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文檔簡介
保密★啟用前
2025年新高考數學一輪復習模擬預測卷02
注意事項:
1.答題前,先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上,并將
準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.
寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并上交.
一、單項選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的
四個選項中,只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位
置上.
1.已知集合/={1,2,3},5={1,3,4},則ZU8=()
A.{1,3}B.{1,2,3}C.{1,3,4}D.{1,2,3,4}
【答案】D
【分析】根據并集的定義直接進行運算即可求出答案.
【詳解】解:?"={1,2,3},5={1,3,4},
.?./U8={L2,3,4},
故選:D.
2.已知復數z滿足(l+2i)z=-l+3i,則|z|=()
A.V2B.百C.2D.3
【答案】A
【分析】由復數的除法運算和模長運算可得答案.
【詳解】依題意,z=^^=l+i,.-.\Z\=^2.
故選:A.
3.已知函數/(x)=2sin(0x+0)[0>O,|d<m的最小正周期為萬,將函數/(x)的圖象向右
平移器個單位得到函數g⑴的圖象,且+=則。的取值為
【答案】C
【分析】通過最小正周期得到。,再通過平移得到g(x)解析式,根據X=(是g(x)的對稱
■JTJT
軸可得左",再根據。的范圍確定結果.
【詳解】函數“X)的最小正周期為萬.-.?=2n〃x)=2sin(2x+0)
將函數〃x)的圖象向右平移J個單位得到函數g(x)的圖象
6
g(x)=2sin2(1一方]+0=2sin12x+0—
又??,g[x+g1=g[g-x](為函數g(x)圖象的一條對稱軸
.(c乃乃、.(兀、
sinI2xy+-yI=sinIy+^z?I=±I
717171
—cp——Fk兀,左£Z,(p——Fk兀,keZ
326
又=0=?
2o
本題正確選項:c
09
4.已知。=1嗎),b=log072,c=O.9,則b,c的大小關系為()
A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c
【答案】C
【分析】利用指數函數和對數函數的單調性判斷.
09
【詳解】因為"logs萬>1,0<c=O,9<1,b=log072<0,
所以a>c>6,
故選:C.
5.如圖,在矩形/BCD中,AB=2BC=4,£為邊48上的任意一點(包含端點),。為
/C的中點,則無.瓦的取值范圍是()
A.[2,10]B.[-2,8]C.[2,8]D.[4,20]
【答案】A
【分析】法一:設冠=九益(六[0,1]),然后用方,而分別表示出礪,DE,從而由平
面向量的數量積運算并結合彳的范圍求得結果;
法二:以A為坐標原點建立平面直角坐標系,設E(加,0)(04加W4),然后求出無,DE,
從而由向量的坐標運算并結合m的范圍求得結果.
【詳解】法一:設荏=彳荔
因為O為AC的中點,所以的=;(方+而)=?-益+而),
所以礪=|■(益-勿5).又詼=樂一石=2萬一而,
所以礪―詼=3(萬_詬)?(4方_9)=3(彳而2+赤2)=8/1+2,
因為所以82+2e[2/0],
所以礪.詼?2,10];
法二:以A為坐標原點,AB,石的方向分別為X,y軸的正方向,建立如圖所示的平面直
角坐標系,
則。(2,1),0(0,2),5(4,0),設E(%0)(04加44),
所以礪=(2,-1),DE=(m,-2),所以麗?瓦=2加+2.
因為04加(4,所以2〃?+2e[2,10],
即無.瓦e[2,10].
故選:A.
6.在正四棱柱N5CD-中,/8=/。=2,//=3,尸為線段CA的中點,一質點從A
點出發(fā),沿長方體表面運動到達P點處,若沿質點A的最短運動路線截該正四棱柱,則所得
截面的面積為()
拽1576
A.43B.D.376
24
【答案】B
【分析】根據正四棱柱的側面展開圖可得最短距離,進而可得截面與截面面積.
4G
3
A
所以質點從A到P的最短距離為30,
此時質點從A點出發(fā),經過。R上靠近。的三等分點S,再到達尸點,
面/S9截正四棱柱所得截面為五邊形/SP0&,如圖,
由/S=/R=RS=272,SP=PQ=QR=42,
所以沿質點A的最短運動路線截正四棱柱,
則所得截面的面積為:
S,ARS+$梯MPgRS=2.3+—^―=.
