高考數(shù)學專項復習：三角恒等變換【九大題型】

專題4.3三角恒等變換【九大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1兩角和與差的三角函數(shù)公式】..............................................................3

【題型2兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形】................................................4

【題型3輔助角公式的運用】......................................................................6

【題型4角的變換問題】...........................................................................8

【題型5三角函數(shù)式的化簡】.....................................................................10

【題型6給角求值】..............................................................................11

【題型7給值求值】..............................................................................13

【題型8給值求角］..............................................................................15

【題型9三角恒等變換的綜合應用】...............................................................18

?考情分析

1、三角恒等變換

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

⑴會推導兩角差的余弦

公式

2022年新課標II卷：第6題，

⑵會用兩角差的余弦公三角恒等變換是三角函數(shù)的重要工

5分

式推導出兩角差的正弦、具，是高考數(shù)學的熱點、重點內(nèi)容.從近

2023年新課標I卷：第8題，

正切公式幾年的高考情況來看，主要考察三角函

5分

(3)掌握兩角和與差的正數(shù)的化簡求值、三角函數(shù)的變換等內(nèi)容，

2023年新課標II卷：第7題，

弦、余弦、正切公式，并一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，試

5分

會簡單應用題難度中等或偏下；但在有關三角函數(shù)

2024年新課標I卷：第4題，

(4)能運用兩角和與差的的解答題中有時也會涉及到三角恒等變

5分

正弦、余弦、正切公式推換、合并化簡，此時試題難度中等，復

2024年新課標II卷：第13題，

導二倍角的正弦、余弦、習時需要同學熟練運用公式，靈活變換.

5分

正切公式，并進行簡單的

恒等變換

?知識梳理

【知識點1三角恒等變換思想】

1.三角恒等變換思想——角的代換、常值代換、輔助角公式

(1)角的代換

代換法是一種常用的思想方法，也是數(shù)學中一種重要的解題方法，在解決三角問題時，角的代換作用

尤為突出.

常用的角的代換形式：

①Q(mào)=(G+￡)/；

②Q=￡?(夕-Q)；

③Q=,[(Q+￡)+(Q/)]；

@a=-[(a+6)-(￡-[)]；

⑤器/七-外言/)；

@a-y=(a-f))+(/3-y).

(2)常值代換

用某些三角函數(shù)值代換某些常數(shù)，使之代換后能運用相關的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其

中要特別注意的是'T'的代換.

(3)輔助角公式

通過應用公式asina+6cosa=-\/a2+b2sin(a+0)威asina+bcosa=\/a2+b2cos(a—夕)將形如

asina+bcosa(a,6都不為零)的三角函數(shù)式收縮為一個三角函數(shù)，iAi區(qū)sin(a+9)[或

"TPcos(a—0)].這種恒等變形實質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和收縮為一個

三角函數(shù)，這種恒等變換稱為收縮變換，上述公式也稱為輔助角公式.

【知識點2三角恒等變換的應用技巧】

1.兩角和與差的三角函數(shù)公式的應用技巧

(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構特征.

(2)使用公式求值，應先求出相關角的函數(shù)值，再代入公式求值.

2.兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形

運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟悉公式的正用，還要熟悉公式的逆用及變形應用，如

tana+tanjB=tan(a+夕)?(1—tanatanQ)和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應用更能拓

展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.

3.輔助角公式的運用技巧

對asinx+bcosx化簡時，輔助角的值如何求要清楚.

4.角的變換問題的解題策略：

(1)當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個"已知角"的和或差的形式；

(2)當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，再應用誘導公式

把“所求角”變成“已知角”.

(3)常見的角變換：2a=(a+6)+(a—/?),a=+a,y+ct=y-f^--a'j,

a=(a+￡)—￡=(a—￡)+力，(?+Q+(〃-a)=、等.

【知識點3三角恒等變換幾類問題的解題策略】

1.給值求值問題的解題思路

給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求

出相應角的三角函數(shù)值，代入即可.

2.給角求值問題的解題思路

給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角

之間總有一定的關系，解題時，要利用觀察得到的關系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除特殊角三角函數(shù)

而得解.

3.給值求角問題的解題思路

給值求角問題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.

