北京某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期中診斷數(shù)學(xué)試卷（含答案）

北京市陳經(jīng)滄中學(xué)期中診斷

高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科

（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.命題“VxGR,x2>0”的否定是（）

A.VxGR,x2<0B.3xGR,x2<0

C.VxR,x2<0D.R,x2<0

2.下列函數(shù)中，在（-11）上單調(diào)遞增的是（）

Aj=W+lB.y=——

x

C.y=e~xD.y=x3

3.已知a,6,C￡R,a<b,則下列不等式正確的是（

A.ac<beB.（Q-b）02<0

11

C.—>—D.tz7>b9

ab

4.已知集合/=<x<1>,5=|x|x2-6x+8<0},則（）

A.{xlx<0}B,{x|2<x<41C,{x|0Vx<2或x>4}D,{x|0<x<2^x>4}

212

5?若a13，H|卜=［卜則（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.b<a<c

6.設(shè)aeR,則“a<1”是“函數(shù)/（x）=—/+2ax在（1,+功上是減函數(shù)”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.函數(shù)/（》）=5］的圖象大致為（）

8.設(shè)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞減，/(-7)=0,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

人./(“在(-。,0)上單調(diào)遞減

B./(x)的圖象與x軸只有2個(gè)公共點(diǎn)

C./(8)<0

D.不等式/(x)〉0的解集為(—e,—7)u(0,7)

9.己知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-。,0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)0滿足/(21)>/卜8)，

則。的取值范圍是()

B100，；K，+00]C.(O,2)D.(T,0)“2,+e)

10.對(duì)于函數(shù)/(x),若/(x)=x則稱x為/(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”，若/(/(x))=x,則稱x為/(x)的“穩(wěn)

定點(diǎn)”，記2={4/("=耳,8=科/(/(力)=》},則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.對(duì)于函數(shù)/(x)=x,有幺=8成立.

B.若/(x)是二次函數(shù)，且幺是空集，則8為空集.

C.對(duì)于函數(shù)=,有2=8成立.

D.對(duì)于函數(shù)/(x)=2,存在be(O,+”)，使得2=8成立.

二、填空題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分.

11.函數(shù)/（X）=YE的定義域是.

X

12.計(jì)算27+log34-log29=--------.

2

13.已知不等式Q%2+bx+cw0的解集為{x|X<—2或x21},則不等式bx+2ax-c-5b<0的解集是

（Q-2）%x>2

14.函數(shù)=]是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)q的取值范圍是__________

x<2

⑹已知函數(shù)/⑴=[2/X（；」），；x'〉3；⑴八2+1幅3）的值為----------

（2）當(dāng)x>0時(shí)，方程/（x）+x=a有且僅有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.（13分）己知集合A={x|—+6x—8>o},集合B={x|x~-4ax+3a2<O1.

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求

（2）若=求實(shí)數(shù)。的值；

（3）設(shè)集合C=5cN,若C中有且只有三個(gè)元素，請(qǐng)直接寫出所有的集合C.

17.（13分）某公司計(jì)劃投資48兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，Z產(chǎn)品的利潤(rùn)%與投資金額x的

函數(shù)關(guān)系為弘=18-8產(chǎn)品的利潤(rùn)%與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為外=二（注：利潤(rùn)與投資金額單

x+105

位：萬(wàn)元）.現(xiàn)在該公司有100萬(wàn)元資金，并全部投入48兩種產(chǎn)品中且均有投，其中X萬(wàn)元資金投入/

產(chǎn)品.

（1）請(qǐng)把48兩種產(chǎn)品利潤(rùn)總和V表示為X的函數(shù)，并直接寫出定義域；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)x取何值時(shí)才能使公司獲得最大利潤(rùn)？

18.（14分）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)=弓是奇函數(shù).

（1）求a,匕的值；

（2）用定義證明/⑴在（-0+”）上為減函數(shù).

（3）若對(duì)于任意teR,不等式2/）+/（2/—左）<0恒成立，求左的取值范圍.

19.（15分）（1）若命題“iceR,x2+2ax+a+2W0”是真命題，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

（2）求關(guān)于x的不等式a/+（a+2）x+2>0（aeR）的解集.

20.（15分）已知函數(shù)/（x）=—+ax的最小值不小于—1,且/［—：］4一：.

（1）求函數(shù)/（x）的解析式；

（2）函數(shù)/（X）在"，加+1］的最小值為實(shí)數(shù)%的函數(shù)g（M）,若關(guān)于加的方程g（掰）=a無(wú)解，試確定

實(shí)數(shù)。的取值范圍.

21（15分）已知集合/為數(shù)集，定義力=若450卜xW8,xeN*},定義：

u,Xc/

.（43）=1"。）—加1）|+|力（2）一/（2）|+-.+|力⑻―/⑻

（1）已知集合/={1,2},直接寫出力⑴，力（2）及九（8）的值;

（2）已知集合2={1,2,3},8={2,3,4},。=0,求"（48）,"（4。）的值；

（3）若4民?？诓穦xV8,xeN*}.求證：d（A,B）+d（A,C）Nd（B,C）.

