第11章 三角形（進(jìn)階卷）（解析版）-八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步練習(xí)（人教版）

第十一章三角形（單元測(cè)試）

一、單選題（每題3分，共30分）

1.（20-21七年級(jí)下.全國?課后作業(yè)）一個(gè)八十二邊形中，它的內(nèi)角中的銳角最多可以有的個(gè)數(shù)是（）.

A.1B.3C.41D.82

【答案】B

【分析】利用多邊形的外角和是360度即可求出答案.

【詳解】解：因?yàn)榘耸呅蔚耐饨呛褪?60度，在外角中最多有三個(gè)鈍角，如果超過三個(gè)則和一定大于

360度，

八十二邊形的內(nèi)角與其相鄰?fù)饨腔猷徰a(bǔ)角，則外角中最多有三個(gè)鈍角，內(nèi)角中就最多有3個(gè)銳角.

故答案為：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，由于內(nèi)角不是定值，不容易考慮，而外角和是360度不變，因

而內(nèi)角的問題可以轉(zhuǎn)化為外角的問題進(jìn)行考慮.

2.（2021?遼寧沈陽?一模）如圖，在3x3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,

則的面積為（）

57

A.-B.3C.-D.4

22

【答案】c

【分析】利用割補(bǔ)法求△ABC面積等于大正方形面積-三個(gè)三角形面積即可.

【詳解】解：在網(wǎng)格中添加字母如圖，

ShAEB=^AE-BE=^X1X2=1,

S^AFC=^AF-FC=|x2x3=3,

113

BGC=-BGGC=-xlx3=-,

222

S正方形二EF-FC=9,

37

=

：.S^ABC=S正方形-SAAEB-SAAFC-SABGC9-1-3--=

故選擇c.

【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格三角形面積，掌握用割補(bǔ)法求網(wǎng)格三角形面積的方法是解題關(guān)鍵.

3.（17-18八年級(jí)上?湖南?階段練習(xí)）四邊形不具有穩(wěn)定性，當(dāng)四邊形形狀改變時(shí)，發(fā)生變化的是（）

A.四邊形的邊長B.四邊形的周長

C.四邊形的某些角的大小D.四邊形的內(nèi)角和

【答案】C

【分析】四邊形具有不穩(wěn)定性，形狀改變時(shí)，變的是內(nèi)角的度數(shù)，邊長不發(fā)生變化.

【詳解】解：當(dāng)四邊形形狀改變時(shí)，發(fā)生變化的是四邊形的內(nèi)角的度數(shù)，

故選C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形，關(guān)鍵是掌握四邊形的不穩(wěn)定性.

4.（18-19八年級(jí)上?安徽合肥?期中）一個(gè)三角形三條邊長度的比為2：3：4,且其中一條邊長是12cm,這

個(gè)三角形周長不可能是：（）

A.54cmB.36cmC.27cmD.24cm

【答案】D

【分析】根據(jù)三邊的長度比可求出三邊分別占三角形周長的幾分之幾，再根據(jù)12cm是其中一條邊，求出三

角形的周長.

【詳解】由三角形三條邊長度的比為2：3：4,可得

三邊分別占三角形周長的

939

若12cm是最短邊，則三角形周長=12cm+；=54cm

若12cm是較長邊，則三角形周長=12cm+[=36cm

若12cm是最長邊，則三角形周長=12cm+（=27cm

所以三角形周長不可能是24cm.

【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)三邊長度比求出三邊分別占周長的幾分之幾，再求出周長.

