2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：全等模型高效拆分特訓(xùn)VIP

01幾何壓柚題高效拆分等訓(xùn)

專題~全等模型高效拆分特訓(xùn)

%;勿/%特訓(xùn)1旋轉(zhuǎn)全等（一）一線三等角模型,勿勿勿

1.如圖，AC=AB=BD,ZABD=9Q°,BC=6,則△BCD的面積為

2.如圖，把兩個(gè)腰長(zhǎng)相等的等腰三角形拼接在一起，腰AD=AR=AC,ND4c=90。，作CE±AF

于E,連接DE.若CE=12,DE=DF,求AC的長(zhǎng).

%%加，特訓(xùn)2旋轉(zhuǎn)全等（二）手拉手模型%加物，

II模型解讀

條件：如圖，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE.

B、DA

J7^

。A

結(jié)論：AACD/LABE.

頂角相等且頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形一全等三角形.

II典題訓(xùn)練

【熟悉模型】

如圖①，已知△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且N54C=NZME,求

證：BD=CE；

【運(yùn)用模型】

如圖②，尸為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，^.PA：PB：PC=3：4：5,求NAP3的度數(shù).小明在

解決此問(wèn)題時(shí)，根據(jù)前面的“手拉手模型”，以3尸為邊構(gòu)造等邊三角形這樣就有兩個(gè)

等邊三角形共頂點(diǎn)3然后連接CM,通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想求出了NAPB的度數(shù)，則NAPB的度數(shù)

為;

【深化模型】

如圖③，在四邊形ABCD中，AD=4,CD=3,ZABC=ZACB=ZADC=45°,求3。的長(zhǎng).

①②③

切；切勿，特訓(xùn)3旋轉(zhuǎn)全等（三）半角模型,勿勿勿

II模型解讀

A

BDEC

等腰直角三角形中的“半角模型”（如圖）：

條件：在△ABC中，AB=AC,ZBAC=9Q°,ZDAE=45°.

方法：將△A3。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△ACR,連接EE

結(jié)論：XADEQXAFE,DE2=BD2+CE2.

正方形中的“半角模型”（如圖）：

AD

GBEC

條件：在正方形ABCD中，ZEAF=45°.

方法：將△ADR繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△ABG.

結(jié)論：AAEF^AAEG,EF=BE+DF,EF-=CE2+CF2,

物平分NDRE,EA平分/BEF.

I!典題訓(xùn)練

如圖，在正方形ABCD中，E,R分別是邊BC,CD上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且NEAR=45。.

⑴求證：EF=BE+DF；

（2）連接3D,分別交AE,AR于點(diǎn)“，N,試探究MN,DN之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由.

BEC

奶辦特訓(xùn)4中點(diǎn)模型（一）倍長(zhǎng)中線（或作平行線）%加明，

II模型解讀

條件：如圖，A。為△A3C的中線.

方法1:如圖①，延長(zhǎng)中線A。至D,使得。0=A。，連接3D

方法2:如圖②，過(guò)點(diǎn)3作3D〃AC交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D

結(jié)論：AAOC^ADOB.

II典題訓(xùn)練

1.如圖，AD是△ABC的中線，3E交AC于E,交AD于R,且AC=3E求證：AE=FE.

2.如圖，在△ABC中，ZA=90°,。為3c的中點(diǎn)，DE±DF,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC

于點(diǎn)E連接EE試猜想線段BE,CF,ER三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

A

E

BC

D

%%%，特訓(xùn)5中點(diǎn)模型（二）構(gòu)造中位線/揚(yáng)％%/

II模型解讀

題眼：中線、中點(diǎn)

方法1：再構(gòu)造另一個(gè)中點(diǎn)，變中線為中位線.

示例：如圖①，A。為△A3C的中線，延長(zhǎng)A4至。，使得AD=A3,

連接CD,可證。4=gc。，OA//CD.

方法2:構(gòu)造雙中位線

示例：如圖②，在四邊形ABCD中，E,R分別是AD,3c的中點(diǎn),

取對(duì)角線的中點(diǎn)連接ME,MF.

II典題訓(xùn)練

1.如圖，在正方形ABCD中，AB=2y[2,E,R分別是邊A3,3C的中點(diǎn)，連接EC,FD,G,

H分別是EC,ED的中點(diǎn)，連接GH,則GH的長(zhǎng)度為^________

2.如圖，四邊形A3CD中，AB=CD,E,R分別是邊BC,AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)R4,CD,分別

交ER的延長(zhǎng)線于P,。.求證：/BPE=/Q.

