2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)【第一章 集合與常用邏輯用語】九大題型歸納（拔尖篇）（含答案）

2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第一章九大題型歸納（拔尖篇）【人教A版（2019）】題型1集合中元素的個(gè)數(shù)問題題型1集合中元素的個(gè)數(shù)問題1．（2023下·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知集合A=0,2，B=1,2,3，C=aba∈A,b∈B，則集合C中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）由a2，2-a，3組成的一個(gè)集合A，若A中元素個(gè)數(shù)不是2，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（

A．-1 B．1 C．3 D．23．（2023上·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合A=x∈(1)若A是空集，求a的取值范圍；(2)若A中只有一個(gè)元素，求a的值，并把這個(gè)元素寫出來；(3)若A中至少有一個(gè)元素，求a的取值范圍.4．（2023上·上海浦東新·高一上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┮阎螦n=x1,x2,?,xnxi∈-1,1i=1,2,?,n，x(1)若x=1,1,1,1，寫出A4中與(2)令B=x⊙y|x,y∈An，若m∈B(3)若A?An，且A中任意兩個(gè)元素均正交，分別求出n=8，14時(shí)，題型2題型2根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)1．（2023上·遼寧大連·高一大連八中?？茧A段練習(xí)）已知A是由0，m，m2-3m+2三個(gè)元素組成的集合，且2∈A，則實(shí)數(shù)m為（

A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可2．（2023上·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）集合A=x∈Rx-a2x+1>0，若3∈A且-1?AA．a(chǎn)<3 B．a(chǎn)≤-1 C．a(chǎn)≤3 D．-1<a<33．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合A含有兩個(gè)元素a－3和2a－1，a∈R.(1)若－3∈A，試求實(shí)數(shù)a的值；(2)若a∈A，試求實(shí)數(shù)a的值．4．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）（1）如果集合A={x|x=m+2n}(m,n∈Z)，（2）如果集合B=xx=m+2n，整數(shù)m,n互素，那么是否存在x，使得x和題型3題型3有限集合子集、真子集的確定1．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高一校考階段練習(xí)）若集合M=x∣m+1x2-mx+m-1=0A．-1 B．233 C．±2332．（2023上·湖北孝感·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：若一個(gè)n位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的n次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù).已知集合A=8,23,81,153,254,370，B={x∈A|x是自戀數(shù)}，則B的真子集個(gè)數(shù)為（

A．7 B．15 C．31 D．633．（2022上·陜西西安·高一校考階段練習(xí)）已知集合A=a-3,2(1)求實(shí)數(shù)a的取值的集合M；(2)寫出（1）中集合M的所有子集.4．（2022上·北京西城·高一校考階段練習(xí)）設(shè)集合Sn={1,2,3,…,n}，若X是Sn的子集，把X中所有元素的和稱為X的“容量”（規(guī)定空集的容量為0），若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱X(1)寫出S3(2)寫出S4(3)求證：Sn題型4題型4根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)1．（2023上·甘肅白銀·高一?？计谀┮阎螦=x∈R2x-3-a≥0，集合B=y∈Ry=x2A．a(chǎn)≥-72 C．a(chǎn)≤-72 2．（2023上·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知集合A={x∈N*∣x=y+2x-y,y≥0}，若B?AA．1 B．3 C．6 D．103．