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文檔簡介
大題01數(shù)與式及方程(組)中的計算問題(8大題型)
考情分析?直擊中考
數(shù)與式及方程(組)中的計算問題是中考的必考內(nèi)容,該部分內(nèi)容涉及知識點(diǎn)較多,但是考題相對簡
單,所以需要學(xué)生在復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時,扎實(shí)掌握好基礎(chǔ),在書寫計算步驟時注意細(xì)節(jié),避免因?yàn)榇中亩?/p>
丟分.
琢題突破?保分必拿
解_元一次不等式組—、一一實(shí)數(shù)與根式的計算
根與系數(shù)關(guān)系和根的判別式綜合應(yīng)用—\_一—代數(shù)式的混合計算
數(shù)與式及方程(組)中的計算問題
新定義問題----->k-----化簡求值
比較大小問題一/■—解方程(組)相關(guān)計算
題型一:實(shí)數(shù)與根式的計算
龍A2鶻奧網(wǎng)
1.(2023,湖南張家界,中考真題)計算:|—V3^|—(4—兀)°—2sin60。+Q).
【答案】4
【分析】先化簡絕對值,零次幕及特殊角的三角函數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕,然后計算加減法即可.
【詳解】解:原式=8—-2x苧+5
=4.
【點(diǎn)睛】題目主要考查絕對值,零次幕及特殊角的三角函數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)塞,熟練掌握各個運(yùn)算法則是解
題關(guān)鍵.
2.(2023?湖北宜昌?一模)已知實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示.
—1-------七---\---1->
cb0a
(1)若|a|=網(wǎng),貝i」a+6=,"=.
(2)化簡:V^+y(a+6)3-|c—b|.
【答案】⑴0,-1
⑵-b
【分析】(1)根據(jù)a,b異號且絕對值相等,可得a,b互為相反數(shù),進(jìn)而可得結(jié)果;
(2)根據(jù)數(shù)軸上a,b,c的位置和大小關(guān)系,再由絕對值的性質(zhì)去掉絕對值符號,進(jìn)行計算即可.
【詳解】([)???由數(shù)軸可知,c<b<0<a,|可=網(wǎng),
???a+6=0,=-1.
(2)c</?<0<a,\a\=\b\,
花+y(a+6)3—|c-6|
=—c+0—(/7—c)
=—c+0—b+c
=-b.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸的意義,絕對值的性質(zhì),熟練掌握數(shù)軸的特點(diǎn)和絕對值的性質(zhì)是解本題的關(guān)
鍵.
蘢龍》犀迷揖導(dǎo).
1)a°=l(aWO),a-n=5(aWO,n為正整數(shù))
2)①|(zhì)a-b|=a-bU>a>b②|a-b|=O0a=b③|a-b|=b-a0a<b
3)特殊的三角函數(shù)要記牢.
4)在實(shí)數(shù)混合運(yùn)算中不注意運(yùn)算順序?qū)е陆Y(jié)果錯誤,所以要牢記運(yùn)算順序避免出錯:
①先算乘方,再算乘除,最后算加減;
②有括號先算括號里面的,再算括號外面的;先算小括號,再算中括號,最后算大括號.
蘢塞》要去訓(xùn)級
1.(2022?湖南婁底?中考真題)計算:(2022—兀)。+弓)-1+|1-2sin60。.
【答案】2
【分析】分別計算零指數(shù)塞、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、絕對值和特殊角的三角函數(shù)值,然后按照去括號、先乘除后
加減的順序依次計算即可得出答案.
【詳解】解:(2022-7r)°+(I)'1+|1-V3|-2sin60°
lV3
=l+2-(l-V3)-2x—
=l+2-l+V3-V3
=2.
【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算,包含零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)累、絕對值和特殊角的三角函數(shù)值.熟練
掌握相關(guān)運(yùn)算的運(yùn)算法則以及整體的運(yùn)算順序是解決問題的關(guān)鍵.
2.(2023?湖北宜昌?一模)已知a,b滿足7^不1+|b—1|=0,求a2。22+。2023一4時的平方根.
【答案】
【分析】根據(jù)—1|=0,可得a=—l,b=l,再求解。2。22+/。23—4仍的值,結(jié)合平方根的含
義可得答案.
【詳解】解::Va+1+\b-1|=0,
a+1—0,6—1=0,
a=—1,Z?=1,
Z.a2022+b2023+4=1+1+4=6,
.?“2022+b2023一4ab的平方根為土瓜
【點(diǎn)睛】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì),算術(shù)平方根的含義,平方根的含義,熟練的求解。=-1,6=1是解
本題的關(guān)鍵.
3.Q3-24九年級上?四川眉山?階段練習(xí))已知實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡:必一|a+c|+
J(c—6)2——a)2.
_________III1A
ca0b
【答案】化簡得a
【分析】本題主要考查了數(shù)軸,二次根式的性質(zhì),絕對值的意義,利用數(shù)軸確定出a,a+c,c——a的符號,
再利用絕對值的意義化簡運(yùn)算即可,利用數(shù)軸確定出a,a+c,c—b,b-a的符號是解題的關(guān)鍵.
【詳解】由題意得:c<a<0<b,
???a+cV0,c—b<0力一a〉0,
Va2一|a+c|+J(c—b)2——a)2
=—CL+a+c+b—c—(b—ci)
=-a+a+c+b—c—b+a
=a.
