2025年中考數(shù)學(xué)熱點題型復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練：幾何最值問題（原卷版）

專題09幾何最值問題

目錄

熱點題型歸納

題型01將軍飲馬模型.................................................................................1

題型02費馬點模型...................................................................................2

題型03阿氏圓模型...................................................................................4

題型04隱圓模型.....................................................................................6

題型05瓜豆圓模型...................................................................................7

中考練場.............................................................................................9

熱點題型歸納

題型01將軍飲馬模型

【解題策略】

兩定一動模型一定兩動模型

兩線段相減的最大值模型（三點共線）

【典例分析】

例.（2022?黑龍江?中考真題）如圖，菱形A8CD中，對角線AC,8。相交于點O,ZBAD=60°,AD=3,AH是—54C

的平分線，CELA”于點E,點P是直線48上的一個動點，則OP+PE的最小值是.

【變式演練】

1.（2022?山東棗莊?二模）如圖，點尸是/AC?內(nèi)任意一點，OP=3cm,點M和點N分別是射線。4和射線上的

動點，ZAO8=30。，貝UAPAW周長的最小值是.

2.（2023廣東廣州?模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD中，AB//CD,AC1BC,ZDAB=6Q°,AD=CD=4,點M是

四邊形ABCD內(nèi)的一個動點，滿足ZAMD=90。，則AMBC面積的最小值為.

題型02費馬點模型

【解題策略】

將△APC邊以A為頂點逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得至IJAQE,連接PQ,則AAPQ為等邊三角形，PA=PQ。

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC,當B、P、Q、E四點共線時取得最小值BE。

【典例分析】

例.（2023全國?中考模擬預(yù)測）如圖1,在RTAABC中,ZACB=90°,CB=4,CA=6,圓C的半徑為2,點尸為圓

上一動點，連接AP,BP,求：

@AP+-BP,

2

@2AP+BP,

@^AP+BP,

④AP+3BP的最小值.

【變式演練】

1.（2022?廣東廣州?一模）如圖，在RfAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點尸是AB邊上一動點，作于點

線段4。上存在一點。當QA+Q8+QC的值取得最小值，且&。=2時，則尸￡>=.

A

B

DC

2.（2023廣東?一模）如圖，AA3C中，N54C=45。，AB=6,AC=4,P為平面內(nèi)一點，求2同尸+J^AP+3PC最

小值

3.（2024湖北中考.二模）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點P是正方形內(nèi)部一點，求P4+2P3+有PC的最小值.

題型03阿氏圓模型

【解題策略】

問題：在圓上找一點P使得B4+上”汨的值最小，解決步驟具體如下：

A

①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點與圓心相連即OP,OB

②計算出這兩條線段的長度比上O二P=左

OB

ocPC

③在OB上取一點C,使得——=k,即構(gòu)造△POMs/iBOP,則^—=k,PC=k?PB

OPPB

④則上4+左">B=Q4+PCNAC,當A、P、C三點共線時可得最小值。

【典例分析】

例.（2023?廣西?中考真題）如圖，拋物線>=依2+法+。與x軸交于A（百，0）,B兩點（點8在點A的左側(cè)），與了軸

交于點C,且。8=3。4=符（7,/Q4c的平分線A。交,軸于點。，過點A且垂直于AD的直線/交JV軸于點E,點尸

是x軸下方拋物線上的一個動點，過點尸作尸尸_Lx軸，垂足為F，交直線AD于點

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點P的橫坐標為加，當m時，求機的值；

（3）當直線尸產(chǎn)為拋物線的對稱軸時，以點H為圓心，為半徑作?！?，點。為。H上的一個動點，^-AQ+EQ

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的最小值.

【變式演練】

1.（2023?甘肅天水?一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,OB的半徑為2,點P是。B上的一個動點，則PD

-|PC的最大值為一.

B

C

2.（2023江蘇?二模）如圖，正方形ABC。的邊長為4,的半徑為2,尸為。3上的動點，則0PC-尸。的最大值

是.

題型04隱圓模型

【解題策略】

【典例分析】

例.（2023?遼寧?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,點M為8C的中點，E是上的一點，連

接AE,作點8關(guān)于直線AE的對稱點"，連接并延長交BC于點f當班'最大時，點9到BC的距離是.

【變式演練】

1.（2024浙江金華?模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E是正方形ABCD內(nèi)的動點，點尸是BC邊上的動

點，MZEAB=ZEBC.連結(jié)AE,BE,PD,PE,則尸￡>+PE的最小值為（）

A.2A/13-2B.475-2C.473-2D.2715-2

2.（2022?山東泰安?三模）如圖，在RtAABC中，ZACB=90SZBAC=3O。，BC=2,線段8C繞點2旋轉(zhuǎn)到3。，連

AD,E為的中點，連接CE,則CE的最大值是

3.（2022?廣東河源.二模）如圖，已知AC=2AO=8,平面內(nèi)點P到點。的距離為2,連接”，若ZAPB^60°5.BP=-AP,

2

連接AB,BC,則線段BC的最小值為.

題型05瓜豆圓模型

【解題策略】

條件：兩個定量

主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（/PAQ是定值）；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）.

結(jié)論：（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：ZPAQ=ZOAM；

（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM,也等于兩圓半徑之比.

【典例分析】

例.（2023?江蘇?中考真題）在四邊形ABCD中，鈕=8。=2,/45。=120。,3〃為/ABC內(nèi)部的任一條射線（NCBH不

等于60。），點C關(guān)于3"的對稱點為C，直線AC與BH交于點F,連接CC'、CF,則MCF面積的最大值是.

D

【變式演練】

1.（2023江蘇無錫?二模）如圖，線段48為。。的直徑，點C在AB的延長線上，AB=4,BC=2,點P是上一

動點，連接CP,以CP為斜邊在PC的上方作RJPCD,且使/DCP=60。，連接OO,則。D長的最大值為

2.（2023?安徽?一模）如圖，在矩形A3CD中，AB=8,AD=4,點￡是矩形ABC。內(nèi)部一動點，且ZBEC=9O。，點尸

是A3邊上一動點，連接PO、PE,則PD+PE的最小值為（）

APB

DC

A.8B.4指C.10D.4-2

3.（2023?江蘇揚州?模擬預(yù)測）如圖，A是。8上任意一點，點C在。B外,已知AB=2,BC=4,4ACD是等邊三角形,

則△BCD的面積的最大值為（）

D

A.4石+4B.4C.4括+8D.（

中考練場

1.（2023?黑龍江綏化?中考真題）如圖，AABC是邊長為6的等邊三角形，點E為高8。上的動點.連接CE,將CE繞

點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到連接AT,EF,DF,貝I△CD77周長的最小值是.

A

Z)

瓦

BC

2.（2022.四川成都.中考真題）如圖，在菱形ABCD中，過點。作8交對角線AC于點E,連接8E,點P是線

段BE上一動點,作P關(guān)于直線DE的對稱點P,點。是AC上一動點，連接P'Q,DQ.若A￡=14,CE=18,則DQ-P'Q

的最大值為.

D

3.（2022?廣西柳州?中考真題）如圖，在正方形ABC