廣東省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三年級上冊第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

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廣東省2025屆普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，考試用時120分鐘，滿分150分。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己所在的市(縣、區(qū))、學(xué)校、班級、姓名、考

場號和座位號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在每張答題卡左上角“條

形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目

選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答

案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各

題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫

上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.ax>2n是“/>2%”的

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.若雙曲線C：<-￡=l(a>0,b>0)滿足a=26,則C的離心率為

A.yB.5C.*D.亳

3.設(shè)全集U=MUN=|1,2,3,4|,N=|1,2(,則MnC“N=

A.|3,4|B.|3(C.|4|D.0

4.已知四棱錐PJBCZ)的體積為4,底面/LBCD是邊長為市的正方形，PB=3,則直線

PB與平面ABCD所成角的正弦值為

A-—3R從—3c—3D—3

5.設(shè)a,b,c分別為函數(shù)/(%)=工及'-1,g(x)=xlgx-l,%⑷=%e*-1的零點(diǎn)，則

a,b,c的大小關(guān)系為

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)

6.已知向量同=2說，同=(3,-百)，AD=(1,#),則四邊形ABC0的面積為

373

B.3#C.3#D.誣

網(wǎng)-割=1，/倩)=。，且

7.已知函數(shù)7(%)=cos(。/+w)(s＞。

/?(%)在區(qū)間(點(diǎn)，符)上單調(diào)，則”的最大值為

A2B垓

A，2

8.一個正八面體的八個面分別標(biāo)有數(shù)字1到8,任意拋擲一次這個正八面體，觀察它

與地面接觸的面上的數(shù)字.事件4=|2,4,6,8),事件8={5,6,7,8|,若

事件C滿足尸(ABC)=P(4)PGB)P(C),P(BC)KP(3)P(C),則滿足條件的事件

C的個數(shù)為

A.4B.8C.16D.24

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=2,則

A.z可以是-l+新B.若z為純虛數(shù)，貝IJz的虛部是2

C.zz=4D.|z+11nli”

已知等差數(shù)列的前兀項和為a=l,則

10.|an|s“，K4SS-5S4=20,6

A.a,=-11

B.S9=-9

C.當(dāng)口=5時，Sn取得最小值

D.記6“=%,則數(shù)列也|前兀項和為2*-9n

11.已知函數(shù)/(%)=|工-1|+I*-aI+ln4(a>0),貝!]

A.當(dāng)a=l時，/(?)在(0,1)上的最大值為1-In2

B./(%)在(1,+00)上單調(diào)遞增

C.當(dāng)"〉a時，f(x)>0

D.當(dāng)且僅當(dāng)ae(ln2,1)時，曲線y=/(工)與工軸有三個交點(diǎn)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題第一空2分，第二空3分

12.在△48C中，zCA=y,BC=B,AB=1,則4C=.

13.若函數(shù)/(%)=，+夫的圖象與直線y=a有兩個交點(diǎn)，則a的最小值為

X+1

數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)

14.已知點(diǎn)F為橢圓E：《+馬=1的右焦點(diǎn)，直線Z與橢圓相交于43兩點(diǎn)，且與

乙b

圓。：/+/=*在y軸右側(cè)相切.若Z經(jīng)過點(diǎn)尸且垂直于4軸，則|48|=

；若，沒有經(jīng)過點(diǎn)尸，則△4BF的周長為.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

某市舉辦一年一度的風(fēng)箏節(jié)，吸引大批游客前來觀賞.為了解交通狀況，有關(guān)部

門隨機(jī)抽取了200位游客，對其出行方式進(jìn)行了問卷調(diào)查(每位游客只填寫一種

出行方式)，具體情況如下：

出行方式地鐵公交車出租車自駕騎行步行

頻數(shù)542738421821

用上表樣本的頻率估計概率，低碳出行方式包括地鐵、公交車、騎行和步行.

(1)若從參加活動的所有游客中隨機(jī)抽取3人，這3人中低碳出行的人數(shù)記為X,

求P(X=2)和磯X)；

(2)據(jù)另一項調(diào)查顯示，80%的低碳出行的游客表示明年將繼續(xù)參加活動，60%

的非低碳出行的游客表示明年將繼續(xù)參加活動，求今年參加活動的游客明年繼續(xù)

參加活動的概率.