5.（2024七年級(jí)下.江蘇.專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)/是射線BE上一點(diǎn)，過/作CZ1BE交射線于點(diǎn)1BF

交射線BF于點(diǎn)0,下列結(jié)論正確的是（）

A.AB的余角只有41B.圖中互余的角共有4對(duì)

C.N1的補(bǔ)角只有NACFD.圖中與乙4DB互補(bǔ)的角共有2個(gè)

【答案】B

【分析】此題考查了余角和補(bǔ)角，根據(jù)垂直定義可得ABAC=AADC="DB=Z.CAE=90。，然后再根據(jù)

余角定義和補(bǔ)角定義進(jìn)行分析即可求解，掌握互余和互補(bǔ)的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A>'：CA1BE,AD1BF,

J./.BAC=乙ADB=90°,

."B+zl=90°,NB+ABAD=90°,

."1是NB的余角，4840也是4B的余角，故A錯(cuò)誤，不合題意；

B、'：CA1BE,AD1BF,

'：Z.BAC=乙4DB=Z.ADC=90°,

AzB+zl=90°,NB+NB4D=90。，^BAD+ACAD=90°,N1+NCW=90。，

圖中互余的角共有4對(duì)，故B正確，符合題意；

C、VzB+Z1=90°,AB+ABAD=90°,

zl=乙BAD,

'：^BAD+^DAE=180°,

：.Z.1+ADAE=180°,

XVZ1+Z71CF=180°,

的補(bǔ)角有NDZE和乙4CF,故C錯(cuò)誤，不合題意；

D、"：AADB=^LADC=ABAC=A.CAE=90°,

.?.圖中與乙4D8互補(bǔ)的角共有3個(gè)，故D錯(cuò)誤，不合題意；

故選：B

6.（2024?北京石景山?二模）當(dāng)多邊形的邊數(shù)每增加1時(shí)，它的內(nèi)角和與外角和（）

A.都增加180。B.都不變

C.內(nèi)角和增加180。，外角和不變D.內(nèi)角和增加180。，外角和減少180。

【答案】c

【分析】本題考查多邊形內(nèi)角和、外角和定理，利用內(nèi)角和定理可知，邊數(shù)增加1,內(nèi)角和增加180。，外角

和都是360。，推理即可.

【詳解】解：當(dāng)多邊形邊數(shù)增加1時(shí)，內(nèi)角和增加180。，外角和是個(gè)固定值為360。，

故選：C.

7.（2024?安徽合肥?三模）兩個(gè)直角三角板如圖所示擺放，其中N&BC=乙DEF=90。，乙4=45°,ZD=60°,

AB,BC分別與DF交于點(diǎn)G,H,若4C||DF,則乙4BE的大小為（）

A.70°B.75°C.80°D.85°

【答案】B

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得NFG8=乙4=45。，根據(jù)三角

形內(nèi)角和定理得4尸=180°-Z.DEF-乙D,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到乙48E=乙FGB+乙F.掌握平行

線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：4C||DF,4=45。,

:.乙FGB=乙4=45°,

VZDEF=90°,ND=60。，

：.LF=180°-4DEF一乙D=180°-90°-60°=30°,

J./.ABE=乙FGB+ZF=45°+30°=75°,

."ABE的大小為75°.

故選：B.

8.（23-24八年級(jí)上.全國?課后作業(yè)）如圖，四邊形48CD中，^ADC=/.ABC=90°,與NTWC,乙48c相鄰

的兩外角的平分線交于點(diǎn)E,若乙2=50。，貝”E的度數(shù)為（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

【答案】c

【分析】運(yùn)用四邊形的內(nèi)角和等于360。，可求NDCB的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)可

求NE的度數(shù).

【詳解】解：如圖，連接EC并延長，

???Z.ADC=/.ABC=90°,ZX=50°,

???乙DCB=360°-90°-90°-50°=130°,

v^ADC.N4BC相鄰的兩外角平分線交于點(diǎn)E,

???乙CDE=4CBE=45°,

Zl=Z.CDE+/.DEC,Z.2=Z.CBE+/.BEC,

即NDCB=乙CDE+乙CBE+乙BED=130°

???乙E=130°-45°-45°=40°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題運(yùn)用四邊形的內(nèi)角和、角平分線的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確計(jì)算.

9.（23-24七年級(jí)下?江蘇無錫?期中）已知△ABC的面積等于18,CE=DE,BD=4AD,則ABDE與△CEF的

面積和等于（）

A.7B.7.5C.8D.9

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的面積，三角形中線的性質(zhì)，連接。尸，設(shè)SACEF=X，SABDE=V，根據(jù)三角形

中線的性質(zhì)得出S4DEF=S^CEF=X,S^BCE~S^BDE~y,根據(jù)8。=4/。得出S-DF—*2BDF=最后

根據(jù)△ABC的面積等于18即可求出尤+y的值，于是問題得解.