（2023上·山西太原·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合A={x|x2+4x=0}（1）若A?B，求a的值；（2）若B?A，求a的值.4．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中?？茧A段練習(xí)）已知A=a1,a2,a3,a4(1)判斷B=0,2,1,4是否為5-連續(xù)生成數(shù)組？是否為6-(2)若C=0,1,a,2為6-連續(xù)生成數(shù)組，求a(3)數(shù)組A=a1,題型5題型5交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算1．（2023上·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）設(shè)全集U=R，集合A=xx<2，B=xx≤-2或x>6，則A．xx<2 B．C．x-2<x<2 D．2．（2023上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）圖中U是全集，A，B是U的子集，則陰影部分表示的集合是（

）A．A∩?UBC．?UA∩B 3．（2023下·山東濱州·高二?？计谀┮阎螾=x|-1<x<1，Q=(1)P∪Q(2)P∩Q(3)((4)(4．（2022上·北京密云·高一統(tǒng)考期末）已知集合M=x|x2(1)當(dāng)a=1時(shí)，求M∩N，M∪N；(2)當(dāng)a=0時(shí)，求M∩C(3)當(dāng)N?M時(shí)，求a的取值范圍．題型6題型6集合混合運(yùn)算中的求參問題1．（2023上·廣西貴港·高一統(tǒng)考期末）若全集U=-1,2,4,5,19，集合?U(A∩B)=A．4 B．-1,19C．-1,2,4 D．4,5,192．（2022上·山西朔州·高三統(tǒng)考期末）已知集合A={x|1<x<2}，B={x|x>m}，若A∩CRB=?，則實(shí)數(shù)A．(-∞,1] B．(-∞,1) C．3．（2023上·浙江臺(tái)州·高一統(tǒng)考期末）已知集合A=x∈R2a-3<x<a+1(1)若a=0，求A∩B；(2)若A∩CRB4．（2022上·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┮阎狝=xx2(1)若a=1，求A∩?(2)從①A∪?RB=R；②問題：若，求實(shí)數(shù)a的所有取值構(gòu)成的集合C.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.題型7題型7由充分條件、必要條件求參數(shù)1．（2023下·湖南長沙·高二校聯(lián)考期末）已知p:x≥k,q:2-xx+1≤0，如果p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)kA．2,+∞ B．C．1,+∞ D．2．（2023下·浙江·高一期末）已知條件p:|x+1|>2，條件q:x>a，且?p是?q的充分不必要條件，則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)≥-1 D．a(chǎn)≤-33．（2023上·湖北武漢·高一武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）已知p:x2-5x-6<0(1)若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若p是q的必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．4．（2023上·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）已知集合A=x∣a-1≤x≤2a+1,B=x∣-2≤x≤4.在①A∪B=B；②“x∈A”是“x∈B(1)當(dāng)a=3時(shí)，求?R(2)若______，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.題型8題型8充要條件的證明1．（2023上·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）已知x,y都是非零實(shí)數(shù)，且x>y，求證：1x<12．（2022上·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）求證：方程mx2-23．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a,b,c分別是△ABC的三條邊,且a?b?c.我們知道,如果△ABC為直角三角形,那么a2+b2=c2(勾股定理).反過來,如果a2+b2=c2,那么4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）當(dāng)m,n∈Z時(shí)，定義運(yùn)算?：當(dāng)m,n>0時(shí)，m?n=m+n；當(dāng)m,n<0時(shí)，m?n=m?n；當(dāng)m>0,n<0或m<0,n>0時(shí)，m?n=m+n；當(dāng)m=0時(shí)，m?n=n；當(dāng)n=0時(shí)，(1)計(jì)算-2?