2025年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題講義：高等數(shù)學(xué)定理背景命題（六大題型）（學(xué)生版）

專題04高等數(shù)學(xué)定理背景命題

【題型歸納目錄】

題型一：泰勒公式

題型二：極大值點的第二充分條件定理

題型三：帕德逼近

題型四：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理

題型五：伯努利、琴生不等式

題型六：微積分、洛必達

【方法技巧與總結(jié)】

1、泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)/(X)在x=o處的階導(dǎo)數(shù)都存在時，

〃x)=/(O)+/(O)x+q^fV+../*84.注：/"(x)表示“X)的2階導(dǎo)數(shù)，即為

/(x)的導(dǎo)數(shù)，23)表示“X)的"階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.

2、【極值點第二充分條件】已知函數(shù)/(x)在x=/處二階可導(dǎo)，且/'(%)=0,/"(%)/0

⑴若f"(%)＞0，則/(x)在/處取得極小值；

(2)若f"(%)＜0，則/(%)在X。處取得極大值.

3、帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利.帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正整數(shù)機，

R(x)=%+—x+…

n,函數(shù)在尤=0處的阿，階帕德近似定義為：1+外+…+3”,且滿足：/(0)=7?(0)；

"0)=R(0),r(0)=及"(0)…，/""(0)=臚+")(0).(注：/(無)="'(刈'，_r(x)=[/〃(x)L

/(4)(x)=[/"(x)]',/⑸(X)=[/4)(x)L/⑺⑴為了…⑴的導(dǎo)數(shù)).

4、拉格朗日中值定理又稱拉氏定理：如果函數(shù)/(X)在上連續(xù),且在(°力)上可導(dǎo)，則必有&e(a，b),

使得了‘圖伍-。)=/伍)-/(“).

5、羅爾定理描述如下：如果R上的函數(shù)〃x)滿足以下條件：①在閉區(qū)間&句上連續(xù)，②在開區(qū)間⑷切

內(nèi)可導(dǎo),③"a)=f(b),則至少存在一個“(生明使得了")=°.

6、微積分

知識卡片1：—般地，如果函數(shù)/(無)在區(qū)間可上連續(xù)，用分點。=/＜再＜…＜知＜匕＜…＜x“=6將區(qū)

間[a,H等分成〃個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上一,X』上任取一點。(i=1,2,…,同，作和式

=￡」/&)(其中心為小區(qū)間長度)，當(dāng)〃-s時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫

i=li=ln

做函數(shù)/(X)在區(qū)間楨回上的定積分，記作f/(x)dx即j7(x)dx=!吧￡勺巴/(4.這里，。與b分別叫做積

分下限與積分上限，區(qū)間可叫做積分區(qū)間，函數(shù)/'(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，/(x)dr叫做被

積式.從幾何上看，如果在區(qū)間[。回上函數(shù)“X)連續(xù)且恒有/'(x"。，那么定積分f〃x)dx表示由直線

x=a,x=6(awb)/=0和曲線y=/(x)所圍成的曲邊梯形的面積.

知識卡片2一般地；如果/'(x)是區(qū)間可上的連續(xù)函數(shù),并且尸(x)=/(x),那么

a

J/(x)<k=F(x)|；=尸3)-尸(a).這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式.

b

知識卡片3：在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具一洛必達法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)“X),g(x)

的導(dǎo)函數(shù)分別為了'(x),g'(x),且蚓/(x)=^g(x)=O,則

f(x)f(X)

r=lim,.

g(x)3g(x)

7、伯努利不等式(Bernoulli，sinequality),又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)的分析不等式中最常見的一種不等

式，由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利提出：對實數(shù)xe(T,+s),在〃e[l,+s)時，有不等式(l+x)Fl+?x成立;

在時，有不等式(1+x)"Vl+〃x成立.

8、設(shè)連續(xù)函數(shù)/(x)的定義域為如果對于“內(nèi)任意兩數(shù)外,三，都有土手]4也?