4.三角恒等變換的綜合應用的解題策略

三角恒等變換的綜合應用的求解策略主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化

為小尸然皿5+°)+6的形式再研究其性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構等特征，注意利用整體思想

解決相關問題.

【方法技巧與總結(jié)】

1.tana±tan￡=tan(a±￡)?(1千tanatan￡).

攻宣八f21+cos2a.21—cos2a

2.降累公式：cos-oc=--------,sin2a=---------

3.1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2a=(sina-cosct)2,sina±cosa="\/2sin(a±

?舉一反三

【題型1兩角和與差的三角函數(shù)公式】

【例1】(2024,江西九江三模)若2sin(a+§=cos(a—》貝!Jtan(a-9=()

A.-4-V3B.-4+V3C.4-V3D.4+V3

【解題思路】設0=a—己，則原等式可化為2sin(Q+習=cos("J,化簡后求出tan/?即可.

【解答過程】令0=a—g則a=0+g

66

所以由2sin(a+§=cos(a-

得2sin(夕+習=cos(0-J，

即2cos/?=fcos/?+|sin^,

即sin/?=(4—V3)cos/?,得tan/?=4—V3,

所以tan(a—：)=tan/?=4—V3,

故選：C.

【變式1-1](2024?湖南?模擬預測)已知仇66,冗)，tan(*-a)=g,貝sina=()

2V5遙r，2V2V2

AA.MB-TC.丁D.-

【解題思路】根據(jù)差角公式可得tana=-3，即可利用同角關系求解

3TT

【解答過程】由tan管一a）=[得tan（空一a）=:工解得tana=-2,

4

故sina=—2coscr,結(jié)合sin2a+cos2a=1,故sin2a=：

由于aGC，71）故sina=?，

故選：A.

【變式1?2】（2024,安徽合肥?模擬預測）已知cos（10。一a）=cos（50。一a）+cos（50。+a）,則tana=（）

A.，B.-￡C.V3D.-

【解題思路】根據(jù)兩角和差的余弦公式化簡，再根據(jù)50°=60°-10。結(jié)合兩角差的余弦公式化簡即可得解.

【解答過程】由cos（10°—a）=cos（50°—a）+cos（50°+a）,

得cosl0°cosa+sinlO°sina=2cos50°coscr,

故sinlO°sincr=2cos50°coscr—cosl0°cos（z

2cos50°-cosl0°

所以tana

sinl0°

2cos(60°-10°)-cosl0°

sinl0°

_cosl0o+V3sinl00—cosl0°

sinl0°

故選：C.

【變式1-3]（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測）已知sinasin（a+：）=cosasin償—a）,則tan（2a+；）=（）

A.2-V3B.-2-V3C.2+V3D.-2+V3

【解題思路】由兩角和差公式、二倍角公式逆用可得tan2a=8，進一步結(jié)合兩角和的正切公式即可得解.

【解答過程】由題意fsin2a4-|sincrcoscr=/cos2a—|sincrcosa,即fcos2a=|sin2cr,

tan2a+ta嚀_g+]_(B+l)2

即所以tan（2a+：）

tan2a=V3,1—tan2atan^1—V3—2=—2—V3.

故選：B.

【題型2兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形】

[例2](2024?四川?模擬預測)已知a,夕，yC(。0)，若sincr+siny=sin/?,cos。+cosy=cosa,則a—/?=

A?冶BC--D

-1.6-7

【解題思路】根據(jù)已知條件及同角三角函數(shù)的平方關系，利用兩角差的余弦公式及三角函數(shù)的特殊值，注

意角的范圍即可求解.

【解答過程】由sina+siny=sin/?,cos/3+cosy=cosa,得sina—sin/?=—siny,cosa—cos/?=cosy,

(sina—sin/?)2+(cosa—cos/?)2=(—siny)24-cos2y=1,即2—2sinasin/?—2coscrcos/?=1,

2—2cos(a-/3)=1,解得cos(a—3)=；.

又a,°,y€(0片

/.sina—sin/?=—siny<0,

丁?sina<sin0,

.?.。<”0<泉

——<cc_Bvo,

故選：A.

【變式2-1](2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模)已知sina+cos/?=j,cosa—sin.則cos(2a-2/?)=()

A-iB?-5

C5V39一

C.-------

32

【解題思路】由sina+cos6=^,cosa-sinp=-1,兩邊平方相加得到sin(a-p)=-|,再利用二倍角的

LLO

余弦公式求解.

