2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【數(shù)形結(jié)合】函數(shù)圖象中的數(shù)形結(jié)合思想（解析版）

函數(shù)圖象中的數(shù)形結(jié)合思想

知識方法精講

1.兩點間的距離公式

兩點間的距離公式：

設(shè)有兩點/（XI,yi）,B（X2,>2）,則這兩點間的距離為48=J（X]-X2）2+。]-（2）2,

說明：求直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點間的距離可直接套用此公式.

2.動點問題的函數(shù)圖象

函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中

的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力.

用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖.

3.一次函數(shù)圖象與幾何變換

直線（kWO,且左，b為常數(shù)）

①關(guān)于x軸對稱，就是x不變，y變成-y：-y=kx+b,即y=-依-6；

（關(guān)于X軸對稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)是原來的相反數(shù)）

②關(guān)于y軸對稱，就是y不變，x變成-x：y=k（-x）+b,即y=-kx+b；

（關(guān)于y軸對稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)是原來的相反數(shù)）

③關(guān)于原點對稱，就是x和y都變成相反數(shù)：-y=k（-x）+b,BPy=kx-b.

（關(guān)于原點軸對稱，橫、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)）

4.一次函數(shù)與一元一次不等式

（1）一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系

從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=Ax+6的值大于（或小于）。的自變量x的取值范

圍；

從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=fcc+6在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所

構(gòu)成的集合.

（2）用畫函數(shù)圖象的方法解不等式fcc+6>0（或<0）

對應(yīng)一次函數(shù)它與x軸交點為（-2，0）.

k

當(dāng)左>0時，不等式fcv+b>0的解為：工，不等式fci+bVO的解為：x<-A；

kk

當(dāng)人<0,不等式依+6>0的解為：X<上，不等式依+6<0的解為：x>上.

kk

5.一次函數(shù)與二元一次方程（組）

（1）一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為"+6=0（a,

6為常數(shù)，。片0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時，

求相應(yīng)的自變量的值，從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線確定它與x軸交點的橫坐標(biāo)

值.

（2）二元一次方程（組）與一次函數(shù)的關(guān)系

元一次方程一次函數(shù)

表達(dá)式:ax+6y+c=0_'''--匕'

DD

圖象上的坐標(biāo)點am.n）,J（

方程的解:x=m?y=n

Um為橫坐標(biāo).n為總坐標(biāo)

m.。*齊實教（m.n）表示平面內(nèi)一個點

（3）一次函數(shù)和二元一次方程（組）的關(guān)系在實際問題中的應(yīng)用：要準(zhǔn)確的將條件轉(zhuǎn)化為

二元一次方程（組），注意自變量取值范圍要符合實際意義.

6.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程

組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點.

（2）判斷正比例函數(shù)〉=%x和反比例函數(shù)y=絲在同一直角坐標(biāo)系中的交點個數(shù)可總結(jié)為:

X

①當(dāng)k\與fo同號時，正比例函數(shù)〉=所％和反比例函數(shù)歹=奧■在同一直角坐標(biāo)系中有2個

x

交點；

ko

②當(dāng)h與上異號時，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)y=—當(dāng)在同一直角坐標(biāo)系中有0個

x

交點.

7.二次函數(shù)的圖象

（1）二次函數(shù)（aWO）的圖象的畫法：

①列表：先取原點（0,0）,然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表.

②描點：在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點.

③連線：用平滑的曲線按順序連接各點.

④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在

頂點的兩側(cè)各取三四個點即可.連線成圖象時，要按自變量從小到大(或從大到小)的順序

用平滑的曲線連接起來.畫拋物線QWO)的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用

描點法描出拋物線的一側(cè)，再利用對稱性畫另一側(cè).

(2)二次函數(shù)yuad+fer+c(aWO)的圖象

二次函數(shù)y=ax2+6x+c(aWO)的圖象看作由二次函數(shù)y=o?的圖象向右或向左平移|上_|

2a

個單位，再向上或向下平移|個單位得到的.

8.二次函數(shù)的性質(zhì)

2

二次函數(shù)y=ax2+6x+c(aWO)的頂點坐標(biāo)是(-3_4ac-b),對稱軸直線x=-&

2a4a2a

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)a>0時，拋物線y=a/+6x+c(aWO)的開口向上，x<-且時，y隨x的增大而減小;

2a-

2

X>一旦時，夕隨X的增大而增大；x=--L時，y取得最小值立*一,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最低點.