(2)證明，“a=0,b=-2或a=-2,b=0”是“a?b=-2”的充要條件．題型9題型9全稱量詞與存在量詞中的含參問題1．（2023上·山西太原·高二統(tǒng)考期末）已知命題p：?x∈R，ax2+2x+3>0是真命題，那么實(shí)數(shù)aA．a(chǎn)<13 C．a(chǎn)>13 2．（2023上·河北保定·高二統(tǒng)考期末）若命題“?x0∈R，x02A．2,6 B．2,6C．-∞,2∪6,+∞ 3．（2023上·安徽淮北·高二?？计谀┮阎}p:?x∈R,x2+ax+2≥0，命題q:?x∈（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若命題q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．4．（2023上·重慶渝中·高一校考階段練習(xí)）已知命題p：?x∈R，x2+m-2x+1=0(1)若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍：(2)若命題p和命題q有且只有一個(gè)命題是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第一章九大題型歸納（拔尖篇）【人教A版（2019）】題型題型1集合中元素的個(gè)數(shù)問題1．（2023下·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知集合A=0,2，B=1,2,3，C=aba∈A,b∈B，則集合A．6 B．5 C．4 D．3【解題思路】由列舉法列出集合C的所有元素，即可得答案.【解答過程】因?yàn)锳=0,2，a∈A,b∈B，所以ab=0或ab=2或ab=4或ab=6故C=aba∈A,b∈B=0,2,4,6，即集合故選：C.2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）由a2，2-a，3組成的一個(gè)集合A，若A中元素個(gè)數(shù)不是2，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（

A．-1 B．1 C．3 D．2【解題思路】由題意判斷集合的元素個(gè)數(shù)，根據(jù)集合元素的互異性，可求得a的不可能取值，即得答案.【解答過程】由題意由a2，2-a，3組成的一個(gè)集合A，A因?yàn)閍2=2-a=3無解，故由a2，2-a故a2≠2-a≠3，即a≠-2,a≠1,a≠-1,a≠±3即A，B，C錯(cuò)誤，D正確，故選：D.3．（2023上·福建泉州·高一校考階段練習(xí)）已知集合A=x∈(1)若A是空集，求a的取值范圍；(2)若A中只有一個(gè)元素，求a的值，并把這個(gè)元素寫出來；(3)若A中至少有一個(gè)元素，求a的取值范圍.【解題思路】（1）A是空集，則方程為二次方程，且方程無實(shí)根；（2）（3）討論a=0、a≠0，結(jié)合集合元素個(gè)數(shù)及一元二次方程判別式求集合或參數(shù)范圍.【解答過程】（1）A是空集，∴a≠0且Δ<0，∴9-8a<0，解得a>∴a的取值范圍為：（9（2）當(dāng)a=0時(shí)，集合A={x|-3x+2=0}=2當(dāng)a≠0時(shí)，Δ=0，∴9-8a=0，解得a=98綜上所求，a的值為0或98，當(dāng)a=0時(shí)，元素為23，當(dāng)a=9（3）當(dāng)a=0時(shí)，A=2當(dāng)a≠0時(shí)，要使關(guān)于x的方程ax2-3x+2=0有實(shí)數(shù)根，則Δ綜上，若集合A中至少有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為-∞4．（2023上·上海浦東新·高一上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┮阎螦n=x1,x2,?,xnxi∈-1,1i=1,2,?,n，x(1)若x=1,1,1,1，寫出A4中與(2)令B=x⊙y|x,y∈An，若m∈B(3)若A?An，且A中任意兩個(gè)元素均正交，分別求出n=8，14時(shí)，【解題思路】（1）由定義可寫出A4中與x（2）令δi=1,xi=yi,0,xi≠yi（3）先考慮n=4時(shí)，共有四種互相正交的情況，設(shè)這4種情況的排列為z1則按x=z1,z2當(dāng)n=14時(shí)，不妨設(shè)y1=(1,1,?1)（有14個(gè)1），y2=(-1,-1,?,-1,1,1,?1)（有7個(gè)-1，7個(gè)1），則y1,y2正交，再令a=(a1,【解答過程】（1）A4中所有與x正交的元素為-1,-1,1,1,1,1,-1,-1（2）證明：對于m∈B，存在x=x1,x2令δi=1,當(dāng)xi≠yi時(shí)，xi那么m=x⊙y=i=1所以m+n=2k為偶數(shù)．（3）n=8時(shí)，不妨設(shè)x1再考慮n=4時(shí)，共有四種互相正交的情況，即1111-11則按x1即x=zx'=-所以n=8時(shí)，A中最多可以有8個(gè)元素．