《高考數(shù)學(xué)壓軸題通法訓(xùn)練•高分必刷系列》專題22橢圓（解答題壓軸題）含答案及解析

專題22橢圓（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①橢圓的弦長（焦點弦）問題 1②橢圓的中點弦問題 4③橢圓中的面積問題 5④橢圓中的參數(shù)和范圍問題 7⑤橢圓中的最值問題 9⑥橢圓中定點、定值、定直線問題 11⑦橢圓中向量問題 13⑧橢圓綜合問題 14①橢圓的弦長（焦點弦）問題1．（2023秋·吉林長春·高二長春市第二實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，左右焦點分別為，，直線與橢圓交于A，兩點，弦被點平分．(1)求直線的方程；(2)求弦的長．2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C的兩個焦點分別是，，并且經(jīng)過點．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓C相交于A，B兩點，當(dāng)線段AB的長度最大時，求直線l的方程．3．（2023春·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知橢圓的左右焦點分別為、，點是橢圓的一個頂點，是等腰直角三角形.(1)求橢圓的方程；(2)寫出橢圓的長軸長；短軸長；焦距；離心率(3)求直線被橢圓截得的弦長.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左頂點為，直線與橢圓交于，兩點.(1)求橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線，的斜率分別為，，且，求的最小值.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓中心在原點上，焦點在軸上，離心率為，橢圓上一點到兩焦點的距離的和等于：(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于，兩點，且，求的值；(3)在（2）的結(jié)論下，求的長.6．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為e，且過點和．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上有兩個不同點A，B關(guān)于直線對稱，求．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點分別為、，是橢圓上一動點，的最大面積為，.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于、兩點，、為橢圓上兩點，且，求的最大值.8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點，橢圓過點，記線段的中點為．(1)若直線的斜率為3，求直線的斜率;(2)若四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．②橢圓的中點弦問題1．（2023秋·高二單元測試）已知橢圓，左右焦點分別為，，直線與橢圓交于，兩點，弦被點平分．(1)求直線的方程；(2)求的面積．2．（2023春·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，是上一點．(1)求的方程；(2)設(shè)，是上兩點，若線段的中點坐標(biāo)為，求直線的方程．3．（2023秋·湖北武漢·高二武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）已知橢圓的焦距為6，橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形周長為16.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與交于，兩點，且線段的中點坐標(biāo)為，求直線的方程.4．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓：的離心率為，短軸長為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過點作弦且弦被平分，則此弦所在的直線方程.5．（2023秋·遼寧遼陽·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，P為C上一點，且，．(1)求，的坐標(biāo)．(2)若直線l與C交于A，B兩點，且弦AB的中點為，求直線l的斜率．6．（2023秋·吉林·高二梅河口市第五中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點，圓，點在圓上運動，的垂直平分線交于點.(1)求動點的軌跡的方程；(2)直線與曲線交于兩點，且中點為，求直線的方程.③橢圓中的面積問題1．（2023秋·廣東江門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，動點P到直線的距離是它到點的距離的2倍，設(shè)動點P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)直線與曲線C交于A，B兩點，求面積的最大值．2．（2023秋·黑龍江鶴崗·高二鶴崗市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，設(shè)點，在中，，周長為．(1)求橢圓C的方程；(2)過點作傾斜角為的直線l交橢圓C于M、N兩點，求三角形OMN的面積．3．（2023秋·安徽亳州·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的上頂點到右頂點的距離為，點在上，且點到右焦點距離的最大值為3，過點且不與軸垂直的直線與交于兩點.(1)求的方程；(2)記為坐標(biāo)原點，求面積的最大值.

4．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓過原點的弦相互垂直，求四邊形面積的最大值．5．（2023秋·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點分別為、，是橢圓上一動點，，橢圓的離心率為，直線過點交橢圓于不同的兩點，.(1)求橢圓的方程：(2)若三角形的面積為，求直線的方程.

