自動控制理論-信號流圖

第四節(jié)控制系統(tǒng)的信號流圖12/22/20241

信號流圖可以表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和變量傳送過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。它也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。在求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時較為方便。一、信號流圖及其等效變換組成：信號流圖由節(jié)點和支路組成。見下圖：信號流圖的概念-+12/22/20242上圖中，兩者都具有關(guān)系:。支路對節(jié)點來說是輸出支路，對節(jié)點y來說是輸入支路。節(jié)點：節(jié)點表示信號，輸入節(jié)點表示輸入信號，輸出節(jié)點表示輸出信號。支路：連接節(jié)點之間的線段為支路。支路上箭頭方向表示信號傳送方向，傳遞函數(shù)標(biāo)在支路上箭頭的旁邊，稱支路傳輸。信號流圖的概念12/22/20243信號流圖的術(shù)語[幾個術(shù)語]：輸出節(jié)點(阱點)：只有輸入支路的節(jié)點。如：X8?；旌瞎?jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。如：X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合節(jié)點相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的信號相加點和分支點。它上面的信號是所有輸入支路引進(jìn)信號的疊加。通路：沿支路箭頭方向穿過各個相連支路的路線，起始點和終點都在節(jié)點上。若通路與任一節(jié)點相交不多于一次，且起點和終點不是同一節(jié)點稱為開通路。起點在源點，終點在阱點的開通路叫前向通路。輸入節(jié)點(源點)：只有輸出支路的節(jié)點。如：X1，X9。12/22/20244回路(閉通路)：通路與任一節(jié)點相交不多于一次，但起點和終點為同一節(jié)點的通路稱為回路?；ゲ唤佑|回路：回路之間沒有公共節(jié)點時，這種回路稱為互不接觸回路。信號流圖的術(shù)語通路傳輸(增益)：通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸或通路增益。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路傳輸或前向通路增益。回路傳輸(增益)：回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增益。12/22/20245信號流圖的等效變換串聯(lián)支路合并：并聯(lián)支路的合并：回路的消除：12/22/20246混合支路的清除：自回路的消除：信號流圖的等效變換12/22/20247信號流圖的性質(zhì)節(jié)點表示系統(tǒng)的變量。一般，節(jié)點自左向右順序設(shè)置，每個節(jié)點標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點的信號之代數(shù)和，而從同一節(jié)點流向各支路的信號均用該節(jié)點的變量表示。支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果的因果關(guān)系。對于給定的系統(tǒng),節(jié)點變量的設(shè)置是任意的，因此信號流圖不是唯一的。信號流圖的性質(zhì)12/22/20248信號流圖的繪制[信號流圖的繪制]：根據(jù)結(jié)構(gòu)圖列出系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的拉氏方程，按變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系繪制先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，如上圖所示。然后畫出信號流圖如下圖所示。例1：速度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為：12/22/20249例2:已知結(jié)構(gòu)圖如下，可在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，如上圖所示。然后畫出信號流圖如下圖所示。12/22/202410信號流圖的繪制例2:

按微分方程拉氏變換后的代數(shù)方程所表示的變量間數(shù)學(xué)關(guān)系繪制。如前例所對應(yīng)的代數(shù)方程為:按方程可繪制信號流圖。12/22/202411梅遜公式用梅遜公式可不必簡化信號流圖而直接求得從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之間的總傳輸。（即總傳遞函數(shù)）其表達(dá)式為：式中：總傳輸（即總傳遞函數(shù)）；從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通道總數(shù)；第k個前向通道的總傳輸；流圖特征式；其計算公式為：二、梅遜增益公式12/22/202412（正負(fù)號間隔）式中：流圖中所有不同回路的回路傳輸之和；所有互不接觸回路中，每次取其中兩個回路傳輸乘積之和；所有互不接觸回路中，每次取其中三個回路傳輸乘積之和；

