《高考數(shù)學(xué)壓軸題通法訓(xùn)練•高分必刷系列》專題22橢圓（解答題壓軸題）含答案及解析

專題22橢圓（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①橢圓的弦長(zhǎng)（焦點(diǎn)弦）問題 1②橢圓的中點(diǎn)弦問題 4③橢圓中的面積問題 5④橢圓中的參數(shù)和范圍問題 7⑤橢圓中的最值問題 9⑥橢圓中定點(diǎn)、定值、定直線問題 11⑦橢圓中向量問題 13⑧橢圓綜合問題 14①橢圓的弦長(zhǎng)（焦點(diǎn)弦）問題1．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，弦被點(diǎn)平分．(1)求直線的方程；(2)求弦的長(zhǎng)．2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，，并且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)線段AB的長(zhǎng)度最大時(shí)，求直線l的方程．3．（2023春·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形.(1)求橢圓的方程；(2)寫出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)；短軸長(zhǎng)；焦距；離心率(3)求直線被橢圓截得的弦長(zhǎng).4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn).(1)求橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線，的斜率分別為，，且，求的最小值.5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓中心在原點(diǎn)上，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和等于：(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，求的值；(3)在（2）的結(jié)論下，求的長(zhǎng).6．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為e，且過點(diǎn)和．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上有兩個(gè)不同點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，求．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，的最大面積為，.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，、為橢圓上兩點(diǎn)，且，求的最大值.8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓過點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為．(1)若直線的斜率為3，求直線的斜率;(2)若四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．②橢圓的中點(diǎn)弦問題1．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，弦被點(diǎn)平分．(1)求直線的方程；(2)求的面積．2．（2023春·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，是上一點(diǎn)．(1)求的方程；(2)設(shè)，是上兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程．3．（2023秋·湖北武漢·高二武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）已知橢圓的焦距為6，橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為16.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.4．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓：的離心率為，短軸長(zhǎng)為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過點(diǎn)作弦且弦被平分，則此弦所在的直線方程.5．（2023秋·遼寧遼陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為C上一點(diǎn)，且，．(1)求，的坐標(biāo)．(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為，求直線l的斜率．6．（2023秋·吉林·高二梅河口市第五中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的垂直平分線交于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)直線與曲線交于兩點(diǎn)，且中點(diǎn)為，求直線的方程.③橢圓中的面積問題1．（2023秋·廣東江門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求面積的最大值．2．（2023秋·黑龍江鶴崗·高二鶴崗市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)點(diǎn)，在中，，周長(zhǎng)為．(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)作傾斜角為的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求三角形OMN的面積．3．（2023秋·安徽亳州·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，點(diǎn)在上，且點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值為3，過點(diǎn)且不與軸垂直的直線與交于兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)記為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.

4．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓過原點(diǎn)的弦相互垂直，求四邊形面積的最大值．5．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，橢圓的離心率為，直線過點(diǎn)交橢圓于不同的兩點(diǎn)，.(1)求橢圓的方程：(2)若三角形的面積為，求直線的方程.

