高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專練：一元二次不等式恒成立、能成立問(wèn)題【六大題型】

重難點(diǎn)02—元二次不等式恒成立、能成立問(wèn)題【六大題型】

【新高考專用】

?題型梳理

【題型1一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問(wèn)題】..............................................2

【題型2一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問(wèn)題】.............................................3

【題型3給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問(wèn)題】...........................................3

【題型4一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上有解問(wèn)題】.................................................4

【題型5一元二次不等式在某區(qū)間上有解問(wèn)題】.................................................5

【題型6一元二次不等式恒成立、有解問(wèn)題的綜合應(yīng)用】........................................6

?命題規(guī)律

一元二次不等式是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.其中，“含參不等式恒成立與能成立問(wèn)題”是常考的熱點(diǎn)內(nèi)

容，這類問(wèn)題把不等式、函數(shù)、三角、幾何等知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，其以覆蓋知識(shí)點(diǎn)多、綜合性強(qiáng)、解法

靈活等特點(diǎn)備受高考命題者的青睞.另一方面，在解決這類數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中涉及的“函數(shù)與方程”、

“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對(duì)鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維能力

都起到很好的作用.一兀二次不等式應(yīng)用廣泛，考察靈活，高考復(fù)習(xí)過(guò)程要注重知識(shí)與方法的靈活運(yùn)用.

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1一元二次不等式恒成立、能成立問(wèn)題】

1.一元二次不等式恒成立、能成立問(wèn)題

不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R,對(duì)于一元二次不等式ax2+6x+c>0,它的解集

為R的條件為Error!

一元二次不等式ax2+bx+c^Q,它的解集為R的條件為Error!

一元二次不等式QN+6X+C>O的解集為0的條件為Error!

2.一元二次不等式恒成立問(wèn)題的求解方法

(1)對(duì)于二次不等式恒成立問(wèn)題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成

立.

(2)解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是參數(shù)，一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是變量，求誰(shuí)的

范圍，誰(shuí)就是參數(shù).

①若aN+6x+c>0恒成立，則有a>0,且△<()；若ax2+bx+c<0恒成立，則有a<Q,且△<().

②對(duì)第二種情況，要充分結(jié)合函數(shù)圖象利用函數(shù)的最值求解(也可采用分離參數(shù)的方法).

3.給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問(wèn)題的解題策略

解決恒成立問(wèn)題一定要清楚選誰(shuí)為主元，誰(shuí)是參數(shù)；一般情況下，知道誰(shuí)的范圍，就選誰(shuí)當(dāng)主元，求

誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)；即把變?cè)c參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列

式求解.

4.常見不等式恒成立及有解問(wèn)題的函數(shù)處理策略

不等式恒成立問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)處理，具體如下：

(1)對(duì)任意的xe[加閉,。次x)恒成立今。次吟的；

若存在xe[m,n],。次無(wú))有解=>

若對(duì)任意xG[m,n],。次r)無(wú)解今

(2)對(duì)任意的xe[加川，。磯r)恒成立=>a<fix)min；

若存在xe[m,n],。牙X)有解今a</(x)max；

若對(duì)任意xe[m,n],。勺(x)無(wú)解今a^fix)max.

?舉一反三

【題型1一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問(wèn)題】

【例1】(2023?江西九江??？寄M預(yù)測(cè))無(wú)論久取何值時(shí)，不等式7-2日+4>0恒成立，貝妹的取值范

圍是()

A.(-oo,-2)B.(-co,-4)C.(-4,4)D.(-2,2)

【變式1-1]（2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模）“66（-2,2）”是，卬久€凡#-法+120成立，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1-2]（2023上?福建三明?高一校聯(lián)考期中）己知函數(shù)f（X）=-#+a%-4.

（1）當(dāng)a=5時(shí),解不等式/（久）<0;

（2）若不等式/（%）40的解集為R,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【變式1-3]（2023上?浙江?高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)/G）=（a2-2a）7+（2a-2）x+l.

（1）若對(duì)VxeR,都有/（x）〉-l成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）解關(guān)于x的不等式八式）>0.

【題型2一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問(wèn)題】

【例2】（2023?遼寧鞍山?鞍山一中?？级＃┮阎?dāng)x>0時(shí)，不等式：7-加久+16>0恒成立，則實(shí)數(shù)

血的取值范圍是（）

A.（-8,8）B.（-oo,8]C.（-oo,8）D.（8,+8）

【變式21]（2023上?遼寧鐵嶺?高三校聯(lián)考期中）已知Vxe[l,2],VyG[2,3],y2-xy-mx2<0,則實(shí)

數(shù)冽的取值范圍是()

A.[4,+oo)B.[0,+8)C.[6,+8)D.[8,+8)

【變式2-2](2023上?福建莆田?高一?？计谥?設(shè)函數(shù)/0)=/-2垃+2,其中teR.

(1)若力=1,且對(duì)任意的工€[a,a+2],都有f(%)45,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若對(duì)任意的4%2G都有|/(%i)-/(叼)|<8,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【變式2-3](2023上?江蘇鹽城?高一校聯(lián)考期中)設(shè)函數(shù)/(%)=Tn/一7n%一1.

(1)若對(duì)于％W[-1,1]/(%)<-m+5恒成立，求m的取值范圍；

(2)若對(duì)于me[-2,2]/(x)<-TH+5恒成立，求％的取值范圍.