【解答過程】解：因為sina+cos0=亨,cosa-sin?=-1

所以sin2a+2sinacos/?+cos2s=g,cos2a—2cosasin/?+sin2/?=

兩式相加得：2+2(sincrcos/?—cosasinS)=即2+2sin(a—/?)=：,

化簡得sin(a-/?)=-1，

o

所以cos(2(z—2/7)=1-2sin2(a-S)二5

故選：A.

【變式2-2]（2024?山東泰安?模擬預測）若=；，則sin26的值為（）

1—tan（0—7）2

【解題思路】根據(jù)兩角和的正切公式化簡可得tan?,再由二倍角的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關系得

1+tan(0—1行,tan)+tan(吟)

【解答過程】由1

l-tan(吟)2'付l-tan*an(e-》2?

所以tan(^+0—^)=i,即tan?=

2sin0cos02tan0_4

所以sin20=

sin20+cos2/?1+tan2^5

故選：D.

【變式2-3](2024?全國?模擬預測)已知a,0,y滿足a—/?—y=e且sina=2cos/?cosy,tan/?tany=—3,

則tana的值為()

i1

A.-2B.--C.-D.2

22

【解題思路】

根據(jù)題意切化弦結(jié)合三角恒等變換可得-cosa=4cos/?cosy,結(jié)合sina=2cos/?cosy運算求解即可.

【解答過程】由tan/?tany=—3,即::黑魯=—3,可得sin/?siny=—3cos^?cosy,

則coSjScosy—sin0siny=4cos￡cosy,

可得cos(S+y)=4cos優(yōu)osy,

因為a—/7—y=m即/?+y=a—ii,

可得cos(/?+y)=cos(a—n)=—coscr=4cosj6cosy,

?I1]

又因為sina=2cos^?cosy,即sina=—-cosa,所以tana

故選：B.

【題型3輔助角公式的運用】

【例3】（2024?安徽合肥?三模）已知2sina=1+2Bcosa,貝Usin（2a—§=（）

【解題思路】先由輔助角公式得sin（a-§=再利用誘導公式和余弦二倍角公式即可求解.

【解答過程】由2sina=1+2V5cosa得4Qsina—苧cosa）=1,即sin（a-

所以sin(2Q—§=sin槨+2(a—=cos2(a—=1—2sin2(q—§=,

故選：D.

【變式3-1](2024?四川遂寧?模擬預測)已知cos(a-m)一cosa=鼻則sin(a—?)=()

326

A.--B.-C.--D.—

2222

【解題思路】利用差角的余弦公式、輔助角公式化簡變形即得.

【解答過程】依題意，—=-cosa+—sina—cosa=—sina--cosa=sin(a—-),

222226

所以sin(a-^)=y.

故選：D.

【變式3-2](2024?湖北?二模)函數(shù)/(%)=3cos%-4sin%,當/(%)取得最大值時，sin%=()

4433

A-?B-c-?D-

【解題思路】由輔助角公式、誘導公式直接運算即可求解.

【解答過程】/(x)=3cosx—4sinx=5cosx—gsinx)=5cos(x+<p),

其中coscp=I，sin(p=p

而/(%)=3cosx—4sinx=5cos(%+(/?)<5,

等號成立當且僅當久+cp=2/cir(fcEZ),此時sinx=sin(—(p)=—sing=—

故選：B.

【變式3-3](2024,陜西銅川?三模)已知cos(a-cosa=/,則sin0a+g=()

1133

A.--B.-C.--D.-

2244

【解題思路】利用和差公式、輔助角公式化簡得sin(a-5=弓，然后通過整體代換，根據(jù)誘導公式和二

倍角公式即可求解.

【解答過程】"cos(a——cosa=-y-sina—|cosa=.(V3

sinW+如sin[2(?-=)+=]=cos(2(*)]=-2sin2(W

故選：A.

【題型4角的變換問題】

【例4】(2024?吉林長春?模擬預測)已知cos2a=-y,sin(cr+0)=一噂,戊￡10ase[-p0],則a一0=

()

A.-B.—C.—D.三或空

44444

【解題思路】求出2a、a+夕的范圍，利用平方關系求出sin2a、cos(a+￡),再由a-￡=2a-(a+/?)求

出cos(a-/?),結(jié)合a-/?的范圍可得答案.

