2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【數(shù)形結(jié)合】幾何圖形中的數(shù)形結(jié)合思想（原卷版）

幾何圖形中的數(shù)形結(jié)合思想

知識方法精講

1.完全平方公式的幾何背景

(1)運(yùn)用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對

完全平方公式做出幾何解釋.

(2)常見驗(yàn)證完全平方公式的幾何圖形

(a+b)2=/+2仍+62.(用大正方形的面積等于邊長為0和邊長為b的兩個(gè)正方形與兩個(gè)長

寬分別是a,b的長方形的面積和作為相等關(guān)系)

2.平方差公式的幾何背景

(1)常見驗(yàn)證平方差公式的幾何圖形(利用圖形的面積和作為相等關(guān)系列出等式即可驗(yàn)證

圖(3?

(2)運(yùn)用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對平

方差公式做出幾何解釋.

3.七巧板

(1)七巧板是由下面七塊板組成的，完整圖案為一正方形：五塊等腰直角三角形(兩塊小

形三角形、一塊中形三角形和兩塊大形三角形)、一塊正方形和一塊平行四邊形.

(2)用這七塊板可以拼搭成幾何圖形，如三角形、平行四邊形、不規(guī)則的多角形等；也可

以拼成各種具體的人物形象，或者動(dòng)物或者是一些中、英文字符號.

(3)制作七巧板的方法：①首先，在紙上畫一個(gè)正方形，把它分為十六個(gè)小方格.②再

從左上角到右下角畫一條線.③在上面的中間連一條線到右面的中間.④再在左下角到右

上角畫一條線，碰到第二條線就可以停了.⑤從剛才的那條線的尾端開始一條線，畫到最

下面四份之三的位置，從左邊開始數(shù)，碰到線就可停.⑥最后，把它們涂上不同的顏色并

跟著黑線條剪開，你就有一副全新的七巧板了.

4.軸對稱的性質(zhì)

(1)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

由軸對稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：

①如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對

稱；

②如果兩個(gè)圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線,

就可以得到這兩個(gè)圖形的對稱軸.

(2)軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

5.坐標(biāo)與圖形變化-對稱

(1)關(guān)于x軸對稱

橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

(2)關(guān)于y軸對稱

縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

(3)關(guān)于直線對稱

①關(guān)于直線對稱，P(a,b)=>P(2m-a,b)

②關(guān)于直線對稱，P(a,b)nPQa,2〃-b)

6.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

(1)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

①對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.②對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)

角.③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.（2）旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋

轉(zhuǎn)角度.注意：三要素中只要任意改變一個(gè)，圖形就會不一樣.

7.解直角三角形

（1）解直角三角形的定義

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.

（2）解直角三角形要用到的關(guān)系

①銳角、直角之間的關(guān)系：ZA+ZB=90°；

②三邊之間的關(guān)系：/+62=C2；

③邊角之間的關(guān)系：

c°s/=N的對邊=

坐里_=曳，噌?邊=旦tan4=NAa

斜邊C斜邊CNA的鄰邊b

（q,b,C分別是N4/B、NC的對邊）

8.簡單組合體的三視圖

（1）畫簡單組合體的三視圖要循序漸進(jìn)，通過仔細(xì)觀察和想象，再畫它的三視圖.

（2）視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上的一個(gè)平面，而相連的兩個(gè)閉合線框常不在一

個(gè)平面上.

（3）畫物體的三視圖的口訣為：

主、俯：長對正；

主、左：iWi平齊；

俯、左：寬相等.

9.由三視圖判斷幾何體

（1）由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體

的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀.

（2）由物體的三視圖想象幾何體的形狀是有一定難度的，可以從以下途徑進(jìn)行分析：

①根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的

長、寬、高；

②從實(shí)線和虛線想象幾何體看得見部分和看不見部分的輪廓線；

③熟記一些簡單的幾何體的三視圖對復(fù)雜幾何體的想象會有幫助；

④利用由三視圖畫幾何體與有幾何體畫三視圖的互逆過程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方法.

