廣東省某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷

廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年(上)高一級(jí)期中考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.開考前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、班級(jí)、考號(hào)等相關(guān)信息

填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)。

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相

應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。

不按以上要求作答的答案無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.命題〃:VxeR,x+|x|20的否定為

A.3XER,X+|X|^0B.3x67?,x+|x|^0

C.3xER,x+|x|<0D.X/xeR,x+|x|<0

2.已知集合4=?<8b5={X|X2-3X-10^0),則(1/八”

A.[-2,3)B.[-2,3]C.(3,5]D.[3,5]

3.已知/(x+2)是偶函數(shù)，若方程/(x)=機(jī)有且僅有兩實(shí)根斗,工2，那么辦+馬=

A.0B.2C.4D.-4

4.若幕函數(shù)/(x)=(/-7根+11卜”3在(o,+8)上單調(diào)遞增，則機(jī)=

A.2B.3C.4D.5

數(shù)學(xué)試卷第1頁(yè)(共4頁(yè))

5.已知x>1,則」-3X+6的最小值是

X—\

A.3B.4C.5D.6

6.“函數(shù)y=—辦+i的定義域?yàn)镽?是“。<2”的

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.己知函數(shù)〃x)=J'X，,若方程/(〃x))=L有且僅有一根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是

12,x<02

C.[0,+oo)D.T+co

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分.

9.如下四個(gè)結(jié)論中，正確的有

A.0c0B.Oe0C.0c{O}D.0={0}

10.下列判斷正確的有

A.?>4^

B.y

C.若a>b,c>d,貝!

D.若a同則a〉6

數(shù)學(xué)試卷第2頁(yè)(共4頁(yè))

11.懸鏈線是指兩端固定的一條均勻、柔軟的鏈條，在重力的作用下所呈現(xiàn)的曲線形狀，例如懸索

橋、電線等都自然呈現(xiàn)這一形狀.數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家計(jì)算發(fā)現(xiàn)，懸鏈線是不同于拋物線的一類

曲線，在特定的坐標(biāo)系下，其函數(shù)解析式可以表示為/(%)=四'+6"，(其中*b是非零常

數(shù)，無理數(shù)e=2.71828…).對(duì)于函數(shù)/(x),以下結(jié)論正確的是

A.。+6=0是/(x)為奇函數(shù)的充要條件

B.a=b是/(x)為偶函數(shù)的必要不充分條件

C.若仍<0,則/(x)為單調(diào)函數(shù)

D.若就>0,則“X)存在最大值或最小值

三、填空題：本小題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)y=2?-1(a>0,a片1)的圖象恒過定點(diǎn).

13.已知關(guān)于x的不等式f-4"+2/<0(a>0)的解集為(〃?,〃)，則+〃+2的最小值是.

mn

14.定義在R上的偶函數(shù)〃x)滿足：對(duì)任意的國(guó),％e[0,+oo)@1X2)有"馬卜"為)<0，則滿

%2一再

足/(x)的x的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

已知集合A=1x|2-a<x<2+cj,

(1)求BPlC;

(2)若/口(以即=/，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

數(shù)學(xué)試卷第3頁(yè)(共4頁(yè))

16.(15分)

已知函數(shù)xe(-2,2).

(1)若〃。)=(，求實(shí)數(shù)°的值；

(2)判斷了(x)的奇偶性，并說明理由；

(3)求證：函數(shù)”X)在(-2,2)上單調(diào)遞增.

17.(15分)

已知函數(shù)/(x)=ax?+bx+2,a,beR.

(1)若〃x)<0的解集為{x［l<x<2},求/(x)在［1,3］上的最大值和最小值；

(2)若/(1)=3,求不等式/(x)<4-x的解集.

18.(17分)

定義在R上的函數(shù)滿足/(x+y)=g/(x)/(y),且{/(x)|x>0}=(2,+3.

⑴求〃0)；

(2)證明：/(x)>0；

(3)若對(duì)任意的xeR,/(x)+2〃-x)24恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

19.(17分)

已知函數(shù)/(x)=(x+Q)|x-2d,xeR.

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性(無須證明)；

(2)若方程=有三個(gè)互異實(shí)根再,工2，入3.

(i)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(ii)求?+%+工3的取值范圍.

數(shù)學(xué)試卷第4頁(yè)(共4頁(yè))

廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年(上)高一期中考試

數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

【選擇題、填空題答案與解析】

題號(hào)12345678

答案CDCDABBA

題號(hào)91011121314

答案ACBCDACD(1,1)2后

8.【解析】若左》0,則/(/(%))=；o/(x)=T，

而當(dāng)時(shí),當(dāng)x<0時(shí)所以=無解；

1q

若左<0,則/(/(X))=-<=>/(x)=-l或〃尤)=-之，

其中〃x)=_l有一根為-士a，則由題意知/⑺。a二無解，

k2k

而當(dāng)時(shí)/(x)<2,當(dāng)x<0時(shí)所以/(x)的值域?yàn)?一叫2],

從而一二>2,mk>--f所以一己〈左<0.

2k44

綜上，力的取值范圍是(-±0〕，故選A.

