函數(shù)模型及其應(yīng)用（7題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題10函數(shù)模型及其應(yīng)用7題型分類

彩題如工總

題型1:二次函數(shù)模型

題型7：巳知函數(shù)模型的實(shí)際問題

題型2：分段函數(shù)模型

題型6：幕函數(shù)模型

專題10函數(shù)模型及其應(yīng)用

7題型分類題型3：對(duì)勾函數(shù)模型

題型5：對(duì)數(shù)型函數(shù)

題型4：指數(shù)型函數(shù)

彩和也寶庫

1、幾種常見的函數(shù)模型:

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)=cuc+b(a,Z?為常數(shù)且

反比例函數(shù)模型f(x)=-+b(k,b為常數(shù)且awO)

X

二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,。為常數(shù)且

指數(shù)函數(shù)模型/(x)=bax+c(6z,b,。為常數(shù)，bwO,tz>0,〃wl)

對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù)，b^O,a>0,a^l)

幕函數(shù)模型f(x)=axn+b{a,/?為常數(shù)，

2、解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：

（1）審題：弄清題意，識(shí)別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；

（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用已有知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;

（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題.

彩他題秘籍

（_）

二次函數(shù)模型與分段函數(shù)模型

1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個(gè)問題，將各段的變化規(guī)律分

別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值.

2、構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確、簡潔，不重不漏.

題型1：二次函數(shù)模型

1-1.（2024高二上?山東濰坊?期末）汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止,

一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個(gè)重要依據(jù).在一個(gè)限速為40km/h的彎道上，

甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但還是相碰了.事后現(xiàn)場勘查，測得甲車的剎車距離

略超過6m,乙車的剎車距離略超過10m.已知甲車的剎車距離sm與車速vkm/h之間的關(guān)系為

5甲=看”一《丫，乙車的剎車距離sm與車速vkm/h之間的關(guān)系為5乙=募/-'y.請(qǐng)判斷甲、乙兩車哪

輛車有超速現(xiàn)象（）

A.甲、乙兩車均超速B.甲車超速但乙車未超速

C.乙車超速但甲車未超速D.甲、乙兩車均未超速

【答案】C

【分析】根據(jù)題意列出方程即可確定是否超速.

【詳解】對(duì)于甲車，4^V2-^V?6,BPV2-10V-600?0

解得UP—20km/h（舍）或VQ30km/h,所以甲未超速；

對(duì)于甲車，4-^rv2-^-v?10,BPv2-10v-2000^0

解得vaT0km/h（舍）或口出50kln/h,所以乙超速；

故選:C.

1-2.（2024.黑龍江哈爾濱.三模）如圖為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區(qū)居民友

誼比賽中，隊(duì)員甲在中線上距離邊線5米的P點(diǎn)處接球，止匕時(shí)tanNAPB=（,假設(shè)甲沿著平行邊線的方向

向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)。處射門，為獲得最佳的射門角度（即NAQ8最大），則射門時(shí)甲離上方端線的距離

為（）

C.10拒D.10V3

【答案】B

/72+150

【分析】先根據(jù)題意解出AB長度，談QH=h,得到cosZAQB=再分析求值域，判

，r+325/+22500

斷取等條件即可求解.

【詳解】設(shè)AB=x,并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：PH=25,BH=10,

所以tanZB/W=^=竺=2,且tan/APB=9,

HP25531

52

----1—3

所以tanZAPH=tan(ZAPS+NBPH)=3、50=_

AprAB+BHx+10匚x+103五刀/曰u

又tan/APH=——一i丁，所以一^―=M，解得％=5即AB=5,

PHPH

設(shè)。H=/z,/7e[0,25],則AQ=QQH。+曲=J吩+E,

BQ=^QH2+BH-=J/+1()2,所以在AA。中，

士/…A^+B^-AB2川+150

有cosZAQB=-----------------=::

