高考數(shù)學專項復習：復數(shù)（選填題10種考法）（解析版）

專題02復數(shù)(選填題10種考法)

考法解讀

(―定義一形如a+8i(a,8dR)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2=-l.

走余方注復數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(H,力￡R),

衣不力佑其中〃叫做復數(shù)z的實部，加U做復數(shù)z的虛部.

佚數(shù)5=0,

,—分類由砧［純虛數(shù)a=0.

虛數(shù)"0L匕價詼制,

排純虛數(shù)產(chǎn)01

型▽_兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，

正乂一這兩個復數(shù)叫做互為共拆復數(shù)(實同虛反)

共趣

復數(shù)

復{表示一，z的共枕復數(shù)用Z表示，即若z=a+bKa,46R).則:=a-bi

數(shù)

的

管*fr*日箋設a,b,c,d都是實數(shù)，則Ja+bi=c+di0a=c且b=d,

概要數(shù)相管a+bi=00a=b=0

念

復平面

f①復數(shù)z=a+歷(a,6GR)二宜平面內(nèi)的點Z(a,b)

幾何意義

②復數(shù)2=a+bi(a,—R).一甲應-平面向量位.

定義一向量方的模叫做復數(shù)z=a+5i(a,HR)的?；騠e對值

J模長記作—復數(shù)：=a+bi的模記為團或|a+b”

公式一~|z|=|a+6i|=V02

典例剖析

考法一復數(shù)的實部與虛部考法六復數(shù)的分類

考法二共輾復數(shù)考法七在復數(shù)的范圍內(nèi)解方程

考法三相等復數(shù)考法八與復數(shù)相關的軌跡

考法四復數(shù)的模長考法九最值

考法五在復平面對應的象限考法十復數(shù)的綜合運用

考法一復數(shù)的實部與虛部

【例1-1】（2023?貴州遵義?統(tǒng)考模擬預測）若復數(shù)z滿足z?T=2+3i,則復數(shù)z的虛部是（）

11.55

------1——1

A.2B.2C.2D.2

【答案】C

z_2+3i_(2+3i)(l+i)_2+2i+3i+3i?_-l+5i5

2

【解析】(i)(l+i)2,故復數(shù)z的虛部是5.故選：C

【例1-2】（2023?貴州畢節(jié)??？寄M預測）已知z=（l-i）（"+i）,若z的虛部等于實部的兩倍，則實數(shù)。

（）

]_」

A.3B.-3C.3D.3

【答案】D

【解析】因為z=(lf(a+i)=a+i-aJ『=(a+l)+(l-a)i

又z的虛部等于實部的兩倍，所以1一"=2（。+1）,解得“一一3.故選：D

【變式】

1.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預測）若復數(shù)z滿足（l-2i”=lO-5i,貝1的虛部為（）

A.-3B.3C.3iD.4

【答案】B

【解析】因為°一萬）2=10",

10-5i_(10-5i)(l+2i)

Z==(2-i)(l+2i)=2+4i-i-2i2=4+3i

l-2i-(l-2i)(l+2i)

所以

所以z的虛部為3.

故選：B.

2.（2023?遼寧鞍山?鞍山一中校考二模）若i是虛數(shù)單位，則復數(shù)2=產(chǎn),（2一玉）的虛部等于（）

A.2B.-2C.2iD.-2i

【答案】B

4x504+3

【解析】z=泮'9?Q-劣）=i.（2-3i）=-i（2-3i）=-3-2i；

■■■復數(shù)z的虛部等于-2.

故選：B.

]

3（2023?河南?長葛市第一高級中學統(tǒng)考模擬預測）已知復數(shù)z=l-i,則z?+2z的實部為（）

J__J_]_]_

A.10B.10C.5D.5

【答案】A

【解析】：因為z=l-i,所以z2+2z=(l-iy+2(l-i)=2-4i,

112+4i2+4i11,i1

___________________________________?__ji上

所以z?+2z2-4i(2-4i)(2+4i)20105；所以z?+2z的實部為10.故選:A.

i-2023

1—1

4.(2023?福建寧德??？寄M預測)設aeR,若復數(shù)括的虛部為3(其中i為虛數(shù)單位)，則。=

()

_j_J_

A.3B.-3c.3D.3

【答案】A

%0+i)iT+i_li

【解析】復數(shù)山-aaa,

1c1

——3a=—

因為其虛部為3,所以a,可得3.故選：A.