故選:B
7.已知/,N是焦點為歹的拋物線/=以上兩個不同點,且線段"N的中點A的橫坐標
是3,直線與x軸交于點3,則點8的橫坐標的取值范圍是
A.(—3,3]B.(—℃,3]C.(~6,—3]D.(一6,3)
【答案】A
【詳解】(1)若直線MN的斜率不存在,則點B的坐標為(3,0).
V2——4x
⑵若直線AW的斜率存在,設43,加w0),M(X"3N(X2,%),則由{,「得,
%=4X2
爐一只=4(%一馬),二"2^%+%)=4,即K.=2直線MV的方程為
國一工2t
2
yt=2(x-3),.??點8的橫坐標出=3-二,由「一’=7(”一3),消去x得:
t2丁=4一
產
/-2"+2--12=0,由A>0得〃<12又蜂0,,xB=3-萬?(-3,3).綜上,點8的橫坐標的取
值范圍為(-3,3].
8.若函數/(x)為奇函數,當x<0時,/(x)=-lg(-x)+x+3,已知/(x)=0有一個根為
x0,且曲+nsN*,則〃的值為()
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【分析】根據單調性和根的存在性定理確定函數的負根的?(-3,-2),結合奇偶性可得必有另
一根七田2,3),即可得解.
【詳解】由題當x<0時,/(x)=-lg(-x)+x+3,根據基本初等函數性質可得函數在x<0
時單調遞增,/(-3)=-lg3<0,/(-2)=-lg2+l>0,
所以函數在x<0時有唯一根xi武-3,-2),
函數f(x)為奇函數,所以必有另一根看?2,3),
所以"的值為2.
故選:B
二、多項選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的
四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對得6分,選對但不全的得部分分,
有選錯的得0分.
9.某次數學考試后,為分析學生的學習情況,某校從某年級中隨機抽取了100名學生的成
績,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進一步分析高分學生的成績分布情況,計算得
到這100名學生中,成績位于[80,90)內的學生成績方差為12,成績位于[90,100)內的同學成
績方差為10.貝U()
A.a=0.004
B.估計該年級學生成績的中位數約為77.14
C.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數為87.50
D.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為30.25
【答案】BCD
【分析】A項,由各組頻率之和為1求參數;B項可由頻率分布直方圖面積與0.5比較,估計
中位數所在區(qū)間,利用面積關系建方程求解可得;C項,兩組求加權平均數可得;D項,由
分別兩組成績的方差與兩組總方差的關系求解即可.
【詳解】A項,在頻率分布直方圖中,所有直方圖的面積之和為1,
貝!](2。+3。+7a+6a+2a)xl0=200a=l,解得。=0.005,故A錯誤;
B項,前兩個矩形的面積之和為(2。+3a)x10=50a=0.25<0.5
前三個矩形的面積之和為(2。+3〃+7a)x10=120a=0.6>0.5.
設該年級學生成績的中位數為加,則加“70,80),
根據中位數的定義可得0.25+(加-70)x0.035=0.5,解得77.14,
所以,估計該年級學生成績的中位數約為77.14,故B正確;
C項,估計成績在80分以上的同學的成績的平均數為
—^―x85+-^—x95=87.5^,故C正確;
6Q+2Q6Q+2Q
D項,估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為
'[12+(87.5-85)2]+;[10+(87.5-95月=30.25,故口正確.
故選:BCD.
10.已知等差數列{七}的公差dwO,其前〃項和為S“,則下列說法正確的是()
A.是等差數列B.若d<0,則*有最大值
c.S.,S2ll,邑,成等差數列D.若S?,=S“,m乎〃,則與+0=。
【答案】ABD
【分析】根據等差數列前n項和應用對應證明等差判斷A,應用數列正負求前n項和的最大
值,特殊值法判斷C,結合等差數列性質判斷D.
【詳解】民=&受籍T—-4故A正確;
n2
若。2<0,則0>出>%>…,H最大;若出=0,0>。3>。4>…,¥=邑最大;
若。2>0,貝lja“=%+("-l)d,則存在掰eN*,am>0,am+l<0,故5戊最大,故B正確;
對數列:1,2,3,…,取〃=1,耳=1,邑=3,邑=6,故C錯誤;
不妨設〃>加,則S"一鼠=0=>am+l+am+2+---+an=Q,
即%,+;%(n_m)=Q=%"+;%=0,:.Sm+n=%+;+""+
而%+;+"=%;%=0,故Sa+.nO,D正確.
故選:ABD.