題型二:代數(shù)式的混合計算
蘢麓》大題典例
1.(2023?青海西寧?中考真題)計算:(2a—37—(a+5)(a—5).
【答案】3a2-12a+34
【分析】運(yùn)用完全平方公式,平方差公式及整式的加減運(yùn)算法則處理;
【詳解】解:原式=(4a2-12a+9)-(a2-25)
=4a2-12a+9—a2+25
——3a2—12a+34.
【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算,掌握乘法公式以簡化運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.
2.(2023,湖北襄陽?中考真題)化簡:(1—£)+怒.
【答案】5
【分析】先根據(jù)同分母分式相加減法則計算,再利用提公因式和平方差公式分解因式,把除法換成乘法,
即可求解;
【詳解】解:原式=(安一號)+渭蘇為
\a+la+1/ia-l){a+l)
1--a+1
=-----
a+1a
_i
=a,
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合計算,熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.
3.(2024?黑龍江大慶?一模)如圖,約定:上方相鄰兩整式之和等于這兩個整式下方箭頭共同指向的整
式.
3-0(x+2)2
□
⑴求整式尸.
(2)將整式P因式分解.
(3)P的最小值為.
【答案】(1)4/_16
(2)4(x+2)(x-2)
⑶一16
【分析】本題考查多項(xiàng)式的加減、因式分解和最小值的計算,熟練掌握多項(xiàng)式的加減運(yùn)算規(guī)則和因式分解
的方法是解決本題的關(guān)鍵.
(1)直接求和即可;
(2)根據(jù)平方差公式分解因式;
(3)由退20即可判斷P的最小值為一16.
【詳解】(1)解:P=3x2—4x—20+(x+2)2
=3x2—4%—20+%2+4x+4
=4x2—16.
(2)4xz-16=4(xz-4)=4(x+2)(x-2)
(3)P=4x2-16,
x2>0,
???當(dāng)x=0時,P的最小值為一16
奧蘢》避黃揖導(dǎo)
1)基的運(yùn)算
鬲的運(yùn)算公式補(bǔ)充說明
am.an=am+n1.逆用公式:am+n=am-an
同底數(shù)孱相乘
(m,n都是整數(shù))
2.【擴(kuò)展】am^aP=am+"P(m,n,p都是正整數(shù))
1.負(fù)號在括號內(nèi)時,偶次方結(jié)果為正,奇次方為負(fù)負(fù)號在括號外結(jié)
(am)n=amn果都為負(fù).
鬲的乘方
(m,n都是整數(shù))
2.逆用公式:amn=(am)n
3.【擴(kuò)展】((am)n)p=amnp(m,n,p都是正整數(shù))
(ab)n=anbn1.逆用公式:anbn=(ab)n
積的乘方
(n為整數(shù))
2.(abc)n=anbncn
1.關(guān)鍵:看底數(shù)是否相同,指數(shù)相減是指被除式的指數(shù)減去除
am^-an=am-n式的指數(shù).
同底數(shù)鬲相除
(a#0,m,n都為整數(shù))
2.逆用公式:am-n=am-an(a#0,m、n都是正整數(shù)).
3.【擴(kuò)展】am-an^ap=am-n-p(a#0,m,n,p都是正整數(shù)).
2)乘法公式
乘法公式基礎(chǔ)變形
平方差公式(a+b)(a—b)=a2—b2
1.通過移項(xiàng)變形
①a2+b2=(a+b)2-2ab②2ab=(a+b)2-(a2+b2)
用法:已知a+b、ab、a?+b2中的兩項(xiàng)求另一項(xiàng)的值(知二求一).
2.a+b與a-b的轉(zhuǎn)化
①(a+b)2=(a-b)2+4ab②(a-b)2=(a+b)2-4ab
③(a+b)2-(a-b)2=4ab④(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)
(a±b)2=a2±2ab+b2用法:已知a+b、ab>a-b中的兩項(xiàng)求另一項(xiàng)的值(知二求一).
完全平方公式口訣:首平方,尾平方,3.特殊結(jié)構(gòu)
二倍乘積放中央.①(x+-)2=X2+2+-^@X2+-^=(X+-)2-2
XX2X2X
③(x--)2=X2-2+-^④x2--3=(x--)2+2
XX2X2X
4.擴(kuò)展
①(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
②(a+b+c)3=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
3)因式分解
基本
提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)
方法
①運(yùn)用平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).
公式法
②運(yùn)用完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2
a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
進(jìn)階
【口訣】首尾分解,交叉相乘,實(shí)驗(yàn)篩選,求和湊中.
方法十字相乘法
【特殊】因式分解:ax2+bx+c
①若a+b+c=0,則必有因式xT②若a-b+c=0,則必有因式x+1
分組分解法ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
如果多項(xiàng)式中某部分代數(shù)式重復(fù)出現(xiàn),那么可將這部分代數(shù)式用另一個字母代替.