6．（2023秋·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)在橢圓C：上，點(diǎn)在橢圓C內(nèi).設(shè)點(diǎn)A，B為C的短軸的上、下端點(diǎn)，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程；(2)記，分別為，的面積，若，求m的值.④橢圓中的參數(shù)和范圍問題1．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離之比為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)對(duì)，曲線上是否始終存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（2023春·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）已知，為橢圓C的左右焦點(diǎn)，且拋物線的焦點(diǎn)為，M為橢圓的上頂點(diǎn)，的面積為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，О為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，若橢圓C上存在一點(diǎn)E，使得四邊形OAED為平行四邊形，求的取值范圍.3．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），直線分別與直線相交于兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，．(1)求橢圓的方程；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．4．（2023春·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)連接成的四邊形為正方形.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求的取值范圍.5．（2023·江西九江·瑞昌市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，為橢圓C：的左右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)．若為直角三角形，且．(1)求的值；(2)若直線l：與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．⑤橢圓中的最值問題1．（2023秋·陜西西安·高二陜西師大附中校考階段練習(xí)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線的方程.2．（2023秋·湖南岳陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn)A，求的最大值．3．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P，Q為橢圓上異于A，B的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線，的斜率分別為，，和的面積分別為，.若，求的最大值.4．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知橢圓與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，求的最大值．5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知是橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，若的最大值和最小值分別為和.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是軸正半軸上的一點(diǎn)，求的最大值.6．（2023·四川·校聯(lián)考三模）已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是以為直徑的圓上除去，的任意一點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為1，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的最小值.⑥橢圓中定點(diǎn)、定值、定直線問題1．（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)為，，離心率為．點(diǎn)P是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線、分別與橢圓C交于點(diǎn)A、B，的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，，求證：為定值．2．（2023秋·北京豐臺(tái)·高三北京市第十二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M為橢圓的左頂點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求證：直線過定點(diǎn)．3．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2倍，若橢圓經(jīng)過點(diǎn)，(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓上不同于點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，證明：直線的斜率為定值．4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知A，B為橢圓左右兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D是橢圓上異于A，B的一點(diǎn)，點(diǎn)F是右焦點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為時(shí)，．(1)求橢圓的方程．(2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，直線CD與橢圓交于另一點(diǎn)E，判斷直線AD與直線BE的交點(diǎn)P是否在一定直線上，如果是，求出該直線方程；如果不是，請(qǐng)說明理由．5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于不同的，兩點(diǎn)，且直線，，的斜率依次成等比數(shù)列．橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，折線與C交于M，N兩點(diǎn)．(1)當(dāng)m＝2時(shí)，求的值；(2)直線AM與BN交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上．⑦橢圓中向量問題1．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？家荒＃E圓的離心率為，過橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)度為1．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．2．（2023秋·北京海淀·高三清華附中?？奸_學(xué)考試）已知橢圓，其離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線交于，直線交于點(diǎn)，點(diǎn)，求證：．3．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，左?右焦點(diǎn)分別為為原點(diǎn)，且，過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為的中點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，對(duì)于任意的都有？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且.(1)求橢圓的方程；(2)已知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，若過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過點(diǎn)，求出直線的所有方程.5．（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的上，下焦點(diǎn)分別為，橢圓上的任意一點(diǎn)到下焦點(diǎn)的最大距離為3，最小距離為1.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)，垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，求直線的方程.⑧橢圓綜合問題1．（2023秋·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)F且斜率為的動(dòng)直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問x軸上是否存在異于點(diǎn)F的定點(diǎn)T，使恒成立？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．2．（2023春·河南開封·高三通許縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓過點(diǎn)和．(1)求C的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，且直線的斜率成等比數(shù)列．在上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知是橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是橢圓上異于的一點(diǎn)，直線和的斜率滿足.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率存在且不經(jīng)過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)異于橢圓的上、下頂點(diǎn)），當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的值.4．（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為.點(diǎn)是橢圓上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線分別與橢圓交于點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，，的面積分別為.求證：為定值.5．（2023秋·上海黃浦·高三格致中學(xué)校考開學(xué)考試）定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)滿足，則稱為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且橢圓過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)所在直線的方程；(3)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，（2）中的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，設(shè)四點(diǎn)在橢圓上逆時(shí)針排列.證明：四邊形的面積小于.

專題22橢圓（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①橢圓的弦長(zhǎng)（焦點(diǎn)弦）問題 1②橢圓的中點(diǎn)弦問題 10③橢圓中的面積問題 15④橢圓中的參數(shù)和范圍問題 22⑤橢圓中的最值問題 28⑥橢圓中定點(diǎn)、定值、定直線問題 35⑦橢圓中向量問題 42⑧橢圓綜合問題 48①橢圓的弦長(zhǎng)（焦點(diǎn)弦）問題1．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，弦被點(diǎn)平分．(1)求直線的方程；(2)求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)5【詳解】（1）設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)橄冶稽c(diǎn)平分，所以又，兩式相減得：），所以直線的斜率，故直線的方程為（2）由（1）可知，與橢圓方程聯(lián)立，所以，由弦長(zhǎng)公式可知.2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，，并且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)線段AB的長(zhǎng)度最大時(shí)，求直線l的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解法一：因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在x軸上．所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由題意知，，解得．所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．解法二：由于橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．根據(jù)橢圓定義得，即．又因?yàn)?，所以，所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由，消去y，得，因?yàn)橹本€與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，所以，解得．設(shè)，，則，，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)直線l的方程為3．（2023春·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形.(1)求橢圓的方程；(2)寫出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)；短軸長(zhǎng)；焦距；離心率(3)求直線被橢圓截得的弦長(zhǎng).【答案】(1)(2)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)4，焦距4，離心率(3)【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形，所以，所以，故橢圓的方程為.（2）由（1）可得：，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)4，焦距4，離心率.（3）設(shè)交點(diǎn)，聯(lián)立方程，消去y得，則，所以．4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn).(1)求橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線，的斜率分別為，，且，求的最小值.【答案】(1)(2)3【詳解】（1）由題知，橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）得，，因?yàn)橹本€與橢圓交于，兩點(diǎn)，由題可知，直線斜率為0時(shí)，，所以直線的斜率不為0，所以設(shè)直線，聯(lián)立方程，得，所以，，所以，解得，此時(shí)恒成立，所以直線的方程為直線，直線過定點(diǎn)，此時(shí)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為3.5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓中心在原點(diǎn)上，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和等于：(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，求的值；(3)在（2）的結(jié)論下，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)橢圓的方程為：，，又橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為，所以，，所以，，所以橢圓的方程為：.（2）由（1）知，橢圓的方程為：，即：，設(shè)，，有：，得：，又，所以，的斜率之積為，即：，即：，又：，所以：，整理得：，又：，，即有：，整理得：，所以.（3），當(dāng)時(shí)：直線方程為：，聯(lián)立方程組得：，解得：，所以：，所以：，由對(duì)稱性可知：當(dāng)時(shí)，也有，所以：.6．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為e，且過點(diǎn)和．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上有兩個(gè)不同點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知：，∴，∴，所以橢圓；（2）法一

