廣東省2024-2025學(xué)年高二年級上冊10月月考 數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024學(xué)年第一學(xué)期高二第一次月考

數(shù)學(xué)

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

一F+一F

1.已知單位向量6滿足I），則。與6的夾角為（）

22紅區(qū)

A.6B.3C.3D.6

【答案】C

【解析】

（2a-\-b\b=0

【分析】由向量垂直可得＜7,結(jié)合已知條件和向量的數(shù)量積的定義可求出夾角的余弦值，從

而可求出向量的夾角.

一r同=|目=1（2a+b\s_bCla+b\b-0

解：因為。，人是單位向量，所以??門，因為＜），所以＜），

即2a?1+廬=2同WCOS（Q?+網(wǎng)=2cos+l=0則=一/

2?

因為&與5的夾角范圍為[0，％],所以萬與5的夾角為3.

故選:C.

2.某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，則

這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（）

j_j_j_2

A.6B.3C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識即可得解.

依題意，從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有C：=6件，

其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有=4,

4_2

所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為％3.

故選：D.

3.已知事件/與8互斥，且(),(),則()

尸(45)=02P(A<JB)=0.9P(A^=0,5)=0.6

?Z~V.LJ.v_z?JL/.

【答案】B

【解析】

【分析】由事件互斥及概率的性質(zhì)判斷各項的正誤即可.

由事件/與5互斥，則(),(U)()(),A車昔，B對；

由咐=1一….6,尸⑻=1一尸(5)=0.5,故2錯.

故選：B

A」,AB=2—

4.在△/8C中，3,且a/BC的面積為2,則邊NC的長為()

A.1BYC.2D.◎

【答案】A

【解析】

【分析】由三角形的面積公式求解即可.

—5=-^-^C-sin60°=—^C=—

因為△Z5C的面積為2,所以222,

所以"=1.

故選：A.

5.設(shè)&、,為兩個平面，加、"為兩條直線，且aC，=掰.下述四個命題：

①若根〃〃，則〃〃a或“"A②若掰，〃，則〃，a或〃工4

③若〃//a且〃"尸，則加〃〃④若〃與a,尸所成的角相等，則加工〃

其中所有真命題的編號是。

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.

對①，當(dāng)〃<=a,因為加〃〃，mu0,則〃//，，

當(dāng)nu0,因為加〃〃，mua,則〃//a,

當(dāng)〃既不在a也不在廠內(nèi)，因為加〃〃，mua,mu°,則〃//a且〃//分，故①正確；

對②，若加工〃，則〃與鬼，不一定垂直，故②錯誤；

對③，過直線n分別作兩平面與火，分別相交于直線和直線，

因為過直線〃的平面與平面1的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知〃“s,

同理可得〃/〃，則$/〃，因為s<Z平面尸，/u平面a，則s//平面4，

因為s<=平面a,=貝”//機，又因為〃//s,則加〃“，故③正確；

\a\

對④，若=〃與a和6所成的角相等，如果〃//%〃///,則機〃〃，故④錯誤;

綜上只有①③正確，

故選：A.

6.給出下列命題：

①空間向量就是空間中的一條有向線段；

②在正方體ABCD-中，必有"°=4G；

③"??是向量a=6的必要不充分條件；

④若空間向量外〃，?滿足玩〃心力〃萬，則玩〃萬.

其中正確的命題的個數(shù)是（）.

A.1B.2C.3D.0

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念逐項判斷.

有向線段起點和終點是固定的，而空間向量是可以平移的，故①錯誤；

正和4cl大小一樣、方向相同，則'c=40,故②正確；

若忖=忖，則z和3的模相等，方向不一定相同，若￡=B,則Z和B的模相等，方向也相同，所以

\a\-Iftl-7

111?是向量a=6的必要不充分條件，故③正確；

向量的平行不具有傳遞性，比如當(dāng)〃為零向量時，零向量與任何向量都平行，則九夕不一定平行，故④錯

誤.

綜上所述，②③正確.

故選：B.

71

7.如圖，在平行六面體.8-4用。自中，A4=AD=AB=2-B4D=3,

NB4Al=AAXAD

3,則ADt

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量加法的運算性質(zhì)，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和定義進行求解即可.

~ABX-ADX=(AB+AA^(AD+AA^=^B+-^AX+AD-AAX+AA^

2

=>AB1-AD{=0+2x2x—F2x2x—i-2=8,

故選：B

8.一個電路如圖所示，A,B,C,D,E,尸為6個開關(guān)，其閉合的概率都是2,且是否閉合是相互獨立的,

則燈亮的概率是()

551

A.64B.64

19_

C.8D.64

【答案】A

【解析】

設(shè)閉合”為事件G,“〃閉合”為事件H“4與8中至少有一個不閉合”為事件7,“￡與戶中至少有一

￡j_j_2

個不閉合”為事件兄則尸（?=尸㈤=萬，A7）=7,W=1-2X2=4,所以燈亮的概率片1—尸（力

55

戶（而產(chǎn)（小）尸（后）=64.

