函數(shù)模型及其應(yīng)用（7題型分類(lèi)）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專(zhuān)題10函數(shù)模型及其應(yīng)用7題型分類(lèi)

彩題如工總

題型1:二次函數(shù)模型

題型7：巳知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

題型2：分段函數(shù)模型

題型6：幕函數(shù)模型

專(zhuān)題10函數(shù)模型及其應(yīng)用

7題型分類(lèi)題型3：對(duì)勾函數(shù)模型

題型5：對(duì)數(shù)型函數(shù)

題型4：指數(shù)型函數(shù)

彩和也寶庫(kù)

1、幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型:

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)=cuc+b(a,Z?為常數(shù)且

反比例函數(shù)模型f(x)=-+b(k,b為常數(shù)且awO)

X

二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,。為常數(shù)且

指數(shù)函數(shù)模型/(x)=bax+c(6z,b,。為常數(shù)，bwO,tz>0,〃wl)

對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù)，b^O,a>0,a^l)

幕函數(shù)模型f(x)=axn+b{a,/?為常數(shù)，

2、解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟：

（1）審題：弄清題意，識(shí)別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；

（2）建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用已有知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;

（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

（4）還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題.

彩他題秘籍

（_）

二次函數(shù)模型與分段函數(shù)模型

1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化規(guī)律分

別找出來(lái)，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值.

2、構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，不重不漏.

題型1：二次函數(shù)模型

1-1.（2024高二上?山東濰坊?期末）汽車(chē)在行駛中，由于慣性，剎車(chē)后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止,

一般稱這段距離為“剎車(chē)距離”.剎車(chē)距離是分析交通事故的一個(gè)重要依據(jù).在一個(gè)限速為40km/h的彎道上，

甲、乙兩輛汽車(chē)相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車(chē)，但還是相碰了.事后現(xiàn)場(chǎng)勘查，測(cè)得甲車(chē)的剎車(chē)距離

略超過(guò)6m,乙車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)10m.已知甲車(chē)的剎車(chē)距離sm與車(chē)速vkm/h之間的關(guān)系為

5甲=看”一《丫，乙車(chē)的剎車(chē)距離sm與車(chē)速vkm/h之間的關(guān)系為5乙=募/-'y.請(qǐng)判斷甲、乙兩車(chē)哪

輛車(chē)有超速現(xiàn)象（）

A.甲、乙兩車(chē)均超速B.甲車(chē)超速但乙車(chē)未超速

C.乙車(chē)超速但甲車(chē)未超速D.甲、乙兩車(chē)均未超速

1-2.（2024?黑龍江哈爾濱?三模）如圖為某小區(qū)七人足球場(chǎng)的平面示意圖，A3為球門(mén)，在某次小區(qū)居民友

誼比賽中，隊(duì)員甲在中線上距離邊線5米的尸點(diǎn)處接球，止匕時(shí)tanNAPB=（,假設(shè)甲沿著平行邊線的方向

向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)。處射門(mén)，為獲得最佳的射門(mén)角度（即-AQ8最大），則射門(mén)時(shí)甲離上方端線的距離

為（）

c.10V2D.10A/3

1-3.（2024.北京）加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件

下，可食用率p與加工時(shí)間t（單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c（a,b,c是常數(shù)），如圖記錄了三次

實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為

/

6

O.0二

S7

一

5

O.

O345f

A.3.50分鐘B.3.75分鐘C.4.00分鐘D.4.25分鐘

題型2:分段函數(shù)模型

2-1.（2024.云南.二模）下表是某批發(fā)市場(chǎng)的一種益智玩具的銷(xiāo)售價(jià)格:

一次購(gòu)買(mǎi)件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上

每件價(jià)格37元32元30元27元25元

張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)這種玩具，贈(zèng)送給一所幼兒園，張師傅最多可買(mǎi)這種玩具（）

A.116件B.110件C.107件D.106件

2-2.（2024.四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用

電量劃分為三擋：月用電量不超過(guò)200度的部分按0.5元/度收費(fèi),超過(guò)200度但不超過(guò)400度的部分按0.8元

/度收費(fèi)，超過(guò)400度的部分按1.0元/度收費(fèi).

（1）求某戶居民月用電費(fèi)y（單位：元）關(guān)于月用電量無(wú)（單位：度）的函數(shù)解析式;

（2）為了了解居民的用電情況，通過(guò)抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如

圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過(guò)260元的占80%,求a,匕的值.

2-3.（2024?全國(guó)）經(jīng)銷(xiāo)商經(jīng)銷(xiāo)某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)，每售出It該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的

產(chǎn)品，每It虧損300元.根據(jù)歷史資料，得到銷(xiāo)售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如右圖所示.經(jīng)銷(xiāo)商

為下一個(gè)銷(xiāo)售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以無(wú)（單位：t,100WXW150）表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量,

T（單位:元）表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)經(jīng)銷(xiāo)該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn).