2AQxBQJ/+325/+22500

令2片+150(150</?!<775),所以h2=m-150,

一cosAAQB=j-------=/=

所以J(m-150)2+325(加一150)+225001駕)+空十],

因?yàn)?50〈機(jī)《775,所以—――,則要使—AQ5最大，

775m150

cosZAQB=?_I_375f）~~

即375025?要取得最小值,即+2+1取得最大值，

J——^+―+1Vm2m

Vmm

即-W3750+22+51在』ivl_Llv9取得最大值，

mm775m150

令/=』￡,/（z）=-3750r2+25r+l,

m|_775150_

所以了”）的對(duì)稱軸為：”擊，所以/⑺在J，/單調(diào)遞增，在貴，專單調(diào)遞減,

所以當(dāng),=工時(shí)，/⑺取得最大值，即-AQ3最大，此時(shí),=工，即機(jī)=300，

300m300

所以外=150,所以/i=5后，即為獲得最佳的射門角度（即NAQ2最大），

則射門時(shí)甲離上方端線的距離為：5瓜

故選：B.

1-3.（2024?北京）加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件

下，可食用率p與加工時(shí)間t（單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c（a,b,c是常數(shù)），如圖記錄了三次

實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為

0.5.................

0345f

A.3.50分鐘B.3.75分鐘C.4.00分鐘D.4.25分鐘

【答案】B

【詳解】由圖形可知，三點(diǎn)(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函數(shù)0=〃2+加+°的圖象上，

9a+3b+c=0.7

所以｛16a+4b+c=0.8,解得a=-0.2,6=1.5,c=-2,

25a+5b+c=0.5

所以P=—。.2廠+1.5t—2=—0.2(/-----)-H■——,因?yàn)?>0,所以當(dāng)r=二~=3.75時(shí)，。取最大值，

4164

故此時(shí)的t=3.75分鐘為最佳加工時(shí)間，故選B.

考點(diǎn)：本小題以實(shí)際應(yīng)用為背景，主要考查二次函數(shù)的解析式的求解、二次函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查

同學(xué)們分析問題與解決問題的能力.

題型2:分段函數(shù)模型

2-1.(2024.云南.二模)下表是某批發(fā)市場的一種益智玩具的銷售價(jià)格:

一次購買件數(shù)5-10件11-50件51-100#101-300件300件以上

每件價(jià)格37元32元30元27元25元

張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場購買這種玩具，贈(zèng)送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具()

A.116件B.110件C.107件D.106件

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，設(shè)購買的件數(shù)為X,花費(fèi)為y元，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)列出滿足的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)yV2900

時(shí)，求出X的最大值即可.

【詳解】設(shè)購買的件數(shù)為X,花費(fèi)為y元，

37^,1<^<10

32x,11<x<50

貝i]y=130x,51Wx4100,當(dāng)x=107時(shí)，v=2889<2990,

27x,101<x<300

25x,x>300

當(dāng)x=108時(shí)，y=2916>2900,所以最多可購買這種產(chǎn)品107件，

故選：C.

2-2.(2024?四川綿陽?模擬預(yù)測)某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用

電量劃分為三擋：月用電量不超過200度的部分按0.5元/度收費(fèi)，超過200度但不超過400度的部分按0.8元

/度收費(fèi)，超過400度的部分按1.0元/度收費(fèi).

（1）求某戶居民月用電費(fèi)y（單位：元）關(guān)于月用電量無（單位：度）的函數(shù)解析式；

（2）為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如

圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過260元的占80%,求a,b的值.

0.5x,0<x<200

【答案】⑴y=<0.8x-60,200<xW400,

x-140,x>400

（2）。=00015力M00020

【分析】（1）根據(jù)題目條件，分段列出函數(shù)解析式即可;

（2）將y=260代入（1）中解析式得到x的值，再結(jié)合頻率分布直方圖求a,6的值;

【詳解】（1）當(dāng)0WXW200時(shí)，V=0.5x；

當(dāng)200cx<400時(shí)，y=0.5*200+0.8x（x-200）=0.8x-60,

當(dāng)X>400時(shí)，>=0.5x200+0.8x200+1.Ox(x-400)=x-140,

0.5x,0<x<200

所以>與x之間的函數(shù)解析式為y=0.8x-60,200<xV400,

x-140,x>400

(2)由(1)可知：當(dāng)>=260時(shí)，x=400,則)(xV400)=0.80,

0.1+2x1006+0.3=0.8

結(jié)合頻率分布直方圖可知:

100。+0.05=0.2

A=0.0015,/?=0.0020

2-3.（2024?全國）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出It該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的

產(chǎn)品，每It虧損300元.根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如右圖所示.經(jīng)銷商

為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以無（單位：t,100WXW150）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場需求量,

T（單位:元）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.