考法二共朝復數(shù)

2-(--------)

【例2-2】(2023?陜西西安?統(tǒng)考一模)復數(shù)Ji的共軌復數(shù)為()

A.-2iB.-4iC.2iD.4i

【答案】C

2

z=[.2i(l+i)『=(_1+i)2=_2i_z=(—)

【解析】(1T)(1+D,貝V=2i,所以復數(shù)l-i的共軌復數(shù)為2i.故選：C

【例2-3】(2023?全國?唐山市第十一中學校考模擬預測)已知復數(shù)z滿足z-2zi-3+i=0,貝”的共輾復數(shù)

Z=()

1.1,

—+1——1

A.1+iB.l-iC.5D.5

【答案】B

【解析】由z-22i-3+i=0,得l-2i(1-21)(1+21)5,所以彳=l-i.故選：B

【變式】

2+i

Z-~~2—一

1.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）設1+1+1,貝廠=()

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

2+i2+ii(2+i)2i-l,

z=-----------------=---------=----------=-------=1一

【解析】由題意可得1+尸+『1-1+ii2-1

則2=1+2.

故選：B.

1-i

Z——

2.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知2+2i,則z-z=()

A.-1B.1C.0D.1

【答案】A

1_(TOT/J)-1.

Z=

2+2i2(l+i)(l-i)42,所以z=

【解析】因為即z-z=-i

故選：A.

Z

3.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)若z=-l+Ki,則應-1()

1V3,1V3.

A.T+/B.T-百iC.3+31D.331

【答案】C

[解析1彳=-1一V3i,zz=(-1+>/3i)(-l-VJi)=1+3=4.

z-1+V3i1V3.

---------------———1——]

無一1333故選：c

考法三相等復數(shù)

---=1+2i

【例3-1】(2023?新疆?統(tǒng)考三模)已知1-山，其中aeR,i為虛數(shù)單位，則。=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】D

【解析】工=J?：則5=(l+2i)(-i)=(l+2a)+(2一咪

11+2。=5

貝解得”2,故選：D.

【例3-2】(2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級中學統(tǒng)考模擬預測)若復數(shù)z滿足z+2』=2+i,其中i為虛數(shù)單

位，貝”=()

2.2.

—i—F1

A.3-2iB.2+3ic.3D.3

【答案】C

【解析】設復數(shù)2='+負，則z=x—i("wR),

—%—2_

貝ljz+2z=x+yi+2x-2yi=3x-yi=2+i,貝?3,>=一1,

2.

z=——1

所以3.

故選：C.

【變式】

ai.

---=—b7—1

1.(2023?海南?？?海南華僑中學?？寄M預測)設1+為，其中。，°為實數(shù)，則()

A.〃二-5,b=2B.4=5,b=-2

C.a=5fb=2□a=-5fb=-2

【答案】A

2=0

【解析】■"i=（H“（l+2i）=（b-2）+（26+l）i,..j26+l=-a,：上=2,a=-5.

故選：A

2.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）設aeR,（a+i）（l-ai）=2,,則°=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】因為S+i）（lii）="/i+i+a=2“+（l-/）i=2,

J2a=2

所以解得：故選：c

3.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）已知./€&。+至=（6+頊（］為虛數(shù)單位）,則（）

A.Q=l,b=-3B.a=T,6=3Qa=—l,b=-3DQ=1,6=3

【答案】B

【解析】a+3i=-l+6i,而。，6為實數(shù)，故。=-1,6=3,

故選：B.

考法四復數(shù)的模長

【例4-1】（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）若復數(shù)z滿足i-z=3-4i,則目=（）

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

=3-4i_(3-4i)(-i)=___________

【解析】由題意有i「㈠)\故⑶/(-4『+(-3丫=5.

故選：B.

【例4-2工(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)R+'+2J|=()

A.1B.2C.加D.5

【答案】C

【解析】由題意可得2+i?+2i3=2-l-2i=l-2i,則1+'+2斗="2i|="+(一2丫=:.故選:仁

【變式】

1.(2023?湖北武漢?華中師大一附中校考模擬預測)若2-z=zi,則歸+q=()

A.1B.2C.及D.石

【答案】D

2,.

z——--1—1_

【解析】2—z=zi,則1+i,有z=l+i,

|z+i|=|1+2i|=Vl2+22=#)

故選：D

2.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預測)已知1+i一；，則同=().