n=14時(shí)，不妨設(shè)yy則y1與y假設(shè)a=a設(shè)a，b，c相應(yīng)位置數(shù)字都相同的共有k個(gè)，除去這k列外．a(chǎn)，b相應(yīng)位置數(shù)字都相同的共有m個(gè)，b，c相應(yīng)位置數(shù)字都相同的共有n個(gè)，則a⊙b=m+k-14-m-k所以m+k=7，同理n+k=7．可得n=m．由于a⊙c=-m-m+k+14-k-2m可得2m=7,m=7所以除y1綜上，n=14時(shí)，A中最多可以有2個(gè)元素．題型2題型2根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)1．（2023上·遼寧大連·高一大連八中校考階段練習(xí)）已知A是由0，m，m2-3m+2三個(gè)元素組成的集合，且2∈A，則實(shí)數(shù)m為（A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【解題思路】由2∈A，可得m=2或m2-3m+2=2【解答過程】因?yàn)榧螦是由0，m，m2所以A=0,m,m2所以m=2或m2-3m+2=2，解方程可得m=2或m=0或當(dāng)m=2時(shí)，A=0,2當(dāng)m=0時(shí)，A=0,2當(dāng)m=3時(shí)，A=0,3,2，滿足題意，∴m=3故選：B.2．（2023上·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）集合A=x∈Rx-a2x+1>0，若3∈A且-1?AA．a(chǎn)<3 B．a(chǎn)≤-1 C．a(chǎn)≤3 D．-1<a<3【解題思路】根據(jù)元素與集合的從屬關(guān)系列出限制條件可得答案.【解答過程】因?yàn)?∈A且-1?A，所以3-a6+1>0且-1-a-2+1故選：B.3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合A含有兩個(gè)元素a－3和2a－1，a∈R.(1)若－3∈A，試求實(shí)數(shù)a的值；(2)若a∈A，試求實(shí)數(shù)a的值．【解題思路】（1）由-3∈A，得-3=a-3或-3=2a-1，再利用集合中元素的互異性能求出滿足題意的實(shí)數(shù)a的值；（2）由a∈A，得a=a-3或a=2a-1，再利用集合中元素的互異性能求出滿足題意的實(shí)數(shù)a的值.【解答過程】(1)因?yàn)椋?∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，則a＝0.此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素－3，－1，符合題意．若－3＝2a－1，則a＝－1.此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素－4，－3，符合題意．綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或－1.(2)因?yàn)閍∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.當(dāng)a＝a－3時(shí)，有0＝－3，不成立；當(dāng)a＝2a－1時(shí)，有a＝1，此時(shí)A中有兩個(gè)元素－2,1，符合題意．綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為1.4．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）（1）如果集合A={x|x=m+2n}(m,n∈Z)，（2）如果集合B=xx=m+2n，整數(shù)m,n互素，那么是否存在x，使得x和【解題思路】(1)設(shè)，x1=a(2)設(shè)x=m+2n（整數(shù)m，n互素），則有1x=mm2-2n2+【解答過程】解:（1）證明：因?yàn)閤1所以可設(shè)x1=a1+2b1，x2則x1由a1，a2，b1，b2∈Z因此x1（2）設(shè)x∈B，則x=m+2n（整數(shù)m，所以1x若1x∈B，則mm又m與n互素，所以m2所以當(dāng)m，n互素，且m2-2n2=±1如取m=3，n=2，得x=3+22，1綜上，存在x，使得x與1x都屬于集合B，如x=3+22．（注：題型3題型3有限集合子集、真子集的確定1．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高一?？茧A段練習(xí)）若集合M=x∣m+1x2-mx+m-1=0A．-1 B．233 C．±233【解題思路】根據(jù)題意，由條件可得集合M有且只有一個(gè)元素，然后分m+1=0與m+1≠0討論，即可得到結(jié)果.【解答過程】因?yàn)榧螹=x∣m+1x當(dāng)m+1=0時(shí)，即m=-1，則M=x當(dāng)m+1≠0時(shí)，即m≠-1，則關(guān)于x的方程m+1x則Δ=m2綜上所述，m=-1或m=±2故選：D.2．（2023上·湖北孝感·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：若一個(gè)n位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的n次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù).已知集合A=8,23,81,153,254,370，B={x∈A|x是自戀數(shù)}，則B的真子集個(gè)數(shù)為（