故選A

二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有

多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）

9.已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）

1+i

z------

A.若復(fù)數(shù)Ji,則？3°=_1

B.若復(fù)數(shù)z滿足|z-lHz-i|,則復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點到實軸的距離等于到虛軸的距離

C.若（*一1）+（"+%+2>是純虛數(shù)，則實數(shù)》=±1

D.復(fù)數(shù)z=2-i的虛部為-i

【答案】AB

【解析】

【分析】對A,根據(jù)復(fù)數(shù)的運算即可求解；對B,由復(fù)數(shù)的模的公式化簡求出z對應(yīng)的點到實軸的距離等

于到虛軸的距離即可判斷，對C,根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程即可求解；對D,由虛部概念即可判斷.

1+i（1+i）2

??z-........二—------------------二1

解：對于A：I八,

?°=i3°=i2*2*7+2=（_i>7+2=產(chǎn)2口9=j2=7

、7，故A正確；

對于B：設(shè)2=、+皿》，"可，代入HHz-i|,

得=M+（yT?

1寸?，

整理得：y=x,

即復(fù)平面內(nèi)Z對應(yīng)的點在直線歹二x上，

故復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點到實軸的距離等于到虛軸的距離，故B正確;

j十—1）++3x+2、

對于C：I/X）是純虛數(shù)，

x2-1=0,

<

貝I」"2+3'+20°,解得：x=l,故c錯誤；

對于D：復(fù)數(shù)z=2-i的虛部為-1,故D錯誤.

故選：AB.

13

/D尸（"）二一P（B）=—p（A

10.已知48為兩個事件，2,4,則的值可能為()

J_35

A.6B.16C.8D.8

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)事件概率的相關(guān)公式進行轉(zhuǎn)化求解不等式即可.

尸⑻4

因為52

3

-<P(AuB^<l

所以4

135

所以尸尸（2）+尸（8）—尸（N8）=5+Z—P（Z5）=a—尸（力5）

75

-<——P(AB)<1

即44-

解得42

故選：BC

11.如圖，在正方體“BCD—4B1G2中，E、E分別是“4、8G的中點.下列結(jié)論正確的是（）

A.防與8片垂直B.瓦與平面"(28]

C.防與G0所成的角為45。D.EF//平面4AG2

【答案】ABD

【解析】

【分析】連接運用中位線定理推出瓦7〃4。],結(jié)合線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理，分析

判斷可得A、B、D正確；再由異面直線所成的角的概念判斷可得C.

對A：連接4s,4G,則//交叫于￡,又尸為g中點,

可得4c1,由，平面MAGS,4c1u平面481Gz>i,

可得8s4G,故B[B]EF,故人正確;

對B：連接*1,EF//4G,由正方體性質(zhì)可知4C11平面,

可得EF1平面BDDE故B正確；

對C：E廠與所成角就是/4G。，連接4°,

由正方體性質(zhì)可知4cl=C'D=A'D,即△40°為等邊三角形，

故/400=45。，即.與G°所成的角為45。，故C錯誤；

對D：由E"〃4G,EE<Z平面481Gn,4c1U平面,

故斯//平面481Go1,故D正確.

故選：ABD.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直

角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵'8C—44cl中，W,N分別是4G,的中點，G是跖V的中點，

若4G=++zAC則x+y+2=

3

【答案】2

【解析】

AG=-（AN+AM）

【分析】由G是"N的中點，可得2，再由向量的線性運算可得

—■1—■3—?1—-

AG=-AB+-AAl+-AC

244，即可得答案.

解：連接如圖所示：

C,

因為G是M/V的中點，/，N分別是4G,的中點,

AG=-（AN+AM）

所以2

1—?—?—?——?

=3（4B+BN+AAT+A]M）

1—?1—?—?1——?

二5（曲產(chǎn)+/4+54G）

=^(AB+^AAl+AAl+^AC)

=|(A8+|14+|ZC)

1—.3—?1—-

=-AB+-AA.+-AC

2414

又因為ZG=xAB+yAAx+zAC

131

x=-,y=-,z=~

所以244

3

x+y+z=—

所以2

3

故答案為：2

13.從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽到的第一張卡片

上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為.

3

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)和所求事件包含的基本事件的個數(shù)，結(jié)合古典概型的

概率計算公式，即可求解.

由從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，

基本事件的總數(shù)為N=5義5=25個，

則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件為：

(1,1),(2,2),(2,1),(3,3),(3,2),(3,1),(4,4),(4,3),(3,2),(4,1),(5,5),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1)

共有15個，

尸

所以抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為255.