頻率/組距

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

100110120130140150需求量/t

（I）將T表示為x的函數(shù)；

（II）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于57000元的概率.

800x-39000,100<x<130

【答案】（I）T=百一一射（11）0.7

65000,130<x<150

【詳解】試題分析：（D由題意先分段寫出，當(dāng)Xe[100,130）時(shí)，當(dāng)XW[130,150）時(shí)，和利潤值，最

后利用分段函數(shù)的形式進(jìn)行綜合即可.

（II）由（D知，利潤T不少于57000元，當(dāng)且僅當(dāng)120SXW150.再由直方圖知需求量XG[120,150]的頻

率為0.7,利用樣本估計(jì)總體的方法得出下一個(gè)銷售季度的利潤T不少于57000元的概率的估計(jì)值.

解:（I）由題意得,當(dāng)XG）00,130）時(shí)，T=500X-300（130-X）=800X-39000,

當(dāng)XG[130,150]時(shí)，T=500x130=65000,

f800X-39000,x€[100,130）

?T-<

"165000,XE[130,150]

（ID由（I）知，利潤T不少于57000元，當(dāng)且僅當(dāng)120WXS150.

由直方圖知需求量XG[120,150]的頻率為0.7,

所以下一個(gè)銷售季度的利潤T不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7.

考點(diǎn)：頻率分布直方圖.

2-4.（2024高一上.江西贛州?期中）《中華人民共和國鄉(xiāng)村振興促進(jìn)法》中指出：全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，

開展促進(jìn)鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興、人才振興、文化振興、生態(tài)振興、組織振興，推進(jìn)城鄉(xiāng)融合發(fā)展.為深入踐行習(xí)

近平總書記提出“綠水青山就是金山銀山”的理念，圍繞“產(chǎn)業(yè)發(fā)展生態(tài)化，生態(tài)建設(shè)產(chǎn)業(yè)化”思路.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為

全力打造成“生態(tài)特色小鎮(zhèn)”，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某種農(nóng)作物的單株產(chǎn)量/（單位：kg）與肥料費(fèi)用x（單位：元）

g（尤2+43）,04尤43,

滿足如下關(guān)系：4尤）=其它總成本為3x（單位：元），已知這種農(nóng)作物的市場售價(jià)為每

20-------,3<xW10,

千克5元，且供不應(yīng)求，記該單株農(nóng)作物獲得的利潤為/?（工）（單位：元）.

⑴求“X）的函數(shù)關(guān)系式;

（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少元時(shí)，該單株農(nóng)作物獲得的利潤最大？最大利潤是多少元?

X2-4X+43,0<X<3,

【答案】（l）/（x）=100-41—+x|,3<x<10.

（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為6元時(shí)，該單株農(nóng)作物獲得的利潤最大，最大利潤為52元

【分析】（1）根據(jù)利潤=毛收入-成本可得結(jié)果;

（2）分段求出最大值，再兩者中的更大的為最大值.

I+43)_4x,0<x<3,

【詳解】（1）由題意可得，/（無）=5f（x）-尤一3尤=144

100------4x,3<x<10.

x

x2-4x+43,0<x<3,

所以函數(shù)”尤）的函數(shù)關(guān)系式為Ax）=，100-4(—+xj,3<x<10.

（2）當(dāng)0VxV3時(shí)，/（x）=f-4x+43在［0,2）上單調(diào)遞減，在（2,3］上單調(diào)遞增,

又"0)=43,又3)=40,所以八元)鵬=43,

36

當(dāng)3VxM10時(shí)，〃x)=100-4|—+x|<100-4x2j--x=52,

XX

當(dāng)且僅當(dāng)羽=x,即X=6時(shí)等號(hào)成立，止匕時(shí)/（X）max=52

X

綜上：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為6元時(shí)，單株農(nóng)作物獲得的利潤最大為52元.

2-5.（2024高二下?四川眉山?階段練習(xí)）某商店銷售某海鮮，統(tǒng)計(jì)了春節(jié)前后50天海鮮的需求量工,

（10WxW20,單位：公斤），其頻率分布直方圖如圖所示，該海鮮每天進(jìn)貨1次，商店每銷售1公斤可獲

利50元；若供大于求，剩余的削價(jià)處理，每處理1公斤虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其它商店調(diào)撥，銷

售1公斤可獲利30元.假設(shè)商店每天該海鮮的進(jìn)貨量為14公斤，商店的日利潤為>元.