（I）將T表示為x的函數(shù);

（II）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57000元的概率.

2-4.（2024高一上?江西贛州?期中）《中華人民共和國(guó)鄉(xiāng)村振興促進(jìn)法》中指出：全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略,

開(kāi)展促進(jìn)鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興、人才振興、文化振興、生態(tài)振興、組織振興，推進(jìn)城鄉(xiāng)融合發(fā)展.為深入踐行習(xí)

近平總書(shū)記提出“綠水青山就是金山銀山”的理念，圍繞“產(chǎn)業(yè)發(fā)展生態(tài)化，生態(tài)建設(shè)產(chǎn)業(yè)化”思路.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為

全力打造成“生態(tài)特色小鎮(zhèn)”，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某種農(nóng)作物的單株產(chǎn)量/（單位：kg）與肥料費(fèi)用x（單位：元）

工(X2+43),0<X<3,

5

滿足如下關(guān)系：,其它總成本為3%（單位：元），已知這種農(nóng)作物的市場(chǎng)售價(jià)為每

144

20-------,3<x<10,

5%

千克5元，且供不應(yīng)求，記該單株農(nóng)作物獲得的利潤(rùn)為/?（工）（單位：元）.

⑴求外力的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少元時(shí)，該單株農(nóng)作物獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

2-5.（2024高二下?四川眉山.階段練習(xí)）某商店銷(xiāo)售某海鮮，統(tǒng)計(jì)了春節(jié)前后50天海鮮的需求量x,

（10WxW20,單位：公斤），其頻率分布直方圖如圖所示，該海鮮每天進(jìn)貨1次，商店每銷(xiāo)售1公斤可獲

利50元；若供大于求，剩余的削價(jià)處理，每處理1公斤虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其它商店調(diào)撥，銷(xiāo)

售1公斤可獲利30元.假設(shè)商店每天該海鮮的進(jìn)貨量為14公斤，商店的日利潤(rùn)為>元.

（1）求商店日利潤(rùn)y關(guān)于需求量X的函數(shù)表達(dá)式；

（2）估計(jì)日利潤(rùn)在區(qū)間［580,760］內(nèi)的概率.

2-6.（2024?全國(guó)）某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售，

如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.

（1）若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)V（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量”（單位：枝，nwN）的函

數(shù)解析式.

（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

日需求

14151617181920

量n

頻數(shù)10201616151310

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.

（i）若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求X的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差;

（ii）若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說(shuō)明理由.

彩他題海籍

（二）

對(duì)勾函數(shù)模型

1、解決此類(lèi)問(wèn)題一定要注意函數(shù)定義域；

2、利用模型/（x）=?x+2求解最值時(shí)，注意取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件.

X

題型3:對(duì)勾函數(shù)模型

3-1.（2024高三下?河北唐山?階段練習(xí)）迷你K7V是一類(lèi)新型的娛樂(lè)設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類(lèi)

似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場(chǎng)中，受到年輕人的歡迎.如圖是某間迷你K7V的橫截面示

3

意圖，其中AB=AE=—,/A=/3=/E=90。，曲線段。是圓心角為90。的圓弧，設(shè)該迷你K7V橫截面

2

的面積為S,周長(zhǎng)為L(zhǎng),則器的最大值為.（本題中取萬(wàn)=3進(jìn)行計(jì)算）

3-2.（2024高一下.浙江?期末）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻

生動(dòng)、極富書(shū)卷氣.如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形08截去同心扇形所得部分.已知扇環(huán)周長(zhǎng)

=300cm,大扇形半徑OZ>=100cm,設(shè)小扇形半徑。4=xcm,=e弧度，貝！|

①。關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式伙幻=.

②若雕刻費(fèi)用關(guān)于尤的解析式為以幻=Wx+1700,則磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為.

3-3.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）某企業(yè)投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元，此

外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增

加2萬(wàn)元.為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.13

彩他題秘籍（二）

指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、幕函數(shù)模型

1、在解題時(shí)，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來(lái)越快（底數(shù)大于1）的一類(lèi)函數(shù)模型，與增

長(zhǎng)率、銀行利率有關(guān)的問(wèn)題都屬于指數(shù)模型.

2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、塞函數(shù)模型問(wèn)題時(shí)，一般先需通過(guò)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借

助函數(shù)圖像求解最值問(wèn)題.