②當(dāng)a<0時，拋物線(QWO)的開口向下，X<-時，y隨工的增大而增大;

2a

2

時，y隨X的增大而減??；x=-M時，y取得最大值,420一，即頂點是拋物線

2a2a4a

的最高點.

③拋物線ynad+bx+cCaWO)的圖象可由拋物線>=辦2的圖象向右或向左平移|-生_|個單

2a

位，再向上或向下平移了a；個單位得到的.

9.二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

2

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的圖象是拋物線，頂點坐標(biāo)是(-上一，二c-b一).

2a4a

①拋物線是關(guān)于對稱軸x=-梃成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足

函數(shù)函數(shù)關(guān)系式.頂點是拋物線的最高點或最低點.

②拋物線與》軸交點的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的C值.

③拋物線與X軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是(XI,0),(X2,0),則其

對稱軸為x=紅？2.

2

10.二次函數(shù)圖象與幾何變換

由于拋物線平移后的形狀不變，故。不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方

法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮

平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式.

11.拋物線與X軸的交點

求二次函數(shù)y=ax2+6x+c（a,6,c是常數(shù)，aWO）與x軸的交點坐標(biāo)，令y=0,BPa^+bx+c

=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo).

（1）二次函數(shù)〉=62+區(qū)+。（a,b,c是常數(shù)，aWO）的交點與一元二次方程ax2+6x+c=0

根之間的關(guān)系.

△=房-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù).

△=廬-4℃>0時，拋物線與x軸有2個交點；

△=廬-4℃=0時，拋物線與x軸有1個交點；

△=廬-4℃<0時，拋物線與x軸沒有交點.

（2）二次函數(shù)的交點式：y=a（x-xi）（x-X2）（a,b,c是常數(shù)，aWO）,可直接得到拋

物線與x軸的交點坐標(biāo)（XI,0）,（X2,0）.

12.二次函數(shù)與不等式（組）

二次函數(shù)y=ax2+6x+c（a>b、c是常數(shù)，aNO）與不等式的關(guān)系

①函數(shù)值y與某個數(shù)值/之間的不等關(guān)系，一般要轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的不等式，解不等式求得

自變量x的取值范圍.

②利用兩個函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交

點直觀求解，也可把兩個函數(shù)解析式列成不等式求解.

13.二次函數(shù)綜合題

（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題

解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系

式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即

為正確選項.

（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用

將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機(jī)地結(jié)合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關(guān)鍵

是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

（3）二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用題

從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立

直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的

取值范圍要使實際問題有意義.

14.數(shù)形結(jié)合思想

1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直

觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用

了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

2.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問

題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；（2）函

數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（4）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯

的幾何意義。如等式。

3.巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形

結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”。

4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域、

最值問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理,

大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要

爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。

一.選擇題（共5小題）

1.（2021秋?莊河市期末）已知°片0,函數(shù)y=ax與y=-ox?+。在同一直角坐標(biāo)系中的大

xx

C.D.

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；正比例函數(shù)的性質(zhì)

【分析】分。>0和“<0兩種情況分類討論即可確定正確的選項.

【解答】解：當(dāng)。>0時，函數(shù)y=ox的圖象位于一、三象限，了=-辦2+。的開口向下，交

y軸于正半軸，/選項符合；

當(dāng)a<0時，函數(shù)y="的圖象位于二、四象限，了=-辦2+。的開口向上，交y軸于負(fù)半軸,

沒有符合的選項.

故選：A.

【點評】本題考查了正比例函數(shù)的圖象及二次函數(shù)的圖象的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例系

數(shù)的符號確定其圖象的位置，難度不大.

2.（2020秋?青島期末）如圖，函數(shù)/=依+6（左片0）與夕='（相片0）的圖象交于點/（2,3）,

X

5（-6,-1）,則不等式履+6>'的解集為（）

A.x<-6或0cx<2B.-6<x<0或x>2C.x>3或一l〈x〈0D.x>2

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

【分析】不等式區(qū)+6>'的解集，在圖象上即為一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方

X

時的自變量的取值范圍.

【解答】解：?.?函數(shù)y=H+6（左片0）與了=%（〃-0）的圖象相交于點/（2,3）,5（-6,-1）,

二.不等式履+6〉％的解集為：x>2或-6Vx<0,

x

故選：B.

【點評】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用.