（1）求商店日利潤y關(guān)于需求量冗的函數(shù)表達(dá)式;

（2）估計(jì)日利潤在區(qū)間［580,760］內(nèi)的概率.

30x+280,14<x<20

【答案】⑴>二

60x-140,10<x<14

(2)0.54

【分析】（1）根據(jù)題意列出分段函數(shù)解析式，即得答案；

［30x+280,14<x<20——一

（2）判斷丫=60X_14010<犬<14的單調(diào)性，確定日利潤在區(qū)間［580,760］內(nèi)的概率即為求海鮮需求量x在

區(qū)間［12,16］的頻率，結(jié)合頻率分布直方圖可得答案.

_f50xl4+30x(x-14),14<x<20

【詳解】（1）商店的日利潤》關(guān)于需求量尤的函數(shù)表達(dá)式為:

[50x-10x(14-.x),10<x<14

30x+280,14<x<20

化簡得：y=

60.r-140,10<x<14

（2）由頻率分布直方圖得：海鮮需求量在區(qū)間［12,14）的頻率是2x0.12=0.24；

海鮮需求量在區(qū)間［14,16）的頻率是2x0.15=0.30；

由于x=14時(shí)，30x14+280=60x14-140=700,

「

故尸［f360。x1+428。0,1。4"<x<<1240在^區(qū)間股2。1］上單調(diào)遞增，

令y=580=60x-140,得x=12；令y=760=30x+280,得彳=16；

故求日利潤V在區(qū)間［580,760］內(nèi)的概率即求海鮮需求量x在區(qū)間［12,16］的頻率,

即為0.24+0.30=0.54；

2-6.（2024全國）某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售,

如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.

（1）若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤V（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量〃（單位：枝，nwN）的函

數(shù)解析式.

（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表:

日需求

14151617181920

量n

頻數(shù)10201616151310

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.

（i）若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求X的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差;

（ii）若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說明理由.

10〃-80(〃415)

【答案】⑴…8?！?/p>

2)⑴EX=60x0.1+70x0.2+80x0.7=76

Z)X=162x0.1+62x0.2+42x0.7=44

（ii）應(yīng)購進(jìn)17枝

【詳解】(1)當(dāng)“216時(shí)，y=16x(10-5)=80

當(dāng)〃V15時(shí)，y=5〃-5(16-〃)=1。"-8。

10n-80(w<15)

得：y={(〃wN)

80(?>16)

(2)(i)X可取60,70,80

P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7X的分布列為

X607080

P0.10.20.7

=60x0.1+70x0.2+80x0.7=76

DX=162X0.1+62X0.2+42X0.7=44

(ii)購進(jìn)17枝時(shí)，當(dāng)天的利潤為

=(14x5-3x5)x0.1+(15x5-2x5)x0.2+(16x5-1x5)x0.16+17x5x0.54=76.4

76.4>76得：應(yīng)購進(jìn)17枝

彩健題秘籍。

對(duì)勾函數(shù)模型

1、解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；

2、利用模型求解最值時(shí)，注意取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件.

X

題型3:對(duì)勾函數(shù)模型

3-1.（2024高三下?河北唐山?階段練習(xí)）迷你K7V是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類

似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎.如圖是某間迷你K7V的橫截面示

3

意圖，其中AB=AE=],NA=NB=NE=90。，曲線段CD是圓心角為90。的圓弧，設(shè)該迷你K7V橫截面

的面積為S,周長為L,則l的最大值為.（本題中取萬=3進(jìn)行計(jì)算）

【答案】12-3715

q

【分析】設(shè)圓弧的半徑為X,根據(jù)平面幾何知識(shí)寫出:關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用基本不等式求解函數(shù)的最

大值即可.

