2025年現(xiàn)代控制理論實驗報告自適應(yīng)倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計

摘要配置理論，根據(jù)超調(diào)量和調(diào)整時間來配置極點，求出反饋矩陣并運用目錄1.緒論 1 12.1數(shù)學(xué)建模的方法 12.2二級倒立擺的結(jié)構(gòu)和工作原理 2 32.4推導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型 3 4狀態(tài)反饋極點配置 4.1二級倒立擺的最優(yōu)極點配置1 4.2二級倒立擺最優(yōu)極點配置2 5.4極點配置Simulink仿真結(jié)果 5.4.1第一組極點配置仿真結(jié)果 5.4.2第二組極點配置仿真結(jié)果 6.結(jié)論 7.參考文獻 倒立擺最初誕生于麻省理工學(xué)院，僅有一級擺桿，另一端鉸接于可以在直線導(dǎo)軌上自由滑動的小車上。后來在此基礎(chǔ)上，人們又進行拓展，設(shè)計出了直線二級倒立擺、環(huán)型倒立擺、平面倒立擺、柔性連接倒立擺、多級倒立擺等試驗設(shè)備。在控制理論的發(fā)展過程中，為驗證某一理論在實際應(yīng)用中的可行性需要按其理論設(shè)計的控制器去控制一種經(jīng)典對象來驗證。倒立擺系統(tǒng)作為一種試驗裝置，形象直觀，構(gòu)造簡樸，成本低廉；作為一種控制對象，他又相稱復(fù)雜，同步就其自身而言，是一種高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性、強耦合系統(tǒng)，只有采用行之有效的控制措施才能使之穩(wěn)定，因此倒立擺裝置被公認為是自動控制理論中的經(jīng)典試驗設(shè)備。綜合文獻資料，倒立擺控制的措施重要有：PID控制，狀態(tài)反饋，運用云模型，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制，遺傳算法，自適應(yīng)控制，模糊控制，變論域自適應(yīng)模糊控制理論，智能控制等多種算法來實現(xiàn)倒立擺的控制。本文重要構(gòu)建二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型的建立與分析，對倒立擺系統(tǒng)進行控制措施的研究。本文就如下幾種問題進行了論述。1.二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型的建立與分析。在建模部分，首先采用拉格朗日方程推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型，并對系統(tǒng)的可控性可觀性進行分析，并分析倒立擺系統(tǒng)控制的難易程度。2.二級倒立擺的控制原理及措施的研究。本文重要采用狀態(tài)反饋極點配置的措施對二級倒立擺進行研究。3.采用Matlab語言進行數(shù)字仿真，分析仿真成果。2數(shù)學(xué)模型的建立和分析所謂系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型就是運用數(shù)學(xué)構(gòu)造來反應(yīng)系統(tǒng)內(nèi)部之間、內(nèi)部與外部某些原因之間的精確的定量的表達。它是分析、設(shè)計、預(yù)報和控制一種系統(tǒng)的基礎(chǔ)，因此要對一種系統(tǒng)進行研究，首先要建立它的數(shù)學(xué)模型。建立倒立擺系統(tǒng)的模型時，一般采用牛頓運動規(guī)律，成果要解算大量的微分方程組，中的Lagrange方程推導(dǎo)倒立擺的系統(tǒng)模型。Lagrange因此用Lagrange方程來求解系統(tǒng)的動力學(xué)方程可以大大簡化建模過如圖2.1,系統(tǒng)包括計算機、運動控制卡、伺服機構(gòu)、倒立擺本體(小車，上擺，下擺，皮帶輪等)和光電碼盤幾大部分，構(gòu)成了一種閉環(huán)系統(tǒng)。光電碼盤1將小車的位移、速度信號反饋給伺服驅(qū)動器和運動控制卡，下面一節(jié)擺桿(和小車相連)的角度、角速度信號由光電碼盤2反饋回控制卡和伺服驅(qū)動器，上面一節(jié)擺桿的角度和角速度信號則由光電碼盤3反饋。計算機從運動控制卡中讀取實時數(shù)據(jù)，確定控制決策(小車向伺服驅(qū)動器計算機圖2.1系統(tǒng)構(gòu)造和工作原理圖2.3拉格朗日運動方程拉格朗日提出了用能量的措施推導(dǎo)物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，首先我們引入廣義坐標，拉格朗日方程。