【解答過程】因為aE[0《],所以2a€[0河,

所以sin2a=V1-cos22cr=Jl—(一專=g,

因為/?€[_'()],所以a+H=[_]，3，

所以cos(a+/?)=Jl-sin2(a+0)=Jl-(-嚕)=筆，

又由a一夕=2a-(a+夕)知

cos(a—/?)=cos[2a—(a+0)]=cos2acos(a+/?)+sin2asin(a+0)

又因為a—BE[。,互]，所以a—B=

故選：B.

【變式4-1](2024?重慶?模擬預測)已知a,0都是銳角，cosa=；,sin(a+夕)=絆，則cos20的值為()

714

A.--B.-C.--D.—

2222

【解題思路】根據(jù)題意，求得sina=手，再由y=cos%的單調(diào)性，求得cos(a+0)=-巳，利用兩角差的

余弦公式，求得cos/?=cos[(a+4)-a]=；,結(jié)合余弦的倍角公式，即可求解.

【解答過程】由a與/?均為銳角，且cosa=2，sin(a+S)=券，所以sina="，

7147

因為OVaV^OcSv]可得0<a+SVJi,cos(a+0)=±^|,

又因為y=cos%在(Ojr)上單調(diào)遞減，且aVa+處所以cosa>cos(a+夕)，

因為cosa=p所以cos(a+/?)=—弓，

所以coSjS=cos[(a+/?)—er]=cos(a+/?)cosa+sin(a+￡)sina=—x1+等x竽=

則cos20=2cos2s-1=2x(1)2—1=—

故選：A.

【變式4-2](2024?福建泉州?模擬預測)已知a,0均為銳角，sin(2a—j?)=^cosa+sin7,則sin(a—夕)=

()

A.延B.在C.2D.史

5533

【解題思路】利用2a-/?=a+(a-/?)和6=-[(a-B)-a]對sin(2a-/?)和sin6進行轉(zhuǎn)化即可求解.

【解答過程】由題意sin(2a-0)=sin[a+(a-0)]=sinacos(a—/?)+cosasin(a—/?),

又sin(2a—￡)=^cosa+sin0=苧cosa—sin[(a—￡)—a[=[卓—sin(a—/?)]cosa+cos(a—/?)sina,

故sinacos(a—/?)+cosasin(a—/?)=[誓—sin(a—/?)]cosa+cos(cr—/?)sina,

即cosasin(a—/?)=[誓—sin(a—例cosa

又a均為銳角，所以cosaHO,

故sin(a—/?)=手—sin(a—/?)=>sin(a-0)=亨，

故選：D.

【變式4-3](2024?山西?三模)若sin2a=4，sin(/?-a)=彳，且aW玲卜朗,則cos(a+￡)=

()

AV5+V2n儷k遍c2V5-V2

A.-------B.—C.—D.---------

6636

【解題思路】根據(jù)sin2a=終結(jié)合a的范圍分析可得ae[*),cos2a=-1，再根據(jù)sin"-a)=當結(jié)合0

3L4Z/3o

的范圍分析可得cos(/?-a)=-等，由Q+S=2a+(/?-a)結(jié)合兩角和差公式分析求解.

6

【解答過程】因為ac[利，則2a€目2葉且sin2a=苧>為

則可得/€玲5,cos2a=——sin22a=—

又因為￡6卜3則野且sin(/?—a)=B>0,

可得S-ae(]m)，cos(￡-a)=-Jl-sin2(^B-a)=-平，

所以cos(a+0)=cos[2a+Q?-a)]=cos2acos(0—a)—sin2asin(0—a)

=fV6\/V30\V3xV6=2V5-V2

\3J\67366

故選：D.

【題型5三角函數(shù)式的化簡】

【例5】（2024?全國?模擬預測）管0。一（）

sin25°2tan25°

【解題思路】切化弦后通分，根據(jù)兩角和差的正余弦公式求解即可.

sin800+cos500_顯_$111（60。+20。）+85（30。+20。）_歷cos250

【解答過程】

sin25°2tan25°sin25°2sin25°

sin60°cos20°+cos60°sin20°+cos30°cos20°—sin30°sin20°V6cos25°

-sin2502sin25°

_限os200+sin20°+恁os20。-sin200_ecos25°_gcos20。_V^cos25°

2sin2502sin25°-sin2502sin25°

_V3cos(45°-25°)V6cos25°_V3(cos45°cos25o4-sin45°sin250)V6cos25°

sin25°2sin25°-sin25°2sin25°

_V6cos25°+V6sin25°V6cos25°_V6

-2sin2502sin25°~

故選：A.