11.如圖,在正方體/BCD-4月GA中,均為棱的中點,則下列結論錯誤的是
A.平面/MN//平面BDFE
B.梯形BOFE內存在一點K,使得4Kl平面⑷w
C.過。可作一個平面,使得月,N到這個平面的距離相等
D.梯形BDFE的面積是△㈤w面積的20倍
【答案】ABC
【分析】由面面平行證明判斷A,連接NC4G,ACHBD=P,AlClCiEF=O,連接
OP,過點A作/G的垂線,交。尸于K,交CC1于H,證明線面垂直即可判斷B,連接
B\N,取用N的中點甲,連接陽一連接用N,取用N的中點少,連接陽「即可判斷
FF+RD
C,因為梯形BDFE與A/MN的高分別為OP,/G且。尸=/G,所以面積的比值為-------
MN
即可判斷D.
【詳解】
在正方體N8S-48C2中,均為棱的中點,
可證EF//MN,跖0平面WW,MNu平面所以M//平面㈤W,
AMHDF,OFu平面/MV,Wu平面㈤W,所以。尸//平面⑷W,
DFC\EF=F,所以平面4W//平面8DFE,故A正確;
連接NC,4G,設=AiClHEF=O,連接。尸,
過點4作/G的垂線,交。尸于K,交eg于H,因為4〃在上底面的射影為4G,
易證。。|,平面4月。1。1,兒Wu平面481ao],
所以CG^MV,/qncCi=G,所以肱V,平面4NCG,4/u平面//cq,
則4〃_LMV,A.H±AG,又/dnACV=G,
所以4〃,平面所以&KL平面故B正確;
連接甲V,取々N的中點少,連接附>”
所以過直線陽?的平面一定滿足5,,N到這個平面的距離相等,故C正確;
因為梯形BDFE與A/A/N的高分別為。尸,NG且。P="G,
EF+BDMN+2MN
所以梯形BDFE的面積與AAMN面積的比值為.二=:;=3,故D錯誤.
MNMN
故選:ABC
三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.
12."-的展開式中的系數為.
【答案】-105
【分析】根據12-B(x-y)7=2(x-?-:(x-y)7,而二項式(x-y),的展開式的通項
Jrr
Tr+l=C^x--(-y),所以分別計算,最后合并即可求出答案.
【詳解】解:因為12-:(x_?=2(x-?-:(》一?,
而二項式(x-?的展開式的通項&=C;-/T.(_月,r=0,1,2,…,7.
所以12-J(x_y)7
的展開式中//的項為_2仁?/?/一u,/=一105工~3,
其系數為-105,
故答案為:-105.
13.已知/(x)=2x-2+lnx,若實數加,〃滿足/(加)+/(±"]=0,則+的最小值為
【答案】4
【分析】利用導數求解函數單調性,由/(x)+/]:j=0得£=1,即可利用不等式求解最
值.
2212
【詳解】由/(x)=2x-----nlnx(x>0)可得(x)=2d--H—>0,故/(x)=2x----nlnx在
XXXX
(0,+8)單調遞增,
而/(x)+/^―j=^2x--+lnxj+^--2x+ln—j=0,
故/㈣+(1[=0得£=1,
1
4m+-L=4?2+±>ihn―-4,當且僅當41=4,即!時取等號,
nnVnn2
故答案為:4
/\f—x+4,xK3,
14.已知函數/X=,凌(a>0且"1),若y=/(x)有最小值,則實數a的
[log.x,x>3
取值范圍是.
【答案】l<a<3
【分析】利用單調性確定最小值后可得.
【詳解】y=-x+4是減函數,在XW3時最小值是>=-3+4=1,
若則y=log.X是減函數,x>3時,y=10gax<0,沒有最小值,不合題意,
時,y=lo&x是增函數,因此要使得“X)取得最小值,則10g,3Zl,解得1<口<3,
故答案為:
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算
步驟.
15.(13分)在△48。中,內角4,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知
12cosB
sinC2sinZ+sinB
⑴求c;
⑵若3a+6=2c且a=3,求△NBC的外接圓半徑.
【答案】(1)。=§(2)拽
33
【分析】(1)根據sin/=sin(2+C)結合三角恒等變換化簡整理即可得結果;
(2)根據題意利用余弦定理可得c=7,進而利用正弦定理求外接圓半徑.