3

故答案為：5.

14.和兩條異面直線都垂直的直線叫做兩條異面直線的公垂線，而兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間

的部分叫做這兩條異面直線的公垂線段.正方體48C。-48'C'?！校惷嬷本€44'和8C的公垂線段

是；三棱錐尸一N8C的棱長都為1,則異面直線R4和8c的公垂線段的長度是

顯

【答案】①.AB②.2

【解析】

【分析】根據(jù)公垂線段的概念即可判斷；構(gòu)造正方體，將公垂線段的長度轉(zhuǎn)化為正方體的棱長，即可求解;

解：在正方體NBC?！狧B'C'D中，28'//于點A,于點8,

所以異面直線44'和的公垂線段是4s；

如圖在正方體E8DC一尸肱4尸中取點尸，A,B,C,

可知PA=PB=PC=AB=BC=CA,

也

設(shè)尸2=1,可知正方體EBOC-PKNE的棱長為2.

取R4中點O',5c中點°,連接°'。,易知點。為的中點,

由正方體的性質(zhì)可知四邊形PADE為平行四邊形，

所以。0//尸￡且0'0=尸￡.

由正方體性質(zhì)可知W平面EBDC,,平面PMAF,

所以

所以O(shè)'OLPNO'OLBC,

所以0'°為異面直線P4和BC的公垂線段.

V2

所以異面直線尸/和5c的公垂線段的長度為2

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟）

15.如圖，在平行六面體”88-45cA中，AB=5,AD=3,ZDAB=90°,

ABAAX=ZDAAX=60°E是CC】的中點，設(shè)益=￡,AD=B,44]=c.

（1）求ZE的長；

（2）求異面直線NE和5c夾角的余弦值.

【答案】⑴3底

（2）9.

【解析】

【分析】（1）在平行六面體中，由棱長及夾角，由和向量運算可得

2E=2S+5C+CE=2B+5C+-CC；

2,平方可得

-----?2?2*21?2*?????

AE=AB+BC+-CQ+2ABBC+ABCC.+BCCQ

4,求出數(shù)量積，可得NE的大小;

（2）由（1）可得c°sNE,8c的值，進而求出異面直線ZE和5c夾角的余弦值.

【小問1詳解】

在平行六面體"CO-A1B1C1D1中，

因為N8=5,AD=3,44=4,ZDAB=90°,NB44=NDA4=60。,6是CQ的中點,

AE=AB+BC+CE=AB+BC+-CC

21

---2---1----21-------*2-----?------?-----?-------?------?-------?

AE=AB+BC+-CQ+2AB-BC+AB-CQ+BC-CQ

所以4,

-----?2------?2------k2------>-2-----*2

由題意=25,BC=AD=9,CG=AA,=4,

冠灰=網(wǎng).■卜os（180。-90。）=0^5-Cq=|^8|-|CG|cos60o=5x4x1=10

5C-CG=|5c|-|cC；|cos60o=3x4xl=6

2，

——-21

AE=25+9+—xl6+0+10+6=54

所以4,

ZE=|近=3幾

所以??；

【小問2詳解】

AE-5C=（A8+5C+CE^5C=2g-5C+5C2+i5C-Cq=0+9+-x6=12

22,

|1E|=3V6|5C|=3

方—_AEBC_12_2r-

cosAE9BC=.i^=q~——-：=———v6

時"3V6x39

所以I門I

修。譚

設(shè)異面直線ZE和3c夾角為e,則l2」，

cos，=|cosZE,8d=2指

所以?I9.

所以異面直線ZE和3c夾角的余弦值為9.

16.一汽車廠生產(chǎn)48C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛):

轎車/轎車8轎車c

舒適型100150Z

標(biāo)準(zhǔn)型300450600

按類型分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.

(1)求z的值.

(2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本.將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求

至少有1輛舒適型轎車的概率；

(3)用隨機抽樣的方法從3類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下:9.4,8.6,92,9.6,8.7,

9.3,9.0,82把這8輛轎車的得分看作一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超

過0.5的概率.

7

【答案】(1)400(2)10(3)075

【解析】

【分析】(1)由分層抽樣按比例運算即可得解；

(2)先求出基本事件的個數(shù)，再由古典概型的概率公式求解即可；

(3)先求出平均數(shù)，再求概率即可.

解：(1)設(shè)該廠這個月共生產(chǎn)轎車〃輛，

50_10

由題意可得〃100+300,即“=2000,

則z=2000-(100+300)-150-450-600=400.