廣義坐標：系統(tǒng)的廣義坐標是描述系統(tǒng)運動必需的一組獨立坐標，廣義坐標數(shù)等同于系統(tǒng)自由度數(shù)。假如系統(tǒng)的運動用n維廣義坐標qi,q2,…q。來表達，我們可以把這n維廣義坐標當(dāng)作是n維空間的n位坐標系中的坐標。對于任一系統(tǒng)可由n維空間中的一點來表征。系統(tǒng)在n維空間中運動形成的若干系統(tǒng)點連成一條曲線，此曲線表達系統(tǒng)點的軌跡。拉格朗日方程：q——系統(tǒng)的廣義坐標，T——系統(tǒng)的動能，V——系統(tǒng)的勢能。拉格朗日方程由廣義坐標q;和L表達為：式中，i=1,2,3…n,f;——系統(tǒng)沿該廣義坐標方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)的三個廣義坐標分別是x,θ,θ?。2.4推導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型在推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型之前，我們需要幾點必要的假設(shè)：1.上擺、下擺及小車均是剛體；2.皮帶輪與傳動帶之間無相對滑動；傳動皮帶無伸長現(xiàn)象；3.小車運動時所受的摩擦力正比于小車的速度；4.小車的驅(qū)動力與直流放大器的輸入成正比，且無滯后，忽視電機電樞繞組中的電5.下擺轉(zhuǎn)動時所受到的摩擦力矩正比于下擺的轉(zhuǎn)動速度；二級倒立擺的運動分析示意圖如圖2.2圖2.2二級倒立擺運動分析示意圖擺桿1質(zhì)量m=0.04Kg擺桿1轉(zhuǎn)動中心到桿質(zhì)心距離/=0.09m擺桿2質(zhì)量m=0.132Kg擺桿2轉(zhuǎn)動中心到桿質(zhì)心距離I?=0.27m質(zhì)量塊質(zhì)量M?=0.208Kg作用在系統(tǒng)上的外力F擺桿1與垂直向上方向的夾角θ?擺桿2與垂直向上方向的夾角θ?Tm擺桿1動能：Tm?--擺桿1繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能則式中，Tm?--擺桿1質(zhì)心平東動能Tm?--擺桿1繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能Tm?質(zhì)量塊動能：因此，可以得到系統(tǒng)總動能：系統(tǒng)的勢能為：至此得到拉格朗日算子L:L=T-V由于由于在廣義坐標θ?,0?上均無外力作用，有如下等式成立：展開(2.17)、(2.18)式，分別得到(2.19)、(2.20)式6m?l?O2sin(θ?-θ?)+4(m?+3(m?+m?)L?-+(m+2(m?+m3)(gsinθ?+xcosθ?))=0-3gsinθ?-6L02sin(θ?-θ?)+4ZO?+6L0cos(θ?-0)將(2.19)、(2.20)式對0?,??求解代數(shù)方程，得到如下兩式0?=(3(-2gm,sinθ?-4gm?sinθ?-4m?gsinθ?+3m+6m?lcos(θ-0?)sin(θ-0?)2+4m?l?sin(θ?-0表到達如下形式：取平衡位置時各變量的初值為零，將(2.23)式在平衡位置進行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令得到線性化之后的公式將O?=f?(x,θ,0?,x,0,O?,x)在平衡位置進行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令得到目前得到了兩個線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需加上一種方程：取狀態(tài)變量如下：求出各個K值：K12=77.0642K?2=-38.5321K17=5.7012K?3.1穩(wěn)定性分析λ=[9.59724.7725-9.5開環(huán)系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點位于S平面右半平面上，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。圖1開環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)3.2能控性能觀性分析X=AX+BU其能控性矩陣為：rank(T?)=6因此系統(tǒng)是完全能控的。