2025年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：幾何最值問題（原卷版）

專題09幾何最值問題

目錄

熱點(diǎn)題型歸納

題型01將軍飲馬模型.................................................................................1

題型02費(fèi)馬點(diǎn)模型...................................................................................2

題型03阿氏圓模型...................................................................................4

題型04隱圓模型.....................................................................................6

題型05瓜豆圓模型...................................................................................7

中考練場(chǎng).............................................................................................9

熱點(diǎn)題型歸納

題型01將軍飲馬模型

【解題策略】

兩定一動(dòng)模型一定兩動(dòng)模型

兩線段相減的最大值模型（三點(diǎn)共線）

【典例分析】

例.（2022?黑龍江?中考真題）如圖，菱形A8CD中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,ZBAD=60°,AD=3,AH是—54C

的平分線，CELA”于點(diǎn)E,點(diǎn)P是直線48上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP+PE的最小值是.

【變式演練】

1.（2022?山東棗莊?二模）如圖，點(diǎn)尸是/AC?內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=3cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線。4和射線上的

動(dòng)點(diǎn)，ZAO8=30。，貝UAPAW周長的最小值是.

2.（2023廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD中，AB//CD,AC1BC,ZDAB=6Q°,AD=CD=4,點(diǎn)M是

四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足ZAMD=90。，則AMBC面積的最小值為.

題型02費(fèi)馬點(diǎn)模型

【解題策略】

將△APC邊以A為頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得至IJAQE,連接PQ,則AAPQ為等邊三角形，PA=PQ。

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC,當(dāng)B、P、Q、E四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值BE。

【典例分析】

例.（2023全國?中考模擬預(yù)測(cè)）如圖1,在RTAABC中,ZACB=90°,CB=4,CA=6,圓C的半徑為2,點(diǎn)尸為圓

上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,BP,求：

@AP+-BP,

2

@2AP+BP,

@^AP+BP,

④AP+3BP的最小值.

【變式演練】

1.（2022?廣東廣州?一模）如圖，在RfAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)尸是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)

線段4。上存在一點(diǎn)。當(dāng)QA+Q8+QC的值取得最小值，且&。=2時(shí)，則尸￡>=.

A

B

DC

2.（2023廣東?一模）如圖，AA3C中，N54C=45。，AB=6,AC=4,P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求2同尸+J^AP+3PC最

小值

3.（2024湖北中考.二模）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求P4+2P3+有PC的最小值.

題型03阿氏圓模型

【解題策略】

問題：在圓上找一點(diǎn)P使得B4+上”汨的值最小，解決步驟具體如下：

A

①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP,OB

②計(jì)算出這兩條線段的長度比上O二P=左

OB

ocPC

③在OB上取一點(diǎn)C,使得——=k,即構(gòu)造△POMs/iBOP,則^—=k,PC=k?PB

OPPB

④則上4+左">B=Q4+PCNAC,當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值。

【典例分析】

例.（2023?廣西?中考真題）如圖，拋物線>=依2+法+。與x軸交于A（百，0）,B兩點(diǎn)（點(diǎn)8在點(diǎn)A的左側(cè)），與了軸

交于點(diǎn)C,且。8=3。4=符（7,/Q4c的平分線A。交,軸于點(diǎn)。，過點(diǎn)A且垂直于AD的直線/交JV軸于點(diǎn)E,點(diǎn)尸

是x軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸尸_Lx軸，垂足為F，交直線AD于點(diǎn)

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為加，當(dāng)m時(shí)，求機(jī)的值；

（3）當(dāng)直線尸產(chǎn)為拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，以點(diǎn)H為圓心，為半徑作?！?，點(diǎn)。為。H上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，^-AQ+EQ

24

的最小值.

【變式演練】

1.（2023?甘肅天水?一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,OB的半徑為2,點(diǎn)P是。B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD

-|PC的最大值為一.

B

C

2.（2023江蘇?二模）如圖，正方形ABC。的邊長為4,的半徑為2,尸為。3上的動(dòng)點(diǎn)，則0PC-尸。的最大值

是.

題型04隱圓模型

【解題策略】

【典例分析】

例.（2023?遼寧?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,點(diǎn)M為8C的中點(diǎn)，E是上的一點(diǎn)，連

接AE,作點(diǎn)8關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)"，連接并延長交BC于點(diǎn)f當(dāng)班'最大時(shí)，點(diǎn)9到BC的距離是.

【變式演練】

1.（2024浙江金華?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是BC邊上的動(dòng)

點(diǎn)，MZEAB=ZEBC.連結(jié)AE,BE,PD,PE,則尸￡>+PE的最小值為（）

A.2A/13-2B.475-2C.473-2D.2715-2

2.（2022?山東泰安?三模）如圖，在RtAABC中，ZACB=90SZBAC=3O。，BC=2,線段8C繞點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)到3。，連

AD,E為的中點(diǎn)，連接CE,則CE的最大值是

3.（2022?廣東河源.二模）如圖，已知AC=2AO=8,平面內(nèi)點(diǎn)P到點(diǎn)。的距離為2,連接”，若ZAPB^60°5.BP=-AP,

2

連接AB,BC,則線段BC的最小值為.

題型05瓜豆圓模型

【解題策略】

條件：兩個(gè)定量

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（/PAQ是定值）；

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）.

結(jié)論：（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：ZPAQ=ZOAM；

（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM,也等于兩圓半徑之比.

【典例分析】

例.（2023?江蘇?中考真題）在四邊形ABCD中，鈕=8。=2,/45。=120。,3〃為/ABC內(nèi)部的任一條射線（NCBH不

等于60。），點(diǎn)C關(guān)于3"的對(duì)稱點(diǎn)為C，直線AC與BH交于點(diǎn)F,連接CC'、CF,則MCF面積的最大值是.

D

【變式演練】

1.（2023江蘇無錫?二模）如圖，線段48為。。的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，AB=4,BC=2,點(diǎn)P是上一

動(dòng)點(diǎn)，連接CP,以CP為斜邊在PC的上方作RJPCD,且使/DCP=60。，連接OO,則。D長的最大值為

2.（2023?安徽?一模）如圖，在矩形A3CD中，AB=8,AD=4,點(diǎn)￡是矩形ABC。內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且ZBEC=9O。，點(diǎn)尸

是A3邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PO、PE,則PD+PE的最小值為（）

APB

DC

A.8B.4指C.10D.4-2

3.（2023?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，A是。8上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在。B外,已知AB=2,BC=4,4ACD是等邊三角形,

則△BCD的面積的最大值為（）

D

A.4石+4B.4C.4括+8D.（

中考練場(chǎng)

1.（2023?黑龍江綏化?中考真題）如圖，AABC是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高8。上的動(dòng)點(diǎn).連接CE,將CE繞

點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到連接AT,EF,DF,貝I△CD77周長的最小值是.

A

Z)

瓦

BC

2.（2022.四川成都.中考真題）如圖，在菱形ABCD中，過點(diǎn)。作8交對(duì)角線AC于點(diǎn)E,連接8E,點(diǎn)P是線

段BE上一動(dòng)點(diǎn),作P關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)P,點(diǎn)。是AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接P'Q,DQ.若A￡=14,CE=18,則DQ-P'Q

的最大值為.

D

3.（2022?廣西柳州?中考真題）如圖，在正方形ABC