A

BEC

%%加，特訓(xùn)6中點(diǎn)模型(三)平行線證中點(diǎn),勿勿/力

II模型解讀

方法：作平行或作垂直，證中點(diǎn).

在未知中點(diǎn)的問(wèn)題中，不能采取倍長(zhǎng)中線法，可作平行或垂直，通過(guò)三角形的

全等證中點(diǎn).

鶻典題訓(xùn)練

在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。在射線血上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且3D=CE.連接DE,

DE與BC邊所在的直線交于點(diǎn)F.

(1)當(dāng)點(diǎn)。在線段R4上時(shí)，如圖所示，求證：DF=EF；

(2)過(guò)點(diǎn)。作交直線3C于點(diǎn)若3C=4,CF=1,求3H的長(zhǎng).

/加勿勿特訓(xùn)I7中點(diǎn)模型(四)斜邊中線4%%/

II模型解讀

ZOBD=^ZAOD,ZODA=ZOAD=^ZBOD,ZOCB=ZOBC=^ZAOC,

ZOAC=ZOCA=^ZBOC.

Il典題訓(xùn)練

1.如圖，BN,CM分別是△ABC的兩條高，。是3c的中點(diǎn)，DELMN于■點(diǎn)、E.

(1)求證：E是MN的中點(diǎn)；

(2)若5c=12,MN=8,則DE=

2.如圖，在四邊形A3CD中，ZBAD=ZBCD=90°,。為3。的中點(diǎn)，連接。4,AC.^ZADC

=135°,求證：AC=\[20A.

/勿特訓(xùn)8角平分線模型%勿%%

II模型解讀

條件：0P平分NAOB

方法一：（垂兩邊）如圖①，過(guò)點(diǎn)P分別作PDLO4于。，

PE±0B于E-,

方法二：（垂中間）如圖②，過(guò)點(diǎn)尸作DEL0P,交。4于。，0B于E;

方法三：（截等線段）如圖③，截取0D=0E（點(diǎn)。，E分別在。4,上），連接

PD,PE.

II典題訓(xùn)練

1.如圖，△ABC的面積為10,尸為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BP平分/ABC,AP1BP,則△P3C的面

積為.

A

2.如圖，在四邊形ABCD中，ZBAD=120°,ZC=60°,5。平分NA3C求證：AD=CD.

D

\

BC

3.如圖，在△ABC中，ZA=2ZB,CD平分NAC3交A3于點(diǎn)D求證：BC=AD+AC.

/勿加勿/特訓(xùn)9十字架模型/勿穿%，

II模型解讀

A-4夕也

圖示盛：曰

BCBHCBHM

正方形ABCD中，若

EF=HK,則過(guò)點(diǎn)

正方形ABCD中，若將AM,BN如上圖所示E,K分別作

AM±BN,則進(jìn)行平移，易得HKEN1CD于N,

結(jié)論

△ADM之ABAN,=BN=AM=EF,KMLBC于易

?吟

:.AM—BN,即L??￡7廠1,證

AENF^AKMH,

從而得到EF±HK.

II典題訓(xùn)練

⑴感知：如圖①，在正方形A3CD中，E,R分別是A3,3C上的點(diǎn)，連接DE,AF,若BE

=CF,求證：DE=AF.

(2)應(yīng)用：在(1)的條件下，求證：AFLDE.

(3)探究：如圖②，在正方形A3CD中，E,R分別為邊A3,CD上的點(diǎn)(點(diǎn)E,R不與正方形的

頂點(diǎn)重合)，連接EE作ER的垂線分別交邊AD,于點(diǎn)G,H,垂足為。，若E為AB

的中點(diǎn)，DF=1,AB=4,則GH的長(zhǎng)為.

/勿加如/特訓(xùn)10對(duì)角互補(bǔ)模型,加%勿

鬻模型解讀

類型90。的對(duì)角互補(bǔ)模型60。、120。的對(duì)角互補(bǔ)模型

DFDDD

圖示

BCBECBCBEC

ZABC=ZADC=90°,BD平分ZABC=12Q°,ZADC=60°,BD平

條件

ZABC.分/ABC.

過(guò)點(diǎn)D分別作DELBC于點(diǎn)E,

作法

DF±BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

l.AD=CD;l.AD=CD;

結(jié)論2.AB+BC=^2BD;2.AB+BC=BD-,

3.S吟1MABCD=^BD2.

3.S四邊形ABC￡>=1BD.

II典題訓(xùn)練

1.如圖，正方形A3CD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，E為A3上一動(dòng)點(diǎn).連接OE,作OfUOE交

3C于點(diǎn)E已知A3=2,則四邊形E3R9的面積為_(kāi)_______.