參考答案：

一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

12345678910

BDBCCACBAD

二、填空題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分.

1q

ll.(-oo,0)U(0,l]12.-13.(-00,-3]u[l,+oo)

(13

14.115.(1)6(2)(1,7]

三、解答題:

16.【解答】

(1)解：令—爐+6》—8>0,解得2<x<4.

當(dāng)a=2時(shí)，B={x|x~—8x+12<0},

令一一81+12<0，解得2cx<6.

所以aN={x|4Wx<6}.

(2)解：由x?—4ax+3a2=(x-a)(x—3a)

①當(dāng)a=0時(shí)，8=0,符合題意

②當(dāng)a<0時(shí)，B={x|3a<x<a],此時(shí)不滿足Zu8=Z

③當(dāng)a>0時(shí)，5={x|a<x<3a}

a>2

若=則需「”，此時(shí)方程組無(wú)實(shí)數(shù)解.

3a<4

綜上，a=0.

(2)解：{2,3,4},{3,4,5}

17.【解答】

解：(1);x萬(wàn)元資金投入幺產(chǎn)品，則剩余的100-x(萬(wàn)元)資金投入8產(chǎn)品,

180100—X

7=18—+

x+105

180

=38e[0,100]；

-fx+10

(2)由(1)得y=40——^-,xe[0,100卜

5x+10L」

卜+10180

???/(x),,40-2

N藍(lán)—?x+10

=40—2回=28,

當(dāng)且僅當(dāng)五竺=M-時(shí)，即x=20時(shí)等號(hào)成立，

5x+10

故分別用20萬(wàn)元和80萬(wàn)元資金投資48兩種金融產(chǎn)品，可以使公司獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為28萬(wàn)元.

18.【解答】

解：⑴因?yàn)?（“為R上的奇函數(shù)，所以/（0）=0力=1.

又/（—1）=_/（1），得4=1.

（2）任取Xi./eR,且石<》2，則

1ex1-2當(dāng)2&+1

I-/.-----------------:---------:--:----------:---------------:-------------

2』+1(1-2%1)(2"2+1)-(1-2X2)(2X|+1)

因?yàn)閄]<x2,

所以2次一2.>0,又（2為+1）（2*2+1）〉0,/（再）_/（》2）〉0,

所以/（x）為R上的減函數(shù).

（3）因?yàn)閒eR,不等式/（產(chǎn)_2.+/（2*—左）<0恒成立,所以/（/一？）<_/（2/—左）

因?yàn)?（X）是奇函數(shù)，

所以2『），

因?yàn)?（x）為減函數(shù),

所以r—2/>左—2”.即左<3/—2/恒成立,

而3〃—27=3,—-11

3

所以左<--即k的取值范圍是

19.【解答】

解：⑴：HxeR,x?+2ax+a+2W0為真命題,

則函數(shù)y=x?+2ax+a+2與x軸有交點(diǎn)，

.?.A=4a2-4(a+2)>0,即下一口一2?o,解得a<-1或心2

;?實(shí)數(shù)。的取值范圍是。〈-1或a22.

(2)當(dāng)a=0時(shí)，不等式等價(jià)于2x+220,即x2—1；

當(dāng)a>0時(shí)，原不等式化為[x+j}x+l)20,

22

當(dāng)a〉2時(shí)，即—>一1時(shí)，解得1〉—或工工一1；

aa

2

當(dāng)〃=2時(shí)，即——=—1時(shí)，原不等式即為(x+l)2920,解得XER；

a

22

當(dāng)—<一1時(shí)，即0<。<2時(shí)，解得n<或-1.

aa

當(dāng)a<0時(shí)，原不等式化為fx+2](x+l)W0,解得—2.

Va)a

23、

綜上所述，當(dāng)〃〉2時(shí)，不等式的解集為——或"

a

當(dāng)Q=2時(shí)，不等式的解集為R；

’2、

當(dāng)0<。<2時(shí)，不等式的解集為——或丁―1>

a

當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為但x2-1}；

2、

當(dāng)〃<0時(shí)，不等式的解集為<％—1<%<——

a

20.【解答】

解：⑴因?yàn)?（X）=/+"最小值不小于-1,

所以/OOmm=/［一］］=（—，…—1，

即-2”2,

（］）313

又因?yàn)橐?，所以-----”—，即a“2,

I2）4424

綜上所述，4=2.

所以/（x）=—+2x.

（2）J=/（x）的對(duì)稱軸為x=—l,

所以加+1,,—1,即—2時(shí)，

/OOmin=/（掰+1）=加2+4機(jī)+3

m<-l<m+l,即一2（機(jī)<一1時(shí)，/（x）min=/（-1）=-1

2

山-1時(shí)，/（x）min=/（m）=m+2m,

m2+2加,m>—1

所以g（加）=4T—2,,m,,—1,

m2+4加+3,m<-2

故g（M的值域?yàn)椋跿+“）.

所以.

21.【詳解】⑴集合N={1,2}/x=

A

則加1）=1/⑵=1/⑻=0

（2）集合Z={1,2,3},8={2,3,4},C=0,

d（A,B）