換元法例:因式分解(x?+5x+2)(x?+5x+3)T2,設(shè)x?+5x+2=t
則原式=t(t+l)T2=(t-3)(t+4)=(x+2)(x+3)(x2+5x-l)
1)如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式,應(yīng)先提取公因式;
2)如果各項(xiàng)沒有公因式,可以嘗試使用公式法:①為兩項(xiàng)時,考慮平方差公式;
一般②為三項(xiàng)時,考慮完全平方公式;
步驟③為四項(xiàng)時,考慮利用分組的方法進(jìn)行分解;
3)檢查分解因式是否徹底,必須分解到每一個多項(xiàng)式都不能再分解為止.
以上步驟可以概括為“一提、二套、三檢查”.
蘢變》笠式訓(xùn)級
1.(2024?重慶?模擬預(yù)測)計算:
(l)(a+2b)(a—2b)+(a—6)2
⑵(一-9與/_
【答案】⑴2a2—2a6—3扭
⑵上|
【分析】本題考查了分式的加減乘除混合運(yùn)算,乘法公式.
(1)根據(jù)乘法公式計算,再合并同類項(xiàng)即可;
(2)原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計算,同時利用除法法則變形,約分得到最簡結(jié)果
即可.
【詳解】(1)解:(a+2b)(a—2b)+(a-b)2
=a2-4b2+a2—2ab+b2
—2a2—2ab—3b2;
⑵解:(—一#*
/%2-13\0-2)2
~\%+1—%+1/%+1
(%+2)(%—2)x+1
%+1(x—2)2
x+2
-x-2'
2.(2024,湖南?模擬預(yù)測)已知整式2=4比2+4支一24.
⑴將整式a分解因式;
(2)求證:若x取整數(shù),貝必能被4整除.
【答案】⑴4(x+3)(x—2);
⑵證明見解析.
【分析】(1)利用配方法把4/+以配成一個完全平方式,再利用平方差公式因式分解即可;
(2)利用(1)的結(jié)果即可求證;
本題考查了因式分解及其應(yīng)用,掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.
【詳解】(1)解:A=(4x2+4x+1)—25
=(2x+l)2-52,
=[(2x+1)+5][(2x+1)-5],
=4(x+3)(x—2);
(2)證明:?.?支取整數(shù),
.1.%+3和x—2均為整數(shù),
又由(1)可知,A=4(x+3)(x—2),
.T能被4整除.
題型三:化簡求值
龍麓》大題典例
1.(2023?山東淄博?中考真題)先化簡,再求值:Q—2y)2+x(5y—乃一4y2,其中%=號1,y=亨.
【答案】xy;1
【分析】直接利用整式的混合運(yùn)算法則化簡進(jìn)而合并得出答案.
[詳解]原式="+4y2—4xy—x2+5久y—4y2
=xy,
、匕.V5+1_V5—ln-4*
當(dāng)汽1V=--)=下一時,
原式=xy=^x亨=?=L
【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算二次根式的運(yùn)算,正確合并同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵.
2.(2023?遼寧丹東?中考真題)先化簡,再求值:O+冷,其中尤=&尸+(—3)。.
\x2—2x+lX-1/X-L'2/
【答案】31
【分析】
先將分子分母因式分解,除法改寫為乘法,括號里面通分計算,再根據(jù)分式混合運(yùn)算的運(yùn)算法則和運(yùn)算順
序進(jìn)行化簡,根據(jù)負(fù)整數(shù)塞和0次幕的運(yùn)算法則,求出X的值,最后將X的值代入計算即可.
【詳解】解:(若\―0+9?
Vx2-2x+lx-1/x-1
(X+1)(%—1)X—1X—1
二.~(%-1)2—(X-l)dX-^―
%(x—1)X—1
=-------X-----
(X-1)23
X
=3,
*.*x=6)+(—3)°=2+1=3,
二?原式=|=|=1.
【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值,熟練掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合運(yùn)算法則,以及負(fù)
整數(shù)幕和0次累的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.
ISA舞黃揖號.
化簡求值常見方法匯總:
1.直接代入法:把已知字母的值直接代入代數(shù)式計算求值.
2.間接代入法:將己知的代數(shù)式化簡后,再將己知字母的值代入化簡后的代數(shù)式中計算求值.
3.整體代入法:①觀察已知代數(shù)式和所求代數(shù)式的關(guān)系.
②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式將已知代數(shù)式和所求代數(shù)式進(jìn)行變形,使它
們成倍分關(guān)系.
③把已知代數(shù)式看成一個整式代入所求代數(shù)式中計算求值.
4.賦值求值法:指代數(shù)式中的字母的取值由答題者自己確定,然后求出所提供的代數(shù)式的值的一種方法.這
是一種開放型題目,答案不唯一.在賦值時,要注意取值范圍,選擇合適的代數(shù)式的值.
5.隱含條件求值法:先通過隱含條件求出字母值,然后化簡再求值.
例如:①若幾個非負(fù)數(shù)的和為0,則每個非負(fù)數(shù)的值均為0
②已知兩個單項(xiàng)式為同類項(xiàng),通過求次數(shù)中未知數(shù)的值,進(jìn)而帶入到代數(shù)式中計算求值.
6.利用“無關(guān)”求值:
①若一個代數(shù)式的值與某個字母的取值無關(guān)時需先對原式進(jìn)行化簡,則可得出該無關(guān)字母的系數(shù)為0;
②若給定字母寫錯得出正確答案,則該代數(shù)式的值與該字母無關(guān).
