高考數(shù)學重難點專練：指、對、冪數(shù)比較大小問題【七大題型】

重難點04指、對、幕數(shù)比較大小問題【七大題型】

【新高考專用】

?題型梳理

【題型1利用單調(diào)性比較大小】................................................................2

【題型2中間值法比較大小】...................................................................2

【題型3作差法、作商法比較大小】............................................................3

【題型4構造函數(shù)法比較大小】.................................................................3

【題型5數(shù)形結(jié)合比較大小】...................................................................3

【題型6含變量問題比較大小】................................................................4

【題型7放縮法比較大小】.....................................................................4

?命題規(guī)律

從近幾年的高考情況來看，指、對、幕數(shù)的大小比較問題是高考重點考查的內(nèi)容之一，是高考的熱點

問題，主要以選擇題的形式考查，往往將哥函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起，進行排序

比較大小.這類問題的主要解法是利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象來求解，解題時要學會靈活的構造函數(shù).

?知識梳理

【知識點1指、對、塞數(shù)比較大小的一般方法】

1.單調(diào)性法：當兩個數(shù)都是指數(shù)塞或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或募函數(shù)的函數(shù)

值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較，具體情況如下：

①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如優(yōu)‘和。"，利用指數(shù)函數(shù)＞的單調(diào)性；

②指數(shù)相同，底數(shù)不同時，如町和球，利用幕函數(shù)單調(diào)性比較大小;

③底數(shù)相同，真數(shù)不同時，如l°g。花和l°g“%,利用指數(shù)函數(shù)l°g“無單調(diào)性比較大小.

2.中間值法：當?shù)讛?shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同時，要比較多個數(shù)的大小，就需要尋找中間變量0、1或者其

它能判斷大小關系的中間量，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，借助中間量進行大小關系的判

定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對數(shù)比大?。?/p>

(2)作差或作商的難點在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法.

4.估算法：

(1)估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；

(2)可以對區(qū)間使用二分法(或利用指對轉(zhuǎn)化)尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.

5.構造函數(shù)法：

構造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構”規(guī)律，很多時候三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被可以的隱藏了“同構”

規(guī)律，所以可能優(yōu)先從結(jié)構最接近的的兩個數(shù)來尋找規(guī)律，靈活的構造函數(shù)來比較大小.

6、放縮法：

(1)對數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；

(2)指數(shù)和幕函數(shù)結(jié)合來放縮；

(3)利用均值不等式的不等關系進行放縮.

?舉一反三

【題型1利用單調(diào)性比較大小】

-1-11

【例1】(2023?陜西商洛?統(tǒng)考一模)已知口=0.9”乃=1。8、。=1。812,則()

23

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

22

【變式1-1](2023?四川南充?模擬預測)已知a=鼾力=(J/=kg』，貝!]()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

231

【變式1-2]（2023?廣東廣州?統(tǒng)考二模）己知a=33,b=24,c=43,則（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

【變式1?3】（2023?河南?校聯(lián)考模擬預測）已知a=ln加力=log37i,c=min2,貝1Ja,瓦c的大小關系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【題型2中間值法比較大小】

【例2】（2023?陜西寶雞?校聯(lián)考模擬預測）已知a=6"瞑）=6四戶6,?=0幅0：則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

【變式2-1］（2023上?天津河東?高三?？茧A段練習）已知a=2-log2?,b=2-log34,c=log23+log34

，則（）

A.c<a<bB.b<a<c

C.a<b<cD.c<b<a

-2024

【變式2-2］（2023上?河南開封?高一?？茧A段練習）已知a=logi2023力=log20232024,c=2023

3

則a,b,c的大小關系是（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

【變式2?3】（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考二模）已知a=I.!?",。=I.213,C=1.3",貝!]（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