第k個前向通道的特征余子式；其值為中除去與第k個前向通道接觸的回路后的剩余部分。梅遜公式12/22/202413梅遜公式||例2-13a[解]：前向通道有一條；有一個回路；例2-13a：求速度控制系統(tǒng)的總傳輸。（不計擾動）12/22/202414梅遜公式||例2-13[解]：先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，再根據(jù)邏輯關(guān)系畫出信號流圖如下：[例2-13]：繪出兩級串聯(lián)RC電路的信號流圖并用Mason公式計算總傳遞函數(shù)。---12/22/202415圖中，有一個前向通道；有三個回路；有兩個互不接觸回路；（因為三個回路都與前向通道接觸。）總傳輸為：梅遜公式||例2-13（正負(fù)號間隔）式中：流圖中所有不同回路的回路傳輸之和；所有互不接觸回路中，每次取其中兩個回路傳輸乘積之和；所有互不接觸回路中，每次取其中三個回路傳輸乘積之和；12/22/202416梅遜公式||例2-13討論：信號流圖中，a點和b點之間的傳輸為1，是否可以將該兩點合并。使得將兩個不接觸回路變?yōu)榻佑|回路？如果可以的話，總傳輸將不一樣。不能合并。因為a、b兩點的信號值不一樣。上圖中，ui和ue，I1和I，a和b可以合并。12/22/202417梅遜公式||例2-14例2-14：使用Mason公式計算下述結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù)解：在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，如上圖。然后畫出信號流圖，如下：++--12/22/202418回路有三，分別為：有兩個不接觸回路，所以：梅遜公式||例2-14求：前向通道有二，分別為:12/22/202419梅遜公式||例2-14求：（蘭線表示）不變。（紅線表示）注意：上面講不變，為什么？是流圖特征式，也就是傳遞函數(shù)的特征表達(dá)式。對于一個給定的系統(tǒng)，特征表達(dá)式總是不變的，可以試著求一下。12/22/202420梅遜公式注意事項注意：梅森公式只能求系統(tǒng)的總增益，即輸出對輸入的增益。而輸出對混合節(jié)點（中間變量）的增益不能直接應(yīng)用梅森公式。也就是說對混合節(jié)點，不能簡單地通過引出一條增益為一的支路，而把非輸入節(jié)點變成輸入節(jié)點。對此問題有兩種方法求其傳遞函數(shù)：一、把該混合節(jié)點的所有輸入支路去掉，然后再用梅森公式。二、分別用梅森公式求取輸出節(jié)點及該節(jié)點對輸入節(jié)點的傳遞函數(shù)，然后把它們的結(jié)果相比，即可得到輸出對該混合節(jié)點的傳遞函數(shù)。12/22/202421梅遜公式||例2-15例2-15：數(shù)數(shù)有幾個回路和前向通道。有四個回路，分別是：它們都是互相接觸的。有九條前向通道，分別是：12/22/202422梅遜公式||例2-15對應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖為：--+++++為節(jié)點注意：①信號流圖與結(jié)構(gòu)圖的對應(yīng)關(guān)系；②仔細(xì)確定前向通道和回路的個數(shù)。作業(yè)：2-12，2-1312/22/202423小結(jié)信號流圖的組成；術(shù)語；信號流圖的繪制和等效變換；梅遜公式極其應(yīng)用；信號流圖和結(jié)構(gòu)圖之間的關(guān)系。小結(jié)12/22/202424梅遜公式的推導(dǎo)附錄：梅遜公式的推導(dǎo)如前例已知信號流圖如圖所示，所對應(yīng)的代數(shù)方程為以R為輸入，V2為輸出則可整理成下列方程12/22/202425于是可求得該方程組的系數(shù)行列式和

梅遜公式的推導(dǎo)12/22/202426根據(jù)克萊姆法則得

于是傳遞函數(shù)為分析上式可以看到，傳遞函數(shù)的分子和分母取決于方程組的系數(shù)行列式，而系數(shù)行列式又和信號流圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有著密切的關(guān)系。從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的觀點，信號流圖的主要特點取決于回路的類型和數(shù)量。而信號流圖所含回路的主要類型有兩種：單獨的回路和互不接觸回路。梅遜公式的推導(dǎo)12/22/202427圖中所示信號流圖共含有五個單獨回路和三對互不接觸回路（回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ）

所有單獨回路增益之和為兩兩互不接觸回路增益乘積之和為

而△值恰好為

可見，傳遞函數(shù)的分母△取決于信號流圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征。

梅遜公式的推導(dǎo)12/22/202428如果把△中與第k條前向通道有關(guān)的回路去掉后，剩下的部分叫做第k條前向通道的余子式，并記為△k。由圖可得，從輸入到輸出的前向通道和其增益以及響應(yīng)的余子式如下表所示前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=1梅遜公式的推導(dǎo)12/22/202429故用信號流圖拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的術(shù)語，系統(tǒng)的傳