【變式5-1】（2023?全國?模擬預測）化簡：*普（)

A.4B.2C.tan20°D.sin20°

【解題思路】利用三角恒等變換的公式求解即可.

1一倔nalO。coslO。一任inl0°2cos(10。+60。)2cos70。4cos70°

【解答過程】

sinlO°sinl00cosl0osinlO°coslO°sinlO°coslO°sin20°

故選：A.

【變式5-2］（2023?吉林延邊?二模）下列化簡不正確的是（）

11

A

-cos82°sin52o+sin82℃osl28==--B.sinl5°sin300sin75==-

ctan48°+tan72°盲

ccos215&sin215=D.----------------=V3

-°°Tl-tan48°tan72°

【解題思路】利用三角恒等變換的知識進行化簡，從而確定正確答案.

【解答過程】A選項，cos82°sin52°+sin82°cosl28°

=cos82°sin52°+sin82°cos(180°-52°)

=cos82°sin52°—sin82°cos52°

=sin(52°-82°)=—sin30°=-1,所以A選項正確.

B選項，sinl50sin30osin75o

=isinl50sin(90°-15°)=isinl50cosl5°=isin30°=士B選項正確.

2248

C選項，cos215°-sin215°=cos30°=y,C選項正確.

D選項，tan48°+tan72°=tan(48°+72°)=tanl20°V3,D選項錯誤.

l-tan48tan720

故選：D.

【變式5-3](2024?重慶?模擬預測)，管65；黑5。的值為()

tanl5ocosl0°4-sml0°

A2+V3D1+V3c2+V3c1+V3

A.--------D.----------C/.--------L).----------

2244

【解題思路】由同角的商數(shù)關系，兩角和的正弦公式，降幕公式，誘導公式化簡求值即可.

r鏟茲、計于口12cos65°cosl5°_2cos65°cos215°

口tanl5ocosl0°+sinl00sinl50cosl0-+sinl00cosl5°

_sin25Ox(l+cos30。)_.V3_2+遮

-sin25°—~~2，

故選：A.

【題型6給角求值】

【例6】（2024?遼寧?二模）已知sin（15。—^）=tan210。，則sin（6（T+a）的值為（）

【解題思路】根據(jù)題意得到sin(15。g)='進而得到儂2(15。/)=3cos(30。一a)=%從而有

sin(60°+a)=sin[90°—(30°—a)]=cos(30°—a).

【解答過程】,?飛也(15。冶)=tan210。，

:.sin(15°--)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=—,

則COS2(15°—])=1—sin2(15°-])=/

cos(30°—a)=cos2(15°——sin2(15°—y)=|,

Asin(60°+a)=sin[90°—(30°-a)]

=cos(30°—a)=-,

故選A.

【變式6-11(23-24高二上?江西景德鎮(zhèn)?期中)已知sina=乎,cos(a一/?)=?,且0<a<華,0〈”苧

則sin/?=()

A9V1511V10C底n同

?35?35?-35~?-35~

【解題思路】易知sin/?=sin(a一(a-/?)),利用角的范圍和同角三角函數(shù)關系可求得cosa和sin(a-/?),

分別在sin(a-m=卓和-卓兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得sin/?,結(jié)合0的范圍可確定最終結(jié)

果.

【解答過程】：sina=—<?且0<a<嗎.0<a<三,二cosa=71—sin2a=

72447

又0V/?V?，???一,Va—/?<：,?,.sin(a-0)=±y/1-cos2(a—^?)=±誓.

當sin(a—/?)=乎時，

sin/?=sin(a—(a—0))=sinacos(a—/?)—cosasin(a—/?)=苧x?—|x9=—要，

???0VqV手，??.sin0>0,?,.sin^=—坐不合題意，舍去；

當sin(a—H)=-誓，同理可求得sin/?=野，符合題意.

