2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【數(shù)學(xué)模型】建立方程模型解決實際問題（解析版）

建立方程模型解決實際問題

知識方法精講

1.一元一次方程的應(yīng)用

（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數(shù)字問題;

（3）銷售問題（利潤=售價-進(jìn)價，利潤率=今膽乂100%）；（4）工程問題（①工作量

進(jìn)價

=人均效率X人數(shù)X時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和=

工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度義時間）；

（6）等值變換問題；

（7）和，差，倍，分問題；

（8）分配問題;

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）.

（二）利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量,

直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x,然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出

之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、歹h解、答.

列一元一次方程解應(yīng)用題的五個步驟

1.審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系.

2.設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x）,根據(jù)實際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知

數(shù).

3.歹!J：根據(jù)等量關(guān)系列出方程.

4.解：解方程，求得未知數(shù)的值.

5.答：檢驗未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句.

2.二元一次方程組的應(yīng)用

（一）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

(3)列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組.

(4)求解.

(5)檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答.

(二)設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元.

當(dāng)問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元.無論怎

樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程.

3.一元二次方程的應(yīng)用

1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，檢驗和作答.

2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：

(1)數(shù)字問題：個位數(shù)為。，十位數(shù)是6,則這個兩位數(shù)表示為106+服

(2)增長率問題：增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量X100%.如：若原數(shù)是0,每次增長的百分率

為x,則第一次增長后為。(1+x)；第二次增長后為。(1+x)2,即原數(shù)X(1+增長百分率)

2=后來數(shù).

(3)形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角

形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③

利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二

次方程.

(4)運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會

構(gòu)成直角三角形，可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”

1.審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.

2.設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù).

3.歹IJ：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程.

4.解：準(zhǔn)確求出方程的解.

5.驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題.

6.答：寫出答案.

4.分式方程的應(yīng)用

1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、歹!］、解、驗、答.

必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整,

要寫出單位等.

2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度=路程時間；工作量問題：工作效率

=工作量工作時間等等.

列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點，要學(xué)會分析題意，提高理解能

力.

選擇題（共1小題）

1.（2020?綿陽模擬）利用兩塊相同的長方體木塊測量一張桌子的高度.首先按圖1方式放

置，再交換兩木塊的位置，按圖2方式放置.測量的數(shù)據(jù)如圖，則桌子的高度是（）

2

A.73cmB.74cmC.75cmD.76cm

【考點】二元一次方程組的應(yīng)用

【分析】設(shè)長方體長xcm,寬桌子的高為""，由圖象建立方程組求出其解就可以

得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)長方體長寬衣加，桌子的高為°C加，由題意，得

x+a-y=19

y+a-x="!3

解得：2a=152,

..a=76?

故選：D.

【點評】本題考查了運用列三元一次方程組解決實際問題的運用及方程組的解法的運用，在

解答時設(shè)參數(shù)建立方程是關(guān)鍵.

二.解答題（共19小題）

2.（2020秋?石獅市期末）如圖，將一塊直角三角板N8C按如圖所示放置，點/,3在數(shù)

軸上，48=5,點2在點/右邊，點/表示的數(shù)是-3.

（1）直接填空：點8表示的數(shù)是2；

（2）將三角板A8C沿數(shù)軸正方向移動至三角板4"。的位置，點/,B,C的對應(yīng)點分

別是點H,B',C.

①連結(jié)C4',若C4'恰好將三角板NBC的面積分成2:3的兩部分，求這時點4表示的數(shù)；

②設(shè)三角板48c的移動速度為每秒2個單位長度，點E為線段44,的中點，點下在線段BB'

上，且3*=48廠.設(shè)三角板/8C移動的時間為，（秒）.試探索：是否存在某一時刻f,

使點E與點尸表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)？若存在，試求出f的值；若不存在，請說明理由.

（備用圖）

【考點】數(shù)軸；一元一次方程的應(yīng)用

【分析】（1）設(shè)數(shù)軸的原點為0,利用已知條件求得線段03即可得出結(jié)論；

（2）利用高相等的三角形的面積比等于底的比可得44:48=2:3或/4:43=3:2,根據(jù)

48=4夕=5可求44，=2,/2=3或//'=3,42=2,結(jié)合數(shù)軸即可得出結(jié)論；

（3）存在某一時刻f,使點E與點尸表示的兩個數(shù)互為相反數(shù).依據(jù)題意畫出圖形，用/的

代數(shù)式表示出點尸，￡對應(yīng)的數(shù)字，利用點E與點尸表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)列出方程，

解方程即可求得結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)數(shù)軸的原點為。，如圖，

:點、A表示的數(shù)是-3,

OA=3.