7.配方法:若已知條件含有完全平方式,則可通過配方,把條件轉(zhuǎn)化成幾個平方和的形式,再利用非負(fù)數(shù)
的性質(zhì)來確定字母的值,從而求得結(jié)果.
8.平方法:在直接求值比較困難時,有時也可先求出其平方,再求平方值的平方根,但要注意最后結(jié)果的
符號.
9.特殊值法:有些試題,用常規(guī)方法直接求解比較困難,若根據(jù)答案中所提供的信息,選擇某些特殊情況
進(jìn)行分析,或選擇某些特殊值進(jìn)行計算,把一般形式變?yōu)樘厥庑问竭M(jìn)行判斷,這時常常會使題目變得十分
簡單.
10.設(shè)參法:遇到比值的情況,可對比值整體設(shè)參數(shù),把每個字母用參數(shù)表示,然后代入計算即可.
11.利用根與系數(shù)的關(guān)系求解:如果代數(shù)式可以看作某兩個“字母”的輪換對稱式,而這兩個“字母”又可
能看作某個一元二次方程的根,可以先用根與系數(shù)的關(guān)系求得其和、積式,再整體代入求值.
12.利用消元法求值:若己知條件以比值的形式出現(xiàn),則可利用比例的性質(zhì)設(shè)比值為一個參數(shù),或利用一
個字母來表示另一個字母.
13.利用倒數(shù)法求值:將已知條件或待求的代數(shù)式作倒數(shù)變形,從而求出代數(shù)式的值.
蘢塞》要其訓(xùn)級
1.(2024?廣西桂林?一模)先化簡,再求值:(層力—2ab2—川)+力—(Q+5)(?!耄?,其中。=—萬,
b=2.
【答案】—2ab,6
【分析】本題考查了整式的化簡求值,平方差公式,熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.先分別利用多項(xiàng)式
除以單項(xiàng)式、平方差公式進(jìn)行計算,然后合并同類項(xiàng),最后代入數(shù)值進(jìn)行計算即可.
【詳解】解:原式=/力一萬一2ab2+Z?—力3?b—
=a2—2ab—b2—a2+b2
=-2ab;
當(dāng)
3時
a--b=2原式=—
2-J2x(—x2=6.
2.2024?山東濱州?一模)先化簡再求值:(三一三)+六,其中x=(舊一1)°+(|)-1+J(-V5)2-|-1|.
【答案】x-2,V5
【分析】本題考查了分式的化簡求值,求算術(shù)平方根,負(fù)整數(shù)指數(shù)幕以及零指數(shù)幕等知識點(diǎn),根據(jù)除以一
個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)將原式中除法轉(zhuǎn)化成乘法,然后利用乘法分配律展開計算,然后化簡合并,代
入數(shù)據(jù)計算即可,熟練靈活運(yùn)用公式是解決此題的關(guān)鍵.
【詳解】解:(言-含戶若
x2X—12%%—1
=-----7X--------------TX-------
X—1XX—1X
=x—2,
當(dāng)%=(V3-1)°+—V5)2—I—1|=1+2+V5-1=2+6時,
原式=24-V5—2=V5.
3.Q024,四川廣元?二模)先化簡,再求值:號+其中x是不等式組產(chǎn)(幺二
的整數(shù)解.
【答案】名,1
4
【分析】本題主要考查了分式的化簡求值,解一元一次不等式組,先根據(jù)分式的混合計算法則化簡,然后
解不等式組求出不等式組的整數(shù)解,再根據(jù)分式有意義的條件確定X的值,最后代值計算即可.
【詳解】解:蒙牛+(久+1—號),
力-1vX-1/
%(%—2)x2—1—2x+1
(%+1)(%—1)x—1
x(x—2)x—1
(x+l)(x—1)%(%—2)
i
x+l*
f2(x—1)<%+及)
I2%+4>1—x(2y
解不等式①得:x<4,
解不等式②得:%>-1,
/.不等式組的解集為一1Wx<4,
為整數(shù)且%+1wo,X—1W0,%W0,X—2W0,
%=3,
?,?原式=擊=:
4.2024?黑龍江哈爾濱?一模冼化簡,再求代數(shù)式(言;一3^^)十?高的值,其中比=2(tan45O—cos30。).
【答案】當(dāng)普
【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值,分式的化簡求值,熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.
先化簡括號內(nèi)的式子,再算括號外的乘除法,最后將求出x的值代入化簡后的式子計算即可.
【詳解】解:原式=[島-號]一號
X2—4%2-%1%(%—2)
一第(%—2)2—%(%—2/x—4
%—4%(x-2)_1
一%(久一2)2x-4-x-2'
當(dāng)%=2(tan45°—cos30°)=2(1—率)=2—VW,原式=工5々=一亨.
題型四:解方程(組)相關(guān)計算
1.解關(guān)于X的一元一次方程:平—1=等.
【答案】X=7
【分析】先去分母,再去括號,然后移項(xiàng)合并同類項(xiàng),即可求解.
【詳解】解:等一1=平
去分母得3(4%—3)—15=5(2x—2),
去括號得12尤-9-15=10%-10,
移項(xiàng)得12x-10x=24-10,
合并同類項(xiàng)得2x=14,
x=7.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程,熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵.
2.(2023?江蘇連云港?中考真題)解方程組俳2y
【答案】
【分析】
方程組運(yùn)用加減消元法求解即可.