【題型3給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問(wèn)題】

【例3】(2022下?河南濮陽(yáng)?高一濮陽(yáng)一高?？计谥?已知當(dāng)時(shí)，j+(a—4)%+4-2a>0恒

成立，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是()

A.(-8,3)B.(-8,1]u[3,+8)

C.(-00,1)D.(-8,1)U(3,+8)

【變式3-1](2023上?山東淄博?高一校考階段練習(xí))若命題。%2一(2。一1)%+3一。<0"

為假命題，則實(shí)數(shù)%的取值范圍為()

A.{x|-1<x<4]B.^x|o<x<|j

C.卜1-1WxW0或gWxW4}D.^x|-1<x<OH^|<x<4j

【變式3-2](2023上?浙江寧波?高一?？茧A段練習(xí))(1)解關(guān)于x不等式a%2-3x+2>5-ax(a>0)；

(2)若對(duì)于-2WmW2,不等式7n#-7n久-1<_爪+5恒成立，求x的取值范圍.

【變式3-3］（2023上?山東濰坊?高一?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式

（1）是否存在實(shí)數(shù)m,使不等式對(duì)任意xeR恒成立，并說(shuō)明理由；

（2）若不等式對(duì)于me［-2,2］恒成立，求實(shí)數(shù)比的取值范圍；

（3）若不等式對(duì)xe［2,+8）有解，求小的取值范圍.

【題型4一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上有解問(wèn)題】

【例4】（2023下?遼寧阜新?高二?？计谀┤裘}汨％eR,Mm+2<0”為真命題，則實(shí)數(shù)加

的取值范圍是（）.

A.771<-1或771>2B.7711或m22

C.-1<m<2D.-1<m<2

4-Y+m

【變式4-1］（2023上?高一課時(shí)練習(xí)）若存在％ER,使得^------22成立，則實(shí)數(shù)6的取值范圍為

x-2%+3

A.(m\m<0}B.(m\m>0}

C.{m\m>-2}D.{m\m<-2}

【變式4-2](2022上?湖南?高一統(tǒng)考期末)設(shè)函數(shù)/(x)=a'+(b-i)x+2.

(1)若不等式f(久)<0的解集為(1,2),求實(shí)數(shù)a,6的值；

(2)若/(-1)=5,且存在使f(x)<l成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式4-3](2022上?遼寧沈陽(yáng)?高一校聯(lián)考期中)已知“幻=久2-。尤-6a,其中a是常數(shù).

(1)若f(x)<0的解集是51-3<久<6},求a的值，并求不等式/(%)20的解集；

(2)若不等式f(x)<。有解，且解區(qū)間的長(zhǎng)度不超過(guò)5個(gè)單位長(zhǎng)度，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【題型5一元二次不等式在某區(qū)間上有解問(wèn)題】

【例5】(2023?河南?長(zhǎng)葛市統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知命題“叫6[-1,1],-焉+3,+a>0”為真命題，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是()

A.(一8,-2)B.(一8,4)C.(-2,+oo)D.(4,+8)

【變式5-1](2023上?福建?高一校聯(lián)考期中)若至少存在一個(gè)x<0,使得關(guān)于萬(wàn)的不等式3-|3久-a|>7

+2久成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

/37\/13\/3713\,、

A.(-不3)B.(-3彳)C.(-不彳)D.(-3,3)

【變式5-2](2023上?重慶?高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)f(%)=27—2a%+l.

(1)解關(guān)于久的不等式/(%)>a+1-x；

(2)若不等式/(%)V0在％E[-2,0)上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式5-3](2023上?山東淄博?高一校考期中)設(shè)函數(shù)/(%)=m%2一6%一1.

(1)若命題：R,/(%)>0是假命題，求機(jī)的取值范圍；

(2)若存在Xe(-10)/(%)>(m+l)x2+3成立，求實(shí)數(shù)zn的取值范圍.

【題型6一元二次不等式恒成立、有解問(wèn)題的綜合應(yīng)用】

【例6】(2023上?浙江臺(tái)州?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)f(%)=2j一。％+。2一4,g(%)=j一%+/一?

,(a6R)

(1)當(dāng)。=1時(shí)，解不等式/(久)>g(%)；

(2)若任意久>0,都有/(%)>g(%)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑶若G[0,1],Sx2e[0,1],使得不等式>g(%2)成立，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

【變式6-1］（2022上?重慶渝中?高一校考階段練習(xí)）若命題p：存在lWxW2,/-%+3-a<0,命題q：

二次函數(shù)y=%2-2ax+1在1<x<2的圖像恒在x軸上方

（1）若命題p,q中至少有一個(gè)真命題，求a的取值范圍？

（2）對(duì)任意的-1WaW1,存在0WbW2,使得不等式￥-2。尤+a2|b-1|+|b-2|成立，求x的取值范

圍？

【變式6-2］（2023下?浙江?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)二次函數(shù)/（久）=/+"+。（仇。eR）.

（1）若c=b,且/（久）在［0,2］上的最大值為c+2,求函數(shù)/'（X）的解析式；

（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)6,都存在實(shí)數(shù),6［1,2］,使得不等式|/（%）|2和成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

【變式6-3］（2023上?天津北辰,高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)為=x+爪和為=ax?++c.

(1)若c=2-a,關(guān)于％的不等式a%2+b%+c>0的解集是{%|一1v%<3}.求實(shí)數(shù)a,b的值；

(2)若c=2-a,b=2,a>0,解關(guān)于％的不等式a/+必+c〉0；

病

(3)若a=l,b=-m,c=-^-+2m-3,對(duì)V4E{%|0<%<1},^3%2G{x|l<x<2},使得丫1(%1)>丫2

(%2)，求實(shí)數(shù)M的取值范圍、(注：丫1(%1)表示的是函數(shù)丫1=%+血中％1對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，、2(%2)表示的是當(dāng)

=ax+bx+c中式2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.)

?直擊真題

1.(2005?遼寧?高考真題)定義在滅上的運(yùn)算：％*y=