綜上所述：sin/?

故選：A.

【變式6-2](23-24高一下?北京順義?階段練習)已知ae(04)且tana=*

⑴求tan2cr,sin2a,cos2a；

(2)若￡為銳角，且cos(a+0)=卷，求sin/7.

【解題思路】

(1)二倍角公式直接求tan2a,由tan2仇的正負判斷角的范圍，結(jié)合(sin2a)2+(cos2a)2=1解出sin2a

和cos2a的值.

(2)由tana的值和a的范圍求出sina、cosa的值，利用/?=a+p-a,結(jié)合兩角差的正弦公式即可求出sin13

的值.

3

【解答過程】⑴解：因為tana=1所以tan2a=產(chǎn)2=白=勺；

41—tan4a1——7

16

又a6(0,f,2a6(O,TT),tan2a=y>0,所以2aE(°()，貝！Jsin2a>0,cos2a>0,又tan2a==y,

且(sin2a7+(cos2a尸=1,解得：sin2a=||,cos2a=2

(2)因為a￡(0()且tana=：,所以sina=g,cosa=p

因為S為銳角，cos(a+=—>0,所以sin(a+/?)=￡,

則sin/?=sin(a+6一a)=sin(a+S)cosa—cos(a+￡)sina

1245333

=—X----------X———.

13513565

【變式6?3】(2024?浙江臺州?二模)已知函數(shù)/(%)=8sin%+cos%.

(I)求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(II)若/(a)=W[]旨],求sina的值.

【解題思路】(1)先用輔助角公式變形函數(shù)為f(x)=2sin(%+9,再把久+方帶入函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，分

離出“即可得解；

(2)由/'(a)=:,即sin(a+§=/根據(jù)a的范圍求出cos(a+小=一|,帶入sina=sin((a+勻—胃即

可得解.

【解答過程】⑴/(x)=V3sinx+cosx=2sin(x+。

令-----F2/CTT4%H—4—F2/C7T,kEZ

262

得-g+2/CTT4％Wg+2/C7T,kEZ,

???/(%)的單調(diào)增區(qū)間為卜年+2也(+2對，kEZ；

(II)/(a)=f,即sin(a+=7,

5\6/5

ae[?卦a+JeM，

V7■(1吟4V3.71

Xsin(?+-)="<—=sin-,

\0/□Z3

所以a+3w仔,斗得cos(a+J=-[

???sina=sin((a4-J=sin(a+勺cos^—cos(a4-gsin^

4V3+3

~10

【題型7給值求值】

【例7】(2024?河北保定?三模)已知銳角a,/?(a例7)滿足sina+2cosa=sin/?+2cos，，則sin(a+0)

的值為()

【解題思路】利用輔助角公式化簡已知函數(shù)，得到正弦型函數(shù)，再利用自變量的范圍得到函數(shù)是不單調(diào)的,

所以自變量不相等但函數(shù)值相等的情形就是兩角互補，從而就可以通過運算得到結(jié)果.

【解答過程】設/(%)=sinx+2cosx=V5sin(x+@),其中sing=等，cos(p=個，0c(。《),

當工€(00)時，工+勿€(0j+0)u(0,K),

此時/(%)=sin%+2cos%=V^sin(%+0)在(0,n),有增有減，

又因為/(a)=f(S),且aW/?,所以a+9+/?+0=TI,所以a+/?=n-2仍

所以sin(a+d)=sin(7i—2(p')=sin2(p=2sin0cos勿=

故選：D.

【變式7?1】(2024?遼寧丹東?二模)已知sina+sin(a+§=苧，則cos(2a+g)=()

7722

A.5B,--C,-D,--

【解題思路】解法1：令a=(a+￡)-/a+合(a+?)+2,利用兩角和與差的正弦公式化簡即可求得

sin(a+“=g,再利用二倍角公式即可求解；解法2：利用兩角和的正弦公式將sina+sin(a+5)=g展

開，可得當sina+駟sa=(,再利用輔助角公式求得sin(a+2=g,最后利用二倍角公式即可求解.

【解答過程】解法1：由sina+sin(a+])=個，得sin[(a+[)—e]+sin[(a+：)+(]=',

得sin(a+-)cos--cos(a+-)sin-+sin(a+-)cos-+cos(a+-)sin-=—,

666666663

得限in(a+g)=g所以sin(a+g)=g

o363

所以cos(2a+])=1—2sin2(a+￡)=.