【詳解】
①+②得5x=15,
解得x=3,
將久=3代入①得3x3+y=8,
解得y=-1.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了解二元一次方程組,方法主要有:代入消元法和加減消元法.
3.(2023?江蘇連云港?中考真題)解方程:分=與_3.
x—2x—2
【答案】尤=4
【分析】方程兩邊同時乘以x-2,再解整式方程得x=4,經(jīng)檢驗(yàn)x=4是原方程的根.
【詳解】解:方程兩邊同時乘以X-2得,
2.x—5=3x—3—3(%—2),
解得:x=4
檢驗(yàn):當(dāng)久=4時,%—20,
=4是原方程的解,
???原方程的解為x=4.
【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程,熟練掌握分式方程的解法,切勿遺漏對根的檢驗(yàn)是解題的關(guān)鍵.
4.(2023?廣東廣州?中考真題)解方程:x2—6%+5=0.
【答案】=1,%2=5
【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可.
【詳解】解:x2—6x+5=0,
(x—l)(%—5)=0,
x—1=0或%—5=0,
XI=1,%2=5.
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程,正確計算是解題的關(guān)鍵.
莪A鯉去指導(dǎo).
1)解方程的一般步驟:去分母-移項(xiàng)-合并同類項(xiàng)-系數(shù)化為1;
2)一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的解法選擇:
①當(dāng)a=l,b為偶數(shù),cWO時,首選配方法;
②當(dāng)b=0時,首選直接開平方法;
③當(dāng)c=0時,可選因式分解法或配方法;
④當(dāng)a=l,b#0,cWO時,可選配方法或因式分解法;
⑤當(dāng)aWl,b#0,cWO時,可選公式法或因式分解法.
3)解分式方程時易錯點(diǎn):
①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體,記得不要漏乘整式項(xiàng).
②分式方程的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中,只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解.
③分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的公分母為0的根,它不是原分式方程的
根.
④解分式方程可能產(chǎn)生使分式方程無意義的根,檢驗(yàn)是解分式方程的必要步驟.
⑤分式方程有增根與無解并非是同一個概念.分式方程無解,需分類討論:可能是解為增根,也可能是去
分母后的整式方程無解.
蔻3處要式訓(xùn)級
1.(2023?浙江?一模)解方程:宇_1=千
36
【答案】%=1.5
【分析】按照去分母,去括號,移項(xiàng),合并同類項(xiàng),化系數(shù)為1的步驟,進(jìn)行解答即可.
【詳解】解:去分母,得:6%—4—6=5—4x,
移項(xiàng),得:6x+4x=5+4+6,
合并同類項(xiàng),得:10x-15,
系數(shù)化為1,得:%=1.5.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程,解題的關(guān)鍵是在掌握解一元一次方程的方法和步驟.
2.(2023?陜西西安二模)解方程組:15―十=庶
(4x-y=8,@
12
x=一
【答案】8
【分析】方程組整理后,利用加減消元法求出解即可.
【詳解】解:方程組整理得:{堂二g二黜,
②x2-①得:5x=12,
解得:x=y,
把x=S弋入②得:y-y=8,
解得:y=|,
12
X——
則方程組的解為8.
(片g
【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法與加減消元法.
3.(2023?江蘇連云港,模擬預(yù)測)解下列方程:
(1)1.
x-22-x'
(2)x2—4x+3=0.
【答案】(1)原方程無解;(2)5=3,%2=1
【分析】本題考查了解分式方程,解一元二次方程,解題的關(guān)鍵是:
(1)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解,經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解;
(2)利用配方法求解即可.
【詳解】解:(1)兩邊都乘以%—2,得:3%—5=x—2+1,
解得x=2,
經(jīng)檢驗(yàn)x=2是原方程的增根,
所以原方程無解;
(2)%2—4%+3=0,
x2—4x——3,
.\%2-4X+4=-3+4,即。-2)2=1,
x—2=1或%—2=—1,
角率得%1=3,%2=1.
題型五:解一元一次不等式組
f4x—840,
(2023?江蘇?中考真題)解不等式組|把<尤+1,把解集在數(shù)軸上表示出來,并寫出整數(shù)解.
IIII1?
-2-1012
【答案】—1<XW2,整數(shù)解為:0,1,2
【分析】
先分別求出兩個不等式的解集,再寫出不等式組的解集,進(jìn)而即可得到答案.
f4x-8<00
【詳解】解:悖<久+1②,
由①得,x<2,
由6)得,乂>—1,
故不等式組的解集為:一1<%W2,
在解集在數(shù)軸上表示出來為:
----------1---------6-------1-----------1------------------------>
-2-1012
它的整數(shù)解為0,1,2.
【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組,并把解集表示在數(shù)軸上,解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出不等式的解集,
注意不等式兩邊同除以一個負(fù)數(shù)不等號方向要發(fā)生改變.
龍賓》期黃指導(dǎo).
1)不等式的性質(zhì)
基本性質(zhì)1若a>b,貝!Ja±c>b土c
若a<b,則a±c<b±c
基本性質(zhì)2若a>b,c>0,則ac>bc(或(>g)
基本性質(zhì)3若a>b,c<0,則ac<bc(或
2)不等式組解集的確定有兩種方法:
①數(shù)軸法:在數(shù)軸上找出各不等式解集的公共部分,這個公共部分就是不等式組的解集.