33

【詳解】設(shè)圓弧的半徑為M0<xW2，根據(jù)題意可得：BC=DE=AB-x=^-x

S=AEDE+（AB-DE）（AE一尤）+：乃尤？

._____,_7TX

L=2A5+BC+DEH------=6—2xH------

42

Q-r*23*1

???%=3「.S=-------,L=6一一x

42

?s-9~%2

"L~24-2x

令t=24—2x（214f<24）,貝I]24-/

x=------

2

根據(jù)基本不等式，1號(hào)=3而,當(dāng)卻僅當(dāng)；=手,即f=6厲時(shí)取

6V15e[21,24),.」=6小時(shí)，=12-3厲

故答案為：12-3A/15.

3-2.(2024高一下.浙江?期末)磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻

生動(dòng)、極富書卷氣.如圖是一扇環(huán)形成雕，可視為扇形。CD截去同心扇形。4B所得部分.已知扇環(huán)周長

=300cm,大扇形半徑QD=100cm,設(shè)小扇形半徑。4=xcm,/AO3=6弧度，則

①。關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。(幻=.

②若雕刻費(fèi)用關(guān)于X的解析式為w(x)=Wx+1700，則磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為.

【答案】嚷產(chǎn)，xe(O』OO)；3

【分析】利用弧長公式求A8與DC根據(jù)扇環(huán)周長可得e關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)扇形面積公式求出扇環(huán)

面積，進(jìn)而得出磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比，再利用基本不等式即可求解.

【詳解】由題意可知，ZAOB=0,OA^x,00=100,

所以AD^BC=100-x,DC=1006*,

扇環(huán)周長4B+AD+BC+OC=9％+200-2*+100。=300,

解得。=需生，xe(0」00)，

磚雕面積即為圖中環(huán)形面積，記為S,

則S=S扇形的一s扇形AOB=^ODDC-OAAB

=1x100x100。一[?尤?6>x=5000e—2尤2=(5OOO-=]1P2±^

222I2)100+x

即雕刻面積與雕刻費(fèi)用之比為加，

s_(10000-x2)(100+2x)_(100-x)(50+x)

'm一^00-2(100+x)(10x+1700)-—10(1+170)-'

令t=x+170,貝”=t-170,

_（270-r）（r-120）_-t2+390/-120x270_t12x270

..TYl———r3Jz

lOrlOz10t

12x270+39=-36+39=3，當(dāng)且僅當(dāng)f=180時(shí)（即x=10）取等號(hào)，

V10t

所以磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為3.

故答案為：粵二，（0,100）；3

33（2024高三.全國.專題練習(xí)）某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元，此

外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增

加2萬元.為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.13

【答案】B

【分析】設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x（尤eN*）,設(shè)備年平均費(fèi)用為y萬元，求得y關(guān)于無的表達(dá)式，

利用基本不等式求出y的最小值及其對(duì)應(yīng)的x值，即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x（尤eN*）,設(shè)備年平均費(fèi)用為y萬元，

則X年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為2+4+6+…+2x=M^產(chǎn)=x（x+l）,

,4擊出建中斗100+0.5x+x（x+l）1003二II。。343「匚一、

所cc以rx年的1Vl平均費(fèi)用為y=------------------——=尤+——+-22J尤——+-=—（萬兀），

xx2Vx22

當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)，等號(hào)成立，

因此，為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為10.

故選：B.

彩健題秘籍（二）

指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、幕函數(shù)模型

1、在解題時(shí)，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的一類函數(shù)模型，與增

長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型.

2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、幕函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借

助函數(shù)圖像求解最值問題.

題型4:指數(shù)型函數(shù)

4-1.(2024高三下?云南?階段練習(xí))近年來，天然氣表觀消費(fèi)量從2006年的不到600xl()8m3激增到2021年

的3726xl08m3.從2000年開始統(tǒng)計(jì)，記憶表示從2000年開始的第幾年，ov—%eN.經(jīng)計(jì)算機(jī)擬合后發(fā)

現(xiàn)，天然氣表觀消費(fèi)量隨時(shí)間的變化情況符合匕=%。+%丫，其中匕是從2000年后第4年天然氣消費(fèi)量，

力是2000年的天然氣消費(fèi)量，心是過去20年的年復(fù)合增長率.已知2009年的天然氣消費(fèi)量為900x1()8irf,

2018年的天然氣消費(fèi)量為2880xl()8m3,根據(jù)擬合的模型，可以預(yù)測2024年的天然氣消費(fèi)量約為()

222

(參考數(shù)據(jù):2.881~2.02''3.21?2.1741?2.52

A.5817.6xl0sm3B.6249.6xlO8m3

C.6928.2xlO8m3D.7257.6xl08m3

【答案】B

【分析】由題意，匕=匕(1+4)9，匕8=%(1+%/，由已知數(shù)據(jù)解出(1+了=3.2,再由％4=匕8(1+，；,)6,代

入?yún)⒖紨?shù)據(jù)計(jì)算即可.