【題型3作差法、作商法比較大小】

2

已知％=啕2,y=log3,z=?1則%、丫、z的大小關系為

【例3】（2023?山東青島?統(tǒng)考模擬預測）4

A.x>y>zB.y>x>zC.z>y>xD.y>z>x

【變式3-1]（2023?云南?校聯(lián)考模擬預測）已知a=logi69力=log2516,c=e-2,貝1]（）

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

【變式3-2]（2023?貴州六盤水?統(tǒng)考模擬預測）若。=字b=石，c=v,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【變式3-3]（2023?全國?模擬預測）已知a=log8]4,b=log3^e,c=ln2.1,,貝！J（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

【題型4構造函數(shù)法比較大小】

【例4】（2023?福建寧德??？寄M預測）記a=0，b=^+l,c=^nn+2,貝|（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

&

【變式4-1]（2023?河南?校聯(lián)考模擬預測）已知實數(shù)a,6,c滿足a?+log2a=0,2023"=log2023b,c=log7m

，則（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【變式4-2]（2023?全國?模擬預測）已知。=log。09。.18，人=依2-占2,c=ln1+貝U（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【變式4-3］（2023?全國?模擬預測）設a=0.21nl0,b=0.99,c=O.9e01,貝!］（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【題型5數(shù)形結(jié)合比較大小】

【例5】（2022?廣東茂名?統(tǒng)考一模）已知/y,z均為大于0的實數(shù)，且2'=3尸=logsZ,貝收,y,z大小關系正

確的是（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【變式5-11（2023上?四川?高三校聯(lián)考階段練習）已知cz+log2a=4/+log3b=c+log4c=3,則（）

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>a>b

【變式5-2］（2023上?廣東江門?高一統(tǒng)考期末）已知/（%）=?-X-2,g（x）=logi%-%-2,/i（x）=%3

-久-2的零點分別是a,b,c,則a,b,c的大小順序是（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c

【變式5-3］（2022?河南?統(tǒng)考一模）已知a=e"=/（=（"）",則這三個數(shù)的大小關系為（）

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【題型6含變量問題比較大小】

【例6】（2022上?江西吉安?高三統(tǒng)考期末）已知實數(shù)a,b,c,滿足ln6=e0=c,則a,b,c的大小關系

為（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.a>c>b

【變式6-1］（2022上?湖北?高三校聯(lián)考開學考試）已知a,瓦c均為不等于1的正實數(shù)，且Inc=alnbjna=力

Inc,貝ija,仇c的大小關系是（）

A.c>a>bB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

【變式6-2]（2022上?江蘇南通?高三統(tǒng)考期中）已知正實數(shù)a,b,c滿足e，+e"。=e°+屋‘，b=log2

3+log86,c+log2c=2,則a,b,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【變式6-3】（2023上?遼寧丹東?高三統(tǒng)考期末）設小〉1,logma==c,若a,6,c互不相等，則

()

A.a>1B.cWeC.b<c<aD.(c-/))(c-a)<0

【題型7放縮法比較大小】

【例7】（2023?全國?模擬預測）已知a=log2n,b=ln4,c=0.6-1，5,則（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【變式7-1]（2023上?安徽?高二校聯(lián)考階段練習）已知a=7n-g,6=6-tc=log53-|log35,則

（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【變式7-2]（2023上?江蘇泰州?高一泰州中學?？计谥校┮阎齻€互不相等的正數(shù)見瓦c滿足。=/力=

a

log23+loggG^c=log^（2+1）,（其中e=2.71828…是一個無理數(shù)），貝瓦c的大小關系為（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

—/1x0.71

【變式7?3】（2023上?福建漳州?高一?？计谥校┰OQ=O.72023,b—,c=a+而，則()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>c>a

1.（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）若a=1.01°5力=1.01°，％=0.6°,5,貝b,b,c的大小關系為（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>a>c

n710-71

2.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）已知a=b=（§）,c=log^,則（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

3.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）設a=0.1e°”=],c=-ln0.9,貝|（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

4.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函