則稱〃x)為目上的凹函數(shù)；若(號1卜,則稱/⑴為凸函數(shù),若/(x)是區(qū)間[見句上

的凹函數(shù)，則對任意的國,馬，…,x“e[a,b],有琴生不等式/仔+>+…+x,]J(xj+)(X2)+…+/(x,)恒

\nJn

成立(當(dāng)且僅當(dāng)士=%=…=X”時等號成立).

【典型例題】

題型一：泰勒公式

【典例1-1】(2024?湖北?一模)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)/(X)在x=0處的

階導(dǎo)數(shù)都存在時，/(x)=/(O)+/(O)x+q^f上學(xué)￡+.?q*i共.注：/〃⑺表

示“X)的2階導(dǎo)數(shù)，即為r(x)的導(dǎo)數(shù)，/(")(x)(“23)表示“X)的〃階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.

(1)根據(jù)該公式估算sin；的值，精確到小數(shù)點后兩位；

2462

(2)由該公式可得：cosx=l-—r+y當(dāng)xNO時，試比較cosx與1—二的大小，并給出證明;

2!4!6!2

§1____

(3)設(shè)〃EN*,證明：J(以、1>〃4/7+2-

—(n+k)tan------

n+k

fv3一

【典例1-2】(2024?貴州貴陽?一模)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：e*=l+x+二+工+…+土+…其中

2!3!n\

疝=1X2X3X4X…x〃,e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…….以上公式稱為泰勒公式.設(shè)

/'(x)=q二,g(x)=ff，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，解決如下問題.

(1)證明:C>l+x;

(2)設(shè)xe(O,+⑹，證明："^<g(x)；

⑶設(shè)尸(x)=g(x)-+若x=0是尸(x)的極小值點，求實數(shù)。的取值范圍.

【變式1-1](202+高一一四川成都一期末)已知函數(shù)/3=5由卜：-j+5畝卜：+3+<：0$》+4的最小值為-3.

⑴求函數(shù)〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

246

(2)英國數(shù)學(xué)家泰勒(B.Taylor,1685/731)發(fā)現(xiàn)了如下公式：cosx=l-^y+^y--^-+---,其中

〃!=〃x(〃-1)x(〃-2)x…x3x2x1,該公式被編入計算工具，計算工具計算足夠多的項就可以確保顯示值的

準確性.運用上述思想，計算/(g-1的值：(結(jié)果精確到小數(shù)點后4位，參考數(shù)據(jù):02.5x10-5,

8!

1

——x2.8x107)

10!)

題型二：極大值點的第二充分條件定理

【典例2-1](2024?高二?陜西咸陽?階段練習(xí))給出定義：設(shè)/(x)是函數(shù)y=的導(dǎo)函數(shù)，/〃(x)是函數(shù)

尸⑺的導(dǎo)函數(shù)，若方程/"(x)=0有實數(shù)解》=尤。，則稱(％,〃/))為函數(shù)y=/(x)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所

有的三次函數(shù)/(X)=+6尤2+“+d(a片0)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)了=/(無)圖象的對稱中心.

⑴若函數(shù)/(x)=d+3x2-9x-l,求函數(shù)/(x)圖象的對稱中心；

185

(2)已知函數(shù)g(x)=2my3+[61n(mx)-15]x2+一x----+\,其中冽〉0.

(i)求8(力的拐點；

(ii)若g(xJ+g(X2)=2(0<Xi<%2)，求證：0<^!<—<x2.

m

【典例2-2】(2024?高二?廣東東莞?階段練習(xí))記廣(%)=(/(以，/'(%)為/⑺的導(dǎo)函數(shù).若對VXE。,

/〃(x)>0,則稱函數(shù)了=/(x)為。上的“凸函數(shù)”.已知函數(shù)〃x)=e「；x3一依2_],aeR.

(1)若函數(shù)/(x)為R上的凸函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)若函數(shù)了=/(無)在(1,+⑹上有極值，求a的取值范圍.