題型4:指數(shù)型函數(shù)

4-1.（2024高三下?云南?階段練習(xí)）近年來(lái)，天然氣表觀消費(fèi)量從2006年的不到600xK）8m3激增到2021年

的3726xl08m3.從2000年開(kāi)始統(tǒng)計(jì)，記憶表示從2000年開(kāi)始的第幾年，ov—%eN.經(jīng)計(jì)算機(jī)擬合后發(fā)

現(xiàn)，天然氣表觀消費(fèi)量隨時(shí)間的變化情況符合匕=%。+%丫，其中匕是從2000年后第4年天然氣消費(fèi)量，

力是2000年的天然氣消費(fèi)量，心是過(guò)去20年的年復(fù)合增長(zhǎng)率.已知2009年的天然氣消費(fèi)量為900x1（）8n?,

2018年的天然氣消費(fèi)量為2880xl（）8m3,根據(jù)擬合的模型，可以預(yù)測(cè)2024年的天然氣消費(fèi)量約為（）

222

（參考數(shù)據(jù):2.8812~2.02,3.2）a2.17,4心2.52

A.5817.6xl0sm*3B.6249.6xlO8m3

C.6928.2xlO8m3D.7257.6xl08m3

4-2.（2024.山東）基本再生數(shù)&與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳

染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：

/⑺=e”描述累計(jì)感染病例數(shù)/⑺隨時(shí)間小單位:天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與Ro,T近似滿足Ro=l+rT.

有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出&=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要

的時(shí)間約為（In2ao.69）（）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

4-3.（2024?浙江?二模）提丟斯一波得定則，簡(jiǎn)稱“波得定律”，是表示各行星與太陽(yáng)平均距離的一種經(jīng)驗(yàn)規(guī)

貝（它是在1766年德國(guó)的一位中學(xué)教師戴維?提丟斯發(fā)現(xiàn)的.后來(lái)被柏林天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)波得歸納成了一個(gè)如下

經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)表示：記太陽(yáng)到地球的平均距離為1,若某行星的編號(hào)為“，則該行星到太陽(yáng)的平均距離表示為

a+bxT1,那么編號(hào)為9的行星用該公式推得的平均距離位于（）

行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星

編號(hào)12345678

公式推得值0.711.62.85.21019.638.8

實(shí)測(cè)值0.7211.522.95.29.5419.1830.06

A.（30,50）B.（50,60）C.（60,70）D.（70,80）

題型5：對(duì)數(shù)型函數(shù)

5-L（2024.陜西咸陽(yáng).模擬預(yù)測(cè)）血氧飽和度是血液中被氧結(jié)合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結(jié)合的血紅

蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).正常人體的血氧飽和度一般情況

下不低于96%,否則為供養(yǎng)不足.在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型:S（f）=S°e”描述血氧飽

和度S（r）（單位％）隨機(jī)給氧時(shí)間f（單位:時(shí)）的變化規(guī)律，其中S。為初始血氧飽和度，上為參數(shù).已知跖=60,

給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為70,若使血氧飽和度達(dá)到正常值，則給氧時(shí)間至少還需要（）小時(shí).（參

考數(shù)據(jù)：In5=1.61,In6=1.79,In7=1.95,In8=2.07）

A.1.525B.1.675C.1.725D.1.875

52（2024.全國(guó)?二模）昆蟲(chóng)信息素是昆蟲(chóng)用來(lái)表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學(xué)物質(zhì)，是昆蟲(chóng)之

間起化學(xué)通訊作用的化合物，是昆蟲(chóng)交流的化學(xué)分子語(yǔ)言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、

追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等.人工合成的昆蟲(chóng)信息素在生產(chǎn)中有較多的應(yīng)用，尤

其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的病蟲(chóng)害的預(yù)報(bào)和防治中較多使用.研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲(chóng)釋放信息素f秒后，在距釋放處無(wú)米

的地方測(cè)得的信息素濃度y滿足111>=-5山/-,爐+a,其中％,a為非零常數(shù).已知釋放信息素1秒后，在

距釋放處2米的地方測(cè)得信息素濃度為相；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為

貝Ub=（）

A.3B.4C.5D.6

53（2024.四川綿陽(yáng)?二模）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：某昆蟲(chóng)釋放信息素/秒后，在距釋放處x米的地方測(cè)得信息素濃

度y滿足函數(shù)lny=-gln-（&,長(zhǎng)為非零常數(shù)）.已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測(cè)得信

息素濃度為。，則釋放信息素4秒后，信息素濃度為二。的位置距釋放處的距離為（）米.