1883

【詳解】據(jù)題意％=%(1+0)9=900x108m3,^8=^(l+<,)=2880xl0m,兩式相除可得(1+4戶=3.2,

2

又因?yàn)?0(1+弓)6=2880xl08x(3.2戶~6249.6x108m3>

故選：B.

4-2.(2024.山東)基本再生數(shù)凡與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳

染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：

/⑺=e"描述累計(jì)感染病例數(shù)/⑺隨時(shí)間/(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與Ro,T近似滿足Rn=l+rT.

有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出Ro=3.28,T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要

的時(shí)間約為(ln2=：0.69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得/(/)=〃=泮3&,設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間

為"天，根據(jù)e°38($)=2e°38',解得%即可得結(jié)果.

［詳解］因?yàn)?=3.28,T=6,&=1+”,所以r=^|~^=0.38,所以/(f)=，=,

設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為。天,

則0。38（，+，,）=2e038"所以e03M=2所以0.3甑=ln2,

b,、，In20.69,門十

所以%=——x——"8天.

0.380.38

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對(duì)數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.

4-3.（2024?浙江?二模）提丟斯一波得定則，簡稱“波得定律”，是表示各行星與太陽平均距離的一種經(jīng)驗(yàn)規(guī)

則.它是在1766年德國的一位中學(xué)教師戴維?提丟斯發(fā)現(xiàn)的.后來被柏林天文臺(tái)的臺(tái)長波得歸納成了一個(gè)如下

經(jīng)驗(yàn)公式來表示：記太陽到地球的平均距離為1,若某行星的編號(hào)為"，則該行星到太陽的平均距離表示為

nl

a+bx2~,那么編號(hào)為9的行星用該公式推得的平均距離位于（）

行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星

編號(hào)12345678

公式推得值0.711.62.85.21019.638.8

實(shí)測值0.7211.522.95.29.5419.1830.06

A.（30,50）B.（50,60）C.（60,70）D.（70,80）

【答案】D

【分析】代入數(shù)據(jù)計(jì)算。涉的值即可.

[a+b'x.l0=0.7[A=0.4?.,、

【詳解】由表格可得,小，=,a+x29-1=77.2e（70,80）,

[a+bx2=1\b=0.3

故選：D

題型5:對(duì)數(shù)型函數(shù)

5-1.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）血氧飽和度是血液中被氧結(jié)合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結(jié)合的血紅

蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).正常人體的血氧飽和度一般情況

下不低于96%,否則為供養(yǎng)不足.在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型:S（f）=S°e"描述血氧飽

和度5（0（單位％）隨機(jī)給氧時(shí)間”單位:時(shí)）的變化規(guī)律，其中斗為初始血氧飽和度，k為參數(shù).已知跖=60,

給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為70,若使血氧飽和度達(dá)到正常值，則給氧時(shí)間至少還需要（）小時(shí).（參

考數(shù)據(jù)：ln5=1.61,ln6=1.79,ln7=1.95,ln8=2.07）

A.1.525B.1.675C.1.725D.1.875

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，分別表示出左與笈的范圍，然后結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，60e'=70,60efe>96,貝Z=ln四=ln7—ln6,fc>ln—=ln8-ln5,

6060

則使血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時(shí)間至少還需要2.875-1=1.875小時(shí).

故選：D.

5-2.（2024?全國?二模）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學(xué)物質(zhì)，是昆蟲之

間起化學(xué)通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學(xué)分子語言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、

追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等.人工合成的昆蟲信息素在生產(chǎn)中有較多的應(yīng)用，尤

其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的病蟲害的預(yù)報(bào)和防治中較多使用.研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素f秒后，在距釋放處尤米

的地方測得的信息素濃度y滿足lny=IMV+a,其中鼠。為非零常數(shù).已知釋放信息素1秒后，在

距釋放處2米的地方測得信息素濃度為如若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為葭，

貝”（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)已知的濃度解析式，代入變量，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，化簡求值.