其能觀性矩陣為：Co=[C,CA,CA2,CA3,CA?,CA?]T因此系統(tǒng)是完全能觀的。(代碼見附錄)由上述計算成果可知，二級倒立擺系統(tǒng)是開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，但它的狀態(tài)是完全能控且完全能觀測的。因此，可以對其實現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制。在式3.3中，A為6*6陣；B為6*1陣；C為3*6陣。是一種單輸入系統(tǒng)，且完全能控、能觀測。因此，可按照最優(yōu)控制系統(tǒng)的極點配置措施進行設(shè)計。對于一般控制系統(tǒng)，閉環(huán)主導(dǎo)極點的選用應(yīng)使0.4≤ε≤0.8。但二級倒立擺是一種特殊的高階系統(tǒng)，穩(wěn)定性是重要矛盾，因此可合適增長ε,即合適減少響應(yīng)速度，來彌補系統(tǒng)穩(wěn)定性規(guī)定。對應(yīng)在選擇性能指標時，應(yīng)合適減小系統(tǒng)的超調(diào)量。對于二階倒立擺系統(tǒng)，重要針對如下兩個重要的性能指標進行設(shè)計：超調(diào)量：σ≤0.005這里，誤差范圍取為2%,將上述性能指標代入式4.1和式4.2得到二級倒立擺系統(tǒng)的2個性能指標滿足ε≥0.826,Wn≥2.17,取ε=0.826,Wn=2.17將得到的阻尼比與自然角頻率代入下式：得到二級倒立擺系統(tǒng)的2個主導(dǎo)極點為：對于其他四個非主導(dǎo)極點，不妨設(shè)為四重極點，且距主導(dǎo)極點10倍以上，即滿足因此，此外四個非主導(dǎo)極點取為：S?=S?=S?=到此，二級倒立擺的6個極點都已確定。P=[-1.87+1.11j-1.87-1.11j-22-22-在matlab中輸入K=acker(A,B,P)可求得：至此，完畢了二級倒立擺控制器的設(shè)計。接下來在matlab中仿真得到：圖2極點配置后單位階躍響應(yīng)14.2二級倒立擺最優(yōu)極點配置2這里，誤差范圍仍取為2%,代入式4.1和式4.2得到二級倒立擺系統(tǒng)的2個性能指標滿足ε≥0.69,wn≥2.51,取ε=0.69,wn=2.51因此，第二組極點P2=[-1.73+1.81j-1.73-1.81j-30-30-在matlab中輸入K2=acker(A,B,P2)可求得：圖3極點配置后單位階躍響應(yīng)25.二級倒立擺matlab仿真State-6paoe圖4開環(huán)系統(tǒng)仿真圖圖5開環(huán)系統(tǒng)matlab仿真成果圖Add圖6極點配置優(yōu)化后的系統(tǒng)構(gòu)造圖5.4極點配置Simulink仿真成果圖7極點配置優(yōu)化后的成果圖圖8小車位移曲線圖9一級倒立擺角度曲線圖10二級倒立擺角度曲線從以上的圖片可以看出，系統(tǒng)在給定輸入的狀況下，1秒左右恢復(fù)到平衡點的位置圖12小車位移曲線0.40.2 3圖圖13一級倒立擺角度曲線圖14二級倒立擺角度曲線倒立擺系統(tǒng)就其自身而言，是一種多變量、迅速、嚴重的意義。級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。應(yīng)用現(xiàn)代控制理論，分析了倒立擺的穩(wěn)定性、能控性、配置的措施得到很好的控制效果。最終進行了Matlab仿真，通過優(yōu)化前后優(yōu)化后的響[1]劉豹唐萬生現(xiàn)代控制理論(第三版)機械工業(yè)出版社[2]夏德鈐翁貽方自動控制理論(第4版)機械工業(yè)出版社[3]李國勇程永強計算機仿真技術(shù)與CAD—基于matlab的控制系統(tǒng)(第三版)電[4]基于LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng)研究[本科畢業(yè)論文][5]湯唯基于直線二級倒立擺控制系統(tǒng)的研究[碩士學(xué)位論文][6]基于極點配置的倒立擺控制器設(shè)計[碩士學(xué)位論文]附錄一%-------------------------階躍響應(yīng)下系統(tǒng)的穩(wěn)定性------------------A=[000100;000010;000001;00077.0642-21.1927000;0-38.532137B=[0;0;0;1;5.7012;-0step(A,B,C,D)%繪制階躍響應(yīng)A=[000100;000010;000001;000077.06