12cosR
【詳解】(1)因為^---=―;-----;——,BP2sin^+sinB=2sinCcosB,
sinC2sin4+sinB
且sin4=sin(5+C)=sin5cosC+cos5sinC,
即2sinBcosC+2cos3sinC+sin3=2sinCcosB,則2sinBcosC+sinB=0,
且B£(0,兀),貝iJsinBwO,可得cosC=-;,
且?!辏?,兀),所以。二寧.
,9
(2)因為3〃+6=2。且4=3,貝!Jb=2c—9>0,可得—,
2
由余弦定理可得/="+/-2仍cosC,即/=9+(2c-9)2-2x3(2c-9)x
整理可得c2-10c+21=0,解得c=7或c=3(舍去),
c7_7^/3
所以△4BC的外接圓半徑—2sinC—一忑一3.
2x——
2
16.(15分)如圖,在四棱錐S-48CD中,BCY^^SAB,AD//BC,SA=BC=\,SB=41,
⑴求證:SA15pffiABCD-
(2)若求平面SCO與平面的夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2),
【分析】(1)根據正弦定理得sin/S/3=l,或者利用余弦定理求解43=1,即可得
SA1AB,結合2。1眼,即可由線面垂直的判定求證,
(2)建立空間直角坐標系,利用法向量的夾角求解,或者利用線面垂直,找到二面角的幾
何角,結合三角形的邊角關系求解,
【詳解】(1)解法一:在AS/B中,
因為”=1/SBA=45°,SB=V2,
由正弦定理,得?..SB,所以一^=母
smZSBAsmZSABsin450smZSAB
所以sin/"8=l,
因為0°</S£8<180°,所以/£48=90。,所以£4_L4B.
因為8C_L平面平面”5,所以BC_L&4,
又BCCAB=B,平面
所以“_L平面/BCD;
方法二:證明:設4B=x,在AS/B中,
因為”=\,ZSBA=45。,S3=V2,
由余弦定理,^SA2=SB2+AB2-2SB-ABcosZSBA,
所以1=2+/-2瓶xcos45°,BPX2-2X+1=0,解得X=1.
所以“2+232=532=2,所以雙_L/3.
因為3C_L平面SAB,SAu平面SAB,
所以2c1&4,
又BCCUB=B,8C,/3u平面/BCD
所以“_L平面/BCD;
解法三:設4B=x,在△S4B中,
因為"=1/SBA=45°,SB=V2,
由余弦定理,得SH=SB。+AB?-2SB-ABcosNSBA,
所以1=2+公-2";cos45°,BPX2-2X+1=0,解得X=1.
所以“2+432=*2=2,所以雙_LN2.
因為8C,平面SAB,BCu平面ABCD,
所以平面ABCD1平面SAB-
又平面ABCD口平面融3=22,白,山u平面”3,
所以M_L平面/BCD;
(2)解法一:由(1)知&4_L平面/8CO,
又平面48。,所以
因為8C_L平面”8,平面&48,所以8C_LN8,
因為/D〃2C,所以4。148,
所以W,4D,43兩兩垂直.
以點A為原點,分別以所在直線為x軸,了軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐
標系,
則s(o,o,i),c(i,i,o),4g,o,o],所以而而=1,0,-1
設平面SO的法向量為多=(x,y,z),
n-SC=x+y-z=0,
nYSC,1
x即〈—一?1取x=2,則1=(2,T,1),
0,
nxVSD,nx.SD=5X-z=
顯然平面的一個法向量限=(1,0,0),
一一九1.%2
所以(^々,內二尸產
.2+(—1)2+F
々?%3
所以平面SCD與平面眼5的夾角的余弦值為史.
3
解法二:由(1)知£4_L平面48。,過8作W〃&1,則平面4BCZ),
又/8,3Cu平面4BCD,所以3M_L/3,8M13C,
因為8C_L平面&45,
又48u平面&43,所以3C_L23,
所以兩兩垂直.
以點3為原點,分別以848C,8赫所在直線為x軸,了軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐
標系,
則s(i,o,i),c(o,i,o),qi,go],所以文5=(l,-g,0
設平面SCD的法向量為4=(x,y,z),
n1?SC=—x+y—z=O,
1取V=2,則*=(1,2,1),
nxCD=x--y=0,
顯然平面SAB的一個法向量鼠=(0,1,0),
所以平面SCO與平面”8的夾角的余弦值為Y6.