【變式2-1](2024?上海普陀一模)若函數(shù)y=〃x)(xe。)同時滿足下列兩個條件，則稱了=/(x)在。上具

有性質(zhì)M.

①V=f(x)在。上的導(dǎo)數(shù)尸⑺存在；

②y=/(x)在。上的導(dǎo)數(shù)/"(X)存在，且/"⑺>0(其中/-(xX/M)]')恒成立.

⑴判斷函數(shù)V=1g!在區(qū)間(0,+8)上是否具有性質(zhì)M?并說明理由.

X

⑵設(shè)。、6均為實常數(shù)，若奇函數(shù)g(x)=2x3+af+g在尤=1處取得極值，是否存在實數(shù)c,使得了=g(x)在

區(qū)間[c,+s)上具有性質(zhì)M?若存在，求出。的取值范圍；若不存在，請說明理由.

(3)設(shè)左eZ且左>0,對于任意的xe(0,+8),不等式匕蛆出>上成立，求上的最大值.

XX+1

題型三：帕德逼近

【典例3-1](2024?山東荷澤?一模)帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利.帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方

法.給定兩個正整數(shù)勿，n,函數(shù)在x=0處的階帕德近似定義為：法…,且

滿足：/(0)=7?(0),八0)=R(0),r(0)=火"(0),…，""")(0)=卵…(0).(注：/(外=[八刈'，

f"\x)=[f\x)\，/4)(x)=[r(x)f，/⑸(x)=F)(x)J，…；/⑺⑴為八/)的導(dǎo)數(shù))已知〃x)=ln(x+l)

在x=0處的[1,1]階帕德近似為R(x)=>

v+bx

(1)求實數(shù)。，6的值；

(2)比較〃x)與滅(x)的大小;

⑶若在(0,m)上存在極值，求機的取值范圍.

【典例3-2】(2024?高二?山東濟南?期中)帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)

的方法.給定兩個正整數(shù)加，”,函數(shù)AM在x=0處的阿，川階帕德近似定義為：尺⑴次+丁+…+了：

且滿足：/(0)=7?(0),r(0)=R(0),旦(0)=A"(0)…,/(E)(0)=邳…(0).已知/(x)=ln(x+l)在％=0處

的[1,1]階帕德近似為Wx)=:.注：

/(無)=D(x)=[r(x)]\/(4)(x)=[尸⑹'j⑸(X)=[/(4)(x)]\-

⑴求實數(shù)。，6的值；

(2)求證：(x+b)d￡|>l；

⑶求不等式(1+[，<6<1+工，2的解集，其中e=2.71828….

【變式3-1］(2024?高三?重慶?階段練習(xí))帕德近似(Pade叩proximation)是有理函數(shù)逼近的一種方法.已知函數(shù)

〃(x)=ln(x+l)在x=0處的［15階帕德近似定義為：=且滿足：A(0)=G(0),〃(0)=G(0),

"(O)=G"(O),.…又函數(shù)/■(x)="ln尤-bex+2(a>0),其中e=2.71828….

⑴求實數(shù)6,。，d的值；

⑵若函數(shù)/(x)的圖象與x軸交于(國,0),(%,0)兩點，Xj<x2,且"］<儂生+學(xué)恒成立，求實數(shù)加的取值

范圍.

題型四：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理

【典例4-1】(2024?高一?四川內(nèi)江?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=1-1(^>0).

⑴當(dāng)0<°<6,且/(。)=/(6)時，求工+?的值；

⑵若存在區(qū)間(。為函數(shù)定義域)，使/⑺在區(qū)間［凡可上的值域也為［。,用，則稱/(x)為。上的精

彩函數(shù)，［應(yīng)目為函數(shù)/(x)的精彩區(qū)間.求/(x)是否存在精彩區(qū)間?如不存在，說明理由；

(3)若存在實數(shù)。、6m<6)使得函數(shù)了=/(無)的定義域為［a用時，值域為在迎，機6］(加W0),則稱區(qū)間［。力］為

/(x)的一個“羅爾”區(qū)間.已知函數(shù)/(x)存在“羅爾”區(qū)間，求實數(shù)小的范圍.