6．（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中?？奸_學(xué)考試）已知點在橢圓C：上，點在橢圓C內(nèi).設(shè)點A，B為C的短軸的上、下端點，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程；(2)記，分別為，的面積，若，求m的值.④橢圓中的參數(shù)和范圍問題1．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）已知動點到定點的距離與動點到定直線的距離之比為．(1)求點的軌跡的方程；(2)對，曲線上是否始終存在兩點，關(guān)于直線對稱？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．2．（2023春·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）已知，為橢圓C的左右焦點，且拋物線的焦點為，M為橢圓的上頂點，的面積為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，О為坐標(biāo)原點，且，若橢圓C上存在一點E，使得四邊形OAED為平行四邊形，求的取值范圍.3．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是橢圓的右頂點，過點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點（點在軸的上方），直線分別與直線相交于兩點．當(dāng)點為橢圓的上頂點時，．(1)求橢圓的方程；(2)若，且，求實數(shù)的取值范圍．4．（2023春·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為，短軸的兩個頂點和兩個焦點連接成的四邊形為正方形.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點為橢圓上的兩點，為坐標(biāo)原點，，求的取值范圍.5．（2023·江西九江·瑞昌市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，為橢圓C：的左右焦點，P為橢圓C上一點．若為直角三角形，且．(1)求的值；(2)若直線l：與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線經(jīng)過點，求實數(shù)m的取值范圍．⑤橢圓中的最值問題1．（2023秋·陜西西安·高二陜西師大附中校考階段練習(xí)）已知橢圓的一個焦點為，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)不過原點的直線與橢圓C交于兩點，求面積的最大值及此時直線的方程.2．（2023秋·湖南岳陽·高三校考階段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點，左，右焦點分別為，，為坐標(biāo)原點，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)A為橢圓的右頂點，直線與橢圓相交于，兩點，以為直徑的圓過點A，求的最大值．3．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A，B，點P，Q為橢圓上異于A，B的兩個動點，面積的最大值為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線，的斜率分別為，，和的面積分別為，.若，求的最大值.4．（2023秋·高二單元測試）已知橢圓與橢圓有共同的焦點，且橢圓經(jīng)過點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的左焦點，為原點，為橢圓上任意一點，求的最大值．5．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知是橢圓上一個動點，是橢圓的左焦點，若的最大值和最小值分別為和.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是軸正半軸上的一點，求的最大值.6．（2023·四川·校聯(lián)考三模）已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左、右頂點，，分別為橢圓的左、右焦點，點是以為直徑的圓上除去，的任意一點，直線交橢圓于另一點.(1)當(dāng)點為橢圓的短軸端點時，原點到直線的距離為1，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的最小值.⑥橢圓中定點、定值、定直線問題1．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓的左、右焦點為，，離心率為．點P是橢圓C上不同于頂點的任意一點，射線、分別與橢圓C交于點A、B，的周長為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，，求證：為定值．2．（2023秋·北京豐臺·高三北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M為橢圓的左頂點，直線與橢圓交于兩點，若，求證：直線過定點．3．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長為短軸長的2倍，若橢圓經(jīng)過點，(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓上不同于點的兩個動點，直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，證明：直線的斜率為定值．4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知A，B為橢圓左右兩個頂點，動點D是橢圓上異于A，B的一點，點F是右焦點．當(dāng)點D的坐標(biāo)為時，．(1)求橢圓的方程．(2)已知點C的坐標(biāo)為，直線CD與橢圓交于另一點E，判斷直線AD與直線BE的交點P是否在一定直線上，如果是，求出該直線方程；如果不是，請說明理由．5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且過點，．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于不同的，兩點，且直線，，的斜率依次成等比數(shù)列．橢圓上是否存在一點，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A，B，右焦點為F，折線與C交于M，N兩點．(1)當(dāng)m＝2時，求的值；(2)直線AM與BN交于點P，證明：點P在定直線上．⑦橢圓中向量問題1．（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃E圓的離心率為，過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓相交于，兩點，與軸相交于點，若存在實數(shù)，使得，求的取值范圍．2．（2023秋·北京海淀·高三清華附中?？奸_學(xué)考試）已知橢圓，其離心率，長軸長為6．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓的上下頂點分別為，右頂點為，過點的直線與橢圓的另一個交點為，點與點關(guān)于軸對稱，直線交于，直線交于點，點，求證：．3．（2023秋·高二單元測試）已知橢圓的右頂點為，上頂點為，左?右焦點分別為為原點，且，過點作斜率為的直線與橢圓交于另一點，交軸于點.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為的中點，在軸上是否存在定點，對于任意的都有？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且.(1)求橢圓的方程；(2)已知，兩點的坐標(biāo)分別是，，若過點的直線與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過點，求出直線的所有方程.5．（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的上，下焦點分別為，橢圓上的任意一點到下焦點的最大距離為3，最小距離為1.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點的直線與橢圓相交于點，垂直于的直線與交于點，與軸交于點，且，求直線的方程.⑧橢圓綜合問題1．（2023秋·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的焦距為2，且經(jīng)過點．(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過橢圓右焦點F且斜率為的動直線l與橢圓交于A、B兩點，試問x軸上是否存在異于點F的定點T，使恒成立？若存在，求出T點坐標(biāo)，若不存在，說明理由．2．（2023春·河南開封·高三通許縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓過點和．(1)求C的方程；(2)不過原點的直線與交于不同的兩點，且直線的斜率成等比數(shù)列．在上是否存在一點，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．3．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知是橢圓上的兩點，關(guān)于原點對稱，是橢圓上異于的一點，直線和的斜率滿足.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率存在且不經(jīng)過原點的直線交橢圓于兩點異于橢圓的上、下頂點），當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求的值.4．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓的左、右焦點為，離心率為.點是橢圓上不同于頂點的任意一點，射線分別與橢圓交于點，的周長為8.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，，的面積分別為.求證：為定值.5．（2023秋·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？奸_學(xué)考試）定義：若橢圓上的兩個點滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點對”，記作.已知橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，且橢圓過點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求“共軛點對”中點所在直線的方程；(3)設(shè)為坐標(biāo)原點，點在橢圓上，且，（2）中的直線與橢圓交于兩點，且點的縱坐標(biāo)大于0，設(shè)四點在橢圓上逆時針排列.證明：四邊形的面積小于.