【詳解】解：如圖，連接DF,

設(shè)S&CEF=x>S^BDE―y，

VCE=DE,

??S^DEF~SACEF~X>S4BCE~S^BDE~7,

,.S&BDF=SABDE+ADEF=X+y，

,:BD=4AD,

.r._1r._X+y

,.?A4DF—l>ABDF1

：△ABC的面積等于18,

'.x+x+y+y+誓^=18,

x+y=8,

即^BDE^iiCEF的面積和等于8,

故選：C.

10.（23-24七年級(jí)下?廣東廣州?階段練習(xí)）如圖,AB||CD,F為4B上一點(diǎn),FD||EH,且FE平分乙4FG,

過點(diǎn)/作FG1于點(diǎn)G,且N4FG=2ND,貝IJ下歹!］結(jié)論：①AD=30。；②2ND+NEHC=90。；③FD平分

乙HFB；④FH平分乙GFD.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，能夠作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

延長尸G,交CH于1,構(gòu)造出直角三角形，再結(jié)合平行線的性質(zhì)，即可推出①②正確，借助平行線的性質(zhì)

推得乙GFH+乙HFD=90°,即可判斷③④不一定正確.

【詳解】解：延長FG,交CH于I.

*：AB||CD,

:.乙BFD=乙D,^AFI=乙FIH,

'：FD||EH,

:.乙EHC=乙D,

'：FE^^AAFG,

:?乙FIH=2/-AFE=2Z.EHC,

：.3（EHC=90°,

:?（EHC=30°,

:.（D=30°,

故①正確；

???2乙0+乙EHC=2X30°+30°=90°,

故②正確；

???FE平分4AFG,

C.Z.AFI=30°X2=60°,

VZBFD=30°,

：.Z.GFD=90°,

工乙GFH+乙HFD=90°,

可見，4”尸。的值未必為30。，々GFH未必為45。，只要和為90。即可，

故③④不一定正確.

故選:B.

二、填空題（每題4分，共20分）

11.（2024?陜西榆林?二模）如圖所示的地面由正五邊形和正〃邊形兩種地磚鑲嵌而成，貝此ABC的度數(shù)

為°.

A

\-^c\

【答案】144

【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和公式，掌握正多邊形的概念，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.先計(jì)算出正

五邊形的內(nèi)角，再根據(jù)平面鑲嵌的條件計(jì)算求解.

【詳解】正五邊形的內(nèi)角和為(5-2)x180°=540°,

每個(gè)內(nèi)角為540。+5=108°,

：./.ABC=360°-2x108°=144°,

故答案為:144.

12.(2024廣東廣州?二模)如圖△ABC,￡＞、E分別是48、北上兩點(diǎn)，點(diǎn)A與點(diǎn)4關(guān)于DE軸對(duì)稱，DA'||BC,

ZX=34°,/.CEA'=54°,貝!UBZM'=.

【答案】122°/122度

【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),

靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵.

先說明△力DE和△4DE關(guān)于DE軸對(duì)稱可得N4=N4=34°,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得ND04=88°,

進(jìn)而得到NC=88。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得NB=58。，最后運(yùn)用平行線的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：???點(diǎn)A與點(diǎn)4關(guān)于DE軸對(duì)稱，

4OE關(guān)于DE軸對(duì)稱，

：.^A==34°,

/.CEA'=54°,

：.ADOA=ACEA'+乙力'=88°,

DA'||BC,

：.AC=ADOA=88°,

：.LB=180°-ZC-ZX=58°,

'：DA|||BC,

：.^BDA'=180°-ZB=122°.

故答案為：122。.