V2

A.6B.2C.2D.1

【答案】C

［解析］由幣一1一；」+1,得z=（l+i『=2i,

則彳=-2i,所以團=2.

故選：C.

3（2023?湖北黃岡?統(tǒng)考模擬預測）若復數(shù)2=l-i+i2-i3+-+i2°22-i2023,貝?|z卜（）

A.0B.夜C.1D.2

【答案】A

6

...2.3.2。22-2。231一I廣1一產(chǎn)1一（1廣八

【解析】IT1+i1+i,

故選：A

考法五在復平面對應的象限

【例5-1】（2023?河南?校聯(lián)考模擬預測）若復數(shù)z滿足（l-i"=（2-i）2,則z在復平面內(nèi)對應的點位于

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

2

-_（2-0（3-4i）（l+i）_71

—oZ—------------------------------—------1

【解析】由（1"=（2T）,可得—（f（l+i）22,

z=z+匕

所以z-^十2:故z在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限.

故選：A.

-2+ai

z=--------

【例5-2】（2023?河北秦皇島?校聯(lián)考模擬預測）復數(shù)2+i在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，則實數(shù)

。的范圍為（）

A.（-°°，-4）U（l,+8）B.（-oo,-l）u（4,+oo）

C.（T，4）D.Il）

【答案】C

z=-2±￡i=（-2+ai）（2-i）=￡-4+2±2^.

【解析】由2+1（2+D（2T）55,

i<o

<5

復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，則［5,解得一1<。<4,故選：C.

【變式】

1.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）在復平面內(nèi)，（1+犯（37）對應的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】因為。+3。（3-i）=3+8i-3，=6+8i,

則所求復數(shù)對應的點為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

2.（2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預測）已知Z=（"I）"+（3T）在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限，則實數(shù)加

的取值范圍是（）

(T1)

A.B.(T3)

(1,+°°)(-oo,-3)

c.D.

【答案】A

【解析】將z=0+i）s+（3T整理化簡可得2=加+3+（吁5,

所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點坐標為（加+3,加-1）,

J加+3>0

由點位于第四象限可得1機T<0,解得一3<加<1,

所以實數(shù)優(yōu)的取值范圍是（一31）.

故選：A

_3+tzi

3.（2023?河南開封?統(tǒng)考三模）（百"是"復數(shù)2+i（i為虛數(shù)單位）在復平面上對應的點在第四象

限”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

3+ai6+Q+（2Q-3）i

【解析】因為z-。一5

又復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應的點在第四象限,

J6+Q>03

所以自一3<0,解得-6<4</,

瓜-6<?<2

因此.<13是2必要不充分條件,

故選：B

考法六復數(shù)的分類

【例6-1】(2023?河南?校聯(lián)考模擬預測)若復數(shù)z=(l+D(l+°i)為純虛數(shù)(aeR),則匕+"=()

A.5B.2C.小D.戈

【答案】C

【解析】由題意，。?口，

在z=(l+i)(l+oi)中z=l-〃+(a+l)i

vz為純虛數(shù)，

...1-。=0,。+1W0,解得：。=1,

...z=2i"z+l|=|l+2i|=1^=囪，

故選：C.

【例6-2】(2023?河南信陽?信陽高中?？寄M預測)已知aeR,復數(shù)z="+2i,z?-2z是實數(shù)，則日二

()

A.5B.10C.#1D.曬

【答案】C

［解析］z2-2z=(a+2i)2-2(a+2i)=q2_4+4ai-2(a+2i)=/_2a_4+(4a_4)ieR,故40_4=0,解

得。=1,故目=一.

故選：C

【變式】

L(2023?浙江嘉興?統(tǒng)考模擬預測)復數(shù)z="2+“+("2—0)i為純虛數(shù)，則實數(shù)。的值是()

A.-1B.1C.0或-1D.0或1

【答案】A

【解析】因為復數(shù)'=為純虛數(shù)，

[a2+a=0

所以1力-"2°,解得：?=

故選：A.