AB=5,

:.OB=AB-OA=5-3=2.

.?.點8表示的數(shù)是：2.

故答案為：2.

(2)①如圖1,

C'

CA'恰好將三角板48C的面積分成2:3的兩部分,

N4:43=2:3或N4:48=3:2.

AB=5,

AA'=2,48=3或=3,A'B=2.

???點/表示的數(shù)是-3,

.,.點/'表示的數(shù)是-1或0.

②存在某一時刻/，使點E與點尸表示的兩個數(shù)互為相反數(shù).如圖2,

AA'=BB'=2t.

?.?點E為44,的中點，

.-.AE=A'E=-AA'=-x2t=t,

22

.,.點E表示的數(shù)是-3+/.

VBB'=4BF,

BF=-BB'=-x2t=-t.

442

二點尸表示的數(shù)是2+』7.

2

?.?點E表示的數(shù)與點F表示的數(shù)是互為相反數(shù)，

(-3+0+(2+1?)=0,

解得

3

即當(dāng)f=4時，點E與點歹表示的兩個數(shù)互為相反數(shù).

3

【點評】本題主要考查了數(shù)軸，數(shù)軸上點的特征，一元一次方程的應(yīng)用，利用數(shù)軸上點對應(yīng)

的數(shù)字表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵.

3.(2021秋?碑林區(qū)校級期中)【知識準(zhǔn)備工數(shù)軸上/、3兩點對應(yīng)的數(shù)分別為a、b,則

A>B兩點之間的距禺表示為：AB=\a-b\.

【問題探究工數(shù)軸上/、8兩點對應(yīng)的數(shù)分別為。、b,且滿足|a+2|+(6-6)2=0.

(1)求得4、B兩點之間的距離是8；

(2)若在數(shù)軸上有一點滿足皿f=求點M表示的數(shù)；

(3)若尸、。兩點在數(shù)軸上運動，點尸從/出發(fā)以2個單位長度/秒的速度向右勻速運動,

同時，點。從B出發(fā)以3個單位長度/秒的速度向左勻速運動.經(jīng)過一秒，P、。相距

2個單位長度；

(4)原點。在數(shù)軸上表示0,點N在數(shù)軸上表示3,若/、。兩點在數(shù)軸上以2個單位長

度/秒的速度同時向右勻速運動，與此同時，8、N以3個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向

左勻速運動，在這個過程中，有一段時間，/、。兩點都運動在線段3N上，則這段時間的

時長是一秒.

【考點】數(shù)軸；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；一元一次方程的應(yīng)用

【分析】(1)利用非負(fù)數(shù)的意義求得“，6的值，用兩點之間的距離公式解答即可；

(2)設(shè)點"表示的數(shù)為x,利用兩點間的距離公式表示出的長，利用已知條件

列出方程即可求解；

(3)設(shè)時間為則P表示的數(shù)為：-2+2Z,。表示的數(shù)為：6-3?,用表示兩點的距離公

式設(shè)出尸。，列出方程求出解即可；

(4)求得4V,03的長，設(shè)點/與點N重合的時間為小，點。與點8重合的時間為,

求出點/與點N相遇，點。與點8相遇的時間，得到兩次相遇的時間之差即可.

【解答】解：(1)Ya+21+3-6)2=0,|a+2|^0,

a+21=0,(b-6)2=0,

二尸，

[b=6

即AB=|6-(-2)|=8,

故答案為：8；

(2)設(shè)M點表示的數(shù)為》,

AM=|X-(-2)H^+2|,BM=\6-x\f

???BM=4AM,

/.|6—x|-41x+21,

/.6—x-4(x+2)6—x——4(x+2),

2T14

即Rn％=——或％=---.

53

答：”表示的數(shù)為-2或-3；

53

(3)設(shè)時間為I,則尸表示的數(shù)為：-2+2，。表示的數(shù)為：6-3t,

由題意得，|(-2+20-(6-3/)|=2,

解得：f=2或9,

5

故答案為：2或9；

5

(4)?.?/。=0-(-2)=2,

BN=6—3=3,

設(shè)點/與點N重合的時間為f]S,點。與點3重合的時間為^s,

?.?若/、。兩點在數(shù)軸上以2個單位長度/秒的速度同時向右勻速運動，與此同時，B.N

以3個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向左勻速運動，

/.24+3%=5,2tz+3,2=6,

解得：4=1,t2=1.2.

t2—tx=1.2—1=0.2.