A

13.（23-24七年級(jí)下?江蘇蘇州?期中）如圖，已知4MIIBN,乙4=X。.點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)力不重

合），BC,BD分另（J平分NABP和NPBN,交射線力M于點(diǎn)C,D,當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)至U使NACB=NABD時(shí)，NADB的

度數(shù)為（用含有x的代數(shù)式表示）

［答案］（45-汨。

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思

想解答.根據(jù)平行線的性質(zhì)可得乙4BN=180。-》。，再結(jié)合角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)可證明

N力BC=乙CBP=乙PBD=乙DBN,即可得至U/ABC的度數(shù).

【詳解】解：'：AM\\BN,乙4=久。，

???乙4+乙4BN=180°,

???/-ABN=180°-x°,

vBC,BD分另U平分〃BP和NPBN,

???/.ABC=乙CBP,Z.DBP=Z.DBN,

Z-ACB=Z.ABD,Z-ACB=Z-ADB+乙DBC,Z-ABD=Z-ABC+乙DBC,

???Z.ABC=Z-ADB,

???AM\\BNf

???乙ADB=乙DBN,

工乙ABC=乙CBP=乙PBD=乙DBN,

???/.ABC=^ABC=（45-j%）°,

故答案為：（45—

14.（23-24七年級(jí)下?遼寧大連?期中）如圖，在△ABC中，BD、CD分另U平分乙4BC、乙ACB,BG、CG分別平

分三角形的兩個(gè)外角NEBC、NFCB/G=48。，則°,

【答案】132

【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問題，根據(jù)角平分線和三角形的內(nèi)角和定理，推出=

90。+（乙4,Z.G=90?！猑乙4,進(jìn)而得到4D+NG=180。，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：；BD、CD分另U平分乙4BC、乙ACB,

???乙DBC=-2LABC,乙DCB=-^ACB

22

.??乙D=180°-（乙DBC+乙DCB）

1

=180°--（/.ABC+ZLACB）

1

=180。-2（180。一乙4）

1

=90。+“4

2

???BG、CG分別平分三角形的兩個(gè)外角4E8C、乙FCB

???乙GBC=-/.EBC,2GCB=-ZFCF

22

???ZG=180°-（乙GBC+乙GCB）

1

=180°--（乙EBC+乙FCB）

1

=180°--+乙ACB+Z.A+^ABC）

1

=180°--（2乙4+180°-乙4）

1

=180。-5（180。+乙4）

1

=90。一三乙4

2

11

???NO+/G=90°+-zX+90°--Z/l=180°

22

."D=180°—4G=132°；

故答案為：132.

15.（23-24七年級(jí)下?浙江溫州?期中）如圖1為一種可折疊閱讀書架，支架0C可以繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，置書面EF可

以繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)調(diào)節(jié).首先調(diào)節(jié)EF,使EF1MN,如圖2所示，此時(shí)NOCE=141。；再將0C繞。點(diǎn)順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)至0C',使NCOC'=|zXOC,且E'F'IMN,止匕時(shí)NOC'E'比N。力M大32。，貝IJNOAM=度.

圖1圖2

【答案】69

【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由三角形外角的性質(zhì)列出關(guān)于x、y的方程組.

延長EF交。C'于K,延長E'F'交04延長線于L,NCOC'=x,^OAM=y,^AOC=2x,A.OCE'=y+32°,由平

行線的性質(zhì)推出NOKE=NOC?=y+32°,由三角形外角的性質(zhì)得到％+y+32。=141。/+32°=2x+

90?！獃,求出y的值,即可得到NOAM=69。.

【詳解】解：延長EF交。。，于K,延長交。4延長線于3

1

設(shè)NCOC'=x,Z.OAM=y,

■:乙COG=-/.AOC,

3

：.^AOC=2x,

?：^OC'E'\t^OAM±32°,

."OC'E'=y+32。，

\'EF1MN,E'F'1MN,

：.EF\\E'F',

."OKE=/.OC'E'=y+32°,

,:乙OCE=乙COC'+乙OKE,

：.x+y+32°=141°①，

；^NAL=/.OAM=y,

：./.L=90°-y,

?：^OC'E'=^L+^AOC,

；.y+32°=2x+90°—y②，

由①②解得：y=69。，

???AOAM=69°,

故答案為:69.