②口訣法:大大取大,小小取小,大小、小大中間找,大大、小小取不了.
3)解一元一次不等式組的一般步驟:
①求出不等式組中各不等式的解集.
②將各不等式的解決在數(shù)軸上表示出來.
③在數(shù)軸上找出各不等式解集的公共部分,這個公共部分就是不等式組的解集.
蘢塞》變式訓(xùn)練
(2(x+2)>x+3①
1.(2023?山東濟(jì)南?中考真題)解不等式組:I三<絲②,并寫出它的所有整數(shù)解.
【答案】—1<%<3,整數(shù)解為0,1,2
【分析】分別求解兩個不等式,再寫出解集,最后求出滿足條件的整數(shù)解即可.
【詳解】解:解不等式①,得》>—1,
解不等式②,得x<3,
在同一條數(shù)軸上表示不等式①②的解集,
—?-------A--------1--------1--------1------i->
-3-10123
原不等式組的解集是一1<%<3,
整數(shù)解為0,1,2.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組,解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式組的方法和步驟,
以及寫出不等式組解集的口訣"同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小找不到”.
題型六:根與系數(shù)關(guān)系和根的判別式綜合應(yīng)用
龍變》大題典例
1.(2023,湖北襄陽,中考真題)關(guān)于x的一元二次方程好+2%+3—k=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
⑴求k的取值范圍;
(2)若方程的兩個根為a,。,且A:2=aS+3k,求k的值.
【答案】⑴k>2
(2)k=3
【分析】(1)根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,得出爐—4ac>0,把字母和數(shù)代入求出k的取值
范圍;
(2)根據(jù)兩根之積為:;,把字母和數(shù)代入求出k的值.
【詳解】(])解:b2—4ac=22—4X1X(3—fc)=-8+4/c,
???有兩個不相等的實(shí)數(shù),
—8+4k>0,
解得:k>2;
(2);方程的兩個根為a,B,
/.a/3=£=3—k,
:.k2=3—k+3k,
解得:ki=3,k2=-1(舍去).
即:fc=3.
【點(diǎn)睛】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式,解題的關(guān)鍵是掌握久04是方程a/+"+c=0的兩
根時,%1+%2=—,
2.(2023?四川南充?中考真題)已知關(guān)于x的一元二次方程第2—(2m—l)x—3m2+m=0
⑴求證:無論用為何值,方程總有實(shí)數(shù)根;
(2)若知久2是方程的兩個實(shí)數(shù)根,且葭+£=—今求加的值.
【答案】⑴見解析
7
(2)-^1.
【分析】(1)根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系,只要判定AN0即可得到答案;
2
(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到%1+x2=2m-1,%i%2=-3m+m,整體代入得到zn?
+2m-3=0求解即可得到答案.
【詳解】(1)證明:??,關(guān)于久的一元二次方程第2—(2m—1)%—3血2+772=0,
a=1,b=—(2m—1),c=—3m2+m,
/.△=h2—4ac=[—(2m—l)]2—4x1x(—3m2+m)=(4m—I)2,
V(4m-l)2>0,即ANO,
???不論加為何值,方程總有實(shí)數(shù)根;
(2)解:%2是關(guān)于X的一元二次方程(2m—1)%—31712+772=0的兩個實(shí)數(shù)根,
:?%i+%2=2m—1,巧%2=—3m2+m,
xX
..21Xi2+x2(XI+%2)2—2XIX5
?-+-=-----2=------------2=---,
Xlx2%1X2%1%22
?(Xi+%2)2_1
一%1%2~~2f
?二!黑;二=一弓整理,得5血2一76+2=°,解得血1=1,m2=1,
??m的值為,或1.
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的情況與判別式關(guān)系,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,熟記一元二次方
程判別式與方程根的情況聯(lián)系、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.
蘢的解黃揖號.
1)根的判別式
①求根公式的使用條件:aWO且△》().
②使用一元二次方程根的判別式,應(yīng)先將方程整理成一般形式,再確定a,b,c的值.
③利用判別式可以判斷方程的根的情況,反之,當(dāng)方程:1)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根時,A>0;
2)有兩個相等的實(shí)數(shù)根時,A=0;
3)沒有實(shí)數(shù)根時,A<0.
④一元二次方程有解分兩種情況:1)有兩個相等的實(shí)數(shù)根;2)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
2)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
2
①如果方程x+px+q=0的兩個根為X"X2,那么尤i+%2=-p,x1*x2=q.
②以兩個數(shù)X],X2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是x2-(Xi+%2)X+X1?X2=O.
③一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的使用條件:aWO且△》().
④用根與系數(shù)的關(guān)系求值時的常見轉(zhuǎn)化:
已知一元二次方程ax?+bx+c=O(aWO)的兩個根x1,x?
2
1)平方和%i+%2-(X1+X2)—2X1X2
2)倒數(shù)和工+:/詈
XXX1X2
3)差的絕對值|Xj-x|=722
2(Xi-x2)=V(xi+x2)-4xtx2
4)生+至二%—+冷?_(%1+—)2-2%1%2
)久2X1Xi%2Xi%2
5)(%i+1)(%2+1)=%1%2+(%1+%2)+1
蔻塞》要堂喳.