(2)抽取一個容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用4，4表示2輛舒適型轎車，

與，々，片表示3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，

則在該樣本中任取2輛的基本事件為{1^2},{11},{12},{1'},{"^2'1},{2，2},

{4，四},但也},{4W},{與心}共10個，

事件E為{4,4},{4由},{4，與},{4,&},{4，片},{4，為},{4,員}共7個，

7

0(E)F

故1°；

-1

X=_(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9

(3)由題意可得8,

則滿足該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的有948.6,9.2,8.7,9.3,9.0共6個，

6

故所求概率為月，即675.

【點睛】本題考查了分層抽樣及平均數(shù)的求法，重點考查了古典概型概率公式，屬中檔題.

17.如圖，在四面體N8OC中，0C10A^0C10B^ZA0B=120,且O/=O5=OC=1,設(shè)尸為

么。的中點.

C

(1)求異面直線與BP所成角的余弦值；

AQ

(2)線段48上是否存在一點Q,滿足尸Q'。4,若存在，確定4B的值；若不存在，請說明理由.

V2

【答案】⑴2

1

(2)存在，3

【解析】

【分析】(1)建系，通過異面直線方向向量的夾角公式即可求解；

(2)根據(jù)線線垂直可證明,平面°NC,即可得WNC,即可根據(jù)尸°,04判斷點。為NN的

中點，利用三角形的邊角關(guān)系即可求解比例.

【小問1詳解】

取°為坐標(biāo)原點，以。4,℃所在的直線為了軸，z軸，在平面048內(nèi)作ON,。4,交4g于點N,為

軸，建立空間直角坐標(biāo)系。一斗（如圖所示）.

「I巧、

^（l,0,0）,C（0,0,1）,5--,^,0

則122）

?.?尸為ZC中點，（22）

_一,八

vO^=（l,0,0）,5P=1,-^-,-

設(shè)異面直線幺°與RP所成角為e,

八I——IOABP1V2

cos0—cosGA,BP\=?"?“=------j=——

11|叫叫l(wèi)xV22

V|

所以異面直線與AP所成角的余弦值2

【小問2詳解】

如圖所示，在平面04S內(nèi)作WCU,交48于點N,連接NC.

..OA1OC,ONnoC=O,OC,ONu平面ONC,平面ONC

...NCu平面ONC,...0A工NC.

取。為/N的中點，則PQ//NC,...WCM,得證.

在等腰△Z08中，ZAOB=UO°y..ZOAB=ZOBA=30\

ON=-AN=AQ

在RtDnAON中,ZOAN=3Q°,...2.

在ACW中，ZNOB=120°-90°=30°=ZNBO,:_NB=ONAQ=QN

AQ=l

因此AB3.

18.如圖，長為1的正方體“BCD—4瓦。］。1中，E,R分別為8。的中點，G在棱。上，且

CG=-CD

4,"為CQ的中點.

（2）求FH的長.

（3）求E5與GG所成角的余弦值；

V41叵

【答案】（1）證明見解析；（2）8.（3）17.

【解析】

【分析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，證明斯?qCnO即可;

（2）求出前的坐標(biāo)，由模長公式求模長即可求解；

（3）求出而和℃的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式即可求解.

（1）以0為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一切z,

c(0,1,0),4(1,1,1),G(O,1,1),G。，訓(xùn)，《0，―

則I2-

EF=~9~5~

^C=(-l,0,-l)

因為222，，

EF-^C=1x(-l)+1xO+-1x(-l)=0

所以

所以￡…C即瓦"C

JH=

(2)

FH=

所以

V41

所以我的長為8.

⑶由⑴知麗Id,玩="：，-】

02+

設(shè)E5與GG所成角e,則

一_3

a_EF-Cfi_i_V51

COS6=I=--j=-r=^—--------

即V3xyi717

底

故E廠與QG所成角的余弦值為17.

19.第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日舉辦，本屆亞運會共設(shè)40個競賽大項.其中首次增

設(shè)了電子競技項目.與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞.傳

統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊伍只有失敗了兩場才會

淘汰出局，因此更有容錯率.假設(shè)最終進入到半決賽有四支隊伍，淘汰賽制下會將他們四支隊伍兩兩分組

進行比賽，勝者進入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍.雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進入到勝者

組，敗者進入到敗者組，勝者組兩個隊伍對決的勝者將進入到總決賽，敗者進入到敗者組.之前進入到敗

者組的兩個隊伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進入總決賽，最后總決

賽的勝者即為冠軍，雙敗賽制下會發(fā)現(xiàn)一個有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽即總決賽就

無法拿到冠軍，但是其它的隊伍卻有一次失敗的機會，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因此

很多人戲謔這個賽制對強者不公平，是否真的如此呢？

136

雙敗賽制流程圖

這里我們簡單研究一下兩個賽制，假設(shè)四支隊伍分別為N