【典例4-2】(2024?高三?全國?專題練習(xí))拉格朗日中值定理又稱拉氏定理：如果函數(shù)/(x)在6］上連續(xù)，

且在(凡6)上可導(dǎo),則必有欠(a,6),使得了")上-。)=〃6)-〃。).證明不等式：士<ln(l+x)〈x(x〉0).

【變式4-1］(2024?高三?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))拉格朗日中值定理又稱拉氏定理：如果函數(shù)在［a,6］上

連續(xù),且在(。,為上可導(dǎo)，則必有公(。,6),使得/'(4(6-。)=〃6)-已知函數(shù)

/(x)=于^V。］e［0,2］(a*6),2=,求實數(shù)2的最大值

1-1八

A.1B.—C.-D.0

ee

【變式4-2］（2024?安徽六安?模擬預(yù)測）羅爾中值定理是微分學(xué)中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一,

其他兩個分別為：拉格朗日中值定理、柯西中值定理.羅爾定理描述如下：如果R上的函數(shù)"X）滿足以下

條件：①在閉區(qū)間口,句上連續(xù)，②在開區(qū)間（。涉）內(nèi)可導(dǎo)，③=則至少存在一個Jw（。,6）,使得

/仔）=0.據(jù)此，解決以下問題：

（1）證明方程4ax3+3加+2cx-（a+6+c）=0在（0,1）內(nèi)至少有一個實根，其中a,b,ceR；

⑵已知函數(shù)/（x）=e，-"2_仁_"1）尤一i,qeR在區(qū)間（0,1）內(nèi)有零點，求。的取值范圍.

題型五：伯努利、琴生不等式

【典例5-1】（2024?高三?貴州?階段練習(xí)）伯努利不等式又稱貝努力不等式，由著名數(shù)學(xué)家伯努利發(fā)現(xiàn)并提出.

伯努利不等式在證明數(shù)列極限、函數(shù)的單調(diào)性以及在其他不等式的證明等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.伯努

利不等式的一種常見形式為：

當(dāng)x＞-l,aNl時，（l+x）"?l+ax,當(dāng)且僅當(dāng)a=l或x=0時取等號.

（1）假設(shè)某地區(qū)現(xiàn)有人口100萬，且人口的年平均增長率為1.2%,以此增長率為依據(jù)，試判斷6年后該地區(qū)

人口的估計值是否能超過107萬？

（2）數(shù)學(xué)上常用n%表示生，?，L,。”的乘積，口卬=。/。2…%,weN,.

i=\z=l

（i）證明:+1；

（ii）已知直線＞=/（%）與函數(shù)＞=ln（x+l）的圖象在坐標原點處相切，數(shù)列｛〃〃｝，低｝滿足:1=/（〃）,

_4].-3.......°2〃-1

L證明：+b<y/2n+l.

"——W1+4+Z?2H—n

【典例5-2］（2024?高一?江蘇蘇州?期末）懸索橋（如圖）的外觀大漂亮，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線.1691

CXxA

年萊布尼茲和伯努利推導(dǎo)出某鏈線的方程為了=9守+守，其中C為參數(shù).當(dāng)C=1時，該方程就是雙曲余弦

函數(shù)cosh（X）=《詈，類似的我們有雙曲正弦函數(shù)sinh（X）=￡丁.

⑴從下列三個結(jié)論中選擇一個進行證明，并求函數(shù)〉=311(2可+41±⑺的最小值;

①[cosh(%)丁_[sinh⑴]?=Q

②sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)；

③cosh(2%)=[cosh(x)]2+[sinh(%)了.

(2)求證：Vxe一樂工,cosh(cosx)>sinh(sinx).