設(shè)及AB中點(diǎn)，由題意知，，以上兩式相減得：，可化為：即，故，又∵M(jìn)在直線上，所以，解得：，即，直線，化簡(jiǎn)為：聯(lián)立整理得：，由韋達(dá)定理知由弦長(zhǎng)公式得：．法二

設(shè)直線，聯(lián)立，整理得：，則中點(diǎn)，滿足直線方程，解得所以AB：聯(lián)立整理得：，由韋達(dá)定理知由弦長(zhǎng)公式得：．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，的最大面積為，.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，、為橢圓上兩點(diǎn)，且，求的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：設(shè)橢圓的半焦距為，，，的最大面積為，，，，橢圓的方程為；（2）由題知，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去并整理得：，∴，得，，，∴，設(shè)，，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，故.8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓過點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為．(1)若直線的斜率為3，求直線的斜率;(2)若四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)，則，兩式相減可得，，而，則有，又直線斜率，因此所以直線的斜率.（2）當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線，，由消去y并整理得：，，，，因四邊形為平行四邊形，即，則點(diǎn)，而，即，又點(diǎn)P在橢圓上，則，化簡(jiǎn)得，滿足，于是得，，，則，當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，得點(diǎn)或，若點(diǎn)，點(diǎn)M，N必在直線上，由得，則，若點(diǎn)，同理可得，綜上，的取值范圍為．②橢圓的中點(diǎn)弦問題1．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，弦被點(diǎn)平分．(1)求直線的方程；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)橄冶稽c(diǎn)平分，所以設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)則，兩式相減得：），所以直線的斜率，故直線的方程為（2），聯(lián)立橢圓與直線方程得所以，所以，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以．

2．（2023春·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，是上一點(diǎn)．(1)求的方程；(2)設(shè)，是上兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可知，解得，，，故的方程為．（2）設(shè)，，則則，即．因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，則．故直線的方程為，即．

3．（2023秋·湖北武漢·高二武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）已知橢圓的焦距為6，橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為16.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)的焦距為，，因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，而橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為16.所以，所以，所以，所以的方程為；（2）設(shè)，，代入橢圓方程得兩式相減可得，即.由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，得，，則的斜率，所以的方程為，即.4．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習(xí)）已知橢圓：的離心率為，短軸長(zhǎng)為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過點(diǎn)作弦且弦被平分，則此弦所在的直線方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知①，②，又橢圓中③，所以聯(lián)立①②③解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)過點(diǎn)作直線，與橢圓的交點(diǎn)為，，則，兩式相減得，所以，又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，，即，，由橢圓的對(duì)稱性可得直線的斜率一定存在，所以直線的斜率，所以此弦所在的直線方程為，整理得.5．（2023秋·遼寧遼陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為C上一點(diǎn)，且，．(1)求，的坐標(biāo)．(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為，求直線l的斜率．【答案】(1)，的坐標(biāo)分別為，(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，，故，的坐?biāo)分別為，．（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則，兩式相減得．因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以，所以直線l的斜率．6．（2023秋·吉林·高二梅河口市第五中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的垂直平分線交于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)直線與曲線交于兩點(diǎn)，且中點(diǎn)為，求直線的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可知，則由橢圓定義知的軌跡是以、為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，∴，∴∴的軌跡方程為：（2）設(shè),∵都在橢圓上，∴