三、解答題（16-18題每題4分，19題6分，20題7分，21、22題每題8分，23題9分，共50分）

16.（23-24八年級(jí)上?安徽六安?階段練習(xí)）已知三角形的三邊長分別為x,y,z,化簡(jiǎn)：\x-y-z\+\y+z-x\-

\z—x—y\.

【答案】—3%+y+3z

【分析】本題考查整式的加減，三角形的三邊關(guān)系，絕對(duì)值化簡(jiǎn)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到x,y,z的不等式，

再去絕對(duì)值后計(jì)算即可.

【詳解】?.?三角形的三邊長分別為x,y,z,

y4-z>x,%+y>z,

—y—z<0,y+z—x>0,z—x—y<0

??\x-y—z\\yz—x\—\z—x—y\=y+z—x-^-y+z—x+z—x—y=—3x+y+3z.

17.（23-24九年級(jí)下?廣東廣州?階段練習(xí)）如圖,

A

(1)畫AABC的高BM,AN,CH；

(2)若BM=3,AN=2,CH=4,求4B：AC：BC.

【答案】(1)圖見解析；

（2）3:4:6

【分析】本題考查了三角形高的作法，三角形的面積公式，以及比例的問題，熟練掌握尺規(guī)作圖法和三角

形面積公式是解題的關(guān)鍵.

（1）利用尺規(guī)作圖法作圖即可；

（2）利用三角形的面積公式即可求三邊之比；

【詳解】（1）如圖，BM,AN,CH即為所求：

尺規(guī)作圖法：為AaBC畫出BC邊上的高，以A為圓心，選擇一個(gè)適合的半徑畫出一個(gè)弧，這個(gè)弧與8c邊或

BC的延長線相交于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，選擇一個(gè)大于兩點(diǎn)距離一半的半徑，再次畫弧，這兩個(gè)弧

會(huì)相交于一點(diǎn)，連接這點(diǎn)與點(diǎn)A,延長交BC于N,貝就是AaBC中BC邊上的高.其他邊上的高同理可得.

-1-1-1

(2)???SLABC=^BC?AN=^AC?BM=^AB?CH,又BM=3,AN=2,CH=4,

2sAABC2s"BC_2S&ABC2SXABC

???ABBC==ABC'

CHBM~3AN

17

???ABiAC：BC=-:-:l=3:4:6.

23

18.（2024?吉林長春?一模）圖①、圖②、圖③均是4X4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1,每個(gè)

小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B.C均為格點(diǎn).只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作

圖:

(1)在圖①中，確定一個(gè)格點(diǎn)M(不與B重合),連結(jié)AM、CM,使得△力CM的面積和△ABC的面積相等;

(2)在圖②中，確定一個(gè)格點(diǎn)M,連結(jié)力M、CM,使得△ACM的面積是△力BC的面積的2倍;

(3)在圖③中，確定兩個(gè)格點(diǎn)M和N,連結(jié)BM、MN和CN,使得四邊形BMNC的面積是△ABC的面積的3倍.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握等高模型解決問題，學(xué)

會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.

(1)利用平行線構(gòu)造等高模型解決問題;

(2)利用三角形中線的性質(zhì)及等高模型解決問題.

(3)利用平行線及等高模型，構(gòu)造四邊形即可.

【詳解】(1)如圖,點(diǎn)M即為所求;

(2)如圖，點(diǎn)M即為所求;

N即為所求.

19.(2024?浙江杭州?一模)問題情境：在探索多邊形的內(nèi)角與外角關(guān)系的活動(dòng)中，同學(xué)們經(jīng)歷了觀察、猜

想、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等過程，提出了問題，請(qǐng)解答.

(1)若四邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是a.

①求和它相鄰的外角的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示)；

②求其它三個(gè)內(nèi)角的和(用含a的代數(shù)式表示).

(2)若一個(gè)〃邊形5〉3),除了一個(gè)內(nèi)角，其余內(nèi)角的和為920。，求〃的值.