3.（2021秋?金安區(qū)期中）如圖，在矩形中，48=4,/。=8,點M從點B出發(fā),

以每秒1個單位的速度沿著3f4f。運(yùn)動，同時點N從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速

度沿著CfDf運(yùn)動，其中一點到達(dá)終點，另一點也停止運(yùn)動，設(shè)59加=5,時間

為［s),則S與f之間的函數(shù)圖象大致為()

【考點】動點問題的函數(shù)圖象

【分析】利用分類討論的思想方法分四種情況討論解答：①(MW，②2＜f＜4,③4寸力，

④6＜會；依據(jù)?的取值范圍畫出對應(yīng)的圖形，求出對應(yīng)的函數(shù)解析式，根據(jù)解析式的大致

圖象即可得出結(jié)論.

【解答】解：①當(dāng)時，此時，點”在48上，點N在CO上，

由題意得：CN=2t,

DN=CD-CN=4-2t.

.?.S=；DN.NO=；x(4-2/)x8=16-87.

???0,

此時函數(shù)的圖象是以(0,16)和(2,0)為端點的線段；

②當(dāng)2＜，＜4時，此時點M在48上，點N在4。上，如圖，

B

由題意得：DN=2t—4,MB=t.

AM=AB-BM=4-t,

11

...S.ON./M=Q-4)(4-)=-r9+6"8=-3)29+1.

2</<4,

.?.此時函數(shù)的圖象為開口向下，對稱軸為直線y3的拋物線的一段;

③當(dāng)4vb時，此時點"，N均在線段/。上，

此時s=0,函數(shù)圖象為x軸上以(4,0)和(6,0)為端點的線段；

④當(dāng)時，此時點M在線段4D上，點N在線段48上，如圖,

:.DM=AD-AM=U-t.

11,

:.S=-DM-AN=-(]2-。⑵-12)=-〃+18-72.

6<，

.?.當(dāng)t=8時，S=8.

二.此時的函數(shù)的圖象是拋物線S=-產(chǎn)+1&-72上以(6,0)和(8,8)為端點的一段.

綜上，符合上述特征的函數(shù)圖象為8,

故選：B.

【點評】本題主要考查了動點問題函數(shù)的圖形，利用分類討論的方法求出相應(yīng)的函數(shù)的解析

式是解題的關(guān)鍵.

4.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中常用的思想方法，試運(yùn)用這一思想方法確定函數(shù)y=/+l與y=3的

X

交點的橫坐標(biāo)X。的取值范圍是()

A.0<x0<1B.1<x0<2C.2<x0<3D.-1<x0<0

【考點】反比例函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的圖象

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，然后利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作出函數(shù)V=Y+1與的圖象，即可

得解.

【解答】解：如圖，函數(shù)了=Y+i與>=3的交點在第一象限，橫坐標(biāo)七的取值范圍是

X

1<x0<2.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象，準(zhǔn)確畫出大致函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵,

此類題目利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更加簡便.

5.如圖，直線>=履+6交坐標(biāo)軸于/（-3,0）、8（0,5）兩點，則不等式一區(qū)一6<0的解集為（

【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式

【分析】首先根據(jù)不等式的性質(zhì)知，不等式-6<0的解集即為不等式b+6>0的解集，

然后由一次函數(shù)的圖象可知，直線>=履+6落在x軸上方的部分所對應(yīng)的x的取值，即為不

等式質(zhì)+6>0的解集，從而得出結(jié)果.

【解答】解：觀察圖象可知，當(dāng)x>-3時，直線y=fcc+6落在x軸的上方，

即不等式kx+b>0的解集為x>-3,

*.*—kx—6<0

:.kx+b>Q,

-kx-b<0解集為x>-3.

故選：A.

【點評】本題考查了一次函數(shù)與不等式（組）的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.解決此類問題

關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，注意幾個關(guān)鍵點（交點、原點等），做到數(shù)形結(jié)合.

二.填空題(共17小題)

6.(2020秋?張店區(qū)期末)如圖，直線y=辦+6與x軸交于N點(4,0),與直線y=交于2

【考點】一次函數(shù)與一元一次方程；一次函數(shù)的性質(zhì)

【分析】由圖象可知直線y=ox+6與直線>=〃式的交點是2(2,〃)，則可求方程的解.

【解答】解：?.?3(2,〃)是直線y=ax+6與直線y=的交點，

二一元一次方程"+6=mx的解為x=2,

故答案為：x=2.

【點評】本題考查一次函數(shù)與一元一次方程，熟練掌握一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系，數(shù)

形結(jié)合解題是關(guān)鍵.

7.(2021秋?崇川區(qū)校級月考)如圖，若反比例函數(shù)必=?與一次函數(shù)%="+6的圖象交

于/(2,%)、兩點，則不等式巾+6>4的解集為_-l<x<0或x>2_.