2

A.2及B.2C.72D.4

題型6:卷函數(shù)模型

6-1.（2024高三上.安徽亳州?階段練習(xí)）“小黃城外芍藥花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家種花

如桑麻.”這是清代文學(xué)家劉開(kāi)有描寫(xiě)安徽毫州的詩(shī)句，毫州位于安徽省西北部，有“中華藥都”之稱.毫州自商

湯建都到今，已有3700年的文明史，是漢代著名醫(yī)學(xué)家華佗的故鄉(xiāng)，由于一代名醫(yī)的影響，帶動(dòng)了毫州醫(yī)

藥的發(fā)展，到明、清時(shí)期毫州就是全國(guó)四大藥都之一，現(xiàn)已是“四大藥都”之首.毫州建有全球規(guī)模最大、設(shè)施

最好、檔次最高的“中國(guó)（毫州）中藥材交易中心”，已成為全球最大的中藥材集散地，以及價(jià)格形成中心.

某校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在假期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，通過(guò)對(duì)某藥廠一種中藥材銷(xiāo)售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn):該中藥材在2021

年的價(jià)格浮動(dòng)最大的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）日平均銷(xiāo)售單價(jià)M（x）（單位：元/千克）與第x天

（l<x<3O,xe7V*）的函數(shù)關(guān)系滿足M（x）=±+20（左為正常數(shù)）.該中藥材的日銷(xiāo)售量N（x）（單位：

千克）與x的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

X4102030

N(x)149155165155

已知第4天該中藥材的日銷(xiāo)售收入為3129元.（日銷(xiāo)售收入=日銷(xiāo)售單價(jià)x日銷(xiāo)售量）

（1）求上的值；

（2）給出以下四種函數(shù)模型：①N（x）=a*+b,@N（x）=a（x-2O）2+b,③N（x）=a|尤-20|+b,④

N（x）=elog/,請(qǐng)你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，幫助這組同學(xué)從中選擇最合適的一種函數(shù)模型來(lái)描述該中藥材的日

銷(xiāo)售量N（x）與x的關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式和日銷(xiāo)售收入/（X）（單位：元）的最小值.

6-2.（2024.四川瀘州.模擬預(yù)測(cè)）2020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大

勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng).該

企業(yè)2021年初有資金150萬(wàn)元，資金的年平均增長(zhǎng)率固定，每三年政府將補(bǔ)貼10萬(wàn)元.若要實(shí)現(xiàn)2024年

初的資金達(dá)到270萬(wàn)元的目標(biāo)，資金的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)為（參考值：<82?1.22,<73?1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

6-3.（2024.廣西?模擬預(yù)測(cè)）異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以哥

函數(shù)形式表示.比如，某類(lèi)動(dòng)物的新陳代謝率）與其體重尤滿足丁=依"，其中左和。為正常數(shù)，該類(lèi)動(dòng)物某

一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則

a為（）

彩他題祕(mì)籍

（四）

已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵

（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn).

題型7:已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

7-L（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：，=（〃-4）1“+，，其中f

為時(shí)間（單位：min）,4為環(huán)境溫度，4為物體初始溫度，。為冷卻后溫度），假設(shè)在室內(nèi)溫度為20。（2的

情況下，一桶咖啡由100C降低到60C需要20min.則k的值為.

7-2.（2024高二下?浙江寧波?學(xué)業(yè)考試）某市對(duì)新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準(zhǔn)備建

造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價(jià)，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬(wàn)元.根據(jù)建筑公司的前期

研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費(fèi)用N（單位：萬(wàn)元）與隔熱層的厚度人（單位：厘米）滿足

關(guān)系："㈤=W10）.經(jīng)測(cè)算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費(fèi)用為10

萬(wàn)元.設(shè)尸伍）為隔熱層的建造費(fèi)用與30年間的能源消耗費(fèi)用的總和，那么使尸伍）達(dá)到最小值的隔熱層的

厚度h=_____厘米.

7-3.（2024?四川宜賓?模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)碳14會(huì)按照確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過(guò)5730

年衰減為原來(lái)的一半，照此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量與死亡時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式

=嬴，（其中照為生物死亡之初體內(nèi)的碳14含量，，為死亡時(shí)間（單位：年），通過(guò)測(cè)定發(fā)現(xiàn)某

古生物遺體中碳14含量為:品，則該生物的死亡時(shí)間大約是年前.

74（2024高一上.福建三明?階段練習(xí)）為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物釋

放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間/（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，y與/的

函數(shù)關(guān)系式為y=（。為常數(shù)）.根據(jù)圖所提供的信息，回答下列問(wèn)題：

|近毫克）

1--1

o\0.1小時(shí)）

（1）從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間/（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為；

（2）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么藥物釋放開(kāi)始，

至少需要經(jīng)過(guò)小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室.