【變式5-1](2024?高一?湖南長沙?階段練習(xí))設(shè)連續(xù)函數(shù)/(x)的定義域為,如果對于內(nèi)任意兩數(shù)

和三，都有;■(土產(chǎn)]V小與g,則稱“X)為[a,”上的凹函數(shù)；若1專十小)；仆2),則

稱/(x)為凸函數(shù).若/(x)是區(qū)間[a,句上的凹函數(shù)，則對任意的西,々,…,x,e[a,6],有琴生不等式

/f*+/+…+乙]<…+/(x.)恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)再=%=…=x”時等號成立).

⑴證明：〃x)=4在(0,1)上為凹函數(shù)；

1-X

(2)設(shè)項,％2,…，X”>°，〃之2,且再+々+…+%〃=1,求沙=」—+：—二+…的最小值；

1_X]1_91一天

111n

⑶設(shè)4,々…名為大于或等于1的實數(shù)，證明：后T+/T+…+不我也勺二十1?(提示:可設(shè)〃=爐)

題型六：微積分、洛必達

【典例6-1](2024?湖北,二模)微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)

過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段.對于函數(shù)/(尤)=：(x>0),/(尤)在區(qū)間上

的圖像連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分J,”■d尤便是由直線x=a,x=6/=0和曲線y=L所圍成的區(qū)域(稱為曲

aXX

邊梯形/砥尸)的面積，根據(jù)微積分基本定理可得f況=正也，因為曲邊梯形.尸的面積小于梯形

a-b2

------->-i——r

物0尸的面積，即時邊梯形皿?梯物眥，代入數(shù)據(jù)，進一步可以推導(dǎo)出不等式:\na-\nb11.

—?—

ab

(1)請仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：,〈安

]na-\nb2

(2)已知函數(shù)/卜)="2+6x+xlnx,其中a,beR.

①證明：對任意兩個不相等的正數(shù)為何，曲線y=/(x)在(xj(xJ)和值,/6))處的切線均不重合;

②當(dāng)6=T時，若不等式/(無”2sin(x-l)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【典例6-2](2024?浙江?二模)①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達法則，法則中有結(jié)論:

若函數(shù)〃x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為廣(力,g，(x),且1吧以琦=|i^g(x)=0,則

]./(X)/(X)

fg(x)fg(x)

②設(shè)。>0,左是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)〃X)滿足：對任意xe[0,a],均有/(X)”成立，且!5/卜)=0,

則稱函數(shù)/(無)為區(qū)間[0,4]上的k階無窮遞降函數(shù).

結(jié)合以上兩個信息，回答下列問題：

⑴試判斷/'(x)=x3-3尤是否為區(qū)間[0,3]上的2階無窮遞降函數(shù)；

2

(2)計算：lim(l+%產(chǎn)；

x->0

sinxY<cos.xep4

(3)證明:.

X-71)I2J

【過關(guān)測試】

1.(2024?湖南永州?三模)已知函數(shù)/'(x)=xeT-ln(z,g(x)=sinx.

(1)若尤=0是函數(shù)〃(x)=/(x)+ag(x)的極小值點，討論〃(x)在區(qū)間(-8,兀)上的零點個數(shù).

(2)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：

一+」..+R

*eN*)

白(2?)!2!4!6!你)

這個公式被編入計算工具，計算足夠多的項時就可以確保顯示值的精確性.

%1

利用上述知識，試峙下的直

2.(2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測)給出以下三個材料：①若函數(shù)/(尤)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)尸(x)的導(dǎo)數(shù)叫

做“X)的二階導(dǎo)數(shù)，記作/"(x).類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作尸'(x),三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫

做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做〃階導(dǎo)數(shù)，記作/(")(力=[/7)(耳],"“②若〃三葉,定

義疝-2*..x3x2xl.③若函數(shù)〃x)在包含%的某個開區(qū)間(見。上具有〃階的導(dǎo)數(shù),那么對

于任一⑼有g(shù)3=/d)+牛(xy°)+竽好/丫+^^-/戶…)"，

我們將g(x)稱為函數(shù)“X)在點X=七處的”階泰勒展開式.例如，%e、在點X=0處的〃階泰勒展開式為

l+x+[/+…+[x".根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：

2n\

⑴求出力(x)=sin尤在點x=0處的3階泰勒展開式4(x),并直接寫出f2⑺=cosx在點x=0處的3階泰勒

展開式gz。);

(2)比較⑴中八(x)與芻(x)的大小.