【詳解】由題意Inm=—4左+。，In—=—In4—b1+a,

224

（1k、

所以Inm—ln5=-4k+a-\-—]n4--b2+a\）,

k

即+又左wo,所以〃=16.

因?yàn)閎>。，所以Z?=4.

故選：B.

5-3.（2024.四川綿陽?二模）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：某昆蟲釋放信息素/秒后，在距釋放處x米的地方測得信息素濃

度y滿足函數(shù)=（A,K為非零常數(shù)）.已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信

息素濃度為。，則釋放信息素4秒后，信息素濃度為［a的位置距釋放處的距離為（）米.

2

A.2&B.2C.0D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)可得lna=-4K+A,再根據(jù)ln《=-1ln4-+A即可求出尤值.

224

【詳解】由題知：當(dāng)t=l,x=2時(shí)，y=a,

代入Iny=-gln/一+A得：

lna=-AK+A,

當(dāng)i=4,y=時(shí)，

.a1,.K.

In—=——In4-----x2+A,

224

K

即In?-ln2=-ln2-—X92+A,

而Ina—~~4K+A,

解得：x=4或T（舍）

故選：D.

題型6：森函數(shù)模型

6-1.（2024高三上?安徽亳州?階段練習(xí)）“小黃城外芍藥花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家種花

如桑麻.”這是清代文學(xué)家劉開有描寫安徽毫州的詩句，毫州位于安徽省西北部，有“中華藥都”之稱.毫州自商

湯建都到今，已有3700年的文明史，是漢代著名醫(yī)學(xué)家華佗的故鄉(xiāng)，由于一代名醫(yī)的影響，帶動(dòng)了毫州醫(yī)

藥的發(fā)展，到明、清時(shí)期毫州就是全國四大藥都之一，現(xiàn)已是“四大藥都”之首.毫州建有全球規(guī)模最大、設(shè)施

最好、檔次最高的“中國（毫州）中藥材交易中心”，己成為全球最大的中藥材集散地，以及價(jià)格形成中心.

某校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在假期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，通過對(duì)某藥廠一種中藥材銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該中藥材在2021

年的價(jià)格浮動(dòng)最大的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）日平均銷售單價(jià)加（x）（單位：元/千克）與第x天

（1<X<3O,XG7V*）的函數(shù)關(guān)系滿足M（X）=￡+20（左為正常數(shù)）.該中藥材的日銷售量N（X）（單位：

千克）與x的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

X4102030

N（x）149155165155

已知第4天該中藥材的日銷售收入為3129元.（日銷售收入=日銷售單價(jià)x日銷售量）

⑴求上的值；

（2）給出以下四種函數(shù)模型：①N（x）="+b,②N（x）=a（x—20y+6,③雙（力=小—20|+A,④

N（x）=elog/,請(qǐng)你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，幫助這組同學(xué)從中選擇最合適的一種函數(shù)模型來描述該中藥材的日

銷售量N（x）與x的關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式和日銷售收入/（X）（單位：元）的最小值.

【答案】⑴左=5

（2）③，N（x）=-|龍一20|+165（0（尤430）,最小值為3125元

【分析】（1）根據(jù)題中條件，第4天該中藥的日銷售收入為3129元，將其代入函數(shù)關(guān)系式中即可求出％的值;

（2）首先根據(jù)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律和特點(diǎn)選定合適的銷售量函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的解析式結(jié)合均值定理求解日銷

售收入的最小值即可.

啟+2。

【詳解】（1）由x=4時(shí),-149=3129,得％=5；

（2）因?yàn)閿?shù)據(jù)有增有減，①④不合符題意,

將二三組數(shù)據(jù)代入②類函數(shù)解析式可得:

1

〃（10—20）+b=155a二-----

\，解得：10,

（）

Q20-20+Z?=165b=165

即得②類函數(shù)解析式為N（X）=-，（X-20）2+165.