7-5.（2024?江西南昌?二模）網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來(lái)一段時(shí)期內(nèi)，成為商業(yè)的一個(gè)主

要發(fā)展方向.某品牌行車(chē)記錄儀支架銷(xiāo)售公司從2018年1月起開(kāi)展網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷(xiāo)售模

式.根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營(yíng)發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷(xiāo)量x萬(wàn)件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t萬(wàn)元之間滿足函數(shù)關(guān)系式

x=3-2.已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬(wàn)元，產(chǎn)品每1萬(wàn)件進(jìn)貨價(jià)格為32萬(wàn)元，若每件產(chǎn)品的

售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，則該公司最大月利潤(rùn)是一

萬(wàn)元.

76（2024?福建福州三模）某地在20年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長(zhǎng)，G。尸的值P（單位，億元）與時(shí)間f（單位：

年）之間的關(guān)系為P⑺=《（1+10%）',其中4為f=0時(shí)的P值.假定片=2,那么在f=10時(shí)，尸增長(zhǎng)的速

度大約是.（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：11°。2.59,當(dāng)x取很小的正數(shù)時(shí)，ln（l+x）ax

法習(xí)與置升

一、單選題

1.（2024高三上?廣東深圳?期末）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來(lái)的發(fā)展機(jī)遇，開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該

產(chǎn)品每年的固定成本是25萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另投入成本。（x）萬(wàn)元.其中

x2+10x,0<x<40

。（尤）=10000，若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價(jià)為70元，則該企業(yè)每

71X+----------945,%>40

、x

年利潤(rùn)的最大值為（）

A.720萬(wàn)元B.800萬(wàn)元

C.875萬(wàn)元D.900萬(wàn)元

2.（2024?浙江?二模）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長(zhǎng)的水渠，水渠的過(guò)水橫斷面為底角為120。的等腰梯形

（如圖）水渠底面與側(cè)面的修建造價(jià)均為每平方米100元，為了提高水渠的過(guò)水率，要使過(guò)水橫斷面的面

積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬(wàn)元，當(dāng)過(guò)水橫斷面面積最大時(shí)，水果的深度（即梯形的高）約為（）（參考數(shù)

據(jù)：6“732）

A.0.58米B.0.87米C.1.17米D.1.73米

3.（2024高三下.北京?開(kāi)學(xué)考試）某純凈水制造廠在凈化水的過(guò)程中，每增加一次過(guò)濾可使水中雜質(zhì)減少

50%,若要使水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的5%以下，則至少需要過(guò)濾（）

（參考數(shù)據(jù)：1g2?0.3010）

A.2次B.3次C.4次D.5次

4.（2024全國(guó)）2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類(lèi)歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)

取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系.為解

決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點(diǎn)的軌道運(yùn)行.4點(diǎn)是平衡點(diǎn),

位于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)量為M,，月球質(zhì)量為"?，地月距離為R,4點(diǎn)到月球的距離為r，根

據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿足方程：京了+黃=（”+?言?

yQzyQzy4ixy

設(shè)。藍(lán),由于，的值很小，因此在近似計(jì)算中（S"則r的近似值為

A.B.

3M2nD

C.3—ZR-■R

VM

5.（2024?全國(guó)）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開(kāi)通網(wǎng)上銷(xiāo)售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由

于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500

份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過(guò)1600份的概率為0.05,志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，

為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

6.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）水霧噴頭布置的基本原則是：保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭數(shù)量應(yīng)根據(jù)設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度、

保護(hù)面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量4（單位：L/min）計(jì)算公式為q=K師和保護(hù)對(duì)象的水霧噴

頭數(shù)量N計(jì)算公式為N=——計(jì)算確定，其中尸為水霧噴頭的工作壓力（單位：MPa）,K為水霧噴頭的流

q

量系數(shù)（其值由噴頭制造商提供），s為保護(hù)對(duì)象的保護(hù)面積，w為保護(hù)對(duì)象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度（單位：

L/min-m2）.水霧噴頭的布置應(yīng)使水霧直接噴射和完全覆蓋保護(hù)對(duì)象，如不能滿足要求時(shí)應(yīng)增加水霧噴頭的

數(shù)量.當(dāng)水霧噴頭的工作壓力尸為0.35MPa,水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96,保護(hù)對(duì)象的保護(hù)面積S為14m?,

保護(hù)對(duì)象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度W為20L/min.m2時(shí)，保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭的數(shù)量N約為（參考數(shù)據(jù)：7^5?1.87）

（）

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

7.（2024.四川成都.三模）英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.如果

物體的初始溫度是4,環(huán)境溫度是4,則經(jīng)過(guò)fmin物體的溫度。將滿足夕=%+（4-4）丁如，其中％是一個(gè)

隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù).現(xiàn)有90。（2的物體，若放在KTC的空氣中冷卻，經(jīng)過(guò)lOmin物體

的溫度為5（TC,則若使物體的溫度為2（TC,需要冷卻（）

A.17.5minB.25.5minC.30minD.32.5min

8.（2024.福建福州.模擬預(yù)測(cè)）為落實(shí)黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強(qiáng)國(guó)，扎實(shí)推動(dòng)鄉(xiāng)村振興”的目標(biāo)，

銀行擬在鄉(xiāng)村開(kāi)展小額貸款業(yè)務(wù).根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實(shí)際還款比例P關(guān)于貸款人的年收入x（單位：

-0.9680+日

萬(wàn)元）的Logistic,模型：P（x）=］；e?968o+「已知當(dāng)貸款人的年收入為8萬(wàn)元時(shí)，其實(shí)際還款比例為50%.

若銀行希望實(shí)際還款比例為40%,則貸款人的年收入為（）（精確到0.01萬(wàn)元，參考數(shù)據(jù)：In3?1.0986,

ln2?0.6931）

A.4.65萬(wàn)元B.5.63萬(wàn)元C.6.40萬(wàn)元D.10.00萬(wàn)元

9.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）為了貫徹落實(shí)《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)的意見(jiàn)》，某

造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良

工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為2.25g/m3,首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為

2.21g/m3,第幾次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量r?滿足函數(shù)模型

々=“+6-％）SBSikeR,〃eN*）,其中“為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，4為首次改

良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，”為改良工藝的次數(shù)，假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過(guò)

0.25g/n?時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要（）（參考

數(shù)據(jù)：lg2?0.30,lg3?0.48）

A.14次B.15次C.16次D.17次

10.（2024?江西?二模）草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調(diào)節(jié)免疫功能，增強(qiáng)機(jī)體免疫力.草

莓味甘、性涼，有潤(rùn)肺生津，健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的喜愛(ài).根據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到大依

次分為4個(gè)等級(jí)，其等級(jí)x（尤=1,2,3,4）與其對(duì)應(yīng)等級(jí)的市場(chǎng)銷(xiāo)售單價(jià)y（單位：元/千克）近似滿足函數(shù)關(guān)

系式y(tǒng)=e"+L若花同樣的錢(qián)買(mǎi)到的1級(jí)草莓比4級(jí)草莓多1倍，且1級(jí)草莓的市場(chǎng)銷(xiāo)售單價(jià)為24元/千克，貝|3

級(jí)草莓的市場(chǎng)銷(xiāo)售單價(jià)最接近（）（參考數(shù)據(jù)：次。1.26,孤司.59）

A.30.24元/千克B.33.84元/千克C.38.16元/千克D.42.64元/千克

11.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)《居室空氣中甲醛的衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：居室空氣中甲

醛的最高容許濃度為：一類(lèi)建筑0.08mg/m3,二類(lèi)建筑O.lmg/n?.二類(lèi)建筑室內(nèi)甲醛濃度小于等于

O.lmg/n?為安全范圍，已知某學(xué)校教學(xué)樓（二類(lèi)建筑）施工過(guò)程中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風(fēng)環(huán)境

下時(shí)，竣工2周后室內(nèi)甲醛濃度為2.25mg/n?,4周后室內(nèi)甲醛濃度為0.36mg/n?,且室內(nèi)甲醛濃度兇）（單

位：mg/nP）與竣工后保持良好通風(fēng)的時(shí)間（feN*）（單位：周）近似滿足函數(shù)關(guān)系式。⑺=e"+",則該

教學(xué)樓竣工后的甲醛濃度若要達(dá)到安全開(kāi)放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要放置的時(shí)間為（）

A.5周B.6周C.7周D.8周

12.（2024?山西朔州?模擬預(yù)測(cè)）為研究每平方米平均建筑費(fèi)用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開(kāi)發(fā)商收集了一棟住宅

樓在建筑過(guò)程中，建筑費(fèi)用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)尤與每平米平均建筑成本y（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)整理

成如圖所示的散點(diǎn)圖：

I每平米平均建筑成本/萬(wàn)元

20-

15-

10-.