10.數(shù)形結(jié)合思想

1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直

觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用

了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

2.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問

題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；（2）函

數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（4）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯

的幾何意義。如等式。

3.巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形

結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)

4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域、

最值問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，

大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要

爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。

一.選擇題（共17小題）

1.（2021秋?襄汾縣期末）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)

學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱

之為“趙爽弦圖”.現(xiàn)在勾股定理的證明已經(jīng)有400多種方法，下面的兩個(gè)圖形就是驗(yàn)證勾

股定理的兩種方法，在驗(yàn)證著名的勾股定理過程，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和

公式的方法，簡稱為“無字證明”.在驗(yàn)證過程中它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）

A.函數(shù)思想B.數(shù)形結(jié)合思想C.分類思想D.統(tǒng)計(jì)思想

2.（2021秋?金水區(qū)校級期末）如圖是一種正方形地磚的花型設(shè)計(jì)圖，為了求這個(gè)正方形地

磚的邊長，可根據(jù)圖示列方程（）

A.4—2x=6xB.2+4x=6xC.2+6x=4xD.4+2x=6x

3.（2021秋?宣化區(qū)期末）在邊長為°的正方形中挖掉一個(gè)邊長為6的小正方形（a>6）.把

余下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖）.通過計(jì)算圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式,

則這個(gè)等式是（)

A.a1-b1=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b1

C.(a-b)2=a2-2ab+b1D.a2-ab=a[a-b)

4.（2021?汝陽縣二模）七巧板是中國古代勞動(dòng)人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前

一世紀(jì).為祝賀辛丑年的到來，用一副七巧板（如圖①），拼成了“牛氣沖天”的圖案（如

D.180°

5.（2021秋?雁塔區(qū)校級月考）如圖，在A4BC中，AB=AC=IOBC=12,點(diǎn)。為的

中點(diǎn)，DELAB于點(diǎn)、E,貝hanNBDE的值等于（）

A

E,

BDC

A.-B.-C.-D.-

5643

6.（2021秋?禹州市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對AA8C進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對稱變

換，若原來點(diǎn)C坐標(biāo)是（5,2）,則經(jīng)過第2022次變換后點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（-5,-2）B.（5,-2）C.（-5,2）D.（5,2）

7.（2021秋?高青縣期中）已知長方形的周長為16c加，它兩鄰邊長分別為xcm,ycm,且

滿足（x-yf-2尤+2了+1=0,則該長方形的面積為（）

A.16cm2B.15cm2C.—cm2D.—cm2

24

8.（2021秋?舞鋼市期中）一個(gè)幾何體由若干個(gè)大小相同的小正方體搭成，從上面看到的幾

何體形狀如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示該位置小正方體的個(gè)數(shù)，能表示該幾何體從

左面看到的形狀圖是（）

如只帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓師傅切一塊與以前一樣的玻璃，你認(rèn)為下列說法正

確的是（）

4

A.帶其中的任意兩塊去都可以B.帶1、4或2、3去就可以

C.帶1、3或3、4去就可以D.帶1、4或2、4去就可以

10.（2021秋?福州期中）在O。中，將圓心繞著圓周上一點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)一定角度0,使旋轉(zhuǎn)后

的圓心落在。。上，則。的值可以是（）

A.45°B.60°C.90°D.180°

11.（2021秋?謝家集區(qū)期中）如圖，AA8C與耳G關(guān)于直線血W對稱，P為MN上任

一點(diǎn)（尸不與441共線），下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.AP=AXP

B.AX8c與△4耳G面積相等

C.垂直平分441

D.直線48,其月的交點(diǎn)不一定在上

12.（2021秋?三元區(qū)期中）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

形，其中邑=4,SB=2,Sc=2,SD=1,貝！JS=（）

B

A.25B.20C.9D.5

13.（2021秋?鄧州市期中）如圖，在等邊三角形/8C中，4B=4,點(diǎn)D是邊4B上一點(diǎn),

且點(diǎn)尸是邊5C上一動(dòng)點(diǎn)（。、尸兩點(diǎn)均不與端點(diǎn)重合），作/。尸E=60。，PE交

邊AC于點(diǎn)、E.若CE=a,當(dāng)滿足條件的點(diǎn)尸有且只有一個(gè)時(shí)，則。的值為（）

A.2B.2.5C.3D.4

14.（2021春?雁塔區(qū)期末）對于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到

一個(gè)數(shù)學(xué)等式.例如，利用圖1可以得至那么利用圖2所得到的數(shù)學(xué)等

A.(Q+/7+0)?="++0?