深入探究：

(3)探索〃邊形(n>3)的一個(gè)外角與和它不相鄰的5-1)個(gè)內(nèi)角的和之間滿足的等量關(guān)系，說明理由.

【答案】(1)①180°-a,②360°-a(2)n=8；(3)￡一a=(n-3)X180°,理由見解析

【分析】(1)①根據(jù)一個(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角的和是180。進(jìn)行計(jì)算即可；②四邊形的內(nèi)角和是360。進(jìn)行計(jì)

算即可；

(2)根據(jù)多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)表示出和它不相鄰的(71-1)個(gè)內(nèi)角的和即可.

【詳解】解：(1)①四邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是a,則與它相鄰的外角的度數(shù)180。-a；

②由于四邊形的內(nèi)角和是360。其中一個(gè)內(nèi)角為a,則其它三個(gè)內(nèi)角的和為360。-a；

(2)由題意得，

(n-2)x180°-a=920°,

???n>3的正整數(shù)，0°<a<180°,

n=8,

即這個(gè)多邊形為八邊形；

(3)設(shè)n邊形(ri>3)的一個(gè)外角為a,它不相鄰的(九-1)個(gè)內(nèi)角的和為口，

則有180°-a+S=(n—2)x180°,

即夕-a=01-3)x180。.

20.(23-24七年級(jí)下?四川成都?期中)如圖，在AABC中，BD平分乙4BC,CE平分乙4CB,連接BE、CD,且

Z.EBA+/.ACD=ABAC.

備用圖

⑴證明:BE||CD；

(2)若NE=82。,NA=44。，求ND的度數(shù)；

⑶作NBEC與NBDC的角平分線交于點(diǎn)G,探究NB4C、NEGD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)證明見解析

⑵/。=30°

(3)

乙EGD=-/.BAC+45°,證明過程見詳解

4

【分析】(I)如圖，過點(diǎn)4作apn8E,根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定，平行公理可得結(jié)論；

(2)設(shè)4c8。=a,乙BCE=6,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得：^BFE++^EBF++^CFD+

ZDCF=360°,從而可得結(jié)論；

(3)如圖2,設(shè)“DG=x,乙BEG=y,根據(jù)角平分線的定義可得NBEG=MEG=y,"DG=Z.BDG=x,

根據(jù)8字形可得乙48。+乙ABE+y=4EGD+x①,x+^ACD+/.ACE=乙EGD+y②，由①+②可得結(jié)論.

本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用8字形和三角形的

內(nèi)角和定理解決問題.

【詳解】(1)證明：如圖1,過點(diǎn)4作4PIIBE,

??.Z.EBA=乙BAP,

???Z-EBA+Z.ACD=Z-BAC=Z.BAP+/.CAP,

???Z-ACD=Z.CAPf

..AP||CD,

??.BE||CD；

(2)解：設(shè)4c8。=a,/-BCE=p

???BO平分〃BC,CE平分乙/CB,

???乙CBD=Z-ABD=a,Z.ACE=乙BCE=/?

???乙BFE=乙CBD+Z.BCF=a+￡,

???^BAC=44°,

???AABC+乙ACB=2a+26=180°-44°=136°,

a+0=68°,

在^BEF^\LCFD中，乙BFE+ZE+乙EBF+ZD+Z,CFD+乙DCF=360°,

乙E=82°,ABAC=44°,

???AABE+Z.ACD=44°,

???3a+3夕+82°+44°+4。=360°,

???3x68。+126。+40=360。，

???乙D=30°；

（3）解：如圖2,/.EGD=-ABAC+450,理由如下：

4

A

圖2

設(shè)“OG=x,Z.BEG=y,

???EG平分4BEC,DG平分乙BDC,

???乙BEG=Z-CEG=y,乙CDG=乙BDG=x,

???Z.BME=乙DMG,

?e.Z-DBE+Z-BEG=乙EGD+Z-BDG,Z.ABD+Z-ABE+y=乙EGD+%①，

???乙DNC=乙ENG,

???乙EGD+乙NEG=乙CDN+乙DCN,即％+AACD+AACE=乙EGD+y②，

由（1）知：LBAC=/-ABE+Z.ACD,

-i

由（2）知：AABD+^ACE=90°--^BAC,

2

①+②得：x+y+ABAC+90°AC=2/.EGD+x+y,

1

???乙EGD=-zBXC+45°.