(3+i)(a+2i)

2.(2023?山西運城?山西省運城中學校?？级?已知i為虛數(shù)單位，若1+i為實數(shù)，則實數(shù)。=

()

A.-1B.4C.2D.-2

【答案】B

(3+i)(a+2i)_3a-2+(6+a)i=[(3a-2)+(6+a)i](l-i)_(3。-2+6+a)+(6+a-3a+2)i

【解析】1+i1+i(l+i)(l-i)-2

=(2a+2)+(4-a)i,

(3+i)(a+2i)

要使1+i為實數(shù)，需滿足4=0,所以。=4.

故選：B.

—2+tzi

z----------

3.(2023?河南,統(tǒng)考三模)復數(shù)2+i純虛數(shù)，則實數(shù)。的值為()

A.-4B.-1C.4D.1

【答案】C

-2+ai(-2+m)(2-i)(a—4)+2(a+l)i

z-------=------------=--------------

［解析］2+i(2+i)(2-i)5為純虛數(shù)，

fa-4=0

所以+,故a=4.故選：c

考法七在復數(shù)的范圍內(nèi)解方程

【例7-1】(2023?山東濟南?統(tǒng)考三模)已知復數(shù)4/2是關于X的方程x-2x+3=°的兩根，則z-的值為

()

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】D

【解析】解法一：由xJ2x+3=0,得4=1+",二2=1-"，

所以2=(1+行i)(l-Ci)=3；

3、

、平2=一=3

解法二：方程X2-2X+3=0,由韋達定理可得-1.

故選：D

【例7-2】(2023?河南?統(tǒng)考模擬預測)已知加，〃為實數(shù)，IT(i為虛數(shù)單位)是關于x的方程

尤2-〃JX+〃=0的一個根，則〃?+〃=()

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【解析】由l-i是關于無的方程--7加+"=°的一個根，

則1+i是關于*的方程x2-mx+n=0的一個根，

則加=]_j+]+i=2,〃=（l_i）x（l+i）=2,

即%=2,"=2,則加+〃=4,故選：D.

【變式】

1.（2023?重慶,統(tǒng)考三模）設馬，馬是方程x2+x+l=°在復數(shù)范圍內(nèi)的兩個解，則（）

|z]-z2|=V2B,閔=0JZ]+Zz=l口,z：=z：=l

【答案】D

-1±Gi

[解析]由方程/+x+l=0得A=l_4=_3<0,由求根公式得根為2,

1V3.13

z}=------1---1z9=-------1

不妨設22,'22

pt—z2|=15/3i|=>/3

A錯誤;

目2

㈤」+烏2=1

11122J

，B錯誤;

Z+Z2=T,c錯誤;

令d-]=（X-I），+1+1）=0,得1_]=0或12+1+]=0,

所以4,Z2也是方程1=0的兩個根，所以D正確.

故選：D.

2.（2023?遼寧沈陽?沈陽市第一二O中學校考模擬預測）已知2-i（i是虛數(shù)單位）是關于工的方程

%2+bx+c=0S,c￡R）的一個根，貝|6+。=（）

A.9B.1C.一7D.2i-5

【答案】B

【解析】己知2-i（i是虛數(shù)單位）是關于%的方程/+6x+c=0（仇ceR）的一個根，

13+26+。=0

貝ijQ—i）2+6（2―i）+c=0,即4—4i-l+26—bi+c=0,gp[-4-6=0,

JZ?=-4

解得5,故b+c=l.

故選：B.

3.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知方程/+S+i）x+4+ai=0（。eR）有實根%

且z=a+6i,則復數(shù)z等于（）

A.2—2iB.2+2iC.-2+2iD.一2—2i

【答案】A

【解析】由6是方程f+（4+i）x+4+H=0（awR））的根可得〃+（4+通+4+而=0,

[b+a=Q（a=2

整理可得：伍+"“+W+46+4）=0,所以b+46+4=0,解得卜=-2,

所以z=2-2i.故選：A

考法八與復數(shù)相關的軌跡

【例8】.(2023?河北滄州??？既?設復數(shù)z滿足匕-1+卜2,z在復平面內(nèi)對應的點為(樂力，則

()