16.(15分)

已知函數(shù)/(%)=e1-1-%lnx.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(l,f(D)處的切線方程;

(2)證明：/(?)>0.

17.(15分)

如圖，四棱錐的底面4BCD是邊長為2菱形，乙ADC=60。，E,F分別是

AB,P0的中點(diǎn).

(1)求證；EF〃平面PBC；

(2)若PC1AB,PC=?,PB=2,求平面P4O

與平面尸所成角的余弦值.

數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)

18.(17分)

在數(shù)列U?l中，臼=1,V八N”都有％一。如，a2P成等差數(shù)列，且公差為

2k.

(1)求a?,,a4,a5i

(2)求數(shù)列|明|的通項公式；

(3)是否存在肛使得VLwN',a2k+x,a2k+l+x,/+2+工成等比數(shù)列.若存

在，求出工的值；若不存在，說明理由.

19.(17分)

已知集合時={4，02,…，0?],neN*,設(shè)函數(shù)￡(%)=sin2(x-d)+sin2(x-

2

02)+??,+sin(?-0n).

(1)當(dāng)用={。，的和借，3}時，分別判斷函數(shù)力⑷是否是常數(shù)函數(shù)？說明

理由；

(2)已知=碧，fceN,^12},求函數(shù)為(8)是常數(shù)函數(shù)的概率；

(3)寫出函數(shù)，(工)5N2)是常數(shù)函數(shù)的一個充分條件，并說明理由.

數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)

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廣東省2025屆普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

題號91011

選項ACBCDABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題第一空2分，第二空

3分.

12.?13.314.7?2^2

O

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

【解析】(1)記“低碳出行”為事件4估計產(chǎn)⑷=1-牛祟力……2分

則X制3,1■卜....................................................3分

P(X=2)=C；x信『x侍、涔...................................5分

1Q

E(X)=np=3=亍...............................................7分

(2)由⑴知P(4)q,則有P(3)=〃，記“今年參加活動的游客明年繼續(xù)

參加活動”為事件凡

由題意P(m4)=今,尸(川彳)=亳，...................................9分

所以P(8)=P(4)P(8|4)+P(彳)玖川彳)=^x*+春x京=黑......13分

JJJJD

數(shù)學(xué)參考答案第1頁(共6頁)

16.(15分)

【解析】⑴/(I)=e-Jln1=1,..................................2分

/'(工)=e--(lnx+1),貝雅=，(1)=0,..........................5分

曲線y=/(z)在點(diǎn)處的切線方程為y=l...................6分

(2)解法1：定義域?yàn)?0,+00).................................7分

①當(dāng)0<%<1時，ex-1>e_1,xlnx<0,貝!|>%lnx,即f(“)>0;.....8分

②當(dāng)x^l時，f(x)=ex"1-(Inx+1)=ex-1-Inx-1.

設(shè)g(R)=f'G),g'(*)=e--Lg'(x)在［1,+oo)上單調(diào)遞增，g'(l)=0,

X

所以g'(*)vo,...............................................n分

所以gG)在［1,+00)上單調(diào)遞增，g(i)=0,g⑷>0,即,⑷穿0,…14分

所以所以在［1,+00)上單調(diào)遞增，/(I)=1,則e'TrlnQl,.....16分

綜上所述，/(x)>0............................................17分

解法2：定義域?yàn)?0,+00)............................................................7分

要證要的>0,只需證e'T>dnw,只需證史:>近，..................10分

XX

令/t(x)=亍，g(*)=￥，

L，/\工ez-'(x-2)

h⑷=----------/-----------=-P'

當(dāng)工w(0,2),"(x)<0,乂工)單調(diào)遞減；當(dāng)*w(2,+oo),h'(x)>0,h(x)單

調(diào)遞增，

e2Te

h(x)^h(2)=-^-=—,.......................................12分

—?x-Inx..

，/、x1-Inx

g(4)=-—二^—，

當(dāng)4w(0,e),gf(x)>0,g⑷單調(diào)遞增;當(dāng)*w(e,+oo),g\x)<0,g(%)單

調(diào)遞減，

?二g(%)/g(e):見兄工...........................................14分

ee

綜上所述，齊A*1?三g(x),也就是二■，丘，即/(H)>0......15分

4exx

17.(15分)

【解析】(1)取PC的中點(diǎn)為G,連接FG,BG.