故答案為：

5

【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、絕對值的意義、數(shù)軸.解本題的關(guān)鍵熟練掌握絕

對值得意義，及理解題意.

4.(2021春?農(nóng)安縣期末)長春消夏燈會節(jié)將在長春農(nóng)博園舉辦.承辦方計劃在現(xiàn)場安裝小

彩燈和大彩燈.已知：安裝5個小彩燈和4個大彩燈共需150元；安裝7個小彩燈和6個大

彩燈共需220元.

(1)安裝1個小彩燈和1個大彩燈各需多少元.

(2)若承辦方安裝小彩燈和大彩燈的數(shù)量共300個，費用不超過4350元，則最多安裝大彩

燈多少個？

【考點】二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用

【分析】(1)設(shè)安裝1個小彩燈需X元，1個大彩燈需?元，根據(jù)題干的等量關(guān)系建立方程

組求出其解即可；

(2)設(shè)安裝大彩燈。個，則小彩燈(300-°)個，根據(jù)題意列不等式解得..

【解答】解：(1)設(shè)安裝1個小彩燈需x元，1個大彩燈需y元，

由題意得，,，

[7x+6j=220

解得：=，

V=25

答：安裝1個小彩燈和1個大彩燈各需10元和25元；

(2)設(shè)安裝大彩燈。個，則小彩燈(300-a)個，

由題意得，10(300-a)+25^350,

答：最多安裝大彩燈90個.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及不等式解決實際問題，根據(jù)題干建立等量關(guān)

系是解答此題的關(guān)鍵.

5.(2019秋?長樂區(qū)期末)已知兩條直線/-12,/"〃2，點/，8在直線4上，點/在點8

的左邊，點C,D在直線上，且滿足NNDC=N48C=115。.

(1)如圖①，求證：AD//BC；

(2)點M,N在線段上，點又在點N的左邊且滿足NM4C=ZB/C,且NN平分NC4D；

(I)如圖②，當(dāng)NNCD=30。時，求ZD4W的度數(shù)；

【考點】平行線的判定與性質(zhì)

【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)定理與判定定理解得即可；

(2)(I)利用平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理分別求得ND4C與NM4C的度數(shù)即可

得出結(jié)論；

（II）設(shè)/MAN=x。,則/C/O=8x。，利用方程的思想解答即可.

【解答】證明：（1）???4/〃2,

:.NABC+NBCD=180。.

???ZADC=/ABC，

:.ZADC+ZBCD=1SO0.

ADIIBC.

解：⑵（I）???/i/〃2，

NBAC=/ACD=30。.

???/MAC=/BAC,

/MAC=30°.

vAADC=AABC=\\50,NACD=30。,

ADAC=180。一ZADC-ZACD=35°.

ADAM=ADAC-AMAC=35°-30°=5°.

（II）設(shè)AMAN=x°,則/CAD=8x°,

vAN平分ACAD,

ADAN=/CAN=4x°.

/CAM=/MAN+ZCAN=5x°.

???ZDAB=180?！猌ADC=65°,

/CAB=ZDAB-ADAC=65°-8x°,

,/4/〃2，

NDCA=/CAB=65°-8x°.

65°-8x°=5x°.

解得：x=5.

:.ZACD=5x=250.

【點評】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，設(shè)

ZMAN=x,進(jìn)而用工的代數(shù)式表示出相應(yīng)各角的度數(shù)，列出方程是解題的關(guān)鍵.

6.（2021春?婺城區(qū)校級期中）某包裝生產(chǎn)企業(yè)承接了一批上海世博會的禮品盒制作業(yè)務(wù)，

為了確保質(zhì)量，該企業(yè)進(jìn)行試生產(chǎn).他們購得規(guī)格是170c冽x40c冽的標(biāo)準(zhǔn)板材作為原材料，

每張標(biāo)準(zhǔn)板材再按照裁法一或裁法二裁下/型與B型兩種板材.如圖所示，（單位：cm）

（1）列出方程（組），求出圖甲中。與6的值.

（2）在試生產(chǎn)階段，若將張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法一裁剪，”張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法二裁剪，再將

得到的N型與8型板材做側(cè)面和底面，做成圖乙橫式無蓋禮品盒.