2

A(x+l)+(y-l『=4B(x+l『+(y+l)2=4

22

C.(xTy+(yT)2=4D.(X-1)+(7+1)=4

【答案】D

【解析】復數(shù)z滿足Z…川…R）,則卜-1+（>1川=2一..（1）。（了+1）2=4,故選:D

【變式】

1.（2023?遼寧錦州?統(tǒng)考模擬預測）已知復數(shù)z=a+6i（a，beR,i為虛數(shù)單位）,z2為純虛數(shù)，則在復平面

內(nèi)，z對應的點Z的軌跡為（）

A.圓B.一條線段C.兩條直線D.不含端點的4條射線

【答案】D

【解析】由題意可知，復數(shù)2=。+歷在復平面內(nèi)對應的點Z（aS）,

2=(Q+bi1=a?+2abi+(bi?=a2-b2+2abi

所以

[a2-b2=0

因為Z?為純虛數(shù)，所以出底。，解得a=bwo或a=-6wo,

故在復平面內(nèi)，z對應的點Z的軌跡為不含端點的4條射線.故選：D.

2.（2023?陜西西安?西安市大明宮中學?？寄M預測）已知復數(shù)z滿足b+2i|=3,z在復平面內(nèi)對應的點為

（“）,則（）

A.（X-2）2+/=9B.（X+2>+/=9

c.￡+3+2）2=9D/+3-2）2=9

【答案】C

【解析】因為Iz+2i|=3,可知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為（x，V）到點（°，—2）的距離為3,

則正+(y+2)2=3,即x?+(y+2)2=9

故選：c.

3.(2023?江蘇揚州?統(tǒng)考模擬預測)復數(shù)2=x+W(XJeR』為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應點Z(xj),則

下列為真命題的是().

A.若1z+l|=|z-l],則點Z在圓上

B.若|z+l|+|z-l|=2,則點Z在橢圓上

C.若1z+l|一|zT|=2,則點Z在雙曲線上

D.若I尤+1|=匕-1|,則點Z在拋物線上

【答案】D

[解析]lZ+1l=加+丁+/表示點J/)與(T0)之間的距離，

卜T|=而-I)，+)表示點(x,y)與(1,0)之間的距離,記片(TO),I。，。),

對于A,匕+[=匕-1,表示點Z(x,y)到耳、巴距離相等，則點Z在線段耳巴的中垂線上，故A錯誤；

或由(x+l)2+/=(I)2+/,整理得x=0,所以點Z在x=0,故A錯誤；

對于B,由b+l|+1z-l|=2得憶聞+區(qū)用=陽閭=2,這不符合橢圓定義，故B錯誤；

對于C,若1z+lHz-l|=2,|Z聞.|Z用=由與|=2,這不符合雙曲線定義，故c錯誤；

對于D,若Ix+gz-1|,則(x+l)2=(x-iy+/,整理得F=4X,為拋物線，故D正確.

故選：D.

考法九最值

【例9-1】(2023?河南?校聯(lián)考模擬預測)已知且㈤=1,^zl+z2=i則㈤的最大值是()

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

【解析】設4=a+biMbeR,

因為㈤=1,故/+〃=1,*1,1]

因為4+z2=i,所以Z2=_a+（>b）i,

故㈤=卜a+（1-6川=+（1-6）2=yja2+b2-2b+l=<2-2b,be[-1,1]

當6=T時，㈤有最大值為2.故選：D.

【變式】

1.（2023?全國?高三專題練習）已知復數(shù)z滿足1z-"+|z+l[=4,貝i]|z|的取值范圍為（）

A.[°」B.[2,3]c,[1,V3]D.[百，4

【答案】D

【解析】復數(shù)z滿足|ZT+|Z+1]=4,

則復數(shù)z對應的點的軌跡為以（T，°），（1，°）為焦點，長軸長2。=4的橢圓，

則橢圓短半軸長為6=,2?-1?=百,橢圓方程為4+3-，

表示橢圓上的點到原點的距離，

當點位于橢圓長軸上的頂點時，上|取值大值2；

當點位于橢圓短軸上的頂點時，取值小值百；

故⑶的取值范圍為[6，2],

故選：D

2.（2023秋?四川遂寧,高二射洪中學?？茧A段練習）己知復數(shù)z滿足2+3igz-i|,則匕+l+2i|的最小值

為（）

A.1B.3C.百D.6

【答案】A

【解析】設復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為Z,

因為復數(shù)z滿足匕+3gz-i|,

所以由復數(shù)的幾何意義可知，點Z到點（°，一3）和（0』）的距離相等，

所以在復平面內(nèi)點Z的軌跡為＞=T,

又上+1+2i|表示點%到點（-1，-2）的距離，

所以問題轉(zhuǎn)化為V=T上的動點z到定點（T，-2）距離的最小值，

當Z為（T，T）時，到定點（一1，一2）的距離最小，最小值為1,

所以匕+1+的的最小值為1,故選:人.