A．7 B．15 C．31 D．63【解題思路】根據(jù)自戀數(shù)的定義逐個(gè)的進(jìn)行判斷可得集合B，進(jìn)而即得.【解答過程】812282132333所以集合B=8,153,370所以真子集個(gè)數(shù)：23故選：A.3．（2022上·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合A=a-3,2(1)求實(shí)數(shù)a的取值的集合M；(2)寫出（1）中集合M的所有子集.【解題思路】（1）利用-3∈A可求出a，再驗(yàn)證合理性，進(jìn)一步確定a（2）利用子集的概念作答即可【解答過程】（1）因?yàn)?3∈A，且A所以a-3=-3或2a2+5a=-3，解得當(dāng)a=0時(shí)，2當(dāng)a=-1時(shí)，A當(dāng)a=-32∴實(shí)數(shù)a的取值的集合M（2）因?yàn)镸=-1,-32，所以集合M的子集有：?,-1,4．（2022上·北京西城·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合Sn={1,2,3,…,n}，若X是Sn的子集，把X中所有元素的和稱為X的“容量”（規(guī)定空集的容量為0），若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱X(1)寫出S3(2)寫出S4(3)求證：Sn【解題思路】（1）根據(jù)子集的定義,以及對應(yīng)題目中偶子集的定義,即可得S3（2）根據(jù)題意,分析S4的子集,對應(yīng)奇子集的定義,即可得S（3）設(shè)S為Sn的奇子集,根據(jù)奇子集和偶子集的定義,按1是否屬于S【解答過程】（1）S3={1,2,3}，則S3的所有子集為：?、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}S3的所有偶子集為：?、{2}、{1,3}、{1,2,3}（2）由題意可知,當(dāng)n=4時(shí),S4∵X的容量為奇數(shù),則X為Sn∴.所有的奇子集應(yīng)為為{1}、{3}、{1,2}、{1,4}、{3,4}、2,3、{1,2,4}、{2,3,4}.（3）對于Sn的每個(gè)奇子集A當(dāng)1∈A時(shí),取B=?當(dāng)1?A時(shí),取B=A∪{1},則B為Sn反之，若B為Sn當(dāng)1∈B時(shí),取A=?當(dāng)1?B時(shí),取A=B∪{1},則A為SnSn所以Sn題型4題型4根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)1．（2023上·甘肅白銀·高一?？计谀┮阎螦=x∈R2x-3-a≥0，集合B=y∈Ry=xA．a(chǎn)≥-72 C．a(chǎn)≤-72 【解題思路】根據(jù)一元一次不等式的解法化簡集合A，根據(jù)二次函數(shù)值域求解集合B，然后利用集合關(guān)系列不等式求解.【解答過程】集合A=x∈集合B=y∈因?yàn)锳?B，所以3+a2≥-1故選：A.2．（2023上·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知集合A={x∈N*∣x=y+2x-y,y≥0}，若B?AA．1 B．3 C．6 D．10【解題思路】將方程平方整理得4y2-8xy+x2(x-2)2【解答過程】解:根據(jù)題意將x=y+2x-y繼續(xù)平方整理得：4y所以Δ=64x2-16x2因?yàn)閤∈N*，故當(dāng)x=1時(shí)，22xy-y2=x當(dāng)x=3時(shí)，4y當(dāng)x=4時(shí)，y2故A={2,3,4}，因?yàn)锽?A且集合B中恰有2個(gè)元素，所以B集合可以是{2,3}，{2,4}，{3,4}.故選：B.3．（2023上·山西太原·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合A={x|x2+4x=0}（1）若A?B，求a的值；（2）若B?A，求a的值.【解題思路】（1）由題A={-4,0}，集合B最多兩個(gè)元素，A?B，則A=B，所以集合B中的方程兩根為-4,0，即可求解；（2）分類討論：B為空集，單元素集合，兩個(gè)元素的集合三種情況分別求解即可.【解答過程】（1）由題集合B最多兩個(gè)元素，A={-4,0}，A?B，則A=B，所以集合B中的方程兩根為-4,0，△=4(a+1)2-4(a2-1)>0，即（2）由題B?A，B中最多兩個(gè)元素，對于方程x當(dāng)集合B=?