維方式。所謂的轉(zhuǎn)化思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過

變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題；

將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題;將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問

題?？傊D(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在，轉(zhuǎn)化的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成

簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說到底，轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)就是以運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的觀點(diǎn)，以

及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點(diǎn)看待問題，善于對(duì)所要解決的問題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，使

問題得以解決。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：待定系數(shù)法，配方法，整體代入法以及化動(dòng)為靜，

由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想。

2.垂徑定理的應(yīng)用

垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：

（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問

題.

這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方

法一定要掌握.

3.圓周角定理

（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不

可.

（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的

圓心角的一半.

推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

（3）在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能

技巧一定要掌握.

（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形.利用等腰三角形

的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”——圓心角

轉(zhuǎn)化.③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條

件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角.

4.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(1)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)。。的半徑為r,點(diǎn)尸到圓心的距離。尸=4,則有：

①點(diǎn)P在圓外

②點(diǎn)尸在圓上Qd=r

①點(diǎn)尸在圓內(nèi)QdO

(2)點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的

關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

(3)符號(hào)“Q”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)的左端可以得到右端，從右端也可

以得到左端.

5.切線的性質(zhì)

(1)切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

(2)切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：

如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè),那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是:

①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直.

(3)切線性質(zhì)的運(yùn)用

由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.簡記作:

見切點(diǎn)，連半徑，見垂直.

6.扇形面積的計(jì)算

(1)圓面積公式：S=Tir2

(2)扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.

(3)扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是1,圓的半徑為R的扇形面積為S,則

S扇形=———TTR'或S扇形(其中/為扇形的弧長)

3602

(4)求陰影面積常用的方法:

①直接用公式法；

②和差法；

③割補(bǔ)法.

（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.

7.圓錐的計(jì)算

（1）連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.連接頂點(diǎn)與底面圓心的

線段叫圓錐的高.

（2）圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于

圓錐的母線長.

（3）圓錐的側(cè)面積：S9i=^-'2wl=Tirl.

2

（4）圓錐的全面積:S金=$底+5惻=++豆”

（5）圓錐的體積=>^X底面積X高

3

注意：①圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等.

②圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等.

選擇題（共6小題）

1.（2021?棗莊）如圖，正方形的邊長為2,。為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E,尸分別為

的中點(diǎn).以C為圓心，2為半徑作圓弧3。，再分別以￡,尸為圓心，1為半徑作圓弧8。,

OD,則圖中陰影部分的面積為（）

A.71—1B.7i—3C.71—2D.4—71

2.（2021秋?覃塘區(qū)期中）如圖，一張含有80。的三角形紙片，剪去這個(gè)80。角后，得到一

個(gè)四邊形，則/1+/2的度數(shù)是（）

A.200°B.240°C.260°D.300°

3.如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,分別以4,C為圓心，以

與的長為半徑作圓，將RtAABC截去兩個(gè)扇形，則剩余（陰影）部分的面積為（）c療.

...25「25.5.25

A.24-----7iB.—TcC.24—TID.24------冗

4446

4.（2020?錫山區(qū)校級(jí)模擬）某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組制作了如圖的三角函數(shù)計(jì)算圖尺：在半

徑為1的半圓形量角器中，畫一個(gè)直徑為1的圓，把刻度尺。的0刻度固定在半圓的圓心

。處，刻度尺可以繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn).圖中所示的圖尺可讀出sin乙4。2的值是（）

5.（2020?河北模擬）已知拋物線>=-2（工-1）（工-9）與x軸交于/,B兩點(diǎn),對(duì)稱軸與拋

物線交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D,OC的半徑為2,G為OC上一動(dòng)點(diǎn)，尸為NG的中點(diǎn)，

D.5

6.如圖，在AA8C中，CA=CB,AACB=90°,=2,點(diǎn)。為48的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓

心作圓心角為90。的扇形DM,點(diǎn)C恰在弧所上，則圖中陰影部分的面積為（）

B

二.填空題（共9小題）

7.（2020秋?西城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，尸（4,3）,。。經(jīng)過點(diǎn)P.點(diǎn)N,

點(diǎn)8在〉軸上，PA=PB,延長尸工,尸3分別交。。于點(diǎn)C,點(diǎn)。，設(shè)直線CD與x軸正方

向所夾的銳角為a.