專題22橢圓（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①橢圓的弦長（焦點弦）問題 1②橢圓的中點弦問題 10③橢圓中的面積問題 15④橢圓中的參數(shù)和范圍問題 22⑤橢圓中的最值問題 28⑥橢圓中定點、定值、定直線問題 35⑦橢圓中向量問題 42⑧橢圓綜合問題 48①橢圓的弦長（焦點弦）問題1．（2023秋·吉林長春·高二長春市第二實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，左右焦點分別為，，直線與橢圓交于A，兩點，弦被點平分．(1)求直線的方程；(2)求弦的長．【答案】(1)(2)5【詳解】（1）設(shè)交點坐標(biāo)，因為弦被點平分，所以又，兩式相減得：），所以直線的斜率，故直線的方程為（2）由（1）可知，與橢圓方程聯(lián)立，所以，由弦長公式可知.2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C的兩個焦點分別是，，并且經(jīng)過點．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓C相交于A，B兩點，當(dāng)線段AB的長度最大時，求直線l的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解法一：因為橢圓C的焦點在x軸上．所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由題意知，，解得．所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．解法二：由于橢圓C的焦點在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．根據(jù)橢圓定義得，即．又因為，所以，所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由，消去y，得，因為直線與橢圓C相交于A，B兩點，所以，解得．設(shè)，，則，，所以當(dāng)時，取最大值，此時直線l的方程為3．（2023春·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知橢圓的左右焦點分別為、，點是橢圓的一個頂點，是等腰直角三角形.(1)求橢圓的方程；(2)寫出橢圓的長軸長；短軸長；焦距；離心率(3)求直線被橢圓截得的弦長.【答案】(1)(2)長軸長，短軸長4，焦距4，離心率(3)【詳解】（1）因為點是橢圓的一個頂點，是等腰直角三角形，所以，所以，故橢圓的方程為.（2）由（1）可得：，故長軸長，短軸長4，焦距4，離心率.（3）設(shè)交點，聯(lián)立方程，消去y得，則，所以．4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左頂點為，直線與橢圓交于，兩點.(1)求橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線，的斜率分別為，，且，求的最小值.【答案】(1)(2)3【詳解】（1）由題知，橢圓的離心率為，左頂點為，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）得，，因為直線與橢圓交于，兩點，由題可知，直線斜率為0時，，所以直線的斜率不為0，所以設(shè)直線，聯(lián)立方程，得，所以，，所以，解得，此時恒成立，所以直線的方程為直線，直線過定點，此時，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為3.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓中心在原點上，焦點在軸上，離心率為，橢圓上一點到兩焦點的距離的和等于：(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于，兩點，且，求的值；(3)在（2）的結(jié)論下，求的長.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因為橢圓焦點在軸上，所以設(shè)橢圓的方程為：，，又橢圓上一點到兩焦點的距離和為，所以，，所以，，所以橢圓的方程為：.（2）由（1）知，橢圓的方程為：，即：，設(shè)，，有：，得：，又，所以，的斜率之積為，即：，即：，又：，所以：，整理得：，又：，，即有：，整理得：，所以.（3），當(dāng)時：直線方程為：，聯(lián)立方程組得：，解得：，所以：，所以：，由對稱性可知：當(dāng)時，也有，所以：.6．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為e，且過點和．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上有兩個不同點A，B關(guān)于直線對稱，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知：，∴，∴，所以橢圓；（2）法一