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點坐標(biāo)，即可得出不等

式的解集.

【解答】解：觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)-2<x<0或x>l時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖

象的下方，

貝IJ不等式ax+6>—的解集是一l<x<0或x>2.

X

故答案為：-l<x<0或x>2.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩函數(shù)圖象的上

下位置關(guān)系解不等式.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)兩函數(shù)圖象的

上下位置關(guān)系結(jié)合交點坐標(biāo)得出不等式的解集是關(guān)鍵.

8.(2021秋?天長市月考)已知，在同一坐標(biāo)系中二次函數(shù)必="2+6x+c與一次函數(shù)

+〃的圖象如圖，它們相交于點8(0,2),C(3,8),拋物線的頂點。(1,0),直線8c交

x軸于點A.

(1)當(dāng)必<%時，x的取值范圍是—0<x<3—.

(2)當(dāng)弘力>0時，x的取值范圍是.

【考點】二次函數(shù)與不等式(組)；拋物線與x軸的交點

【分析】(1)觀察圖象，即可得出答案；

(2)先求出點/的坐標(biāo)，再結(jié)合圖象，即可得出答案.

【解答】解：(1)?.?在同一坐標(biāo)系中二次函數(shù)必=o%2+bx+c與一次函數(shù)%=/x+"的圖象

如圖，它們相交于點3(0,2),C(3,8),

二當(dāng)功<%時，x的取值范圍是0<x<3,

故答案為：0<x<3.

(2)?.?一次函數(shù)%KS+”的圖象經(jīng)過點3(0,2),C(3,8),

{n=\

[3m+〃=4

解得:

n=\

y2=x+l，

當(dāng)y=0時，x+l=O,

解得：x=-1,

必%>0，

yi>%異號，

?在同一坐標(biāo)系中二次函數(shù)必-ax2+6x+c與一次函數(shù)為=mx+n的圖象相交于點8(0,2),

C(3,8),拋物線的頂點。(1,0),直線3C交x軸于點N(-l,0),

.,.當(dāng)弘%>0時，x的取值范圍是x>-l且xwl.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與不等式的關(guān)系，一次函數(shù)圖象和

性質(zhì)，學(xué)會觀察圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵.

9.(2021秋?黔西南州期中)如圖，拋物線y=f在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點(橫坐標(biāo)、縱

坐標(biāo)都為整數(shù)的點)依次為4,4,4,…4,將拋物線>=/沿直線/；>=x向上平移,

得到一系列拋物線，且滿足條件：①拋物線的頂點“廠M2,M3,都在直線y=x

上；②拋物線依次經(jīng)過點4，4，4，…，4，則頂點“2021的坐標(biāo)為—(4041,4041)

L

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；一次函數(shù)圖象與幾何變

換；規(guī)律型：點的坐標(biāo)；二次函數(shù)的性質(zhì)

【分析】根據(jù)拋物線的解析式結(jié)合整數(shù)點的定義，找出點4的坐標(biāo)為(〃，/)，設(shè)點的坐

標(biāo)為(a,°),則以點M“為頂點的拋物線解析式為y=(x-a)2+a,由點4的坐標(biāo)利用待定系

數(shù)法，即可求出。值，將其代入點"”的坐標(biāo)即可得出結(jié)論.

【解答】解：???拋物線歹=尤2在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點(橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點)

依次4，^2，，...，4“，...,

.,.點4的坐標(biāo)為(〃,〃2).

2

設(shè)點Mn的坐標(biāo)為(a,a),則以點Mn為頂點的拋物線解析式為y=(x-a)+a,

?.,點4,(凡"2)在拋物線y=(x-a)2+a上，

n2=(M-a)2+a,

解得：a=2〃—1或a=0(舍去)，

Mn的坐標(biāo)為(21,21),

:.M2O2l的坐標(biāo)為(4041,4041).

故答案為：(4041,4041).

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)

法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)點4的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出a值是解題的關(guān)鍵.

10.(2021秋?宜州區(qū)期中)已知二次函數(shù)〉=亦2+酗+。的圖象如圖所示，貝IJ方程

ax2++c=0的兩根之和是2

【考點】拋物線與x軸的交點；根與系數(shù)的關(guān)系

【分析】由二次函數(shù)的圖象可知了="2+法+。=0(0w0)和工軸交點橫坐標(biāo)分別為-1和3,

進(jìn)而可求出方程ax?+6x+c=0的兩根之和.