3.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預測）設eC且4=i%,滿足卜-1|=1,則歸一z?|的取值范圍為

【答案】［。2+伺

【解析】設4=。+從/2=c+%,a,6,c,deR,

z2=c-di則a+bi=i=d+ci

a=d

所以b=c

匕T|=|（aT）+同=，（"1『+必=1,所以（。一1丫+/=1,

即4對應點（”力）在以°，°）為圓心，半徑為1的圓J一方+必=1上.

Z2=c+di=6+ai,Z?對應點為（“。），

（"⑼與（仇"）關于＞=x對稱，

所以點色“）在以（°』）為圓心，半徑為1的圓x2+（yT『=i上，

上一句|表示（。，與與他⑷兩點間的距離，

圓—1）一+/=1與圓x2+（y_l）2=l相交，圓心距為0,如圖所示,

所以歸的最小值為0,最大值為亞+1+1=2+收，

所以歸T2I的取值范圍為［°，2+收】

故答案為:［。,2+伺

考法十復數(shù)的綜合運用

【例10】（2023秋?遼寧?高三東北育才學校校聯(lián)考開學考試）（多選）設復數(shù)句/2/3,且ZE’O,其中句為

確定的復數(shù)，下列說法正確的是（）.

A.若2色=團［則a+z2是實數(shù)

B.若y2=團，則存在唯一實數(shù)對S，6）使得23=叼+她

C.若Z1Z3+&3鼻=°,則Z3在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是射線

之2-Z3<]

D.若㈤+匕3|<1,則1-Z2Z3

【答案】ACD

【解析】對于A中，若平2=㈤，因為ZRNO,則ZE=k「=z/\可得Z2=4,

設…+杭…R,則Z|+Z2=z+0=2meR,所以A正確;

對于B中，由A得Z2=Z|,設4=機+疝，加,“eR,若23=%+歷2,

則Z3=az1+bzx=a(jn+ni)+b(m-ni)=(a+b)+(a-b)n\

只要根=°或〃=O,選項B就不正確;

例如：Z[=〃i(〃HO,〃eR),此時Z2=Z]=fi

Z3=5〃i可表示為Z3=5"i=4"i+i=44-Z2或Z3=5〃i=6"i-i=64+z?,

所以表示方法不唯一，所以B錯誤.

z1z3+|z3zl|=O>則平3+憶閔=0,可得㈤k|=，Z3eR

對于C中，若

則㈤同=一2，0,所以Z34eR且z31Vo

ttz,tt

—八Z3===-==f-pZl=tZ\"=「下4°

設Z3Z]=/?0,則4Z]Z||zj,其中㈤

則復數(shù)Z3對應的向量與復數(shù)為對應的向量方向共線，且長度是同倍,

故Z3在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是射線（且與04方向共線），所以c正確.

對于D中,若㈤+團<1,可得團-1<-團<0,同理憶|-1<0,

z?-Z3<]

由I-Z2Z3,即"-Z3|<|1-Z2Z3],可得(Z2-Z3)(Z2-Z3)<(1-Z2Z3)(1-Z2Z3)

即Z]Z[+Z3Z3—(Z2Z3+Z2Z3)<1+Z2Z好3Z3一(Z2Z3+Z2Z3)

ZZ+ZZzZZZZ

gp2233<1+2233,即卜2|+閡<l+|z2|\}\(

即(㈤T)(㈤T)>0,

因為匕2|-1<。，匕31T<0,所以(匕2|-1)(|23|-1)>。成立，

所以1-Z2Z3成立，所以D正確.

故選：ACD.