設(shè)及AB中點，由題意知，，以上兩式相減得：，可化為：即，故，又∵M(jìn)在直線上，所以，解得：，即，直線，化簡為：聯(lián)立整理得：，由韋達(dá)定理知由弦長公式得：．法二

設(shè)直線，聯(lián)立，整理得：，則中點，滿足直線方程，解得所以AB：聯(lián)立整理得：，由韋達(dá)定理知由弦長公式得：．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點分別為、，是橢圓上一動點，的最大面積為，.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于、兩點，、為橢圓上兩點，且，求的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：設(shè)橢圓的半焦距為，，，的最大面積為，，，，橢圓的方程為；（2）由題知，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去并整理得：，∴，得，，，∴，設(shè)，，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，，故.8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點，橢圓過點，記線段的中點為．(1)若直線的斜率為3，求直線的斜率;(2)若四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)，則，兩式相減可得，，而，則有，又直線斜率，因此所以直線的斜率.（2）當(dāng)直線不垂直于x軸時，設(shè)直線，，由消去y并整理得：，，，，因四邊形為平行四邊形，即，則點，而，即，又點P在橢圓上，則，化簡得，滿足，于是得，，，則，當(dāng)直線垂直于x軸時，得點或，若點，點M，N必在直線上，由得，則，若點，同理可得，綜上，的取值范圍為．②橢圓的中點弦問題1．（2023秋·高二單元測試）已知橢圓，左右焦點分別為，，直線與橢圓交于，兩點，弦被點平分．(1)求直線的方程；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為弦被點平分，所以設(shè)交點坐標(biāo)則，兩式相減得：），所以直線的斜率，故直線的方程為（2），聯(lián)立橢圓與直線方程得所以，所以，又因為直線過點，所以．

2．（2023春·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，是上一點．(1)求的方程；(2)設(shè)，是上兩點，若線段的中點坐標(biāo)為，求直線的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可知，解得，，，故的方程為．（2）設(shè)，，則則，即．因為線段的中點坐標(biāo)為，所以，，則．故直線的方程為，即．