------FC

2.如圖，在四邊形A3CD中，ZBAD+ZBCD=1SO°,平分NADC.若NADB=60。，求證:

△ABC是等邊三角形.

特訓(xùn)11設(shè)參導(dǎo)等角/勿勿分/

II方法技巧

含有等腰三角形的圖形中，要證明兩個(gè)角相等，可以考慮設(shè)a,尸導(dǎo)角

證等角.

II典題訓(xùn)練

1.如圖，在△ABC中，A3=AC,點(diǎn)。在3c的延長(zhǎng)線上，ZADB=45°,過(guò)點(diǎn)。作CELA3

于點(diǎn)E,延長(zhǎng)EC,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R求證：AC=FC.

2.如圖，在△ABC中，D,E分別在A3,3C邊上，連接AE,CD相交于點(diǎn)F,^ZAFD=2ZABC,

AE=AC,求證：CD=AC.

BEC

01幾何壓軸題高效拆分特訓(xùn)

專題~全等模型高效拆分特訓(xùn)

%;勿/%特訓(xùn)1旋轉(zhuǎn)全等（一）一線三等角模型,勿勿勿

2.解：如圖，過(guò)。作于H.

7

ND4c=90。，

/.ZDAH+ZCAE=9Q°.

"：CELAF于E,

：.ZACE+ZCAE=9Q°,

：.ZDAH=ZACE.

VZAHD=ZAEC=9Q°,AD=AC,

：.AADH^ACAE,：.AH=CE=12.

設(shè)AC=x,貝l]AP=AD=x,AFH=AF-AH=x~12.

,:DE=DF,DH±FE,：.EH=FH=x~12,

.".AE=AH-EH=12一(x-12)=24一x.

VAC2=AE2+CE2,.*.X2=(24-X)2+122,

，x=15.1.AC的長(zhǎng)為15.

特訓(xùn)2旋轉(zhuǎn)全等（二）手拉手模型

【熟悉模型】證明：VZBAC=ZDAE,：.ZBAD=ZCAE.

在△A3。和△ACE中，

'：AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

：.AABD咨AACE,BD=CE.

【運(yùn)用模型】150°

【深化模型】解：VZACB=ZABC=45°,

E

八

y：\

CB

：.ZBAC=90°,且AC=AA

將△ADB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得至QAEC,連接DE,如圖.

：.AD=AE,ZDAE=9Q°,BD=CE.

：.ZEDA=45°,DE=yl2AD=4y12.

'：ZADC=45°,：.ZEDC=45°+45o=90°.

在RtADCE中，CE=7CD?+DE2K9+32=小1,

：.BD=CE=y[41.

特訓(xùn)3旋轉(zhuǎn)全等(三)半角模型

(1)證明：如圖，將△ADR繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABG的位置，

：.BG=DF,AG=AF,ZGAB=ZFAD,

：.ZGAF=ZBAD=90°,

：.ZEAG=ZGAF-ZEAF=90°-45°=45°=ZEAF.

X".'AE=AE,.".AEAG^AEAF,

：.GE=EF.

又GE=BE+BG=BE+DF,

：.EF=BE+DF.

(2)解：MN2=BM2+DN2.

理由：如圖，將△ABM繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ADH的位置，連接HN,

：.AH=AM,DH=BM,ZADH=ZABM,ZHAD=ZMAB,

：.ZHAM=ZBAD=90°,

：.ZHAN=ZHAM-ZEAF=90°-45°=45°=ZMAN.

又,：AN=AN,

:.AHANmAMAN,：.HN=MN.

'：四邊形ABCD是正方形，ZABM=ZADN=45°,

：.ZADH=ZABM=45°,

：.ZHDN=ZADH+ZADN=90°,

.,.HAF2=DH2+D^2,:.MN-=BM2-\-DN2.

特訓(xùn)4中點(diǎn)模型（一）倍長(zhǎng)中線（或作平行線）

1.證明：延長(zhǎng)AD到使AD=DM,連接如圖.

,.?AD是△ABC的中線，：.CD=BD,

在△ADC和△兒億＞3中，

DC=DB,

ZADC=ZMDB,

DA=DM,

：.AADC^AMDB,:.BM=AC,ZCAD=ZM.

,:AC=BF,：.BM=BF,：.ZM=ZBFM.

'：ZAFE=ZBFM,：.ZCAD=ZAFE,

：.AE=FE.

2.解：猜想：BE2+CF2=EF2.

證明：延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G,使DG=ED,連接GRGC,如圖.

'：ED±DF,DG=ED,：.EF=GF.