時(shí)：△=4(a+1)2-4(a2當(dāng)集合B中只有一個(gè)元素時(shí)：△=4(a+1)2-4(a2-1)=0，即當(dāng)B中有兩個(gè)元素時(shí)：△=4(a+1)2-4(a2此時(shí)則A=B，所以集合B中的方程兩根為x1=-4,x2=0綜上所述：a≤-1或a=1.4．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中校考階段練習(xí)）已知A=a1,a2,a3,a4(1)判斷B=0,2,1,4是否為5-連續(xù)生成數(shù)組？是否為6-(2)若C=0,1,a,2為6-連續(xù)生成數(shù)組，求a(3)數(shù)組A=a1,【解題思路】（1）根據(jù)m-連續(xù)生成數(shù)組的定義，結(jié)合子集的概念求解；（2）根據(jù)題意，得出PC（3）根據(jù)題意PA=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，從而a1,【解答過程】（1）B=0,2,1,4，P∵1,2,3,4,5?PB，∴B=0,2,1,4∵1,2,3,4,5,6不是PB的子集，∴B=0,2,1,4不是（2）C=0,1,a,2，PC中元素可能取值為若C=0,1,a,2為6-連續(xù)生成數(shù)組，即1,2,3,4,5,6則a=3.（3）若A=a1,a2又PA則PA=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10∴a1+a即4(a∵a1,a而55為奇數(shù)，4(a∴數(shù)組A=a1,題型5題型5交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算1．（2023上·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）設(shè)全集U=R，集合A=xx<2，B=xx≤-2或x>6，則A．xx<2 B．C．x-2<x<2 D．【解題思路】先求出?UB，再求【解答過程】?U所以A∩?故選：C.2．（2023上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）圖中U是全集，A，B是U的子集，則陰影部分表示的集合是（

）A．A∩?UBC．?UA∩B 【解題思路】由陰影部分的元素特點(diǎn)可直接得到結(jié)果.【解答過程】由Venn圖知，陰影部分的元素既不屬于集合A，也不屬于集合B，所以陰影部分表示的集合是?U故選：D.3．（2023下·山東濱州·高二?？计谀┮阎螾=x|-1<x<1，Q=(1)P∪Q(2)P∩Q(3)((4)(【解題思路】（1）根據(jù)并集的定義計(jì)算可得；（2）根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；（3）根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算可得；（4）根據(jù)補(bǔ)集、并集的定義計(jì)算可得.【解答過程】（1）因?yàn)镻=x|-1<x<1，Q=所以P∪Q=x|-1<x<2（2）因?yàn)镻=x|-1<x<1，Q=所以P∩Q=x|0<x<1（3）因?yàn)镻=x|-1<x<1，Q=所以?RP={x|x≤-1或所以(?（4）因?yàn)镻=x|-1<x<1，Q=所以?RP={x|x≤-1或x≥1}，?R所以(?RP)∪(4．（2022上·北京密云·高一統(tǒng)考期末）已知集合M=x|x2(1)當(dāng)a=1時(shí)，求M∩N，M∪N；(2)當(dāng)a=0時(shí)，求M∩C(3)當(dāng)N?M時(shí)，求a的取值范圍．【解題思路】（1）化簡集合M，即可得到M∩N，M∪N（2）化簡集合M，求出CRN（3）化簡集合M，根據(jù)N?M，即可求出a的取值范圍【解答過程】（1）由題意，在M=x|x2≥a和∴M=x|x≥2∴M∩N=x|2≤x<4，M∪N=（2）由題意及（1）得，在M=x|x2≥a和∴M=x|x≥0∴CR∴M∩C（3）由題意及（1）（2）得，在M=x|x2≥a和∵N?M，∴2a≤-1，解得：a≤-1∴a的取值范圍為-∞題型6題型6集合混合運(yùn)算中的求參問題1．（2023上·廣西貴港·高一統(tǒng)考期末）若全集U=-1,2,4,5,19，集合?U(A∩B)=A．4 B．-1,19C．-1,2,4 D．4,5,19【解題思路】先由已知條件求出A∩B，則可求得集合A中的元素，從而可判斷集合A.【解答過程】因?yàn)槿疷=-1,2,4,5,19，集合?所以A∩B=-1,4所以-1,4∈A，所以只有選項(xiàng)C的集合-1,2,4符合條件，故選：C.2．（2022上·山西朔州·高三統(tǒng)考期末）已知集合A={x|1<x<2}，B={x|x>m}，若A∩CRB=?，則實(shí)數(shù)A．(-∞,1] B．(-∞,1) C．【解題思路】由題可得A?B，再利用集合的包含關(guān)系即求.【解答過程】解：由題知A∩?得A?B，則m≤1，故選：A．3．（2023上·浙江臺(tái)州·高一統(tǒng)考期末）已知集合A=x∈R2a-3<x<a+1(1)若a=0，求A∩B；(2)若A∩CRB【解題思路】（1）根據(jù)交集的定義，即可求得本題答案；（2）由A∩CRB=A，得A?CRB【解答過程】（1）若a=0，則A=x∈因?yàn)锽=x∈R-1<x<3（2）由題，得CRB=xx≤-1,若A=?