3．（2023秋·湖北武漢·高二武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）已知橢圓的焦距為6，橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形周長為16.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與交于，兩點，且線段的中點坐標(biāo)為，求直線的方程.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)的焦距為，，因為橢圓上的點到兩焦點距離之和為，而橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形周長為16.所以，所以，所以，所以的方程為；（2）設(shè)，，代入橢圓方程得兩式相減可得，即.由點為線段的中點，得，，則的斜率，所以的方程為，即.4．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓：的離心率為，短軸長為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過點作弦且弦被平分，則此弦所在的直線方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知①，②，又橢圓中③，所以聯(lián)立①②③解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)過點作直線，與橢圓的交點為，，則，兩式相減得，所以，又因為是中點，所以，，即，，由橢圓的對稱性可得直線的斜率一定存在，所以直線的斜率，所以此弦所在的直線方程為，整理得.5．（2023秋·遼寧遼陽·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，P為C上一點，且，．(1)求，的坐標(biāo)．(2)若直線l與C交于A，B兩點，且弦AB的中點為，求直線l的斜率．【答案】(1)，的坐標(biāo)分別為，(2)【詳解】（1）因為，所以，所以，，故，的坐標(biāo)分別為，．（2）設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為，，則，兩式相減得．因為弦AB的中點在橢圓內(nèi)，所以，所以直線l的斜率．6．（2023秋·吉林·高二梅河口市第五中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點，圓，點在圓上運動，的垂直平分線交于點.(1)求動點的軌跡的方程；(2)直線與曲線交于兩點，且中點為，求直線的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可知，則由橢圓定義知的軌跡是以、為焦點，且長軸長為的橢圓，∴，∴∴的軌跡方程為：（2）設(shè),∵都在橢圓上，∴

，，相減可得，又中點為，∴，∴

，即直線的斜率為，∴直線的方程為，即,因為點在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓相交于兩點，滿足條件.故直線的方程為.③橢圓中的面積問題1．（2023秋·廣東江門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，動點P到直線的距離是它到點的距離的2倍，設(shè)動點P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)直線與曲線C交于A，B兩點，求面積的最大值．【答案】(1)(2)3【詳解】（1）設(shè)，因為點P到直線的距離是它到點的距離的2倍，所以，則，整理得，故曲線的方程為．（2）設(shè)，，聯(lián)立方程組整理得，則，，．因為過點，所以．令，，，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，則的最大值為3．故面積的最大值為3．

2．（2023秋·黑龍江鶴崗·高二鶴崗市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，設(shè)點，在中，，周長為．(1)求橢圓C的方程；(2)過點作傾斜角為的直線l交橢圓C于M、N兩點，求三角形OMN的面積．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）由∴①，又的周長為，∴②，聯(lián)立①②，解得，∴橢圓方程為；（2）直線l的方程為：，即，設(shè)，，由得，，，O到直線MN的距離為，所以的面積．

3．（2023秋·安徽亳州·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的上頂點到右頂點的距離為，點在上，且點到右焦點距離的最大值為3，過點且不與軸垂直的直線與交于兩點.(1)求的方程；(2)記為坐標(biāo)原點，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，，解得，故的方程為.（2）設(shè)，直線，聯(lián)立，整理得：.由得，且，，點到直線的距離，，

令，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故面積的最大值為.4．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓過原點的弦相互垂直，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，則，故橢圓方程可化為，將代入上式得，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意得，四邊形為菱形，則菱形的面積當(dāng)直線的斜率不存在或為0時，易得當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)直線的方程為，則的方程為，設(shè)，將代入，得，則，則．綜上，的最大值為．5．（2023秋·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點分別為、，是橢圓上一動點，，橢圓的離心率為，直線過點交橢圓于不同的兩點，.(1)求橢圓的方程：(2)若三角形的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)，或.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由已知有，解得故橢圓的方程為.（2）設(shè)，，直線的方程為，，聯(lián)立消去，整理得，則，，且，即或.所以的面積為，

令，得，解得或，從而或.故直線的方程為，或，即，或.6．（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中?？奸_學(xué)考試）已知點在橢圓C：上，點在橢圓C內(nèi).設(shè)點A，B為C的短軸的上、下端點，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程；(2)記，分別為，的面積，若，求m的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，依題意，，可得，整理可得，又橢圓C過點，所以，故橢圓C的方程為；（2）依題意，可知AM：，代入橢圓方程，整理得，從而得到，又BM：，代入橢圓方程，整理得，從而得到，所以，，則,由于，所以，解得.