B.(a+6+c)2=2a2+2b2+2c2

C.(a+b+c)2=a2+b2+c2+ab+be+ca

D.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

15.（2021秋?海曙區(qū)校級期中）如圖，所有矩形都是正方形，設(shè)最大正方形的邊長是最小

正方形邊長的〃倍，則〃的值為（）

22

16.（2021春?羅湖區(qū)校級期中）在邊長為°的正方形中挖掉一個(gè)邊長為b的小正方形（0>6）,

把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖），通過計(jì)算圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)

等式，則這個(gè)等式是（）

■I

A.a2-ab=a（a-b）B.a2-b2=（a+b）｛a-b）

C.（a+ft）2=a2+lab+b1D.（a-b）2=a2-lab+b1

17.（2018春?太原期末）如圖，小明用長為ac加的10個(gè)全等的小長方形拼成一個(gè)無重疊,

無縫隙的大長方形，這個(gè)大長方形的面積為（）

452

—.填空題（共7小題）

18.（2021秋?平昌縣期末）三國時(shí)期，數(shù)學(xué)家趙爽繪制了“勾股圓方圖”，又叫“趙爽弦圖”,

如圖所示，AABH,NBCG>AC。下和AZ14E是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形/2CL1和

四邊形昉G”都是正方形，如果￡F=2,AH=6,那么四邊形/BCD的面積等于.

19.（2021秋?沂水縣期末）有兩個(gè)正方形/、B,現(xiàn)將2放在/的內(nèi)部得圖甲，將/、B

并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖乙.若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和10,則正

方形/,B的面積之和為

圖甲圖乙

20.（2021秋?雁塔區(qū)校級月考）如圖，A4BC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tan/A4c

的值為

21.(2021秋?朝陽區(qū)校級月考)如圖，在1MBe中，AB=AC,ADLBC,ABAD=28°,

^.AD=AE,貝1]N4ED=

22.（2021秋?秦都區(qū)月考）已知幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為一.（結(jié)

果保留萬）

俯視圖

23.（2021秋?思明區(qū)校級期中）4張長為。、寬為6（。＞6）的長方形紙片，按如圖的方式拼

成一個(gè)邊長為（。+6）的正方形，圖中空白部分的面積為耳，陰影部分的面積為S?.

(1)若a=3,b=\J貝！|5[=

(2)若￡=2邑，求0與6滿足關(guān)系:

24.(2021秋?襄汾縣月考)有若干個(gè)大小形狀完全相同的小長方形，現(xiàn)將其中4個(gè)如圖1

擺放，構(gòu)造出一個(gè)正方形，其中陰影部分面積為35；其中5個(gè)如圖2擺放，構(gòu)造出一個(gè)長

方形，其中陰影部分面積為102(各個(gè)小長方形之間不重疊不留空)，則每個(gè)小長方形的面

三.解答題(共11小題)

25.(2021秋?東?？h期中)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，QO的半徑為1,點(diǎn)P(-3,0).已

知點(diǎn)7是。。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)T的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Pt，我們稱點(diǎn)月為點(diǎn)P關(guān)于。。的反射

點(diǎn)，請解決下列問題:

備用作

(1)在點(diǎn)/(1,0),8(3,-2),C(l,l),。(5,0)中，不是點(diǎn)尸關(guān)于。。的反射點(diǎn)的是

;(只填寫對應(yīng)字母)

(2)若T點(diǎn)從(-1,0)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到,試求點(diǎn)尸關(guān)于。。的反射點(diǎn)片的運(yùn)動(dòng)路徑長;

(3)若在直線y=x+6上存在點(diǎn)尸關(guān)于。。的反射點(diǎn)，求6的取值范圍.

26.(2021春?蕭山區(qū)期中)兩個(gè)邊長分別為a和6的正方形如圖放置，其未疊合部分(陰影)

面積為若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長為6的小正方形(如圖2),兩個(gè)

小正方形疊合部分(陰影)面積

(1)用含a,6的代數(shù)式分別表示岳，邑；

(2)若a+6=15,ab=5,求￡+星的值；

(3)當(dāng)，+§2=64時(shí)，求出圖3中陰影部分的面積S3.

27.(2021春?臨渭區(qū)期末)數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助圖的直

觀性，可以幫助理解數(shù)學(xué)問題.

ab

(1)請寫出圖1、圖2、圖3分別能解釋的乘法公式.