①兩種裁法共產(chǎn)生/型板材_2加+〃_張，2型板材一張（用〃八〃的代數(shù)式表示）；

②當(dāng)3曰340時，所裁得的/型板材和8型板材恰好用完，做成的橫式無蓋禮品盒可能是

個.（在橫線上直接寫出所有可能答案，無需書寫過程）

（裁法一）（裁;立）

圖甲圖乙

【考點】二元一次方程組的應(yīng)用

【分析】（1）由圖示利用板材的長列出關(guān)于“、6的二元一次方程組求解；

（2）①根據(jù)已知和圖示計算出兩種裁法共產(chǎn)生4型板材和B型板材的張數(shù)；

②根據(jù)豎式與橫式禮品盒所需要的/、2兩種型號板材的張數(shù)列出關(guān)于x、y的二元一次方

程組，然后求解即可.

2。+6+10=170

【解答】解：由題意得:

4+26+30=170

a=60

解得

6=40

（2）①由圖不裁法一產(chǎn)生/型板材為：2x7〃=2〃?，裁法二產(chǎn)生/型板材為：lxn=n,

所以兩種裁法共產(chǎn)生N型板材為2m+w（張），

由圖示裁法一產(chǎn)生2型板材為：1xm=m,裁法二產(chǎn)生/型板材為，2x〃=2",

所以兩種裁法共產(chǎn)生3型板材為（根+2〃）張；

②當(dāng)30^40時，所裁得的/型板材和B型板材恰好用完，做成的橫式無蓋禮品盒可能是

24或27或30個.

由圖可知，做一個橫式無蓋禮品盒需/型板材3張，3型板材2張.

???所裁得的板材恰好用完，

2m+nm+In〃的汨.

=,化間得m=4〃.

3----2

“，機皆為整數(shù)，

；.以為4的整數(shù)倍,

加可取32,36,40,

此時，〃分別為8,9,10,可做成的禮品盒個數(shù)分別為24,27,30.

故答案為：2〃z+”；m+2/7；24或27或30.

【點評】本題考查的知識點是二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的

等量關(guān)系，列出方程組.

7.（2021?臨海市一模）【發(fā)現(xiàn)問題】

小聰發(fā)現(xiàn)圖1所示矩形甲與圖2所示矩形乙的周長與面積滿足關(guān)系：空=鼠」.

C甲S甲2

24

G=56

4甲

S甲=96

圖1

【提出問題】

對于任意一個矩形是否一定存在矩形使得5成立?

QS/2

【解決問題】

（1）對于圖2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可設(shè)兩條鄰邊長分別為x和7-x）,使得

殳=8=!成立.若存在，求出矩形丙的兩條鄰邊長；若不存在，請說明理由;

C乙S乙2

（2）矩形/兩條鄰邊長分別為加和1,若一定存在矩形2,使得品='='成立，求加的

a邑2

取值范圍;

（3）請你回答小聰提出來的問題.若一定存在，請說明理由；若不一定存在，請直接寫出

矩形/兩條鄰邊長a,b滿足什么條件時一定存在矩形

【考點】四邊形綜合題

【分析】（1）利用反證法證明即可;

（2）假定存在矩形設(shè)矩形B的一邊為x,則另一邊為業(yè)-x,由題意得到一元二次

2

方程，令△尺）即可求得結(jié)論；

（3）利用（2）中的解答即可回答小聰提出來的問題.

【解答】解：（1）不存在矩形丙，使得殳成立.理由：

C乙S乙2

假定存在矩形丙，

..。丙=S丙=1

'cjsj2,

，矩形丙的兩個鄰邊之和為7,它的面積為24.

設(shè)兩條鄰邊長分別為x和7-x,由題意得：

x（7-x）=24.

/.-7x+24-0.

???△=（-7）2—4x1x24=—47<0,

二.此方程沒有實數(shù)根，

二不存在矩形丙，使得殳=&=!成立.

c乙s乙2

（2）?.■矩形/兩條鄰邊長分別為“和1,

若存在矩形3,使得七=8=工成立，則矩形8的鄰邊之和為％±1.

Q22

設(shè)矩形2的一邊為x,則另一邊為"-x,由題意得：

2

m+1、mx1

x（z------------X）=---------.

22

化簡得：2x2-（m+l）x+m=0.

由題意方程一（加+1）X+加=0一定有實數(shù)根.

/.△=［一（加+1）］2-4x2m^0.

解得：聯(lián)3+2A/2或—2^/2.

m為矩形A的邊長，

:.m>0.

加的取值范圍為：0<〃穴3-2五或^翼+2血.

（3）由（2）可知：對于任意一個矩形/,不一定存在矩形B,使得0=%=工成立.