1.(2023,湖北襄陽?一模)已知關(guān)于x的方程Ze/+(2k+l)x+2=0.
⑴求證:無論先取任何實(shí)數(shù)時,方程總有實(shí)數(shù)根.
⑵是否存在實(shí)數(shù)人使方程兩根的倒數(shù)和為2?若存在,請求出左的值;若不存在,請說明理由.
【答案】⑴見解析
⑵存在,fc=-|
【分析】本題主要考查了已知一元二次方程根的情況求參數(shù)的取值范圍,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,
解題的關(guān)鍵是熟練掌握當(dāng)。2-4四>0時,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)b2—4ac=0時,方程有兩個相等
的實(shí)數(shù)根;當(dāng)按―4ac<0時,方程沒有實(shí)數(shù)根.以及一元二次方程。/+版+。=0缶K0)根與系數(shù)關(guān)系:
bc
X1+x2=--A1-X2=-.
(1)根據(jù)題意進(jìn)行分類討論:①當(dāng)k=0時,②當(dāng)k70時;
(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出句+乂2=竿,x1X2=~進(jìn)而得出上力衰
=2,列出方程求解即可.
【詳解】(1)解:①當(dāng)k=0時,
方程變形為%+2=0,方程有實(shí)數(shù)根;
②當(dāng)k#0時,
△=(2k+1)2—4?k?2=(2k-I)2,
:(2fc-l)2>0,
.?.當(dāng)kHO時,方程有實(shí)數(shù)根,
無論k取任何實(shí)數(shù)時,方程總有實(shí)數(shù)根;
(2)解:存在,
設(shè)方程兩根為乂1、%2-
b2k+lc2
mir,=9
則%l+%2=_'=一~二,Xi%2=ak
..11Xi+X2
?一+—=-x--x-=Z,
XiX2l,2
2k+l
.,.z^=2
~k
解得:k=—f.
故存在實(shí)數(shù)k使方程兩根的倒數(shù)和為2.
2.(2023?江西新余?一模)關(guān)于x的方程/—(2k+l)x+k2=0.
(1)如果方程有實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍;
⑵設(shè)久1和%2是方程的兩根,且好+1=6+久1%2,求發(fā)的值.
【答案】⑴kN—3
(型=1
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、分式方程的解法以及根的判別式等知識,解題的關(guān)鍵
是:(1)牢記"當(dāng)ANO時,方程有兩個實(shí)數(shù)根";(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合已知得出關(guān)于人的方程.
(1)根據(jù)題意可得根的判別式ANO,進(jìn)而可得關(guān)于人的不等式,解之即可得出發(fā)的取值范圍;
(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得久1+%2=2k+1,XIX2=卜2,結(jié)合走+虐=6+久1%2,即可得出關(guān)于人的方
程,解之經(jīng)檢驗(yàn)即可得出發(fā)的值.
【詳解】⑴解:?..關(guān)于X的方程(2卜+1)刀+/=0有實(shí)數(shù)根,
;.△=[—(2k+I)]2-4k2>0,
解得:
(2)和%2是方程—(2々+l)x+k2=0的兩根,
丁?%1+外=2k+1,%i%2=々2,
+后=6+%1%2,即(%1+%2)2=6+3%1%2,
???(2/c+l)2=6+3fc2,
整理得:k2+4fc-5=0,
解得:k=—5或k=l,
又.?飛之-;,
k=1.
題型七:新定義問題
龍塞》大題典例
(2023?山東棗莊?中考真題)對于任意實(shí)數(shù)a,b,定義一種新運(yùn)算:?!藘郝督y(tǒng)晨瑞,例如:
3X1=3—1=2,5X4=5+4—6=3.根據(jù)上面的材料,請完成下列問題:
(1)4X3=,(―1)※(—3)=;
(2)若(3%+2)※(久一1)=5,求x的值.
【答案】⑴1;2;
(2)%=1,
【分析】(1)原式利用題中的新定義計算即可求出值;
(2)已知等式利用已知的新定義進(jìn)行分類討論并列出方程,再計算求出x的值即可.
【詳解】(1)v4<3x2,
???4派3=4+3—6=1,
v-l>(-3)X2
???(-1)※(—3)=-1—(—3)=2;
故答案為:1;2;
(2)若3汽+222(%—1)時,即%之一4時,貝!J
(3%+2)-(%-1)=5,
解得:x=1,
若3%+2<2(%—1)時,即%V—4時,貝IJ
(3x+2)+(x-l)-6=5,
解得:%不合題意,舍去,
【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的新定義運(yùn)算及解一元一次方程,弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.
蘢龍》解:去揖號.
新定義問題是在問題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些新概念、新運(yùn)算、新符號,要求學(xué)生讀懂題
意并結(jié)合已有知識進(jìn)行理解,而后根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.
一般有三種類型問題:(1)定義新運(yùn)算;(2)定義初、高中知識銜接新知識;(3)定義新概念.這
類試題考查考生對新定義的理解和認(rèn)識,以及靈活運(yùn)用知識的能力,解題時需要將新定義的知識與己學(xué)知
識聯(lián)系起來,利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)來解決問題.
蔻變式訓(xùn)級
1.(2023?河北滄州?模擬預(yù)測)定義一種新的運(yùn)算※,對于任意實(shí)數(shù)a和b,規(guī)定aXb=ab2+a/)+a,例如:
2X5=2x52+2x5+2=62.