5-,

01020*3040樓層數(shù)/層

則下面四個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為每平米平均建筑費(fèi)用y和樓層數(shù)x的回歸方程類(lèi)型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+btx

b2

C.y=a+—D.y=a+b1x

x

13.（2024?全國(guó)）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小

數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V滿足乙=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五

分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（啊。1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

14.（2024高二?全國(guó)?課后作業(yè)）某公司在甲、乙兩地銷(xiāo)售一種品牌車(chē)，利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）分別為L(zhǎng)i=5.06x

—0.15尤2和L2=2X,其中x為銷(xiāo)售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷(xiāo)售15輛車(chē)，則能獲得的最大利潤(rùn)

為

A.45.606B.45.6C.45.56D.45.51

15.（2024高三上.北京東城?開(kāi)學(xué)考試）教室通風(fēng)的目的是通過(guò)空氣的流動(dòng)，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微

生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣.按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化

碳最高容許濃度為0.15%.經(jīng)測(cè)定，剛下課時(shí)，空氣中含有0.25%的二氧化碳，若開(kāi)窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化

碳的濃度為了%,且y隨時(shí)間/（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)了=0.05+加得（2eR）描述，則該教室

內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)需要的時(shí)間r（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（）

（參考數(shù)據(jù)In2aO.693,ln321.098）

A.5B.7C.9D.10

16.（2024.四川）某食品的保鮮時(shí)間義單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度耳（單位：。0滿足函數(shù)關(guān)系〉=產(chǎn)〃（6=2.718.

為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，匕》為常數(shù)）.若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，

則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是

A.16小時(shí)B.20小時(shí)C.24小時(shí)D.21小時(shí)

17.（2024?四川成都.模擬預(yù)測(cè)）某程序研發(fā)員開(kāi)發(fā)的小程序在發(fā)布時(shí)已有1000名初始用戶，經(jīng)過(guò)t天后,

用戶人數(shù)。（r）ame“，其中左和，"均為常數(shù).已知小程序發(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有4000名用戶，則用戶超過(guò)2

萬(wàn)名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（）（天數(shù)按整數(shù)算，取lg2=0.30）.

A.20B.21C.22D.23

18.（2024?海南省直轄縣級(jí)單位?模擬預(yù)測(cè)）英光定量尸CR是一種通過(guò)化學(xué)物質(zhì)的英光信號(hào)，對(duì)在PCR擴(kuò)增

進(jìn)程中成指數(shù)級(jí)增加的靶標(biāo)DNA進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的方法.在PCR擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，熒光信號(hào)強(qiáng)度達(dá)到閥值時(shí)，

0M4的數(shù)量X與擴(kuò)增次數(shù)〃滿足lgX“="lg（l+p）+lgX0,其中X。為。乂4的初始數(shù)量，。為擴(kuò)增效率.已知

某被測(cè)標(biāo)本OVA擴(kuò)增6次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的100倍，則擴(kuò)增效率P約為（）（參考數(shù)據(jù)：

￡

10J2.1543?1.778）

A.56.2%B.77.8%C.115.4%D.118.4%

19.（2024.湖南）某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長(zhǎng)率為P,第二年的增長(zhǎng)率為心則該市這兩

年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為

Ap+q口（p+D（q+i）T

22

C.y[pqD.J（p+l）（q+l）―l

20.（2024高一上.青海西寧?期末）為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過(guò)程中都需要對(duì)文件

加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)（PrivateKeyCryptosystem）,其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文一密文（加]

密）,接收方由密文一明文.現(xiàn)在加密密鑰為y=kx\如“4”通過(guò)加密后得到密文“2”,若接受方接到密文“工”,

256

則解密后得到的明文是（）

A.-B.—C.2D.-

248

21.（2024高一上.全國(guó)?課后作業(yè)）在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).現(xiàn)準(zhǔn)備

用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（）

X1.953.003.945.106.12

y0.971.591.982.352.61

22.（2024高一?全國(guó)?課后作業(yè)）四人賽跑，假設(shè)其跑過(guò)的路程和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系分別是工（力=/，力（x）=4x,

^（x）=log3x,力（尤）=2，，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系是（）

A.工（x）=尤-B.力（x）=4xC.f3（x）=\og3xD.￡（%）=2工

二、多選題

23.（2024?遼寧大連?三模）甲乙兩隊(duì)進(jìn)行比賽，若雙方實(shí)力隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型:

（e'+e-^E值（ex-e-J!）X

y⑺=1—一？-Jy-10其中正實(shí)數(shù)X。,不分別為甲、乙兩方初始實(shí)力，1為比賽時(shí)間；

2Vb2

x=\[abt

x（t）,y（。分別為甲、乙兩方r時(shí)刻的實(shí)力；正實(shí)數(shù)a,b分別為甲對(duì)乙、乙對(duì)甲的比賽效果系數(shù).規(guī)定當(dāng)甲、乙兩

方任何一方實(shí)力為。時(shí)比賽結(jié)束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為T(mén).則下列結(jié)論正確的是（）

A.若X°＞乂且。=6,則x（f）＞y（0gWT）

B.若X（）＞%且a=6,貝！|T=，ln

a

Xb

C.若”n＞一,則甲比賽勝利

%a

24.（2024高一上?山東德州?階段練習(xí)）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的圖象,