Q邑2

當(dāng)矩形N兩條鄰邊長。，6滿足0＜幺黃-20或2負(fù)+2也時，一定存在矩形3.

aa

【點評】本題是四邊形的綜合題，主要考查了矩形的周長與面積，一元二次方程根的判別式,

一元二次不等式的解法，反證法的應(yīng)用，利用轉(zhuǎn)化的思想將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題

是解題的關(guān)鍵.

8.（2020秋?扶風(fēng)縣期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球

卻開始持續(xù)蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響.新冠肺炎具有人傳人的特性,

若一人攜帶病毒，未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患新冠肺炎（假設(shè)每輪傳染

的人數(shù)相同）.求：

（1）每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？

（2）如果這些病毒攜帶者，未進(jìn)行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有

多少人患??？

【考點】一元二次方程的應(yīng)用

【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，根據(jù)一人患病后經(jīng)過兩輪傳染后共有

169人患病，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)經(jīng)過三輪傳染后患病人數(shù)=經(jīng)過兩輪傳染后患病人數(shù)x（l+12）,即可求出結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，

依題意，得：1+x+x（l+x）=169,

解得：網(wǎng)=12,x2=-14（不合題意，舍去）.

答：每輪傳染中平均每個人傳染了12個人.

（2）169x（1+12）=2197（人）.

答：按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有2197人患病.

【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

9.（2021春?濟陽區(qū)期末）國務(wù)院總理李克強表示，地攤經(jīng)濟、小店經(jīng)濟是就業(yè)崗位的重要

來源，是人間煙火，和“高大上”一樣，是中國的生機.響應(yīng)國家號召，成都某社區(qū)擬建/、

8兩類地攤攤位，已知每個/類攤位占地面積比3類多2平方米，建N類攤位需40元/平

方米，B類30元/平方米，用60平方米建/類攤位的個數(shù)恰好是同樣面積建3類攤位個數(shù)

的3.

5

(1)求每個/、B類攤位占地面積各為多少平方米？

(2)若該社區(qū)擬建N、8兩種攤位共90個，且/類攤位數(shù)量要多于22個，建造總費用不

超過10850元，則共有幾種建造方案？

(3)在(2)的條件下，哪種方案總費用最少？最少費用為多少元？

【考點】分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式組的應(yīng)用

【分析】(1)設(shè)每個B類攤位的占地面積為x平方米，則每個A類攤位的占地面積為(x+2)

平方米，根據(jù)用60平方米建N類攤位的個數(shù)恰好是同樣面積建2類攤位個數(shù)的3,即可得

5

出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)建造加個N類攤位，則建造(90-⑼個8類攤位，根據(jù)“N類攤位數(shù)量要多于22

個，建造總費用不超過10850元”，即可得出關(guān)于機的一元一次不等式組，解之即可得出m

的取值范圍，再結(jié)合〃，為整數(shù)，即可得出各建造方案；

(3)利用總費用=建造每個攤位的費用x建造攤位的個數(shù)，即可分別求出3個建造方案所

需費用，比較后即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)每個B類攤位的占地面積為x平方米，則每個4類攤位的占地面積為

(x+2)平方米.

依題意可得：旦=3x竺，

x+25x

解得：x=3,

經(jīng)檢驗，x=3是原分式方程的解，且符合題意，

x+2=3+2=5.

答：每個/類攤位的占地面積為5平方米，每個8類攤位的占地面積為3平方米;

(2)設(shè)建造加個/類攤位，則建造(90-⑼個2類攤位，

依題意有：40x5加+30x3(90-加)*850,

解得：rn^S.5.

又＞22,

r.22<rn^S,5，

故共有3種建造方案,

方案1：建造23個/類攤位，67個2類攤位;

方案2：建造24個4類攤位，66個8類攤位;

方案3：建造25個/類攤位，65個B類攤位；

（3）方案1所需總費用為：40x5x23+30x3x67=10630（元），

方案2所需總費用為：40x5x24+30x3x66=10740（元），

方案3所需總費用為：40x5x25+30x3x65=10850（元）.

???10630<10740<10850,

方案1的總費用最少，最小費用為10630元.

【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找

準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組;

（3）利用總費用=建造每個攤位的費用x建造攤位的個數(shù)，分別求出3個建造方案所需費

用.