???點(diǎn)尸，G分別是PO,PC的中點(diǎn)，

數(shù)學(xué)參考答案第2頁（共6頁）

FG是的中位線，即尸G〃CO,FG=^-CD,

在菱形ABCD中，BE//CD,BE=yCD.

AFG//BE,FG=BE,即四邊形尸GBE為平行四邊形,則E/〃BG,..............3分

又BCU平面PBC,EFg平面PBC,

/.E尸〃平面PBC................................................................................................5分

(2)連接PE,CE,

"AB1PC,AB1CE,PCr\CE=C,PCU平面PCE,CEU平面PCE,

.?.48，平面PCE,...............................................................................................6分

又PEU平面PCE,

.-.AB1PE,..........................................................................................................7分

:.PE=VPB2-BE2=y/3,

又CE=有，貝]IPC2=PE2+CE2=6,所以PEICE.................................8分

即直線48,CE,PE兩兩垂直.

如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則

尸(0,0,3),4(0,-1,0),B(0,1,0),C(A,0,0),D?-2,0).

..........................................................................................................................9分

司=(0,-1,-百),詞=(0,1,-#),PC=(#,0,-百)，而=(右，-2,

-A)...............................................................................................................10分

設(shè)平面的法向量為叫=(孫，力，Z|),平面PBC的法向量為%=(町，力，Z2),

[?1?PA=0,f-y-任=0,L

由一得取%=(1,6,-1).......................11分

?PD=0I辰-2y-任=0,

rn2?PB=0,fy-居=0,=

由一得取則=(1，萬，1)....................................12分

,?2'PC=0I任-昌=0,

I.I

設(shè)平面PAD與平面PBC所成角為0,則cos0=|cos<n1,n2>\="“=

數(shù)學(xué)參考答案第3頁（共6頁）

即平面P40與平面PBC所成角的余弦值為率........................15分

18.(17分)

【解析】(1)由題意，%,%,。3成等差數(shù)列，公差為2;。③，%,。5成等差數(shù)

歹！J,公差為4....................................................................................................1分

貝IJ。2+2=3,&=。2+2=5,q=。3+4=9,a5=a4+4=13...............5分

(2)由題意,a2k^l~~a2k-\=4k,........................................................................6分

當(dāng)n=24一1,4自2時，

an=a2A-i=5+(°3_如)+(°5一°3)+,?,+(?2*-1-a”-3)+4+8+???+4(4-1)

…[4+4(y)](1)衣_2…=12立售+1二個........&分

222

且％=1滿足上式，所以當(dāng)n為奇數(shù)時，4=分」.....................9分

2

當(dāng)幾=24時，a“=a”=02A-I+2A=(2仆-2A+1)+2人=2仆+1=缶+1.???H分

‘貸1n為奇數(shù)，

所以4=z............................................................................12分

y+1,n為偶數(shù).

⑶存在工=-1時，使得VAwN',au+x,%+|+",a“+2+工成等比數(shù)列…13分

證明如下：

222

由(2)可得a”=2爐+1,a2l+1=2k+2k+1,aa+I=2(A+1)+1=2A+44+3,

......................................................................................................................14分

a+x

假設(shè)24+l,。就+2+工成等比數(shù)列，

則(2必+1+H)(2M+4*+3+X)=(2標(biāo)+2/+1+工廠，..................15分

化簡得2(2肥+1+工)=4憶所以1+x=0,即3-1,..............................16分

此時。2*-1/0,所以當(dāng)才=-1時，V上wN,，a2k+x,a.+叫。2*+2+工成等比

數(shù)列...............................................................17分

19.(17分)

【解析】(1)當(dāng)M=｛。,半｝時，R(x)=sir?%+sir?卜-方)=sin,+cos,=1,此

時人(4)是常數(shù)函數(shù)；..................................................2分

當(dāng)M=信,■時'6⑺=si，卜寸)+si/卜-屈=------------

數(shù)學(xué)參考答案第4頁(共6頁)

1-cos(2%一外)

=1+cos2x-sin2%),此時人(%)不是常數(shù)函數(shù).4分

2

(2)設(shè)時=出，%%、不妨令仇＞&＞仇?