【解答】解：由圖象可知y=ax?+bx+c=O(aW0)和x軸交點橫坐標(biāo)分別為-1和3,

方程ax?+bx+c=Q的兩根之和為-1+3=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，熟知拋物線與x軸的交點與一元二次方程根的

關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

11.(2021秋?臺州期中)如圖，“心”形是由拋物線夕=-/+6和它繞著原點O,順時針旋

轉(zhuǎn)60。的圖形經(jīng)過取舍而成的，其中點C是頂點，點N,8是兩條拋物線的兩個交點，點￡,

F,G是拋物線與坐標(biāo)軸的交點，則48=_6G_,FG=,CE=.(寫出其中

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)圖象與幾何變換；拋物

線與X軸的交點

【分析】如圖1,連接OD,過點3作瓦/10C于點8,設(shè)比/，則03=2°,可得2(°,風(fēng)),

根據(jù)拋物線>=-爐+6經(jīng)過點8,建立方程可求得N3；由拋物線了=-/+6繞著原點。，

順時針旋轉(zhuǎn)60。的圖形與x軸交于點G,ZBOG=60°,可得G(26,0),再令y=0,可

求得尸,0),即可求出尸G；如圖2,設(shè)點E的坐標(biāo)為(0J),設(shè)點E旋轉(zhuǎn)前的點為

則。”=/,過點M作血軸于點N,可得出點M的坐標(biāo)為(1-/,-萬。，代入拋物線

>=_f+6,即可求得答案.

【解答】解：如圖I,連接?！?,過點2作8〃_L0C于點”，

?.?拋物線了=-f+6和它繞著原點。，順時針旋轉(zhuǎn)60。的圖形交于/、3兩點，

ZCOD=60°,C、。關(guān)于直線對稱，

ZCOB=ZBOD=30°,

■：ZOHB=90°,

OB=2BH,設(shè)BH=a,貝U=2a,

OH—VOB2—BH2—-J(2a)2—a2=\[?>a,

B(a,s/3a),

?.?拋物線了=-V+6經(jīng)過點8,

s/3u=—a~+6,

解得：0=6或一，

B(也，3),/(-2百，-6),

AB=7(-2V3-73)2+(-6-3)2=60,

?.?拋物線了=-d+6繞著原點。，順時針旋轉(zhuǎn)60。的圖形與x軸交于點G,ZBOG=60°,

OG=OB=7(V3-0)2+(3-0)2=2V3,

GQ6,0),

在y=-x2+6中，令y=0,貝！|x=±V6，

/.F(―,0)f

FG=2y/3-(-V6)=2用#,

如圖2,設(shè)點E的坐標(biāo)為（0,。，設(shè)點E旋轉(zhuǎn)前的點為M,則=

過點M作MN1x軸于點N，

ZMOE=60°,AMON=30°,

1h

:.MN=—t,ON=—t,

22

.?.點M的坐標(biāo)為(^-t,--t),

二,點M《t,—g。在拋物線＞=—Y+6上,

--r=-(—02+6,

22

解得：”上工亙，

3

.?.點E的坐標(biāo)為(0,1一，),

???C(0,6),

,「口,1-V73歷+17

..CE—6-------------------------,

33

故答案為：673,2V3+V6,阮+17.

圖2

圖1

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，兩點之間距離公式，直角三角形

性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解題意，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想.

4

12.（2021?福州模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，己知點尸（見2-加），點。（〃,一），則線段尸。的

長度的最小值是—亞

【考點】勾股定理；兩點間的距離公式

【分析】根據(jù)點的坐標(biāo)可知點P在直線y=-x+2上運(yùn)動，點。在雙曲線夕=±上運(yùn)動，則

根據(jù)圖象的對稱性可知：作直線y=x交圖象與尸、。點，此時尸。最小，即可解決問題.

【解答】解：；尸（見2-加），點0（〃,3）,

4

點尸在直線y=-x+2上運(yùn)動，點。在雙曲線》=一上運(yùn)動,

根據(jù)圖象的對稱性可知：作直線y=x交圖象與尸、0點，此時尸。最小,

.?.0(2,2),尸(1,1),

尸。最小值為亞，

故答案為：41■

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，反比例函數(shù)和一次

函數(shù)圖象的軸對稱性等知識，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

13.(2021秋?江漢區(qū)校級月考)拋物線的部分圖象如圖所示，則當(dāng)夕<0時，x的取值范圍

是—x<-l或x>3—.

x

【考點】拋物線與X軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)

【分析】由函數(shù)圖象可知拋物線的對稱軸為X=l，從而可得到拋物線與X軸的另一個交點

坐標(biāo)為(-1,0),y<0,找出拋物線位于X軸下方部分X的取值范圍即可.