，，相減可得，又中點(diǎn)為，∴，∴

，即直線的斜率為，∴直線的方程為，即,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，滿足條件.故直線的方程為.③橢圓中的面積問題1．（2023秋·廣東江門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】(1)(2)3【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)P到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍，所以，則，整理得，故曲線的方程為．（2）設(shè)，，聯(lián)立方程組整理得，則，，．因?yàn)檫^點(diǎn)，所以．令，，，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，則的最大值為3．故面積的最大值為3．

2．（2023秋·黑龍江鶴崗·高二鶴崗市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)點(diǎn)，在中，，周長(zhǎng)為．(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)作傾斜角為的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求三角形OMN的面積．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）由∴①，又的周長(zhǎng)為，∴②，聯(lián)立①②，解得，∴橢圓方程為；（2）直線l的方程為：，即，設(shè)，，由得，，，O到直線MN的距離為，所以的面積．

3．（2023秋·安徽亳州·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，點(diǎn)在上，且點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值為3，過點(diǎn)且不與軸垂直的直線與交于兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)記為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，，解得，故的方程為.（2）設(shè)，直線，聯(lián)立，整理得：.由得，且，，點(diǎn)到直線的距離，，

令，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故面積的最大值為.4．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓過原點(diǎn)的弦相互垂直，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，則，故橢圓方程可化為，將代入上式得，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意得，四邊形為菱形，則菱形的面積當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，易得當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，則的方程為，設(shè)，將代入，得，則，則．綜上，的最大值為．5．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，橢圓的離心率為，直線過點(diǎn)交橢圓于不同的兩點(diǎn)，.(1)求橢圓的方程：(2)若三角形的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)，或.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由已知有，解得故橢圓的方程為.（2）設(shè)，，直線的方程為，，聯(lián)立消去，整理得，則，，且，即或.所以的面積為，

令，得，解得或，從而或.故直線的方程為，或，即，或.6．（2023秋·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)在橢圓C：上，點(diǎn)在橢圓C內(nèi).設(shè)點(diǎn)A，B為C的短軸的上、下端點(diǎn)，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程；(2)記，分別為，的面積，若，求m的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，依題意，，可得，整理可得，又橢圓C過點(diǎn)，所以，故橢圓C的方程為；（2）依題意，可知AM：，代入橢圓方程，整理得，從而得到，又BM：，代入橢圓方程，整理得，從而得到，所以，，則,由于，所以，解得.

④橢圓中的參數(shù)和范圍問題1．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離之比為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)對(duì)，曲線上是否始終存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）設(shè)，則，即，整理得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為．（2）假設(shè)曲線上始終存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立，整理得，則，所以，．設(shè)的中點(diǎn)為，則，，將代入，則，所以，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，因?yàn)?，所以，則．易知當(dāng)時(shí)，曲線上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱．所以的取值范圍為．2．（2023春·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）已知，為橢圓C的左右焦點(diǎn)，且拋物線的焦點(diǎn)為，M為橢圓的上頂點(diǎn)，的面積為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，О為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，若橢圓C上存在一點(diǎn)E，使得四邊形OAED為平行四邊形，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）

顯然直線的斜率存在，設(shè)直線，設(shè),，,，則,，四邊形為平行四邊形，，,，點(diǎn)，，均在橢圓上，，，，，，．，由，消去得，，顯然，，，，，,．3．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），直線分別與直線相交于兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，．(1)求橢圓的方程；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知，，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，，解得．故橢圓的方程為.（2）如圖，

