廣東省東莞市七校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)含答案

東莞市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期七校聯(lián)考試題一、單項(xiàng)選擇題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D． 2．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A．0 B．1 C． D．23．已知，滿(mǎn)足，，，則，的夾角為（

）A． B． C． D．4．已知，，則sin（α＋β）=（

）A． B． C．D．5．已知一個(gè)圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個(gè)圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為（

）A． B． C． D．6．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點(diǎn)（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，…，我國(guó)宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一形”錐垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛（如圖所示，從上到下，頂上一層1個(gè)球，第二層3個(gè)球，第三層6個(gè)球…），若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛第18層球的個(gè)數(shù)為（

）A．190 B．171 C．153 D．1367．對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，，定義，若，，則下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)D．函數(shù)最大值為28．定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，若且，則（

）A．B．C． D．與的大小不確定多項(xiàng)選擇題9．甲、乙兩名高中學(xué)生某學(xué)科歷次測(cè)試成績(jī)(百分制)分別服從正態(tài)分布，，其正態(tài)分布的密度曲線(xiàn)如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的是（

）附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則.A．甲同學(xué)的平均成績(jī)優(yōu)于乙同學(xué)的平均成績(jī)B．乙同學(xué)的平均成績(jī)優(yōu)于甲同學(xué)的平均成績(jī)C．甲同學(xué)的成績(jī)比乙同學(xué)成績(jī)更集中于平均值附近D．若，則甲同學(xué)成績(jī)高于80分的概率約為0.158710．對(duì)于函數(shù)，給出下列結(jié)論，其中正確的有（）A.函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)锽.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象D.曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率為111．已知雙曲線(xiàn)C：的左右焦點(diǎn)分別為，且，A、P、B為雙曲線(xiàn)上不同的三點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)與斜率的乘積為1，則下列正確的是（

）A．雙曲線(xiàn)C的實(shí)軸長(zhǎng)為B．雙曲線(xiàn)C的離心率為C．若，則三角形的周長(zhǎng)為D．的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)且與圓相切的一條直線(xiàn)方程：_____________.13．在中，若，且AB邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為2，則面積的最大值為_(kāi)______.14．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)在上的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿(mǎn)分13分）某數(shù)學(xué)興趣小組為研究本校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)的關(guān)系，采取有放回的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從學(xué)校抽取樣本容量為200的樣本，將所得數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)整理如下：語(yǔ)文成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀503080不優(yōu)秀4080120合計(jì)90110200(1)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)聯(lián)？(2)在人工智能中常用表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的優(yōu)勢(shì)，在統(tǒng)計(jì)中稱(chēng)為似然比.現(xiàn)從該校學(xué)生中任選一人，表示“選到的學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)不優(yōu)秀”，表示“選到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀”.請(qǐng)利用樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)的值.附：16．（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為的中點(diǎn)．(1)證明：平面．(2)若平面與平面的夾角為，求的長(zhǎng)．17．（本小題滿(mǎn)分15分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)于任意正整數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的最小值.18．（本小題滿(mǎn)分17分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，.①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：.19．（本小題滿(mǎn)分17分）通過(guò)研究，已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到點(diǎn)P(1)已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：(2)已知二次方程的圖象是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，（i）求斜橢圓C的離心率；（ⅱ）過(guò)點(diǎn)作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線(xiàn)交斜橢圓C于點(diǎn)M、N，過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，直線(xiàn)交斜橢圓C于點(diǎn)G、H，判斷是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.東莞市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期七校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)參考答案題號(hào)1234567891011答案DABDCBCABCDADBCD1．D2．A3．?！驹斀狻恳?yàn)?，所以，則，由于，所以．故選：B4．D【詳解】因?yàn)?，所以，所以，兩式相加可得：，所以所以，解得，故選：D5．C【詳解】設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為，因?yàn)閳A錐的軸截面是等邊三角形，所以圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，則圓錐和圓柱的高為，所以圓錐的側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為，故選：C．6．B【詳解】由于“三角形數(shù)”可以寫(xiě)為，故第層“三角形數(shù)”為，則第18層球的個(gè)數(shù)為171．7．C【詳解】由題意可得：，令；解得或；令；解得；所以，即，作出函數(shù)的圖象如圖：對(duì)于選項(xiàng)A：由圖像可知為偶函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)B：由圖像可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，但．可得在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)C：由圖像可知：函數(shù)圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確．對(duì)于選項(xiàng)D：由圖像可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值為1，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：C．8．A【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，又因?yàn)椋栽谏线f增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，所以，綜上：．故選：A9．BCD【詳解】解：由圖象可知，甲的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，乙的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以甲同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分，乙同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分，故選項(xiàng)B正確，A錯(cuò)誤；因?yàn)榧椎膱D象比乙的圖象更“高瘦”，所以甲的成績(jī)比乙的成績(jī)更集中于平均值左右，則甲同學(xué)成績(jī)的方差比乙同學(xué)成績(jī)的方差小，故選項(xiàng)C正確；若，則甲同學(xué)成績(jī)高于80分的概率約為，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．10．AD【詳解】由題意知，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，則，A正確；對(duì)于B，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，故曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率為1，D正確，故選：BD11．【答案】BCD【詳解】根據(jù)題意可知，所以，設(shè)，則，將分別代入到雙曲線(xiàn)后相減可得代入可求解出，對(duì)A，根據(jù)，解之可得，所以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，根據(jù)離心率，將代入可得，故B正確；對(duì)C，根據(jù)，可知，則，可求得，所以三角形的周長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)D，設(shè)與雙曲線(xiàn)聯(lián)立可得，若有解，需要解之可求出或，故D正確．故選：BCD12．，或．（寫(xiě)出其中一條即可）【詳解】（方法一）在直角坐標(biāo)系中作圖可快速得出符合條件（方法二）點(diǎn)在圓外，切線(xiàn)有兩條．當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，即．，得，切線(xiàn)方程為．當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，方程為，圓心到直線(xiàn)的距離等于1，符合條件．所求的切線(xiàn)方程是，或．13．【詳解】因，則．所以，又，所以．設(shè)邊上的中線(xiàn)為，則，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以14．【詳解】令，即，解得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又，即中必有一個(gè)為1，則另一個(gè)為0，所以，則，符合題意；則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在上的最小值為．故答案為：15．【詳解】（1）零假設(shè)：數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)無(wú)關(guān)．據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得：根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)；（2）即估計(jì)的值為．16．【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以．又平面平面，所以平面．（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以．又，所以?xún)蓛苫ハ啻怪?，故以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立空間坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，所以顯然為平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即令，得由平面與平面的夾角為得，解得或（舍去），即．17．【詳解】（1）數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，，，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，上式也成立．（2）由則而所以，即的最小值為18．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是（2）函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于方程有兩個(gè)不同實(shí)根，①令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，的大致圖象如圖所示：（此處圖象正確直接得2分）所以，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．②證明：不妨設(shè)，兩式相加得，兩式相減得，所以．要證，只需證即證設(shè)，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即．19．【詳解】（1）