3
解法三:延長8、34交于點連接
則平面SCD口平面SAB=SM,
在中,
CSB=42,XSBA=45°,BM=2,
由余弦定理,得=SB2+MB2-2SB-MBcos^SBM,
所以SM?=(拒)2+22-2XV^X2X¥=2,所以+
所以SM_LS2,
因為8C,平面SAB,SMu平面SAB,
所以SM13C,又SMLSB,SBcBC=B,
所以SMI平面SBC,
又SCu平面SBC,所以SWLSC,
所以ABSC為平面SCD與平面SAB的夾角,
因為5C_L平面S/g,S5u平面”5,
所以
因為52=亞,2。=1,得sc=VL
所以cos/BSC=些=衛(wèi)=",
而一耳一行
所以平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值為逅.
3
17.(15分)某公司擬通過摸球中獎的方式對員工發(fā)放節(jié)日紅包.在一個不透明的袋子中裝
有"個形狀大小相同的標有面值的球,每位員工從球袋中一次性隨機摸取乙個球(加<?),
摸完后全部放回袋中,球上所標的面值之和為該員工所獲得的紅包數額.
(1)若〃=4,〃z=2,當袋中的球中有2個所標面值為40元,1個為50元,1個為60元時,
在員工所獲得的紅包數額不低于90元的條件下,求取到面值為60元的球的概率;
⑵若力=5,m=4,當袋中的球中有1個所標面值為10元,2個為20元,1個為30元,1個
為40元時,求員工所獲得紅包數額的數學期望與方差.
3
【答案】(1)[2)期望為96;方差為104
【分析】(1)記事件A:員工所獲得的紅包數額不低于90元,事件8:取到面值為60元的
球,根據條件先求P"),P(/B),再利用條件概率公式,即可求解;
(2)由題知X可能取值為80,90,100,110,再求出對應的概率,利用期望和方差的計算公式,
即可求解.
【詳解】(1)記事件A:員工所獲得的紅包數額不低于90元,事件8:取到面值為60元的
球,
因為球中有2個所標面值為40元,1個為50元,1個為60元,且
40+50>90,40+60>90,50+60>90,所以玖/)=皇詈&=[,
XP(^)=1=|=I,所以尸(用…焉=§=?
6
(2)設X為員工取得的紅包數額,則X可能取值為80,90,100,110,
所以尸(X=80)=表=:,P(X=90)=J=g,
2211
P(X=l00)=—=-9P(X=llO)=-=-9
1121
所以磯丫)=80乂,+90*,+100乂1+110*^=96,
ii?l
D(X)=(80-96)2x-+(90-96)2x-+(100-96)2x-+(110-96)2x-=104.
22
18.(17分)已知雙曲線。:三-4=1(“>0,6>0)的離心率為0,右焦點到雙曲線C的一
ab
條漸近線的距離為1,兩動點43在雙曲線C上,線段的中點為河(2機,機)(相力0).
(1)證明:直線的斜率上為定值;
2
(2)。為坐標原點,若△048的面積為1,求直線初的方程.
【答案】⑴證明見解析⑵y=2x±2
【分析】(1)由題意可得6,c的關系,求解即可.
(2)設y=2x+f,求得弦長|42|與原點到直線N3的距離,由面積可求直線48的方程.
土=也
a
\bc\__1
【詳解】(1)由已知可得■1解得a=b=l,c=V2,
Ja1"7--+--6--7-'
a2+b2=c2
所以雙曲線方程為x2-/=i,
設N(x”必),B(x2,y2),
[x,2-y.2=1
所以{22,,兩式相減,可得(國+工2)(再-尤2)-(必+%)(必-%)=0,
[尤2-%=1
又線段的中點為"(27",伍)(7〃NO),所以X[+z=4機,yt+y2=2m,
所以4加區(qū)-馬)-2m(yi-y2)=0,解得上(=2,
所以直線45的斜率左為定值;
(2)由(1)設直線48的方程為y=2x+乙
(x2_y2=]
由《,所以一一(2X+。2=1,整理可得3/+4以+產+1=0,
[y=2x+t
所以A=16〃一⑵2一12>0,解得/<6或矮石,
又原點到直線班的距離為八壽,
所以△CM3的面積為
2
化簡可得⑶,4/一12=4,解得f=±2,
所以直線初的方程N=2x±2.
19.(17分)已知函數/(x)=巨詈.
(1)求函數“X)的圖象在x=e(e為自然對數的底數)處的切線方程;
(2)若對任意的xe。,均有7〃(x),則稱沈(x)為"(x)在區(qū)間。上的下界函數,"(x)
為加(力在區(qū)間
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