假設(shè)其函數(shù)關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，現(xiàn)給出下列說(shuō)法，其中正確的說(shuō)法有（）

[面積（m?）

3

0

1

1234時(shí)間（月）

A.野生水葫蘆的面積每月增長(zhǎng)量相等

B.野生水葫蘆從9m2蔓延到36mz歷時(shí)超過(guò)1個(gè)月

C.設(shè)野生水葫蘆蔓延到9m2,20m2,40m之所需的時(shí)間分別為1,t2,t3,貝|有4+/3＜2與

D.野生水葫蘆在第1個(gè)月到第3個(gè)月之間蔓延的平均速度等于在第2個(gè)月到第4個(gè)月之間蔓延的平均

速度

25.（2024高一上?山東德州?期末）牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度

是為（單位：。C）,環(huán)境溫度是q（單位：℃）,其中4＞4、則經(jīng)過(guò)f分鐘后物體的溫度e將滿足

e="f）=a+（%-a）.e*（左eR且左＞0）.現(xiàn)有一杯100C的熱紅茶置于10C的房間里，根據(jù)這一模型研究

紅茶冷卻情況，下列結(jié)論正確的是（）（參考數(shù)值

A.若/（3）=40C,則/⑹=20C

B.若發(fā)=木，則紅茶下降到55c所需時(shí)間大約為6分鐘

C.5分鐘后物體的溫度是4（TC,%約為0.22

D.紅茶溫度從80c下降到60c所需的時(shí)間比從60c下降到4（TC所需的時(shí)間多

26.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）某地下車(chē)庫(kù)在排氣扇發(fā)生故障的情況下測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀

態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測(cè)得車(chē)庫(kù)內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm,繼續(xù)排氣4分鐘后又測(cè)

得濃度為32ppm.由檢驗(yàn)知該地下車(chē)庫(kù)一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時(shí)間/（單位：分）之間滿足函

數(shù)關(guān)系y=f⑺,其中嘿=R（R為常數(shù)）.若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm,人就可以安全進(jìn)入車(chē)

庫(kù)了，則下列說(shuō)法正確的是（）

1

A-R=e^

B.尺3

4

C.排氣12分鐘后，人可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)

D.排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)

27.（2024.全國(guó)）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)L.=20xlgj,

其中常數(shù)為（為＞0）是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，。是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí)：

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車(chē)1060?90

混合動(dòng)力汽車(chē)105060

電動(dòng)汽車(chē)1040

已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為P”P(pán)2，P3,則（）.

A.P\NP?B.p2>10p3

C.P3=10°PoD.Pi<100/J2

三、填空題

28.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）隨時(shí)間x（小時(shí)）變

5420<x<l

化的規(guī)律近似滿足表達(dá)式/（x）=3門(mén)丫《酒后駕車(chē)與醉酒駕車(chē)的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)處罰》規(guī)定：駕駛

[5⑴

員血液中酒精含量不得超過(guò)0.02毫克/毫升此駕駛員至少要過(guò)小時(shí)后才能開(kāi)車(chē).（精確到1小時(shí)）

29.（2024?浙江）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問(wèn)題：“今有雞翁一，值錢(qián)五；雞母一，值

錢(qián)三；雞雛三，值錢(qián)一，凡百錢(qián)，買(mǎi)雞百只，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為x,

x+y+z=100,

z,則

30.（2024.北京朝陽(yáng).一模）某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的變化

x(1)=Xocosh

遵循蘭徹斯特模型：,其中正實(shí)數(shù)X。，匕分別為紅、藍(lán)兩方初始

y⑺=4cosh—Xasinh

兵力，/為戰(zhàn)斗時(shí)間；x?）,y（f）分別為紅、藍(lán)兩方f時(shí)刻的兵力;正實(shí)數(shù)a,b分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)方對(duì)

紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；coshx=W二和sinh*：—?二分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù).規(guī)定當(dāng)紅、藍(lán)

兩方任何一方兵力為。時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為■給出下列四個(gè)

結(jié)論：

①若x°>4且a=則M/）>y?）（owT）；

②若X。〉為且則T=—In4

…4X。b

③若”>一，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；

Yoa

④若學(xué)〉口，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利.

Yo\a

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

31.（2024高二上.廣東深圳?期末）我們可以用下面的方法在線段上構(gòu)造出一個(gè)特殊的點(diǎn)集：如圖，取一條

長(zhǎng)度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段

分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過(guò)"次這樣的操作后，去掉的

所有線段的長(zhǎng)度總和大于荒，則〃的最小值為.（參考數(shù)據(jù)：lg2“0.301,lg3。0.477）

----------第1次操作

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