4

21.（2024七年級(jí)下?江蘇?專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，乙B＞乙C,4D_LBC于點(diǎn)。，AE平分Nb4c.

F

A

/A\G\

BDEVC

H

(1)若NB=64°,ZC=42°,貝!UDAE=°；

(2)乙8、NC與乙D2E有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

⑶點(diǎn)G是線段CE上任一點(diǎn)(不與C、E重合)，作G”1CE,交4E的延長線于點(diǎn)H,點(diǎn)尸在BA的延長線上.若

/.FAC—a,Z.GHE=/?,求Z.C(用含a、0代數(shù)式表示).

【答案】⑴11

⑵2，見解析

(3)Z.B=+—ct,Z.C=—ct—§

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，二元一次方程組的解

法，角平分線的定義，垂線的定義等知識(shí)點(diǎn).

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NBAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出NB4E的度數(shù)，在Rt△力中求

出ZB4D的度數(shù)，即可求出AD4E的度數(shù)；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理用/慶NC表示出482C,再根據(jù)角平分線的定義表示出N84E,在RtAZDB中

用NB表示出NB4D,即可求出NZME與NB、NC的關(guān)系

(3)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到NF4C=NB+ZC,即NB+NC=a①，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到=

NGHE=S，根據(jù)(2)中的結(jié)論得到NB-NC=2￡②，①與②組成方程組，求解即可.

【詳解】(1)解：在AABC中，N8+NC+NB4C=180。，

：NB=64°,ZC=42°,

：./.BAC=180°-64°-42°=74°,

平分NB4C,

：.Z.BAE=-ABAC=ix74°=37°,

22

9：AD1BC,

LADB=90°,

VzB=64°,

???484。=90。-64。=26。，

：.Z.DAE=Z.BAE-乙BAD=37°-26°=11°,

故答案為：11；

(2)^DAE=-^B

22

證明：在△ABC中，++=180°,

：.Z.BAC=180。一乙B-4

丁/E平分4BZC,

1111

??.乙BAE=-/LBAC=-(180°-ZB-ZC)=90°--^B--AC,

22'722

U：AD1BC,

：./.ADB=90°,

：.2LBAD=90。一4B,

乙DAE=^BAE-乙BAD=90。一乙4B一工乙C一(90。一匕8)=工48一三4C；

22、722

(3)解：??2凡4c是△4BC的一個(gè)外角，

Z-FAC=(B+Z-C,

'：LFAC=a,

/.Z-B+Z-C=a①，

9：AD1BC,GH1CE,

：.AD\\GHf

C.Z-DAE=乙GHE,

U：Z.GHE=0,

?"DAE=0,

-1-1

由(2)知4￡ME=：4B-2，

A-ZB--ZC=R,

22l

即NB-NC=20②，

①、②組成方程組得［總十斤二靠，

(Z.D—ZL-C=乙P

乙B=6吾a

解得1,

AC=-a-B

2L

22.（2024七年級(jí)下?全國?專題練習(xí)）如圖，由線段AB,AM,CM,CD組成的圖形像E,稱為一形

BAMCD'\

BB

(1)如圖1,￡形BAMCD中，^AB||CD,N2MC=60。，貝！UN+NC=°；

(2)如圖2,連接￡形中B,。兩點(diǎn)，若N4BD+乙BDC=160°,AAMC=a,試猜想NB4M與NMGD

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)M在線段BD的延長線上從上向下移動(dòng)的過程中，請(qǐng)直接寫出AB4M與NMCD

所有可能的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴60。

(2)ZBXM+Z.MCDa+20°,見解析

(3)NB4M-乙MCD=a+20°或NMCD-ABAM=a-20°

【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握平行線的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

(1)過M作MNII2B,利用平行線的性質(zhì)計(jì)算可求求解；

(2)過2點(diǎn)作4P||CD交BD于點(diǎn)P,利用平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求得NBAP=20°,結(jié)合(1)

的結(jié)論可求解；

(3)可分兩種情況：當(dāng)D,C位于AM兩側(cè)時(shí)，當(dāng)D,C位于4M同側(cè)時(shí)，利用平行線的性質(zhì)及三角形外角的

性質(zhì)可分別計(jì)算求解.