10.（2021秋?集賢縣期末）如圖是寬為20米，長為32米的矩形耕地，要修筑同樣寬的三

條道路（兩條縱向，一條橫向，且互相垂直），把耕地分成六塊大小相等的試驗地，要使

試驗地的總面積為570平方米，問：道路寬為多少米？

【考點】一元二次方程的應(yīng)用

【分析】試驗地的面積=矩形耕地的面積-三條道路的面積+道路重疊部分的兩個小正方形

的面積.如果設(shè)道路寬x,可根據(jù)此關(guān)系列出方程求出x的值，然后將不合題意的舍去即

可.

【解答】解：設(shè)道路為x米寬，

由題意得：20x32-20xx2-32x+2x2=570,

整理得：*-36x+35=0,

解得：x=1>x=35,

經(jīng)檢驗是原方程的解，但是x=35>20,因此不合題意舍去.

答：道路為1根寬.

【點評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，對于面積問題應(yīng)熟記各種圖形的面積公式.整

體面積=各部分面積之和；剩余面積=原面積-截去的面積.

11.（2021?奎屯市二模）甲商品的進(jìn)價為每件20元，商場將其售價從原來的每件40元進(jìn)行

兩次調(diào)價.已知該商品現(xiàn)價為每件32.4元，

（1）若該商場兩次調(diào)價的降價率相同，求這個降價率；

（2）經(jīng)調(diào)查，該商品每降價0.2元，即可多銷售10件.已知甲商品售價40元時每月可銷

售500件，若商場希望該商品每月能盈利10000元，且盡可能擴大銷售量，則該商品在現(xiàn)價

的基礎(chǔ)上還應(yīng)如何調(diào)整？

【考點】一元二次方程的應(yīng)用

【分析】（1）設(shè)調(diào)價百分率為x,根據(jù)售價從原來每件40元經(jīng)兩次調(diào)價后調(diào)至每件32.4元,

可列方程求解.

（2）根據(jù)的條件從而求出多售的件數(shù)，從而得到兩次調(diào)價后，每月可銷售該商品數(shù)量.

【解答】解：（1）設(shè)這種商品平均降價率是x,依題意得：

40（1）2=32.4,

解得：%=0.1=10%,x2=1.9（舍去）；

故這個降價率為10%;

（2）設(shè)降價y元,

根據(jù)題意得（40-20-y）（500+50^）=10000

解得：y=0（舍去）或y=10,

原售價40元降價10元時，應(yīng)為：40—10=30元，

???現(xiàn)價為每件32.4元，

32.4-30=2.4,

答：在現(xiàn)價的基礎(chǔ)上，再降低，2.4元.

【點評】考查一元二次方程的應(yīng)用；求平均變化率的方法為：若設(shè)變化前的量為0,變化后

的量為6,平均變化率為x,則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為。（l±x>=6.

12.（2021?湖州）今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，游玩某景區(qū)的游客人

數(shù)三月份為4萬人，五月份為5.76萬人.

（1）求四月和五月這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長百分之幾；

（2）若該景區(qū)僅有B兩個景點，售票處出示的三種購票方式如下表所示：

購票方式甲乙丙

可游玩景點ABN和B

門票價格100元/人80元/人160元/人

據(jù)預(yù)測，六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬，并且當(dāng)甲、

乙兩種門票價格不變時，丙種門票價格每下降1元，將有600人原計劃購買甲種門票的游客

和400人原計劃購買乙種門票的游客改為購買丙種門票.

①若丙種門票價格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；

②問：將丙種門票價格下降多少元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬

元？

【考點】一元二次方程的應(yīng)用；二次函數(shù)的應(yīng)用

【分析】(1)設(shè)四月和五月這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長率為x,根據(jù)增長率問

題應(yīng)用題列出方程，解之即可；

(2)①根據(jù)題意丙種門票價格下降10元，列式

100X(2-10x0.06)+80x(3-10x0.04)+(160-10)x(2+10X0.06+10X0.04)計算，即可求景

區(qū)六月份的門票總收入；

②設(shè)丙種門票價格降低加元，景區(qū)六月份的門票總收入為平萬元，由題意可得

W=100(2-0.06m)+80(3-0.04m)+(160-w)(2+0.06/w+0.04/M),化簡得

少=-0.1(機-24)2+817.6,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果.

【解答】解：(1)設(shè)四月和五月這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長率為X,

由題意，得4(1+"=5.76,

解這個方程，得X]=0.2,x2=-2.2(舍去)，

答：四月和五月這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長率為20%；

(2)①由題意，得

100x(2-10x0.06)+80x(3-10x0.04)+(160-10)x(2+10x0.06+10x0.04)=798(萬元).