(3)證明：e"+sinx+cosx>2+2x.

3.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）在高等數(shù)學(xué)中，我們將＞=/（'）在'=為處可以用一個多項式函數(shù)近似表

示，具體形式為：〃力=/（%）+/，（對（尤―引乜受（》一步+...乜苧（行必+..（其中/叫力表

示/（X）的n次導(dǎo)數(shù)），以上公式我們稱為函數(shù)/（X）在尤=/處的泰勒展開式.

（1）分別求e*,sinx,cosx在x=0處的泰勒展開式；

（2）若上述泰勒展開式中的x可以推廣至復(fù)數(shù)域，試證明：e，"+1=0.（其中i為虛數(shù)單位）；

（3）若e"皿＞x+l恒成立，求。的范圍.（參考數(shù)據(jù)ln|。0.9）

x

4.（2024?高一?江蘇?課時練習(xí)）計算器是如何計算sinx,cosx,e,Inx,五等函數(shù)值的？計算器使用的

是數(shù)值計算法，其中一種方法是用容易計算的多項式近似地表示這些函數(shù)，通過計算多項式的值求出原函

數(shù)的值，如

.X3X5X7

smx=X-----H-------------F…，

3!5!7!

X2X4X6

COSX=]----------|-----------|—???

2!4!6!

其中w!=1-2-3......n.

英國數(shù)學(xué)家泰勒（B.Taylor,1685—1731）發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項用得越多，計算得到的sinx

和cos尤的值也就越精確.例如，我們用前三項計算sin0.9,就得到sin0.9x0,9-世史+世藝。0.78342075.

3!5!

像這些公式已被編入計算器內(nèi)，計算器利用足夠多的項就可確保其顯示值是精確的.

試用你的計算器計算sin0.9,并與上述結(jié)果進行比較.

/v5v7

5.(2024?高一?福建福州?期末)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：sinx=x*+?+…，其中

?!=1X2X3X4XLxn,此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)總時，

sinx<x,smx>x---，sinx<x----1---,???.

3!3!5!

ysr,(八兀)r?sinx1

⑴證明：當(dāng)xe|0,f時，——>-；

VX2

⑵設(shè)/(無)=加sinx,若區(qū)間［?；貪M足當(dāng)/(x)定義域為［a,6］時，值域也為［a,司,則稱為/(x)的“和諧區(qū)間”.

⑴加=1時，/(x)是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出/(x)的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由；

(ii)%=-2時，"X)是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由.

6.(2024?湖南邵陽三模)給出定義：設(shè)/'(X)是函數(shù)了=/(無)的導(dǎo)函數(shù)，/〃⑺是函數(shù)廣⑴的導(dǎo)函數(shù)，若方

程/'"(x)=0有實數(shù)解％,則稱點伉為函數(shù)y=/(x)拐點.已知/(同="+百sinx-cosx.

⑴求證：函數(shù)y=/(x)的拐點m(%,/伉))在直線片?上;

(2)工?0,2萬)時,討論/(x)的極值點的個數(shù).

7.(2024?甘肅?二模)已知函數(shù)〃刈=6'+上？-1(。€及且。為常數(shù)).