（1）QO的半徑為;

8.如圖，直角ZU8C中，乙4=90。，ZB=30°,AC=4,以/為圓心，/C長為半徑畫四

分之一圓，則圖中陰影部分的面積是—（結(jié)果保留萬）.

9.如圖，水平放置的圓柱形油桶的截面半徑是R,油面高為3尺，截面上有油的弓形（陰

2

影部分）的面積為一.

10.如圖，圓錐的母線長是3,底面半徑是1,/是底面圓周上1點(diǎn)，從/點(diǎn)出發(fā)繞側(cè)面一

周，再回到N點(diǎn)的最短的路線長是—.

11.如圖，已知直角扇形的半徑=，以02為直徑在扇形內(nèi)作半圓M,過點(diǎn)M

引MP//4O交叁于點(diǎn)P,則就與半圓弧及〃尸所圍成的陰影部分的面積S陰影=.

12.如圖，已知口/BCD中，NN=45。，AD=4cm,以為直徑的半圓。與BC相切于點(diǎn)

B,則圖中陰影部分的面積是

13.已知。。的半徑。4為1.弦N8的長為0,若在。。上找一點(diǎn)C,使/C=G，則

NBAC=

14.如圖，陰影部分的面積為

15.如圖，正方形48C。的邊48=1,礪和就都是以1為半徑的圓弧，則無陰影部分的

兩部分的面積之差是

三.解答題(共6小題)

16.(2021秋?朝陽區(qū)校級(jí)期中)如圖，在A43D中，AB=AD,以為直徑的圓交ND于

點(diǎn)、M,交BD于點(diǎn)O,延長/O至點(diǎn)C,使OC=/O,連結(jié)CD,BC.

(1)求證：四邊形/BCD是菱形；

(2)若/A/=3,BO=V5,求cosNZMB.

17.(2021?濱城區(qū)一模)如圖，在RtAABC中，ZB=90°,ED=DF,點(diǎn)、E在4C上,以NE

為直徑的O。經(jīng)過點(diǎn)。.

(1)求證：①8c是。。的切線;

②CD。=CE-CA；

(2)若點(diǎn)尸是劣弧的中點(diǎn)，且?！?3,試求陰影部分的面積.

18.(2021?羅平縣模擬)如圖，48是。。的直徑，/C是弦，點(diǎn)E在圓外，于點(diǎn)

D,BE交OO于點(diǎn)F,連接BD、BC、CF,ZBFC=ZAED.

(1)求證：NE是。。的切線；

(2)求證：OB2=OD-OE；

(3)設(shè)A54D的面積為E，A3DE的面積為其，若tanNOD8=—,求」的值.

123S,

19.(2021?商河縣校級(jí)模擬)(1)初步思考:

如圖1,在APCB中，已知尸2=2,BC=4,N為3C上一點(diǎn)且3N=1,試證明：PN=-PC

2

(2)問題提出:

如圖2,已知正方形48CD的邊長為4,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

PD+工尸C的最小值.

2

(3)推廣運(yùn)用:

如圖3,已知菱形/BCD的邊長為4,48=60。，圓8的半徑為2,點(diǎn)尸是圓3上的一個(gè)動(dòng)

PD--PC的最大

圖3

20.問題提出

(1)如圖1,正方形/BCD的對(duì)角線交于點(diǎn)。，ACDE是邊長為6的等邊三角形，則。、E

之間的距離為—；

問題探究

(2)如圖2,在邊長為6