【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象可知：拋物線的對稱軸為x=l,拋物線與x軸一個交點的坐標(biāo)

為(3,0),

由拋物線的對稱性可知：拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為(-1,0).

y<Q,

x<—1或x>3.

故答案為：x<-l或x>3.

【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)圖象確定出拋物線與x軸兩

個交點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

14.(2021秋?姑蘇區(qū)期中)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點/、C分別在y軸和x軸上,

4B//X軸，cos3=g.點P從B點出發(fā)，以lc〃?/s的速度沿邊A4勻速運(yùn)動，點。從點/出

發(fā)，沿線段/O-OC-C5勻速運(yùn)動.點P與點。同時出發(fā)，其中一點到達(dá)終點，另一點也

隨之停止運(yùn)動.設(shè)點P運(yùn)動的時間為f(s),A5P。的面積為S(q"2),已知S與/之間的函數(shù)

關(guān)系如圖②中的曲線段OE、線段E尸與曲線段尸G.以下說法正確的是(填序號)

①點0的運(yùn)動速度為3"i/s；

②點B的坐標(biāo)為(9,18)；

Q

③線段EF段的函數(shù)解析式為S=-t-,

2

④曲線尸G段的函數(shù)解析式為S=-，/+%；

⑤若NBPQ的面積是四邊形OABC的面積的,貝時間f=/或公”士普.

圖①圖②

【考點】動點問題的函數(shù)圖象

【分析】結(jié)合函數(shù)圖象得出當(dāng)3秒時，BP=3,此時ASP。的面積為13.50小，進(jìn)而求出NO

為9cm,即可得出。點的速度，進(jìn)而求出的長即可，進(jìn)而判斷①②；過點。作四_L48

于點根據(jù)三角形的面積公式可表達(dá)此時的S,進(jìn)而判斷③；畫出圖形可得出依=/,

?9

50=30-3/,則0M=1(30-3/)=18-1/,求出即可面積可判斷④；首先得出ASP0的面

積，分兩種情形分別列出方程即可解決問題進(jìn)而判斷⑤.

【解答】解：由題意可得出：當(dāng)3秒時，A3P0的面積的函數(shù)關(guān)系式改變，則0在/。上運(yùn)

動3秒，

當(dāng)3秒時，BP=3,此時ASP。的面積為13.5c/,

AO為9cm,

.?.點。的運(yùn)動速度為：9+3=3(CM/S),故①正確；

當(dāng)運(yùn)動到5秒時，函數(shù)關(guān)系式改變，則CO=6cw,

4

,/cosB=一,

5

二.可求出N8=6+12=18(5。，

.?.5(18,9)；故②錯誤;

當(dāng)點。在OC上時，如圖，?！盻1/8于點出，

y(cm)

如圖，PB=t,50=30—3/,過點。作于點

39

貝I」QM=W（30_3，）=18_?,

ioo

二?SAPS。=2*18-《，）=_歷?+%（5JJO）,

Q

即曲線尸G段的函數(shù)解析式為：S=--t2+9t；故④正確；

10

.?.S.3=；（6+18）X9=108,

,-.5=-X108=12,

9

當(dāng)0<，<3時，S=-t2,S=12時，1=2后或—2后（舍棄），

2

9

當(dāng)5</<10時，12=--/+%；；

10

解得彳J5+VI而或15-麗（舍棄），

33

綜上所述：1=2血或公”士咨，A5P。的面積是四邊形043c的面積的：.故⑤錯.

【點評】此題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象以及三角形，面積求法和待定系數(shù)法求函數(shù)解

析式等知識，具體的關(guān)鍵是學(xué)會以分類討論的思想思考問題，學(xué)會理由方程的思想解決問題,

屬于中考壓軸題.

15.（2021春?花都區(qū)期末）已知一次函數(shù)＞=履+6的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式

【考點】■次函數(shù)與元一次不等式；一次函數(shù)的圖象

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到不等式日+A4的解集，本題得以解決.

【解答】解：由圖象可得，

當(dāng)y=l時，夕=丘+6對應(yīng)的自變量x的值是1,該函數(shù)圖象y隨x的增大而增大，

不等式Ax+A耳的解集為,

故答案為：.

【點評】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式、一次函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答

問題是解答本題的關(guān)鍵.