④橢圓中的參數(shù)和范圍問題1．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）已知動點到定點的距離與動點到定直線的距離之比為．(1)求點的軌跡的方程；(2)對，曲線上是否始終存在兩點，關(guān)于直線對稱？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）設(shè)，則，即，整理得，所以點的軌跡的方程為．（2）假設(shè)曲線上始終存在兩點，關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立，整理得，則，所以，．設(shè)的中點為，則，，將代入，則，所以，所以對恒成立，即對恒成立，因為，所以，則．易知當(dāng)時，曲線上存在兩點，關(guān)于直線對稱．所以的取值范圍為．2．（2023春·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）已知，為橢圓C的左右焦點，且拋物線的焦點為，M為橢圓的上頂點，的面積為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，О為坐標(biāo)原點，且，若橢圓C上存在一點E，使得四邊形OAED為平行四邊形，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）拋物線的焦點為，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）

顯然直線的斜率存在，設(shè)直線，設(shè),，,，則,，四邊形為平行四邊形，，,，點，，均在橢圓上，，，，，，．，由，消去得，，顯然，，，，，,．3．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是橢圓的右頂點，過點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點（點在軸的上方），直線分別與直線相交于兩點．當(dāng)點為橢圓的上頂點時，．(1)求橢圓的方程；(2)若，且，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知，，當(dāng)點為橢圓的上頂點時，，解得．故橢圓的方程為.（2）如圖，

依題意，設(shè)直線的方程為，易得．聯(lián)立方程組消去并整理得，則，，直線的方程為，令得，同理可得，則，由，解得，得，即實數(shù)的取值范圍為．4．（2023春·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為，短軸的兩個頂點和兩個焦點連接成的四邊形為正方形.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點為橢圓上的兩點，為坐標(biāo)原點，，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得，，又因為橢圓中，所以，，，故橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，，直線方程為，聯(lián)立得，，即，所以，，因為，所以，又因為，所以，即，所以，因為，所以，即，當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)，，，且，所以，解得，又因為在橢圓上，則，所以，，所以，綜上的取值范圍為.5．（2023·江西九江·瑞昌市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，為橢圓C：的左右焦點，P為橢圓C上一點．若為直角三角形，且．(1)求的值；(2)若直線l：與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線經(jīng)過點，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)或(2)【詳解】（1）若，則．因為，，解得，．因此．若，則，解得．因此．綜上知，或．（2）設(shè)，，聯(lián)立，消去y得到，，即．則，，弦AB中點M的坐標(biāo)是．由得，．另一個方面，直線PM的方程是．點在此直線上，故，整理得，．代入中，，．又，，所以，．故實數(shù)m的取值范圍是．⑤橢圓中的最值問題1．（2023秋·陜西西安·高二陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的一個焦點為，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)不過原點的直線與橢圓C交于兩點，求面積的最大值及此時直線的方程.【答案】(1)(2)，【詳解】（1）由已知得，又離心率，得到，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立，消得，，得到，由韋達(dá)定理得，，又因為，又原點到直線的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，滿足，所以，面積的最大值為，此時直線的方程為.2．（2023秋·湖南岳陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點，左，右焦點分別為，，為坐標(biāo)原點，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)A為橢圓的右頂點，直線與橢圓相交于，兩點，以為直徑的圓過點A，求的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)題意可得解得，，所以橢圓的方程為．（2）

由(1)得，設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立，得，所以，，,，，因為以為直徑的圓過點A，故，所以，所以，所以，所以，所以，解得或舍去，當(dāng)時，，且，點A到MN的距離為，所以，化簡得，令，則，，由對勾函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞增，即時取得最小值，此時.3．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A，B，點P，Q為橢圓上異于A，B的兩個動點，面積的最大值為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線，的斜率分別為，，和的面積分別為，.若，求的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）

當(dāng)點P為橢圓C短軸頂點時，的面積取最大值，結(jié)合及，解得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）