答：景區(qū)六月份的門票總收入為798萬元.

②設(shè)丙種門票價格降低加元，景區(qū)六月份的門票總收入為少萬元，

由題意，得

W=100(2-0.06m)+80(3-0.04m)+(160-m)(2+0.06m+0.04m),

化簡，得少=-0.1(機-24)2+817.6,

—0.1<0,

.?.當(dāng)〃?=24時，少取最大值，為817.6萬元.

答：當(dāng)丙種門票價格下降24元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值，最大值是817.6萬

元.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函

數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用.

13.（2014春?太康縣校級月考）某商店在銷售西服時，按每套進(jìn)價的150%標(biāo)價，后來為吸

引消費者，按標(biāo)價的八折銷售，此時每套西服仍可獲利120元，求西服的進(jìn)價為多少元？

（1）建立一元一次方程模型并解答上述問題；

（2）解答后請思考以下問題：

①在建立一元一次方程的模型解決問題過程中，你認(rèn)為最關(guān)鍵的是什么？

②解一元一次方程的算法，步驟有哪些？

③用算術(shù)法解決實際問題與建立方程模型解決實際問題,這兩種方法有什么不同？你說說哪

種方法更優(yōu)越？

【考點】一元一次方程的應(yīng)用

【分析】（1）設(shè)西服的進(jìn)價為x元，利用銷售價減成本等于利潤列方程x?150%-0.8-x=120,

然后解方程即可；

（2）①本題的關(guān)鍵是表示出實際的銷售價；

②根據(jù)解一元一次方程基本步驟回答

③從用算術(shù)法解決實際問題和建立方程模型解決實際問題的過程進(jìn)行區(qū)別.

【解答】解：（1）設(shè)西服的進(jìn)價為x元，

根據(jù)題意得x150%?0.8-x=120,

解得x=600（兀），

答：西服的進(jìn)價為600元；

（2）①在建立一元一次方程的模型解決問題過程中，你認(rèn)為最關(guān)鍵的是表示出實際的銷售

價；

②解一元一次方程的解法，步驟有：先去分母（或把小數(shù)系數(shù)化為整數(shù)系數(shù)），再移項后合

并，然后把未知數(shù)的系數(shù)化為1即可；

③用算術(shù)法解決實際問題涉及計算代數(shù)式的值，但是列代數(shù)式的難度較大，建立方程模型解

決實際問題能通過設(shè)未知數(shù)，用代數(shù)式容易表示相關(guān)的量，從而利用代數(shù)式之間的關(guān)系列方

程.列方程更優(yōu)越.

【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用：利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審

題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為X,

然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、歹h解、

答.

14.（2021秋?叢臺區(qū)校級期末）黃岡小河中學(xué)七年級學(xué)生在5名教師的帶領(lǐng)下去赤壁公園

游玩，公園的門票為每人30元.現(xiàn)有兩種優(yōu)惠方案，甲方案：帶隊教師免費，學(xué)生按8

折收費；乙方案：師生都7.5折收費.

（1）若有機名學(xué)生，則甲方案師生共需_24加—元，乙方案師生共需元（用含“代

數(shù)式表示）.

（2）當(dāng)心為何值時，兩種方案收費一樣？

（3）你能幫老師建議一下選擇哪種方案優(yōu)惠？

【考點】一元一次方程的應(yīng)用

【分析】（1）根據(jù)甲方案：帶隊教師免費，學(xué)生按8折收費；乙方案：師生都7.5折收費，

可表示出方案.

（2）將兩個方案相等列出方程解答即可；

（3）根據(jù)（2）中的解答進(jìn)行選擇即可.

【解答】解：（1）甲方案：30x80%w=24m.

乙方案：30-75%（m+5）=22.5m+112.5；

故答案為：24〃?；22.5?i+112.5；

（2）根據(jù)題意可得：24m=22.5m+112.5,

解得：m=75,

答：有75名學(xué)生時，兩方案費用一樣；

（3）當(dāng)〃?>75時，選擇乙方案；

當(dāng)加=75時，兩種方案相同；

當(dāng)機<75時，選擇甲方案.

【點評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是設(shè)出學(xué)生數(shù)，然后根據(jù)優(yōu)惠方案表示出，代

入數(shù)值可得答案以及根據(jù)優(yōu)惠情況一樣列出方程.