16.（2021?阜寧縣二模）已知一次函數(shù)y=+6的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式

【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式；一次函數(shù)的圖象

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得到6=4后，k＜0,解不等式得到答案.

【解答】解：由題意得，一次函數(shù)＞=履+6的圖象經(jīng)過（-4,0）,左＜0,

-4k+6=0,

/.b=4k,

不等式可化為：2丘-4左＜0,

解得，x＞2,

故答案為：x>2.

【點評】本題考查的是一次函數(shù)與不等式，掌握一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一元一次不

等式的解法是解題的關(guān)鍵.

17.（2021春?羅湖區(qū)校級期末）如圖，若直線y=丘+6經(jīng)過4,8兩點，直線y=經(jīng)過

【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式

【分析】觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x>1時,直線y=kx+b都在直線y=mx的上方，即丘+6>mx.

【解答】解：當(dāng)x>l時，kx+b>mx,即關(guān)于x的不等式履+6>/nr的解集為x>1.

故答案為x>l.

【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)

>="+6的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確

定直線>=履+6在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合.

18.（2020?浙江自主招生）如圖，拋物線>=!/一7》+竺與x軸交于點4,B,把拋物線

22

在x軸及其下方的部分記作G,將G向左平移得。2，與x軸交于點3，D.若直線

17Q5

y=—x+/與G，共有3個不同的交點，則〃7的取值范圍是―—上<加<-±_.

282

【考點】拋物線與X軸的交點；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象與幾何變換；二

次函數(shù)的性質(zhì)

【分析】先由題意得關(guān)于X的一元二次方程，從而求得點3和點/的坐標(biāo)；再得出平移后的

解析式；然后分兩種情況得出臨界值：當(dāng)直線y+加過8,有2個交點；當(dāng)直線

2

>=；》+〃?與拋物線。2相切時，有2個交點；最后根據(jù)圖形得出符合題意的取值范圍即可.

【解答】解：???拋物線=、竺與軸交于點/,

y2-7x+XB,

22

145

.,.令一X2-7XH----=0,解得：玉=5,x=9

222f

.-.5(5,0),4(9,0).

二.G向左平移4個單位長度得c2,

的解析式為：J=1(X-3)2-2,

當(dāng)直線y=+m過B,有2個交點，

八55

0=—+冽,m=——；

22

當(dāng)直線y=+與拋物線。2相切時，有2個交點，

11、2

TYI——(x-3)-2,

x2—7x+5—2m—0，

v相切，

.?.△=49—20+8冽=0

295

-----<m<——；

82

故答案為：-竺■<冽

82

【點評】本題主要考查了拋物線與'軸的交點以及二次函數(shù)圖象與幾何變換的知識，解答本

題的關(guān)鍵是正確地畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題，此題有一定的難度.

19.（2021秋?揭東區(qū)期末）如圖，直線4:y=x+2與直線（：了=履+6相交于點/機(jī),4）,

則方程組卜二：+：的解是

[y=kx+b

【考點】一次函數(shù)與二元一次方程（組）

【分析】由兩條直線的交點坐標(biāo)（私4）,先求出加，再求出方程組的解即可.

【解答】解：?.?尸》=2經(jīng)過尸（冽,4）,

4=加+2,

:.m=2，

二.直線4:y=x+2與直線4：y=稅+J相交于點尸（2,4）,

x=2

y=4

x=2

故答案為

y=4

【點評】本題考查一次函數(shù)的交點與方程組的解的關(guān)系、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是

理解方程組的解就是兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，屬于中考?？碱}型.

20.（2021秋?青島期末）如圖，一次函數(shù)y=+6與y=x+2的圖象相交于點尸（加,4）,則

方程組/=：+：的解是—

[y=kx+b

【考點】一次函數(shù)與二元一次方程（組）

【分析】由兩條直線的交點坐標(biāo)（私4）,先求出力，再求出方程組的解即可.

【解答】解：,.?y=x+2的圖象經(jīng)過尸（加,4）,

/.4=m+2，

..IYI=2,

.\一次函數(shù)〉=履+6與》=;（:+2的圖象相交于點尸（2,4）,

>=：+2八的解是x=2

二方程組

y=kx+b>=4

故答案為.

1?=4

【點評】本題考查一次函數(shù)的交點與方程組的解的關(guān)系、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是

理解方程組的解就是兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo).

21.（2021春?營口期末）如圖，直線必=x+6與％=丘-1相交于點尸，則關(guān)于x的不等式

【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式

【分析】觀察函數(shù)圖象得到，當(dāng)x>T,函數(shù)y=x+6的圖象都在函數(shù)^=米-1圖象的上方,

于是可得到關(guān)于x的不等式x+6>fcc-l的解集.