(1)當(dāng)。=-1時，討論函數(shù)/(X)在(T,+8)的單調(diào)性;

(2)設(shè)y=f(x)可求導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)函數(shù)/(X)仍可求導(dǎo)數(shù)，則/(X)再次求導(dǎo)所得函數(shù)稱為原函數(shù)y=f(x)的二

階函數(shù)，記為"(X),利用二階導(dǎo)函數(shù)可以判斷一個函數(shù)的凹凸性.一個二階可導(dǎo)的函數(shù)在區(qū)間［凡句上是凸

函數(shù)的充要條件是這個函數(shù)在(。，切的二階導(dǎo)函數(shù)非負.

若g(x)=(X+l)［/(x)+l］+(t7-JN)/在(-00,-1)不是凸函數(shù)，求。的取值范圍.

8.(2024?高三?安徽淮南?階段練習(xí))帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方

法.給定兩個正整數(shù)機，n,函數(shù)在x=0處的［〃?,〃］階帕德近似定義為：及口)=?+丁+…+了；,且

滿足：/(0)=/?(0),八0)=〃(0),/〃(0)=R'(0)…,/(i(0)=臚+〃)(0).己知"X)=ln(%+1)在％=0處的［1,1］

階帕德近似為R(x)=注：,(x)="'(X)］'/"(X)=［尸(X)］'，/⑷⑺="1切'J⑸(x)=［尸⑺］'，…

⑴求實數(shù)。，6的值；

⑵求證：(x+6)，J>l.

33

9.(2024?高一?湖南郴州?期末)若函數(shù)y=/(x)自變量的取值區(qū)間為k,可時，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為

就稱區(qū)間［凡句為V=/(x)的「一個“羅爾區(qū)間”.已知函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xe(0,+oo)時，

g(x)=-x+4.

⑴求g(x)的解析式；

(2)求函數(shù)g(x)在(0,+8)內(nèi)的“羅爾區(qū)間”；

(3)若以函數(shù)g(x)在定義域所有“羅爾區(qū)間”上的圖像作為函數(shù)y=〃(x)的圖像，是否存在實數(shù)加，使集合

{(xMly=〃(x)}c{(xj)|y=x2+對恰含有2個元素.若存在，求出實數(shù)機的取值集合；若不存在，說明理由.

10.(2024?高三?北京?強基計劃)已知羅爾中值定理：若函數(shù)/(x)滿足：①/(x)在［凡6］上連續(xù)；②/⑴在⑷為

上可異；③可。)=/3),則存在“(a,b),使得/V)=0.

(1)試證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)/&)滿足：①/⑴在回句們上連續(xù)；②/(x)在(。,為上可導(dǎo)，則存在

火(a,b),使得/(a)-/(/>)=("6)/G).

(2)設(shè)/(x)的定義域與值域均為［0」］J(0)=0,/(1)=1且/⑴在其定義域上連續(xù)且可導(dǎo).求證：對任意正整數(shù)

〃，存在互不相同的占x“e［0,l］,使得/(國)+/'(W)-…+/'(x“)=〃.

11.(2024?高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(》)=加？+小2(加、MeR,刃30)的圖象在(2,/(2)處的切線與x軸

平行.

(1)求“，〃2的關(guān)系式并求/(X)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)證明：對任意實數(shù)?！从瘛慈?,關(guān)于x的方程：在(2)恒有實數(shù)解;

(3)結(jié)合(2)的結(jié)論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)”X)是在閉區(qū)間僅網(wǎng)上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)

間(a,6)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在(a,6)內(nèi)至少存在一點七,使得八%)="?一/⑷.如我們所學(xué)過的指、對數(shù)函

數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件.試用拉格朗日中值定理證明：

當(dāng)0<。<6時，j<ln2<j(可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性).

baa

2

12.(2024?高三?全國?專題練習(xí))已知/。)=丁3-2/+”+4,g(x)=e=e"+/(x),

⑴若/(x)在x=1+0處取得極值，試求c的值和“X)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)如圖所示，若函數(shù)y=的圖象在口連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在ce(a,6),

使得/⑹=〃?一〃"),利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)V=g(x)圖象上任意兩點的連線斜率不小于2e-4.

b-a

13.(2024?全國?模擬預(yù)測)“讓式子丟掉次數(shù)”：伯努利不等式

伯努利不等式(BemoulliHnequality),又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)的分析不等式中最常見的一種不等式,

由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利提出：對實數(shù)xe(-l,+8),在〃e[L+s)時，有不等式(l+x)"21+nr成立；在

時，有不等式(1+x)"Vl+〃x成立.