(2)用4個(gè)全等的長和寬分別為a、6的長方形拼擺成一個(gè)如圖4的正方形，請你寫出這

三個(gè)代數(shù)式(a+6)2、(a-b)\之間的等量關(guān)系.

(3)根據(jù)(2)中你探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下列問題：

①當(dāng)。+6=5,“6=-6時(shí)，貝！Ja-6的值為.

②設(shè)/=x+?3,B=x_2y_3,計(jì)算：(/+8)2-(4-8)2的結(jié)果.

28.(2020秋?延邊州期末)【知識生成】我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示

一些代數(shù)恒等式.

例如圖1可以得到(“+6)2=/+2仍+〃，基于此，請解答下列問題：

(1)根據(jù)圖2,寫出一個(gè)代數(shù)恒等式；—.

(2)利用(1)中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若“+b+c=10,ab+ac+bc=35,則

a2+b2+c2=.

（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長為。的正方形，y張邊長為6的正方形，z張寬、長分別為

a、6的長方形紙片拼出一?個(gè)面積為（2a+6）（。+26）長方形，則x+y+z=.

【知識遷移】（4）事實(shí)上，通過計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示

的是一個(gè)邊長為x的正方體挖去一個(gè)小長方體后重新拼成一個(gè)新長方體，請你根據(jù)圖4中圖

形的變化關(guān)系，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：—.

29.（2020春?邢江區(qū)期末）如圖1是一個(gè)長為4°、寬為6的長方形，沿圖中虛線用剪刀平

均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）

（1）觀察圖2請你寫出（a+6＞、（a-b）2,仍之間的等量關(guān)系是；

Q

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，若x+y=5,x-y=—,貝！Jx-y=；

（3）拓展應(yīng)用：若（2019-加＞+（加-2020）2=15,求（2019-優(yōu)）（a-2020）的值.

30.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）我們將（0+6）2=/+2仍+62進(jìn)行變形，如：

a2+廿=（a+b"2ab,而=絲土”叵土^等.根據(jù)以上變形解決下列問題:

（1）已知。2+6?=10,（。+6）2=18,則必=.

(2)已知，若x滿足(25-x)(x-10)=T5,求(25-尤＞+(x-lO?的值.

(3)如圖，長方形48FD,DALAB,FBLAB,AD=AC,BE=BC,連接CD,CE,

若/C-8C=10,則圖中陰影部分的面積為.

31.(2021秋?光澤縣期中)如圖所示，已知長方形的長為a米，寬為6米，半圓半徑為尸米.

(1)這個(gè)長方形的面積等于一平方米；

(2)用代數(shù)式表示陰影部分的面積S；

(3)當(dāng)a=3,6=2,廠=0.5時(shí)，求陰影部分的面積S(結(jié)果保留萬).

32.(2021秋?南安市期中)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，/種紙

片是邊長為a的正方形，5種紙片是邊長為6的正方形，C種紙片是長為6,寬為a的長方

形.并用/種紙片一張，8種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.利用圖2

正方形面積的不同表示方法，可以驗(yàn)證公式：(0+6)2=/+29+62.

(1)類似的，請你用圖1中的三種紙片拼一個(gè)圖形驗(yàn)證：(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2,

請畫出圖形.

(2)已知：a+b=5,a2+Z?2=13,求的值；

(3)已知(2021-a>+(a-2020y=4043,求(2021-a)(a-2020)的值；

(4)已知(a-2020)2+(a-2022)2=64,求(a-202的值.

33.（2021秋?西城區(qū)校級期中）數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)方法之一，在研究

代數(shù)問題時(shí)，如：學(xué)習(xí)平方差公式和完全平方公式，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用面積法可以

很直觀地推導(dǎo)出公式.以下三個(gè)構(gòu)圖都可以用幾何方法生成代數(shù)結(jié)論，請嘗試解決問題.

構(gòu)圖一，小函同學(xué)從邊長為a的大正方形紙板中挖去一個(gè)邊長為6的小正方形后，將其裁成

四個(gè)相同的等腰梯形（如圖（1））,然后拼成一個(gè)平行四邊形（如圖（2））,那么通過計(jì)

算兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證成立的公式為（—）.

A.a2-b2=（a-b）2B.（a+b）2=a2+lab+b2C.（a-b）2=a2-2ab+b1D.

a2-b2=(a+b)(a-b)

構(gòu)圖二、小云同學(xué)在數(shù)學(xué)課上畫了一個(gè)腰長為。的