依題意，設(shè)直線的方程為，易得．聯(lián)立方程組消去并整理得，則，，直線的方程為，令得，同理可得，則，由，解得，得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．4．（2023春·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)連接成的四邊形為正方形.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得，，又因?yàn)闄E圓中，所以，，，故橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，直線方程為，聯(lián)立得，，即，所以，，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，即，?dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，，，且，所以，解得，又因?yàn)樵跈E圓上，則，所以，，所以，綜上的取值范圍為.5．（2023·江西九江·瑞昌市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，為橢圓C：的左右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)．若為直角三角形，且．(1)求的值；(2)若直線l：與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)或(2)【詳解】（1）若，則．因?yàn)?，，解得，．因此．若，則，解得．因此．綜上知，或．（2）設(shè)，，聯(lián)立，消去y得到，，即．則，，弦AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)是．由得，．另一個(gè)方面，直線PM的方程是．點(diǎn)在此直線上，故，整理得，．代入中，，．又，，所以，．故實(shí)數(shù)m的取值范圍是．⑤橢圓中的最值問題1．（2023秋·陜西西安·高二陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線的方程.【答案】(1)(2)，【詳解】（1）由已知得，又離心率，得到，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立，消得，，得到，由韋達(dá)定理得，，又因?yàn)椋衷c(diǎn)到直線的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，滿足，所以，面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.2．（2023秋·湖南岳陽(yáng)·高三校考階段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn)A，求的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)題意可得解得，，所以橢圓的方程為．（2）

由(1)得，設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立，得，所以，，,，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過點(diǎn)A，故，所以，所以，所以，所以，所以，解得或舍去，當(dāng)時(shí)，，且，點(diǎn)A到MN的距離為，所以，化簡(jiǎn)得，令，則，，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞增，即時(shí)取得最小值，此時(shí).3．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P，Q為橢圓上異于A，B的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線，的斜率分別為，，和的面積分別為，.若，求的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）

當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值，結(jié)合及，解得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）

設(shè)點(diǎn)，若直線PQ的斜率為零，由對(duì)稱性知，，則，，，不合題意.設(shè)直線PQ的方程為，由于直線PQ不過橢圓C的左、右頂點(diǎn)，則聯(lián)立得，由可得，，，所以解得即直線PQ的方程為，故直線PQ過定點(diǎn).由韋達(dá)定理可得，由平面幾何知識(shí)，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)增，因?yàn)?，所以，因此，的最大值?4．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知橢圓與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，求的最大值．【答案】(1)(2)6【詳解】（1）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由橢圓經(jīng)過點(diǎn)，可得，解得或（舍）．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）可得，設(shè)，，得，且，，，，當(dāng)時(shí)，取最大值6．5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知是橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，若的最大值和最小值分別為和.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是軸正半軸上的一點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以.6．（2023·四川·校聯(lián)考三模）已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是以為直徑的圓上除去，的任意一點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為1，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，，所以，.所以.因?yàn)?，解?所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題設(shè)直線的方程為，

由，得，，解得或（舍），則，即.由，得，則.即，.即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.⑥橢圓中定點(diǎn)、定值、定直線問題1．（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)校考三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，離心率為．點(diǎn)P是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線、分別與橢圓C交于點(diǎn)A、B，的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）∵，∴，由離心率為得，從而，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）

設(shè)，，則，可設(shè)直線PA的方程為，其中，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，則，同理可得，．因?yàn)?，．所以，所以是定?2．（2023秋·北京豐臺(tái)·高三北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M為橢圓的左頂點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求證：直線過定點(diǎn)．【答案】(1);(2)證明見解析.【詳解】（1）由題意得：，，，故可知，橢圓方程為：.（2）

M為橢圓C的左頂點(diǎn)，又由（1）可知：，設(shè)直線AB的方程為：，，聯(lián)立方程可得：，則，即，由韋達(dá)定理可知：，，，則，，又，，，展開后整理得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，AB的方程為：，經(jīng)過點(diǎn)，不滿足題意，舍去，當(dāng)時(shí)，AB的方程為：，恒過定點(diǎn).所以直線過定點(diǎn)．3．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2倍，若橢圓經(jīng)過點(diǎn)，(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓上不同于點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，證明：直線的斜率為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為根據(jù)題意得，解得故所求橢圓方程為（2）如下圖所示：