，則2a-3≥a+1，得a≥4，若A≠?，即a<4時(shí)，則有a+1≤-1，或2a-3≥3，得a≤-2或3≤a<4，綜上，a∈-4．（2022上·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┮阎狝=xx2(1)若a=1，求A∩?(2)從①A∪?RB=R；②問題：若，求實(shí)數(shù)a的所有取值構(gòu)成的集合C.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解題思路】（1）當(dāng)a=1時(shí)，求出集合B、A，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合A∩?（2）選①，分a=0、a≠0兩種情況討論，在a=0時(shí)，直接驗(yàn)證即可；在a≠0時(shí)，求得B=1a，根據(jù)A∪?RB選②，分析可知B?A，分a=0、a≠0兩種情況討論，在a=0時(shí)，直接驗(yàn)證即可；在a≠0時(shí)，求得B=1a，根據(jù)B?A可得出關(guān)于a的等式，綜合可得出集合選③，分a=0、a≠0兩種情況討論，在a=0時(shí)，直接驗(yàn)證即可；在a≠0時(shí)，求得B=1a，根據(jù)B∩?RA【解答過程】（1）解：當(dāng)a=1時(shí)，B=x又因?yàn)锳=xx2（2）解：若選①，當(dāng)a=0時(shí)，B=?，則?RB=R，滿足當(dāng)a≠0時(shí)，B=1a，若A∪?RB=R，則1a綜上所述，C=0,若選②，∵A∩B=B，則B?A.當(dāng)a=0時(shí)，B=?，滿足B?A；當(dāng)a≠0時(shí)，B=1a，因?yàn)锽?A，則1a=1或5，解得綜上所述，C=0,若選③，當(dāng)a=0時(shí)，B=?，滿足B∩?當(dāng)a≠0時(shí)，則B=1a，因?yàn)锽∩?RA=?，則1a綜上所述，C=0,題型7題型7由充分條件、必要條件求參數(shù)1．（2023下·湖南長沙·高二校聯(lián)考期末）已知p:x≥k,q:2-xx+1≤0，如果p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)kA．2,+∞ B．C．1,+∞ D．【解題思路】根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合集合的包含關(guān)系求解.【解答過程】q:2-xx+1≤0，即q:x<-1或x≥2，又p:x≥k,p所以k≥2，即k的取值范圍是2,+∞故選:A.2．（2023下·浙江·高一期末）已知條件p:|x+1|>2，條件q:x>a，且?p是?q的充分不必要條件，則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)≥-1 D．a(chǎn)≤-3【解題思路】解不等式得到p:x<-3或x>1，根據(jù)題意得到q是p的充分不必要條件，從而得到兩不等式的包含關(guān)系，求出答案.【解答過程】由條件p:x+1>2，解得x<-3或因?yàn)?p是?q的充分不必要條件，所以q是p的充分不必要條件，故A=xx>a是B=x則a的取值范圍是a≥1，故選：B．3．（2023上·湖北武漢·高一武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）已知p:x2-5x-6<0(1)若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若p是q的必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解題思路】（1）先化簡條件p，再利用p是q的充分條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式，解之即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）按實(shí)數(shù)m分類討論，利用p是q的必要條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式，解之即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解答過程】（1）由x2-5x-6<0，可得-1<x<6又q:1-m≤x≤3+m，且p是q的充分條件，可得1-m≤-16≤3+m，解之得m≥3，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為3,+（2）由（1）得p:-1<x<6，q:1-m≤x≤3+m當(dāng)m<-1時(shí)，1-m>3+m，q:x∈?，此時(shí)，p是q的必要條件，符合要求；當(dāng)m≥-1時(shí)，由p是q的必要條件，可得1-m>-16>3+mm≥-1，解之得綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為-∞4．