(1)猜想伯努利不等式等號成立的條件;

（2）當(dāng)“21時，對伯努利不等式進行證明；

（3）考慮對多個變量的不等式問題.已知心出，…，4是大于-1的實數(shù)（全部同號），證明

（1+a］）（1+a2）…（1+a,）W［+%+a2+…+%

14.（2024?河北石家莊?一模）伯努利不等式，又稱貝努利不等式，由數(shù)學(xué)家伯努利提出：對于實數(shù)x>T且

xwO,正整數(shù)"不小于2,那么（1+x）”21+內(nèi).研究發(fā)現(xiàn)，伯努利不等式可以推廣，請證明以下問題.

（1）證明：當(dāng)ae［l,+8）時，（l+x）“21+ax對任意x>—l恒成立；

（2）證明:對任意〃eN*,1"+2"+3"+-+/<（"+1）"恒成立.

15.（2024?高一?山東臨沂?期末）臨沂一中校本部19、20班數(shù)學(xué)小組在探究函數(shù)的性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)通過函數(shù)的

單調(diào)性、奇偶性和周期性，還無法準確地描述出函數(shù)的圖象，例如函數(shù)>=lnx和>=/,雖然它們都是增

函數(shù)，但是圖像上卻有很大的差異.通過觀察圖像和閱讀數(shù)學(xué)文獻，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念.

已知定義:設(shè)連續(xù)函數(shù)加）的定義域為團可，如果對于［例句內(nèi)任意兩數(shù)X，三,都有〃當(dāng)選）4小吟3,

則稱/（x）為上的凹函數(shù)；若則/（x）為凸函數(shù).對于函數(shù)的凹凸性，通過

查閱資料，小組成員又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若人x）是區(qū)間［。力］上的凹函數(shù)，則對任意的

x1=x2=.?.=%?e［a,b］，有不等式/（*+%+-?+”</（西）+/（%）+…+/（居）恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)

nn

=???=當(dāng)時等號成立）.小組成員通過詢問數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)對他們研究的建議，得到了如下評注：在運

用琴生不等式求多元最值問題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù).小組成員選擇了反比例型函數(shù)/（無）=3和對數(shù)函數(shù)

g（x）=logax,研究函數(shù)的凹凸性.

（1）設(shè)玉,％2,…，％n>2,且玉+%2+…+%〃=1,求W=~—■—？-+???+'—J的最小值.

—

］一再1%2―X”

111n

（2）設(shè)八,々,…/“為大于或等于1的實數(shù)，證明詞+=+…+不2也公+「（提示:可設(shè)1鏟）

⑶若0>1,且當(dāng)xe（O,l］時，不等式g（小2+x）?0恒成立，求實數(shù)〃?的取值范圍.

16.（2024?高一?北京?期中）無數(shù)次借著你的光，看到未曾見過的世界：國慶七十周年、建黨百年天安門廣場

三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士紀念日”向人民英雄敬獻花籃儀式的凝重莊嚴……171金帆合唱團，這絕

不是一個抽象的名字，而是艱辛與光耀的延展，當(dāng)你想起他，應(yīng)是四季人間，應(yīng)是繁星璀璨！這是開學(xué)典

禮中，我校金帆合唱團的頒獎詞，聽后讓人熱血沸騰，讓人心向往之.圖1就是金帆排練廳，大家都親切的

稱之為“六角樓”，其造型別致，可以理解為一個正六棱柱（圖2）由上底面各棱向內(nèi)切割為正六棱臺（圖3）,正

六棱柱