將二三組數(shù)據(jù)代入③類函數(shù)解析式可得：

al0-20|+&=155,,咱（a=-l

a20-20|+&=165'解得：［b=165

即得③類函數(shù)解析式為N（x）=-|x-20|+165,

1

將第一組數(shù)據(jù)代入N（x）=-而（x-20y9+165,

19

可知：?/（1）=-—（4-20）-+165=139.4,

將第一組數(shù)據(jù)代入N（x）=-|x-20|+165,

可知：？/(1)=一|4一20|+165=149,

因此N（"=T尤-20|+165（04%<30）最合適.

當(dāng)xe[1,20)時(shí)

〃力=++2。卜+145)=告+20)(尤+1+144)

(

=5+20(x+1)++2880>2885+2j20x+0-=3125,

當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)，等號(hào)成立

當(dāng)xe[20,30]時(shí)

告一)

小)=+201x+185-1+186)=牝詈-20(x+l)+3715

函數(shù)〃x）在xe[20,30]上單調(diào)遞減,

所以""2"30）=3125,當(dāng)且僅當(dāng)x=30時(shí)，等號(hào)成立

綜上可知，當(dāng)x=5或x=30日銷售收入最小值為3125元.

6-2.（2024.四川瀘州.模擬預(yù)測）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大

勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng).該

企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補(bǔ)貼10萬元.若要實(shí)現(xiàn)2024年

初的資金達(dá)到270萬元的目標(biāo)，資金的年平均增長率應(yīng)為（參考值：<82?1.22,<73?1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

【答案】B

【分析】設(shè)年平均增長率為x，依題意列方程求x即可.

【詳解】由題意，設(shè)年平均增長率為X,貝I]150（1+X）3+10=270,

所以x=d-1?1.2-1=0.2,故年平均增長率為20%.

故選：B

6-3.（2024?廣西?模擬預(yù)測）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以塞

函數(shù)形式表示.比如，某類動(dòng)物的新陳代謝率,與其體重x滿足>=依"，其中左和。為正常數(shù)，該類動(dòng)物某

一個(gè)體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則

a為（）

23

B.C.D.

~234

【答案】D

【分析】初始狀態(tài)設(shè)為（國,必），變化后為（Z，%），根據(jù)HZ，%的關(guān)系代入后可求解.

【詳解】設(shè)初始狀態(tài)為（國，%），則％2=16』,%=8%,

又y2=kx2,即8%=左（16玉）。=女,

8%匕16。%：3

，16a=8,24a=23,4。=3,a=—

4

故選：D.

彩儺甄祕(mì)籍

—（四）

已知函數(shù)模型的實(shí)際問題

求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵

（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn).

題型7:已知函數(shù)模型的實(shí)際問題

7-1.（2024高三.全國.專題練習(xí)）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：6=（4-%）e*+q,其中1

為時(shí)間（單位：min）,%為環(huán)境溫度，4為物體初始溫度，。為冷卻后溫度），假設(shè)在室內(nèi)溫度為2（TC的

情況下，一桶咖啡由10（TC降低到60℃需要20min.貝I]k的值為.

【答案】野

【分析】根據(jù)所給模型代入數(shù)據(jù)，即可根據(jù)指對(duì)互化求解.

【詳解】由題意，把4=20,4=100,0=60,f=20代入。=（4—4）廠+%中,

得80廠"+20=60,所以e-

所以一20左=—ln2,解得左=嗡.

心田以二In2

故答案為：――.

20

7-2.（2024高二下?浙江寧波?學(xué)業(yè)考試）某市對(duì)新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準(zhǔn)備建

造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價(jià)，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬元.根據(jù)建筑公司的前期

研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費(fèi)用N（單位：萬元）與隔熱層的厚度場（單位：厘米）滿足

關(guān)系：N（〃）=^^（OV〃W1。）.經(jīng)測算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費(fèi)用為10

萬元.設(shè)尸（〃）為隔熱層的建造費(fèi)用與30年間的能源消耗費(fèi)用的總和，那么使尸伍）達(dá)到最小值的隔熱層的

厚度/?=_____厘米.

【答案】2

【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)+荒言+9//=茫言+3（3/7+4）-12,利用基本不等式求解.

【詳解】由題意及N（〃）=加q,可得N（0）=彳=10,即加=40,

/.N（h）=-^—.

'/3/1+4

隔熱層的建造費(fèi)用與30年間的能源消耗費(fèi)用的總和/㈤=30N㈤+9/7=藍(lán)詈+9/?=黑號(hào)+3（3〃+4）-12