22

f3(x)=sin(x-0,)+sin(x-02)+sin?(%-%)

=cos(2x-20,)+cos(2x-202)+cos(2x-203)]

=---(cos24+cos202+cos2%)cos2x+(sin2仇+sin202+sin2%)sin2x].

cos2d.+cos202+cos2a=0,

若函數(shù)/；(%)是常數(shù)函數(shù)，貝％..............5分

sin20,+sin202+sin2%=0,

2

則(cos2仇+cos2%)2+(sin20)+sin202)=1?

得2+2cos(26]-22)=1,所以cos(24-2%)=-十,

得陰-羽=竽+2&|仃^^+編河AiwN,所以4-%二號■+?或圖+癡，A|wN,

......................................................................6分

同理仇-仇=/+自知或苧+42危，自wN,/-a二^+A3n或爭+自^,自&N,

........................................................................7分

0\-02=?+自小&eN,

則一①.......................................8分

2TT_

一偽二7+人2斤，heN,

集合｛夕|6韋，上N,AW12次有13個元素，從中任取3個元素組成集合M,共

品」黑賓，=286個,...........................................9分

而滿足①的集合M有卜，爭竽｝，住涕刑恃,f,智

｛f?m號卜侍爭斗共$個，

則使得函數(shù)力(X)是常數(shù)函數(shù)的概率為意..............................10分

ZoO

(3)不妨令a>02>->On,

22

因?yàn)?(%)=sin(x-0|)+sin(x-02)

=1[cos(2x-201)+cos(2x-202)]

數(shù)學(xué)參考答案第5頁(共6頁)

=1-/[(cos20t+cos202)cos2x+(sin20l+sin202)sin2x],

cos20f+cos202=0,

若函數(shù)6(%)是常數(shù)函數(shù)，則

sin20i+sin202=0,

得2+2cos(2仇-2%)=0,所以cos(2仇-2%)=-1

得2仇一2%=行+2AIT,keN,所以仇-仇二^+AF,kEN12分

2

①當(dāng)n為偶數(shù)時，￡(，)可以拆分成卷組兩項[sin9*-%)+Sin(x-0,.)]

(i=2*,Ae{l,2,f})的和，每一組為定值時，/.(*)也為定值，…13分

所以函數(shù)￡(x)是常數(shù)函數(shù)的一個充分條件可以是M=

{4「仇="不)名,IWiWzi,ieN'J....................................14分

22

②當(dāng)n為奇數(shù)時,￡G)可以拆分成1組三項[sin?數(shù)--)+sin(x-02)+sin(x-03)]

22

的和與組兩項[sin(x-0,)+sin(x-0i+i)]^t=2A,AG|2,…，的和，

每一組為定值時，，(x)也為定值，...................................15分

所以函數(shù)￡(#)是常數(shù)函數(shù)的一個充分條件可以是

[(二1)-USieN,

M=仇|仇=I........................16分

|冬+"抖，

IID/

綜上所述，

當(dāng)n為偶數(shù)時，函數(shù)f(x)是常數(shù)函數(shù)的一個充分條件可以是

M={2|4=&])F,Iwiwn,ieN*I；

當(dāng)n為奇數(shù)時，函數(shù)￡(x)是常數(shù)函數(shù)的一個充分條件可以是

f.丁.1MW3,ieN-'

M=]e.\o.=]I........................17分

I件+齒"4W2,ieN；

數(shù)學(xué)參考答案第6頁(共6頁)

答案詳解

1.【答案】A

【解析】由#>2工解得“<0或%>2,因?yàn)閈x\x>2\呈心|彳<0或x>2},所以

ux>2n是“d>2工”的充分不必要條件，所以答案選A.

2.【答案】C

【解析】由。？+b2=c2,a=2b得=J,即e=￡=§，所以答案選C.

4a2

3.【答案】A

【解析】因?yàn)閁=MUN,則即McCuN=C"N,因?yàn)镃/V={3,4),所以

答案選A.