（2023上·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）已知集合A=x∣a-1≤x≤2a+1,B=x∣-2≤x≤4.在①A∪B=B；②“x∈A”是“x∈B(1)當(dāng)a=3時(shí)，求?R(2)若______，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解題思路】（1）利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解；（2）選①③，利用集合的基本運(yùn)算，結(jié)合數(shù)軸法即可得解；選②，由充分不必要條件推得集合的包含關(guān)系，再結(jié)合數(shù)軸法即可得解.【解答過程】（1）當(dāng)a=3時(shí)，A=x∣2≤x≤7，而B=所以A∩B=x∣2≤x≤4，則?RA∩B（2）選①：因?yàn)锳∪B=B，所以A?B，當(dāng)A=?時(shí)，則a-1>2a+1，即a<-2，滿足A?B，則a<-2；當(dāng)A≠?時(shí)，a≥-2，由A?B得a-1≥-22a+1≤4，解得-1≤a≤綜上：a<-2或-1≤a≤32，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為選②：因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，所以A是B的真子集，當(dāng)A=?時(shí)，則a-1>2a+1，即a<-2，滿足題意，則a<-2；當(dāng)A≠?時(shí)，a≥-2，則a-1≥-22a+1≤4，且不能同時(shí)取等號(hào)，解得-1≤a≤綜上：a<-2或-1≤a≤32，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為選③：因?yàn)锳∩B=?，所以當(dāng)A=?時(shí)，則a-1>2a+1，即a<-2，滿足A∩B=?，則a<-2；當(dāng)A≠?時(shí)，a≥-2，由A∩B=?得2a+1<-2或a-1>4，解得a<-32或又a≥-2，所以-2≤a<-32或綜上：a<-32或a>5，實(shí)數(shù)a的取值范圍為題型8題型8充要條件的證明1．（2023上·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）已知x,y都是非零實(shí)數(shù)，且x>y，求證：1x<1【解題思路】根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行證明即可．【解答過程】（1）必要性：由1x<1y，得又由x>y，得y-x<0，所以xy>0.（2）充分性：由xy>0及x>y，得xxy>y綜上所述，1x<12．（2022上·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）求證：方程mx2-2【解題思路】先證明充分性，即當(dāng)0<m<13時(shí)，方程mx【解答過程】先證明充分性：若0<m<13，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根為則x1+x2=故方程mx再證明必要性：若方程mx令f(當(dāng)m>0時(shí)，其圖象是開口方向朝上，且以x若關(guān)于x的方程mx則必有兩個(gè)不等的正根，則函數(shù)f(則2m>03當(dāng)m<0時(shí)，其圖象是開口方向朝下，且以x若關(guān)于x的方程mx則必有兩個(gè)不等的負(fù)根，則函數(shù)f(則2m故關(guān)于x的方程mx2-2x+3=0∴方程mx2-23．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a,b,c分別是△ABC的三條邊,且a?b?c.我們知道,如果△ABC為直角三角形,那么a2+b2=c2(勾股定理).反過來,如果a2+b2=c2,那么【解題思路】根據(jù)勾股定理易得△ABC為銳角三角形的充要條件是a2+b2>【解答過程】解:(1)設(shè)a,b,c分別是△ABC的三條邊,且a≤b≤c,△ABC為銳角三角形的充要條件是a2證明如下:必要性:在△ABC中,∠C是銳角,作AD⊥BC,D為垂足,如圖(1).顯然A=AC2+C充分性:在△ABC中,a2+b假設(shè)∠C為鈍角,如圖(2).作AD⊥BC,交BC延長線于點(diǎn)D.則A=AC即c2>b故∠C為銳角,即△ABC為銳角三角形.

(2)設(shè)a,b,c分別是△ABC的三條邊,且a≤b≤c,△ABC為鈍角三角形的充要條件是a2證明如下:必要性:在△ABC中,∠C為鈍角,如圖(2),顯然:AB2=AD2充分性:在△ABC中,a2∴∠C不是直角,假設(shè)∠C為銳角,如圖(1),則A=AC2-CD2+CB2+C4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）當(dāng)m,n∈Z時(shí)，定義運(yùn)算?：當(dāng)m,n>0時(shí)，m?n=m+n；當(dāng)m,n<0時(shí)，m?n=m?n；當(dāng)m>0,n<0或m<0,n>0時(shí)，m?n=m+n；當(dāng)m=0時(shí)，m?n=n