【解答】解：當(dāng)x>T,函數(shù)夕=x+6的圖象在函數(shù)y=Ax-l圖象的上方，

所以關(guān)于x的不等式x+6>kx-\的解集為x>-1.

故答案為x>-l.

【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)

>=赤+6的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直

線>=依+6在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合.

22.（2021春?雨花區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=丘和y=-x+6的圖象，如

圖所示，則不等式fcv<-x+6的解集為x<1.

【考點】一次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)與一元一次不等式

【分析】結(jié)合圖象，寫出直線>=依在直線y=-x+6下方所對應(yīng)的自變量的范圍即可.

【解答】解：如圖所示：,一次函數(shù)y=Ax和y=-x+6的圖象交點為(1,2),

二.關(guān)于x的一元一次不等式fcc<-x+6的解集是：x<l,

故答案為：x<l.

【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.

三.解答題(共6小題)

23.(2021?和平區(qū)一模)如圖，拋物線>+*-豆，交>軸于點/,交x軸于2(-1,0),

C(5,0)兩點，拋物線的頂點為。，連接/C,CD.

(1)求直線/C的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點。的坐標(biāo)；

(3)過點。作x軸的垂線交AC于點G,點H為線段CD上一動點，連接GH,將NDGH沿

翻折至ijAGM?(點R,點G分別位于直線CD的兩側(cè))，GR交CD于點K,當(dāng)AGHK為

直角三角形時.

①請直接寫出線段J/K的長為_，—；

②將此RtAGHK繞點〃逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為戊(0。<￡<180。)，得到AMW,若直線

分別與直線CD,直線。G交于點P,Q,當(dāng)ADPQ是以尸。為腰的等腰三角形時，請直接

寫出點尸的縱坐標(biāo)為—.

備用圖

【考點】二次函數(shù)綜合題

【分析】(1)先根據(jù)拋物線交y軸于點/,求出點/坐標(biāo)，再運(yùn)用待定

系數(shù)法求直線4C的函數(shù)表達(dá)式即可；

(2)將8(-1,0),。(5,0)代入拋物線〉=獷2+/-b求出0,b,即可得拋物線解析式，

運(yùn)用配方法將拋物線解析式化為頂點式即可得出頂點坐標(biāo)；

(3)①根據(jù)AG"為直角三角形，且點R,點G分別位于直線。的兩側(cè)，可分三種情況:

ZGHK=90°或ZHGK=90°或ZGKH=90°,經(jīng)分析僅有ZGKH=90°符合題意，過點H作

血_1。6于點￡,則HL=HK,先證明AGOKsACD尸，再運(yùn)用面積法即可求出答案；

②由AZ)尸。是以P。為腰的等腰三角形，可分兩種情況：PQ=DQ或PQ=DP,分別求出

點尸的縱坐標(biāo)即可.

【解答】解：(1)設(shè)直線NC的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+c,

?.,拋物線卜=辦2+6x-§,交y軸于點/,

...4(0,_爭,

將/(0,-三)，C(5,0)分別代入〉=依+￡：,

20

得：,二一丁，

5左+c=0

解得：9,

20

c=---

I9

直線4c的函數(shù)表達(dá)式為：=,

99

(2)???拋物線》="2+氏一三經(jīng)過5(7,0),。(5,0)兩點,

720八

a-b-----=0

9

20

25。+56——=0

9

a=——

解得：9

6」

9

，拋物線的解析式為尸學(xué)9得,

416204,2，

?/y=—x2-----x------=—(x-2)-4,

9999

二頂點。的坐標(biāo)為(2,-4)；

(3)①如圖1,?.?△G”為直角三角形，且點R,點G分別位于直線。的兩側(cè),

ZGHK=90°或ZHGK=90°或ZGKH=90°,

當(dāng)NGE/K=90。時，NGHD=90。，點R落在直線。C上，不符合題意,

當(dāng)ZHGK=90。時，ZDGH=ZHGK=90。，點尺，點G位于直線CD的同側(cè)，不符合題意,

當(dāng)NGK〃=90。時，點R,點G分別位于直線CD的兩側(cè)，符合題意,

ZGKH=90°,ZDGH=ARGH，

過點H作HL工DG于點L,則HL=HK,

?1?D(2,-4),DG_Lx軸,

4

，G(2,_§),"2,0),

48

r>G=---(-4)=-,C尸=5-2=