4.【答案】B

【解析】四棱錐P-4BCD的體積U=/s正方陵“%=/X6X/!=4,得1=2,直線PB

與平面4BCC所成角的正弦值為七=京，所以答案選B.

rDJ

5.【答案】D

【解析】因?yàn)楣?1時，x-Jx-\=0,又因?yàn)閥=*K*=Q"單調(diào)遞增，所以a=l；若0

<"W1,則xlgxWO,所以xlga:-l=O時，x>1,即6>1；若則xe*>1,所

以xe*-l=O時，0<工<1,BPO<c<l.綜上所述，0<c<l=a<6,所以答案

選D.

6.【答案】B

【解析】因?yàn)橥?2灰，4B-ZD=3-3=0,所以四邊形ABCD為直角梯形.

|荏|=2萬，|灰|=萬，|赤|=2,則面積S=(有+箸)*2=34,所以答案

選B.

7.【答案】B

【解析】由題意知，￡-(一陰=(2人+1)xf(AeZ),MT=^因?yàn)?=

名，所以。=豈等豆，又因?yàn)?⑷在區(qū)間傳，舞)上單調(diào)，所以

71

解得0<sW12,則3的最大值為自，所以答案選B.

8.【答案】C

【解析】樣本空間。=U,2,3,4,5,6,7,8|,這是一個古典概型，可得P(4)=

y,P(B)=y,即P(ABC)=%(C),P(BC)嗎尸⑹，從而n(C)=4〃(4BC)且

答案詳解第1頁(共4頁)

n(C)r2n(BC).由n(C)/2MBC)可得事件CK0；又因?yàn)?2,所以“(ABC)=

1或2.

(1)若n(ABC)=2,貝iJn(C)=8,即C={1,2,3,4,5,6,7,8},BC={5,

6,7,8),此時不滿足n(C)#2n(BC)；

(2)若n(4BC)=l,貝l」n(C)=4,n(BC)#2且BCW0,又因?yàn)?B=[6,8|,所

以4BC=16]或48c=|8|,即n(8C)=l或3；

①若n(BC)=l,4BC={61,此時C="，2,3,6|或C=[1,2,4,61或6=

H,3,4,6|或C=[2,3,4,6|,也就是從事件|1,2,3,4)中的四個樣本

點(diǎn)中選3個，再加入6這一個樣本點(diǎn)，即有C：=4個滿足條件的事件C；

②若“(BC)=1,/IBC=|8|,同理有C：=4個滿足條件的事件C；

③若“(8C)=3,ABC=\6\,此時C=|l,5,6,7|或C=[2,5,6,7[n￡C=

|3,5,6,7|或C=[4,5,6,7|,即從事件|1,2,3,4|的四個樣本點(diǎn)中選

1個，再加入5,6,7這三個樣本點(diǎn)，即有C：=4個滿足條件的事件C；

④若n(BC)=3,ABC=(8|,同理有C：=4個滿足條件的事件C；

綜上所述，滿足條件的事件C共計4x4=16個，所以答案選C.

9.【答案】AC

【解析】當(dāng)z=-l+Ni時，|z|=y(-l)2+(A)2=2,選項A正確；若z為純虛數(shù),

貝ljz=±2i,選項B錯誤；z5=|z『=4,選項C正確；由|z|=2可知，在復(fù)平面上,

復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z在以點(diǎn)(0,0)為圓心，2為半徑的圓上，|z+l|的幾何意義是點(diǎn)

Z到點(diǎn)(-1,0)的距離,可得|z+l1nM=1,選項D錯誤，所以答案選AC.

10.【答案】BCD

【解析】設(shè)公差為d,因?yàn)?s5-5S,=20,貝Ij4x(5%+拶d)-5(4%+竽d)=20,

解得d=2由a。=%+5d=l得,=-9,選項S?=-9n-x2=n2-

10n=(n-5)2-25,則S,=-9,選項B正確，n=S時，S?最小，選項C正確;

■f=2d=4,所以也|為等差數(shù)列，b,=a2=-7,前n項和為

W(n1)2

-7n+2~x4=2n-9n,選項D正確，所以答案選BCD.

11.【答案】ABD

2—2%+In%,4W1,

【解析】(1)當(dāng)。=1時，/(工)=/'(%)=則當(dāng)

,2x-2+Inx,x>1,

2+—,x>\,

X

xe(0,y)u(l,+oo)時，/⑷>0,/(工)單調(diào)遞增；當(dāng)"伶,1)時,一(工)

答案詳解第2頁(共4頁)

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