[解答題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】

15.【解答】⑴5=(-oo,l]U[4,+oo),。=(-3,2),(3分)

所以8nC=(-3,l].(5分)

(2)若/門([町=/，則NUCRB,(7分)

若則/=0,符合題意；(9分)

若Q>0,則/>0,故有(2-〃,2+〃)=(1,4),所以｛:

解得QWI，所以0<”1.(12分)

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-00』.(13分)

數(shù)學(xué)答案第1頁(yè)(共4頁(yè))

16?【解答】（1）=整理得/=2,解得a=土也.

a+43a

經(jīng)檢驗(yàn)，〃=±逝是原方程的根.所以實(shí)數(shù)。的值為土也.（4分）

（2）/（尤）為奇函數(shù).（僅下結(jié)論未加證明給1分）

證明如下：/（x）的定義域（-2,2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，（6分）

Vxe（-2,2）,/（F）=（:4=_^^=_/（x）,所以/（x）為奇函數(shù).（9分）

（3）任取石，馬￡（-2,2）,x1<x2,

_____%廠一■+4）-%（X；+4）_（/_4）

八2卜》；+4-只+4-解+4乂考+4）一儲(chǔ)+4）任+4），

因?yàn)橐?<X]</<2,所以％-%>0，%1X2<4,又（x；+4）（x；+4）>0,

所以/（不）一/（》2）<0,即/'（xJvK%?）,

所以/（x）在（-2,2）上單調(diào)遞增.（15分）

a>0

17?【解答】（1）由題意知，――=1+2=3,解得所以/（切=/-3工+2,（3分）

a

-。

-2=1-2=2

、a

由二次函數(shù)圖象與性質(zhì)知，在[1,3]上,7mm=/]|｝一：,九x=/（3）=2.（6分）

（求a,b也可直接代入1和2解方程組；求最小值也可通過配方或說明單調(diào)性）

（2）/（l）=a+b+2=3,所以6=1—a,/（x）=6zx2+（l-6z）x+2.（7分）

不等式-x等價(jià)于a/+（2-。）％-2<0,即（〃x+2）（x-l）<0.（9分）

若a=0,則不等式等價(jià)于2（x-1）<0,解得x<l；（10分）

?9

若a>o,則——<1,解得一一<%<i；（n分）

aa

79

若aW-2,則——<1,解得x<——或x>l；（13分）

aa

若一2<〃<0,則一一>1,解得x<l或%>——.（14分）

aa

綜上所述，當(dāng)aW-2時(shí)，不等式的解集為Ju（1,+8）;

當(dāng)-2<a<0時(shí)，不等式的解集為（-oo,l）U；

數(shù)學(xué)答案第2頁(yè)（共4頁(yè)）

當(dāng)。=0時(shí)，不等式的解集為（-oo,l）；

當(dāng)。＞0時(shí)，不等式的解集為-,1).(15分)

a)

18.【解答】（1）在條件式中令y=0,/（x）=1/（x）/（0）,（2分）

因?yàn)?■（》）不恒為0,所以"0）=2.（4分）

（2）【法一】由（1）知當(dāng)％=0時(shí)，/（x）=2；又由題意，當(dāng)x＞0時(shí)，/（x）＞2；（6分）

而當(dāng)％＜0時(shí)，一%〉0,f（-x）＞2,

4

在條件式中令y=-x，可得/(x)/(f)=4,所以/(x)=:、>0.(8分)

f\~x)

綜上所述，VxeR,（9分）

【法二】/（x）=1/XXX

20,(6分)

若存在尤0eR使/（毛）=0,貝1J有/'（X）=；/'（Xo）/（x-Xo）=0,這與題設(shè)矛盾，（8分）

所以VXER,/（x）＞0.（9分）

（3）在條件式中令（=-％,可得x）=4,

4

又由（2）知VXER,/（X）＞0,所以/（r）=—（12分）

4；1

令￡=/（x）,則對(duì)任意￡〉0,/+——24,即42鼠（4一%）恒成立.（14分）

111

記g（0=工乂4一，）=_工（/_2）-+1,t＞0,取f=/（o）=2時(shí)，g（。有最大值1,

所以X的取值范圍為［1,+oo）.（17分）

（第（3）問若通過討論4的符號(hào)來研究函數(shù)y=f+?的單調(diào)性和最小值，也可酌情給分）

-x+ax+2a1,2x<2a/八、

19?【解答】(1)/(%)=<22,(1分)

x-ax-2a,2a

一『，：：,在R上單調(diào)遞增；（2分）

若4=0,則/(%)=，

若。＞0,則2a〉W，/（x）在-00,■!上單調(diào)遞增,

在仁,2a上單調(diào)遞減，在（2a,+8）上單調(diào)遞增；（4分）

數(shù)學(xué)答案第3頁(yè)（共4頁(yè)）

若a<0,則2a〃尤)在(-oo,2a)上單調(diào)遞增,

在2aq上單調(diào)遞減，在9+8上單調(diào)遞增.(6分)

2

(2)(i)若Q=0,/(X)=3Q-1最多一根，不合題意；(7分)

a

>3a—1

若〃>0,〃X)=3Q-1有三個(gè)互異實(shí)根o<

〃2Q）V3Q-1

Q〉0

1?

整理得9/一12Q+4〉0,解得Q〉一且QW—,（9分）

33

3a—1>0

/（2?）>3tz-l

若a<0,/(x)=3a-l有三個(gè)互異實(shí)根o,a

<3Q—1

6Z<0廠

整理得3。-1<0,解得。（11分）

3

9。2+12（2—4>0

/