設(shè)直線交該橢圓與兩點(diǎn)．將代入得所以由直線能與軸共同圍成底邊在軸上的等腰三角形，可得，即整理得，即即，所以當(dāng)時(shí)，不論為何值時(shí)都成立，所以直線與軸共同圍成底邊在軸上的等腰三角形時(shí)直線的斜率為定值4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知A，B為橢圓左右兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D是橢圓上異于A，B的一點(diǎn)，點(diǎn)F是右焦點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為時(shí)，．(1)求橢圓的方程．(2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，直線CD與橢圓交于另一點(diǎn)E，判斷直線AD與直線BE的交點(diǎn)P是否在一定直線上，如果是，求出該直線方程；如果不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)直線AD與直線BE的交點(diǎn)在定直線上【詳解】（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，，，解得，∴，∴，，，∴橢圓的方程為．（2）由題設(shè)，直線DE斜率一定存在，設(shè)的直線方程為．聯(lián)立橢圓方程，消去得．設(shè)，，則，．∴，又，，∴直線AD的方程為，直線BE的方程為．聯(lián)立得，∴．又∵，∴．∴直線AD與直線BE的交點(diǎn)在定直線上．5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于不同的，兩點(diǎn)，且直線，，的斜率依次成等比數(shù)列．橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，或．【詳解】（1）由離心率，可得，所以橢圓的方程為：，將點(diǎn)，代入橢圓的方程可得：，解得，所以橢圓的方程為；（2）由題意可得直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，聯(lián)立，整理可得：，，即，且，，，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪?，與互相平分，所以，因?yàn)樵跈E圓上，則，整理可得：，①又因?yàn)橹本€，，的斜率依次成等比數(shù)列，即，即，而，可得，②由①②可得：，，符合△，可得，，所以直線的方程為：或．6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，折線與C交于M，N兩點(diǎn)．(1)當(dāng)m＝2時(shí)，求的值；(2)直線AM與BN交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）折線為，不妨設(shè)M在F的右側(cè)，N在F的左側(cè)，設(shè)，，則M，N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，聯(lián)立，得，所以是的兩根，所以，，，（1），當(dāng)m＝2時(shí)，．（2）由題意知，，則直線AM的方程為，又因?yàn)镸在F的右側(cè)，所以滿足，所以直線AM的方程為①，由題知，，則直線BN的方程為，又因?yàn)?，所以直線BN的方程為②，得，，所以，，所以，所以，所以，解得x＝1，所以定點(diǎn)P在直線x＝1上．⑦橢圓中向量問題1．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校考一模）橢圓的離心率為，過橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)度為1．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)樵摍E圓的離心率為，所以有，在方程中，令，解得，因?yàn)檫^橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)度為1，所以有，由可得：，所以橢圓的方程為；（2）當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，由題意可知直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，與縱軸也有兩個(gè)交點(diǎn)不符合題意；當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)為，所以直線的方程設(shè)為，于是有，因?yàn)樵撝本€與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以一定有，化簡(jiǎn)，得，設(shè)，于是有，因?yàn)?，所以，代入中，得，于是有，化?jiǎn)，得，代入中，得.2．（2023秋·北京海淀·高三清華附中?？奸_學(xué)考試）已知橢圓，其離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線交于，直線交于點(diǎn)，點(diǎn)，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）根據(jù)題意可知，可得；又，解得，所以，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知，易知直線的方程為，即；顯然過點(diǎn)的直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，又因?yàn)橹本€交于，所以，即直線的方程為，如下圖所示：

聯(lián)立直線與橢圓方程，消去整理可得；設(shè)，易知和是方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，又，所以，即；因此點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線的斜率，可得直線方程為，由直線交于，聯(lián)立兩直線方程，解得；直線交于點(diǎn)，聯(lián)立兩直線方程，解得；所以可得，又，可得，顯然，所以，也即.3．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，左?右焦點(diǎn)分別為為原點(diǎn)，且，過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為的中點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，對(duì)于任意的都有？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)滿足題意.【詳解】（1）由題意得，又，.橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，令得，即，聯(lián)立，得，所以，則，，若在x軸上存在定點(diǎn)，對(duì)于任意的都有，則，即，解得，所以存在定點(diǎn).4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且.(1)求橢圓的方程；(2)已知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，若過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過點(diǎn)，求出直線的所有方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以解得所以橢圓的方程為.（2）若直線與軸垂直，則直線與橢圓的交點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，以為直徑的圓顯然過點(diǎn)，此時(shí)直線的方程是；若直線與軸不垂直，設(shè)直線的方程是，與橢圓的方程聯(lián)立，消去并整理，得.設(shè)，，則，，，.因?yàn)橐詾橹睆降膱A過點(diǎn)，所以，即，，所以，，，解得.顯然滿足，所以直線與軸不垂直時(shí)，直線的方程是，即.綜上所述，當(dāng)以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的方程是或.5．（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的上，下焦點(diǎn)分別為，橢圓上的任意一點(diǎn)到下焦點(diǎn)的最大距離為3，最小距離為1.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)，垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】(