⑴求5※(-2)的值.
(2)若(m—衣)派2>14,求m的取值范圍.
【答案】⑴15
(2)m>V2+2
【分析】(1)根據(jù)題中的新定義,代入數(shù)據(jù),根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計算即可求解;
(2)根據(jù)題意,列出一元一次不等式,解不等式,即可求解.
【詳解】(1)解:根據(jù)題中的新定義,得原式=5X(—2A+5X(―2)+5=20—10+5=15.
(2)已知不等式利用題中的新定義化簡,得(小一際x22+2(小一際+小一四>14,
整理,得7巾>14+7魚,
解得m>V2+2.
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算,有理數(shù)的混合運(yùn)算,解一元一次不等式,實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算,熟練掌握是
解題的關(guān)鍵.
2.(2023?江蘇鹽城?一模)定義:若兩個分式的和為"("為正整數(shù)),則稱這兩個分式互為"N十分式
例如.分式白■與三互為“三十分式
⑴分式與____互為"六十分式";
(2)若分式舟與系互為"一十分式"(其中a,6為正數(shù)),求ab的值;
⑶若正數(shù)X,y互為倒數(shù),求證:分式篇與品互為"五十分式
⑵=g
⑶見解析
【分析】(1)根據(jù)新定義,用6—翳即可求解;
(2)根據(jù)定義可得就訪+3=1,根據(jù)分式的加減進(jìn)行計算,即可求解;
(3)根據(jù)題意首先利用倒數(shù)關(guān)系,將%、y進(jìn)行消元,然后兩分式相加計算得到結(jié)果,利用新定義即可判
斷.
【詳解】(1)解:依題意,6—翳18+12%-12-x6+llx
3+2%3+2%
6+11%
???分式翳與?互為"六十分式”,
3+2工
故答案為:篝;
(2)解:???分式品與系互為“一十分式"
???4+號=1
a(a2+2b)+2b(a+4b2)
即.(a+4b2)(a2+2b)=1
..a-3+2ab+2ab+8b3=a3+2ab+4a2b2+8b3,
即4a2b2=2ab,
??,〃,。為正數(shù)
ab
(3)???正數(shù)x,y互為倒數(shù),
:.xy=1
.5.,5y95-55(%3+1)
??%+”下%2+y-%+/丁益弓一戶+1丁%3+1-x3+l~
二分式券與扁互為"五十分式
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加法,正確理解題意并掌握分式通分、約分運(yùn)算方法是解決本題的關(guān)鍵.
3.(2023?河北滄州?模擬預(yù)測)定義新運(yùn)算:對于任意實(shí)數(shù)機(jī)、〃都有m☆九=zrm—3九,例如
2=4x2—3x2=8—6=2,請根據(jù)上述知識解決下列問題.
(1)%^2>4,求x取值范圍;
⑵若%☆(—:)=3,求x的值;
(3)若方程久☆□=%—6,口中是一個常數(shù),且此方程的一個解為X=1,求□中的常數(shù).
【答案】⑴%>5
(2)x=-9
⑶I
【分析】(1)根據(jù)題意列出不等式進(jìn)行計算即可;
(2)根據(jù)題意列出方程進(jìn)行計算即可;
(3)設(shè)口中的常數(shù)為y,根據(jù)題意列出關(guān)于y的方程,解方程即可.
【詳解】(1)解:>4,
**.2.x—3X2>4,
解得:x>5.
(2)解:Vx☆(-i)=3,
解得:x=-9.
(3)解:設(shè)口中的常數(shù)為y,根據(jù)題意得:
xy—3y=X—6,
???此方程的一個解為%=1,
1.y—3y=1—6,
解得:y=|.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算,解不等式,解一元一次方程,解題的關(guān)鍵是理解題意列出相應(yīng)的不
等式或方程.
4.(22-23九年級上?河北石家莊?期末)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義新運(yùn)算其規(guī)則為:a4b=a2—ab,根據(jù)
這個規(guī)則,解決下列問題:
⑴求(x+2)△5=0中久的值;
(2)證明:(*+m)△5=。中,無論"2為何值,x總有兩個不同的值.
【答案】⑴—2或3
(2)見解析
【分析】(1)根據(jù)題意的運(yùn)算法則可得出關(guān)于x的一元二次方程,解出該方程的解即可;
(2)根據(jù)題意的運(yùn)算法則可得出關(guān)于x的一元二次方程,再根據(jù)其根的判別式計算,即可證明.
【詳解】(1)解:由題意可得:(x+2)2\5=(x+2)2—5(x+2)=0,
整理,得:x2—%—6=0,
解得:%i=-2,%2=3.
故%的值為一2或3;
(2)由題意可得:(%+m)△5=(%+m)2—5(%+zn)=0,
整理,得:x2+(2m-5)x+m2—5m=0,
△=按—4ac=(2m—5)2—4(m2—5m)=25>0,
???無論加為何值,方程%2+(2m一5)%+7712-5僧=0總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,即無論冽為何值,X總有
兩個不同的值.
【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程,由一元二次方程根的判別式判斷其根的情況.讀懂題意,掌握新定義
的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.
題型八:比較大小
龍變》大題典例
(2023,江蘇鹽城,中考
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