?。是3C的中點(diǎn)，：.BD=CD.

在△BDE和△CDG中，

ED=GD,

ZBDE=ZCDG,

BD=CD,

:ABDE咨ACDG,：.BE=CG,ZB=ZGCD.

VZA=90°,:.NB+/ACB=90。,

：.ZGCD+ZACB=9Q°,即NGCR=90°,

在RtACFG中，GC2+CF2=GF2,

:.BE1+CF2=EF2.

特訓(xùn)5中點(diǎn)模型（二）構(gòu)造中位線

1.1

2.證明：連接AC,取AC的中點(diǎn)昭連接則ME,“分別為AABC和△ACD的中

位線，

：.ME=^AB,MF=^CD,ME//AB,MF//CD.

'：AB=CD,：.ME=MF,：.ZMEF=ZMFE.

'JME//AB,MF//CD,

：.ZBPE=ZMEF,ZQ=ZMFE,

：.ZBPE=ZQ.

特訓(xùn)6中點(diǎn)模型（三）平行線證中點(diǎn)

（1）證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)。作DG〃AC,交3C于點(diǎn)G.

ZDGB=ZACB.

'：AB=AC,：.ZB=ZACB,

：.ZDGB=ZB,：.BD=GD.

?：BD=CE,：.GD=CE.

,JDG//AC,

：.ZGDF=ZCEF,ZDGF=ZECF,

：.ADGF2AECF,：.DF=EF.

(2)解：當(dāng)點(diǎn)。在線段B4上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作交3c的延長(zhǎng)線于。，如圖②所示,

'：AB=AC,：.ZB=ZACB=ZOCE.

又：ZDHB=ZE0C=9Q°,

BD=CE,:.△DHB經(jīng)AEOC,

：.BH=CO,

：.H0=HC+C0=HC+HB=BC=4.

'：ZDHF=ZEOF=90°,ZDFH=ZEFO,

由⑴得DE—

叢DHF經(jīng)AEOF,：.HF=OF=^HO=2.

VCF=1,：.BH=CO=OF~CF=2~1=1；

當(dāng)點(diǎn)。在冊(cè)的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作E。，3c交3c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，如圖③,

同理可證m△EOC,△DHF2AE0F,

：.BH=OC,HF=OF.

：.H0=HC+C0=HC+HB=BC=4r,：.HF=0F=^H0=2.

"：CF=1,：.BH=CO=OF+CF=2+1=3.

綜上所述，3H的長(zhǎng)為1或3.

特訓(xùn)7中點(diǎn)模型(四)斜邊中線

L(1)證明：如圖，連接DM,DN.

,：BN,CM分別是ZkABC的兩條高,

ZBMC=ZCNB=90°.

?。是3C的中點(diǎn),

：.DM=^BC,DN=^BC.

：.DM=DN.

\'DE±MN,，E是MN的中點(diǎn).

(2)2小

2.證明：連接。C,如圖.VZBAD=ZBCD=90°,。為3。的中點(diǎn),

ZABC+ZADC=180°,OA=^BD=OB,OC=^BD=OB,

：.OA=OC.

"：ZADC=135°,：.ZABC=45°.

,?OB=OC,：.ZOBC=ZOCB,

：.ZCOD=2ZCBO,同理可得NAOD=2NA3O.

/.ZAOC=ZAOD+ZCOD=2ZABO+2ZCBO=2(ZABO+ZCBO)=2ZABC=9Q°,

.??△AOC為等腰直角三角形，

：.AC=yj0A2+0C2=y[20A.

特訓(xùn)8角平分線模型

1.5

2.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)。分別作DE,于E,DFLBA,交B4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R

?點(diǎn)。在NA3C的平分線上，

：.DE=DF.

VZBAD=12Q°,：.ZDAF=60°,

/.ZDAF=ZC.

'：DELBC,DFLAF,

：.ZF=ZDEC=90°,

：.AADF咨△CDE,：.AD=CD.

3.證明：在3c邊上截取EC=AC,連接DE,則BC=BE+EC.

'：CD是NACB的平分線，??.ZDCE=ZDCA.

(EC=AC,

在△CDE和△OM中，5ZDCE=ZDCA,

[CD=CD,

：.ACDE^ACDA,：.ZCED=ZA,ED=AD.

VZCED=ZB+ZBDE,ZA=2ZB,

：.ZB=ZBDE,：.BE=ED,：.BE=AD,

：.BE+EC=AD+AC,即BC=AD+AC.

特訓(xùn)9十字架模型

(1)證明：?.?四邊形A3CD是正方形，

：.AD=AB=BC,