設(shè)點，若直線PQ的斜率為零，由對稱性知，，則，，，不合題意.設(shè)直線PQ的方程為，由于直線PQ不過橢圓C的左、右頂點，則聯(lián)立得，由可得，，，所以解得即直線PQ的方程為，故直線PQ過定點.由韋達(dá)定理可得，由平面幾何知識，所以，設(shè)，則，當(dāng)時，，故在單調(diào)增，因為，所以，因此，的最大值為.4．（2023秋·高二單元測試）已知橢圓與橢圓有共同的焦點，且橢圓經(jīng)過點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的左焦點，為原點，為橢圓上任意一點，求的最大值．【答案】(1)(2)6【詳解】（1）橢圓的焦點坐標(biāo)為，橢圓的焦點坐標(biāo)為．可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由橢圓經(jīng)過點，可得，解得或（舍）．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）可得，設(shè)，，得，且，，，，當(dāng)時，取最大值6．5．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知是橢圓上一個動點，是橢圓的左焦點，若的最大值和最小值分別為和.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是軸正半軸上的一點，求的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，則當(dāng)時，當(dāng)時，，所以.6．（2023·四川·校聯(lián)考三模）已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左、右頂點，，分別為橢圓的左、右焦點，點是以為直徑的圓上除去，的任意一點，直線交橢圓于另一點.(1)當(dāng)點為橢圓的短軸端點時，原點到直線的距離為1，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為當(dāng)點為橢圓的短軸端點時，，所以，.所以.因為，解得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題設(shè)直線的方程為，

由，得，，解得或（舍），則，即.由，得，則.即，.即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以的最小值為.⑥橢圓中定點、定值、定直線問題1．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓的左、右焦點為，，離心率為．點P是橢圓C上不同于頂點的任意一點，射線、分別與橢圓C交于點A、B，的周長為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）∵，∴，由離心率為得，從而，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）

設(shè)，，則，可設(shè)直線PA的方程為，其中，聯(lián)立，化簡得，則，同理可得，．因為，．所以，所以是定值.2．（2023秋·北京豐臺·高三北京市第十二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M為橢圓的左頂點，直線與橢圓交于兩點，若，求證：直線過定點．【答案】(1);(2)證明見解析.【詳解】（1）由題意得：，，，故可知，橢圓方程為：.（2）

M為橢圓C的左頂點，又由（1）可知：，設(shè)直線AB的方程為：，，聯(lián)立方程可得：，則，即，由韋達(dá)定理可知：，，，則，，又，，，展開后整理得：，解得：或，當(dāng)時，AB的方程為：，經(jīng)過點，不滿足題意，舍去，當(dāng)時，AB的方程為：，恒過定點.所以直線過定點．3．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長為短軸長的2倍，若橢圓經(jīng)過點，(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓上不同于點的兩個動點，直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，證明：直線的斜率為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為根據(jù)題意得，解得故所求橢圓方程為（2）如下圖所示：