【詳解】(1)過M作MN||AB,

圖1AB||CD,

???AB||MN||CD,

■■■乙AMN=4力，4MCD=ZC,

Z.A+Z.C=/.AMN+/-MCD=Z.AMC=60°,

故答案為:60°；

(2)2LBAM+乙MCD=a+20°.

理由：過/點(diǎn)作4Plic。交8。于點(diǎn)P,

B

???乙BAP+乙APB+=180°,乙B+LD=160°,

???乙BAP=180°-160°=20°,

由(1)可得乙4MC=+4MCO,

Z.AMC=a,

??.Z.PAM+Z-MCD=a,

??.Z.BAM+乙MCD=a+20。；

(3)如圖，當(dāng)O,C位于兩側(cè)時(shí)，

!Q???乙ABD+乙BDC=160°,“DM+乙BDC=180°,

???匕CDM-/.ABD=20°,

???乙AMQ=Z,B+Z.BAM,Z.CMQ=Z.MCD+匕CDM,Z.AMC=a,

???a=4AMQ-乙CMQ=ZB+^BAM-QLMCD+"DM)=^BAM-乙MCD-20°,

即乙BZM-^MCD=a+20°；

當(dāng)4C,M三點(diǎn)共線時(shí)，^AMC=a=0°,

??.Z.BAM一乙MCD=20°；

當(dāng)。，。位于/M同側(cè)時(shí)，

B

■：/.ABD+/-BDC=160°,/.CDM+/.BDC180°,

???"DM-AABD=20°,

?-?/.AMO-ZB+/.BAM,Z.CMO-Z.MCD+Z.CDM,Z.AMC-a,

a=乙CMO-AAMO=Z.MCD+乙CDM-(zB+Z.BAM)=乙MCD-4BAM+20°,

即NMCD-/.BAM=a-20°.

綜上，/-BAM-乙MCD=a+20°或NMCD-NBAM=a-20°.

23.(23-24七年級(jí)下.江蘇連云港.期中)在蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七下曾經(jīng)研究過雙內(nèi)角平分線的夾角

和內(nèi)外角平分線夾角問題.聰聰在研究完上面的問題后，對(duì)這類問題進(jìn)行了深入的研究，他的研究過程如

⑴【問題再現(xiàn)】如圖1,在A/IBC中，乙4BC、N4CB的角平分線交于點(diǎn)P,若乙4=50。.貝此「=；

(2)【問題推廣】如圖2,在A/IBC中，ABAC的角平分線與AABC的外角NC8M的角平分線交于點(diǎn)P,若乙4cB=

80°,求〃PB的度數(shù).

(3)如圖3,在△ABC中，AABC,乙4cB的角平分線交于點(diǎn)P,將△力BC沿。E折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)尸重合，若

zl+Z2=96°,貝此BPC=；

(4)【拓展提升】在四邊形BCDE中，E8IICD,點(diǎn)/在直線ED上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)廠不與E,。兩點(diǎn)重合)，連接8尸，CF,

乙EBF、NDCF的角平分線交于點(diǎn)。，若乙EBF=a,乙DCF=0,求NQ和a,￡之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴115。

(2)40°

(3)114°

(4)F在E左側(cè)NQ=彳；F在E,。中間NQ=*；F在。右側(cè)NQ=?

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求解即可；

(2)根據(jù)角平分線的定義可得NB4C=24PAM，4CBM=2乙PBM,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得NCBM=

NBAC+乙4CB,進(jìn)一步推理得NPBM=NP4M+40。，最后再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可求得答案；

(3)先由折疊的性質(zhì)和平角的定義得至卜