解法2：將sina+sin(a+^)=y-

展開得sina+sinacos^4-cosasin^=[，

整理得sjina+jcosa=

即sin(a+^)=-|,

所以cos(2cr+^)=1—2sin2(a+￡)=：.

故選：A.

【變式7-2］(2024?貴州貴陽,二模)已知cosa-cos/?=高,sina-sin0=-1,則tan(a+/?)的值為()

A.-4V5B.4V5C.-2V5D.2V5

【解題思路】拆分角度a=*+—，6=--一，再根據(jù)和差化積公式求得tan一，由正切二倍角公式

即可得所求.

【解答過程】由戊=半+1，夕=歲—早得

cosa—cosjff=—2sin^^sin^^=—,sincr—sin0=2cos^^sin^^=-

l223l223

兩式相除可得tan一二苧，

所以tan(a+/?)=tan(2.亨)=［晨=一4^-

故選：A.

【變式7?3】(2024?遼寧?二模)已知a,/?6(。4)，2tana=高黑隔，則cos已戊+夕+§=()

A.亙B.—包C.iD.-i

2222

【解題思路】由2tana=.產(chǎn)可得料=產(chǎn)能，進而可得sina+sinasin。=cosacosQ,再根據(jù)兩角

sinp+sin^pcosa1+smp

差的余弦公式化簡求出a,S的關系，即可得解.

【解答過程】因為2tana=^黑布，

grpi2sina_2sin0cos夕_2cos/?

cosasin0+sin2sl+sin0'

所以sina+sincrsin/?=cosacos/?,

所以sincr=cosacos/3—sinasin/3=cos(a+0),

所以cos仔—仇)=cos(a+/?),

因為%S€(°4)，所以］一a€(0,9,a+夕€(0,7i),

所以］-a=a+/?,所以2a+S=］,

所以cos(2a+￡+"=cos—=-g

\3/62

故選：B.

【題型8給值求角】

【例8】(2023?江蘇無錫?三模)已知tan(a+夕)=4署，若。€(0,§,則0=()

A2LBcD

?12-7-T-I

【解題思路】利用已知條件和兩角和的正切公式，先求出角a,再利用已知條件即可求解.

【解答過程】因為tan(a+0)—tanS

tana=tan(a+￡-￡)=l+tan(a+H)?tanH'

cosal+sina

又因為tan"=-：，tan(a+/?)=

1—sinacosa

l+sinacosa(l+sina>(l-sina)-cosacosa

R斤以fon/T=cosa_1-sina_________cosa(l-sina)_______

771/LallU-]?l+sinacosa-cosa-(l-sina)+cosa-(l+sina)9

cosa1-sinacosa(l—sina)

(l+sina)-(l—sina)—cosa-cosa1—sin2a—cos2a

所以tana=

cosa-(l—sina)+cosa-(l+sina)2cosa

因為sin2a+cos2a=1,所以tana=0,

所以a=kn,kEZ,

所以當k為奇數(shù)時，cosa=—1,sina=0,

當々為偶數(shù)時，cosa=1,sincr=0,

因為tan6=「os。,所以tanS=±l,

1—sina

因為0e(o,3,所以/?=：.

故選：c.

【變式8-1](23-24高三?全國?期末)已知。<a<夕</,cos2a+cos20+1=2cos(a—￡)+cos(ct+￡),

貝1J()

A.a+S=￡B.a+0=g

C.B—cc~—D.B—ct——

產(chǎn)6產(chǎn)3

【解題思路】直接利用三角函數(shù)恒等變換進行湊角化簡，再根據(jù)a,/?的范圍即可求出結(jié)果.

【解答過程】由已知可將2a=(a+3)+(a—S),2/?=(a+￡)—(a—0),

則cos[(a+/?)+(?—jff)]+cos[(a+0)—(a—0)]+1=2cos(a—0)+cos(a+￡),

2cos(a+H)cos(a-0)-2cos(a—R)—cos(a+￡)+1=0,

[cos(a+/?)—l][2cos(cr—/?)—1]=0,即cos(a+/?)=1或cos(a—

又0<aVSV]，所以0V