設(shè)直線交該橢圓與兩點．將代入得所以由直線能與軸共同圍成底邊在軸上的等腰三角形，可得，即整理得，即即，所以當(dāng)時，不論為何值時都成立，所以直線與軸共同圍成底邊在軸上的等腰三角形時直線的斜率為定值4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知A，B為橢圓左右兩個頂點，動點D是橢圓上異于A，B的一點，點F是右焦點．當(dāng)點D的坐標(biāo)為時，．(1)求橢圓的方程．(2)已知點C的坐標(biāo)為，直線CD與橢圓交于另一點E，判斷直線AD與直線BE的交點P是否在一定直線上，如果是，求出該直線方程；如果不是，請說明理由．【答案】(1)(2)直線AD與直線BE的交點在定直線上【詳解】（1）設(shè)橢圓的右焦點為，左焦點為，，，解得，∴，∴，，，∴橢圓的方程為．（2）由題設(shè)，直線DE斜率一定存在，設(shè)的直線方程為．聯(lián)立橢圓方程，消去得．設(shè)，，則，．∴，又，，∴直線AD的方程為，直線BE的方程為．聯(lián)立得，∴．又∵，∴．∴直線AD與直線BE的交點在定直線上．5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且過點，．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于不同的，兩點，且直線，，的斜率依次成等比數(shù)列．橢圓上是否存在一點，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，或．【詳解】（1）由離心率，可得，所以橢圓的方程為：，將點，代入橢圓的方程可得：，解得，所以橢圓的方程為；（2）由題意可得直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，聯(lián)立，整理可得：，，即，且，，，因為四邊形為平行四邊，與互相平分，所以，因為在橢圓上，則，整理可得：，①又因為直線，，的斜率依次成等比數(shù)列，即，即，而，可得，②由①②可得：，，符合△，可得，，所以直線的方程為：或．6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A，B，右焦點為F，折線與C交于M，N兩點．(1)當(dāng)m＝2時，求的值；(2)直線AM與BN交于點P，證明：點P在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）折線為，不妨設(shè)M在F的右側(cè)，N在F的左側(cè)，設(shè)，，則M，N關(guān)于x軸的對稱點分別為，，聯(lián)立，得，所以是的兩根，所以，，，（1），當(dāng)m＝2時，．（2）由題意知，，則直線AM的方程為，又因為M在F的右側(cè)，所以滿足，所以直線AM的方程為①，由題知，，則直線BN的方程為，又因為，所以直線BN的方程為②，得，，所以，，所以，所以，所以，解得x＝1，所以定點P在直線x＝1上．⑦橢圓中向量問題1．（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃E圓的離心率為，過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓相交于，兩點，與軸相交于點，若存在實數(shù)，使得，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為該橢圓的離心率為，所以有，在方程中，令，解得，因為過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1，所以有，由可得：，所以橢圓的方程為；（2）當(dāng)直線不存在斜率時，由題意可知直線與橢圓有兩個交點，與縱軸也有兩個交點不符合題意；當(dāng)直線存在斜率時，設(shè)為，所以直線的方程設(shè)為，于是有，因為該直線與橢圓有兩個交點，所以一定有，化簡，得，設(shè)，于是有，因為，所以，代入中，得，于是有，化簡，得，代入中，得.2．（2023秋·北京海淀·高三清華附中校考開學(xué)考試）已知橢圓，其離心率，長軸長為6．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓的上下頂點分別為，右頂點為，過點的直線與橢圓的另一個交點為，點與點關(guān)于軸對稱，直線交于，直線交于點，點，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）根據(jù)題意可知，可得；又，解得，所以，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知，易知直線的方程為，即；顯然過點的直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，又因為直線交于，所以，即直線的方程為，如下圖所示：

聯(lián)立直線與橢圓方程，消去整理可得；設(shè)，易知和是方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，又，所以，即；因此點關(guān)于軸的對稱點坐標(biāo)為，所以直線的斜率，可得直線方程為，由直線交于，聯(lián)立兩直線方程，解得；直線交于點，聯(lián)立兩直線方程，解得；所以可得，又，可得，顯然，所以，也即.3．（2023秋·高二單元測試）已知橢圓的右頂點為，上頂點為，左?右焦點分別為為原點，且，過點作斜率為的直線與橢圓交于另一點，交軸于點.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為的中點，在軸上是否存在定點，對于任意的都有？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在定點滿足題意.【詳解】（1）由題意得，又，.橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，令得，即，聯(lián)立，得，所以，則，，若在x軸上存在定點，對于任意的都有，則，即，解得，所以存在定點.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且.(1)求橢圓的方程；(2)已知，兩點的坐標(biāo)分別是，，若過點的直線與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過點，求出直線的所有方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）解：因為，所以橢圓的左焦點的坐標(biāo)是，所以解得所以橢圓的方程為.（2）若直線與軸垂直，則直線與橢圓的交點，的坐標(biāo)分別是，，以為直徑的圓顯然過點，此時直線的方程是；若直線與軸不垂直，設(shè)直線的方程是，與橢圓的方程聯(lián)立，消去并整理，得.設(shè)，，則，，，.因為以為直徑的圓過點，所以，即，，所以，，，解得.顯然滿足，所以直線與軸不垂直時，直線的方程是，即.綜上所述，當(dāng)以為直徑的圓經(jīng)過點時，直線的方程是或.5．（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的上，下焦點分別為，橢圓上的任意一點到下焦點的最大距離為3，最小距離為1.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點的直線與橢圓相交于點，垂直于的直線與交于點，與軸交于點，且，求直線的方程.【答案】(