【變式】

1.（2023秋?遼寧撫順）（多選）若復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為Z,則下列說法正確的是（

A.若z（i7）二,必-1,則Z在第二象限

B.若z為純虛數(shù)，則Z在虛軸上

C.若忖43,則點Z的集合所構成的圖形的面積為6兀

D.若馬，Z2互為共軌復數(shù)，則句4是實數(shù)

【答案】BD

-i-1i+1（1+i）2.

【解析】對于A項，因為z"T）=i-I""'則11-i2,

所以Z（°，l）在坐標軸上，故A項錯誤;

對于B項，若z為純虛數(shù)，則z=6i（6#0）,則Z（O,b）（6x0）在虛軸上，故B項正確；

對于C項，設z=a+6i（a,beR）,因為忖43,所以必壽43,即

則點Z的集合所構成的圖形是圓心為（0，°）,半徑為3的圓及其內(nèi)部，

所以點Z的集合所構成的圖形面積為乎x兀=9兀，故c項錯誤；

對于D項,設…+歷叱"則z?="歷，所以為七=（°+歷）（"歷）=/+〃eR,故0項正確

故選：BD.

2.（2023春?河北石家莊）（多選）下列命題中正確的是（）

A.若x+yi=2+2i（x/eR）,則x=y=2

B.若復數(shù)4/2滿足z；+z；=0,則4=Z2=0

C.若Iz『=z2,則復數(shù)z一定為實數(shù)

D.若復數(shù)z滿足則Iz|最大值為亞+1

【答案】ACD

【解析】A選項，由于x+yi=2+2i（x,yeR）,

根據(jù)復數(shù)相等的知識可知*=V=2,A選項正確.

B選項，若4=5=1,則z；+z；=O,但Z]*Z2,B選項錯誤.

C選項，設2=。+員（。,北2,

由|z『=z2得八廿=。2_人2+2。歷，

JQ2+/=Q2_^2

則I2仍=°,解得6=°,所以z=a為實數(shù)，c選項正確.

D選項，由于上-1=0，所以z對應點的軌跡是以（L°）為圓心,

半徑為夜的圓，而回表示圓上的點到原點的距離，

所以⑶最大值為亞+1,D選項正確.

故選：ACD

3.（2023秋?廣東河源?高三河源市河源中學校考階段練習）（多選）已知復數(shù)z,2>,為，z是z的共輾復

數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.Z，Z=IZ|2B.若忸=1,貝ljz=±l

c"z「z』=㈤歸D.若匕一［=1,則匕+U的最小值為1

【答案】ACD

【解析】對于A,設2=。+及（。,武叫則z-z=（a+⑸（"歷）=/+/=聯(lián)故人正確；

對于B,令3i,滿足目=W=L故B錯誤；

對于C,設4=q+6i(a，6eR),z2=c+di(c,dwR),則

Z[Z2=^a+bi){c+di)=ac-bd+(“d+Z>c)i所以匕囚=J(ac-6d)~+(ad+bc)~

=J（ac）2+（bd『+gd『+（6c『=y/a2+b2sld2+c2=㈤民］,故c正確.

對于D,設z=a+6i（°,beR）,貝Jz-1|=卜—］+歷|=J（a.］『+/=1,

即（"1）一+”=1,表示以（L°）為圓心，半徑為1的圓，

\z+l\=/a+\）2+b2表示圓上的點到（T，。）的距離，故匕+1的最小值為萬-1

1,故D正確.

故選：ACD

強化訓練

一、單選題

1.（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是（T，百）,

則z的共軌復數(shù)7=（）

A1+A/3ZB1-V3i

C.—1+V3iD.-1-V3i

【答案】D

【解析】z在復平面對應的點是（T，省），根據(jù)復數(shù)的幾何意義，z=-l+6i,

由共軌復數(shù)的定義可知，z=T-百i.故選：D

5（1+『）「

2.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）（2+1）（2-力（）

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【答案】C

【解析】（2+或2-D5故選：C.

3.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）（2+2i）（l-2i）=（）

A.一2+4iB.一2-4ic.6+2iD.6-2i

【答案】D

【解析】（2+2i）（l-2i）=2+"4i+2i=6-2i,故選:D

4.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）設（l+2i）a+6=2i,其中。力為實數(shù)，則（）

Aa=l,6=—1BQ=1,6=]Qu——1,6=1口a=_1,Z?——1

【答案】A

【解析】因為R,（。+6）+20=汽所以a+6=0,2a