15.（2021秋?雙遼市期末）某工廠車間有28個工人，生產(chǎn)N零件和8零件，每人每天可生

產(chǎn)/零件18個或B零件12個（每人每天只能生產(chǎn)一種零件）一個A零件配兩個B零件，

且每天生產(chǎn)的A零件和B零件恰好配套.工廠將零件批發(fā)給商場時，每個A零件可獲利10

元，每個3零件可獲利5元.

(1)求該工廠有多少工人生產(chǎn)/零件？

(2)因市場需求，該工廠每天要多生產(chǎn)出一部分/零件供商場零售使用，現(xiàn)從生產(chǎn)3零件

的工人中調(diào)出多少名工人生產(chǎn)/零件，才能使每日生產(chǎn)的零件總獲利比調(diào)動前多600元？

【考點】一元一次方程的應(yīng)用

【分析】(1)設(shè)該工廠有x名工人生產(chǎn)N零件，根據(jù)一個/零件配兩個8零件可知，每天

生產(chǎn)的兩種零件恰好配套，則生產(chǎn)B零件的個數(shù)是A零件個數(shù)的2倍，根據(jù)這一相等關(guān)系

列方程求出x的值即可；

(2)設(shè)從生產(chǎn)8零件的工人中調(diào)出y名工人生產(chǎn)/零件，則調(diào)整后生產(chǎn)/、2零件的人數(shù)、

生產(chǎn)數(shù)量及獲得利潤可用含y的式子表示，原來7名工人生產(chǎn)4零件、21名工人生產(chǎn)方零

件，獲得的利潤可以求出來，這兩個利潤的差是600元，根據(jù)這一數(shù)量關(guān)系列方程求出y的

值即可.

【解答】解：(1)設(shè)該工廠有x名工人生產(chǎn)/零件，

根據(jù)題意得2xl8x=12(28-x),

解得x=7,

答：該工廠有7名工人生產(chǎn)/零件.

(2)設(shè)從生產(chǎn)3零件的工人中調(diào)出y名工人生產(chǎn)/零件，

根據(jù)題意得10x18(7+〉)+5x12(21-/)-(7x10x18+21x5x12)=600,

解得y=5,

答：從生產(chǎn)8零件的工人中調(diào)出5名工人生產(chǎn)/零件.

【點評】此題考查解一元一次方程、列一元一次方程解應(yīng)用題等知識與方法，解題的關(guān)鍵是

通過分析探究找出配套問題的相等關(guān)系且列方程求解.

16.(2021?江州區(qū)模擬)某電器超市銷售每臺進(jìn)價分別為200元，170元的/、B兩種型號

的電風(fēng)扇，表中是近兩周的銷售情況：

銷售時段銷售數(shù)量銷售收入

4種型號8種型號

第一周3臺5臺1800元

第二周4臺10臺3100元

(進(jìn)價、售價均保持不變，利潤=銷售收入-進(jìn)貨成本)

(1)求/、3兩種型號的電風(fēng)扇的銷售單價；

(2)若超市準(zhǔn)備用不多于5400元的金額再采購這兩種型號的電風(fēng)扇共30臺，求N種型號

的電風(fēng)扇最多能采購多少臺？

(3)在(2)的條件下，超市銷售完這30臺電風(fēng)扇能否實現(xiàn)利潤為1400元的目標(biāo)？若能，

請給出相應(yīng)的采購方案；若不能，請說明理由.

【考點】二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用

【分析】(1)設(shè)/、3兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價分別為x元、y元，根據(jù)3臺/型號5

臺3型號的電扇收入1800元，4臺4型號10臺3型號的電扇收入3100元，列方程組求解；

(2)設(shè)采購/種型號電風(fēng)扇a臺，則采購8種型號電風(fēng)扇(30-a)臺，根據(jù)金額不多于5400

元，列不等式求解；

(3)設(shè)利潤為1400元，列方程求出a的值為20,不符合(2)的條件，可知不能實現(xiàn)目標(biāo).

【解答】解：(1)設(shè)/、8兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價分別為x元、y元，

3x+5y=1800

依題意得:

4x+10j=3100

x=250

解得:

y=210

答：/、8兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價分別為250元、210元;

(2)設(shè)采購/種型號電風(fēng)扇a臺，則采購B種型號電風(fēng)扇(30-。)臺.

依題意得：200a+170(30-辦?400,

解得：但卻.

答：超市最多采購/種型號電風(fēng)扇10臺時，采購金額不多于5400元；

(3)依題意有：(250-200)。+(210-170)(30-。)=1400,

解得：a=20,

?/，

.?.在(2)的條件下超市不能實現(xiàn)利潤1400元的目標(biāo).

【點評】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，