廣西柳州市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（柳州一模）（含答案）

廣西柳州市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題(柳州一模)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知復(fù)數(shù)z=l+i,貝畛的虛部為().

.1「in1i

A.——乙B.-乙C.——乙D.—乙——乙

2.對于非零向量心丸"五+3=6”是“五〃力的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知雙曲線。宇―3=1的一條漸近線方程為y=x,則爪=().

A.1B.2C.8D.16

4.若過點(2逆,0)與圓好+、2=4相切的兩條直線的夾角為明貝hosa=().

A.恪BWC.1D.|

553s

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點48的坐標(biāo)分別是(—5,0),(5,0),直線AM,相交于點M,且它們的斜率之

積是小則點M的軌跡方程為().

A?看蓋=y"5)B,*需=心不±5)

C噌一需=K久力±5)D/-篝=1。於±5)

JTTT

6.設(shè)函數(shù)/1(%)=COS(3X+憶)(3>0),已知=/(x2)=1，且％-切的最小值為I，則

3=().

A.1B.2C.3D.4

7.已知正四棱臺4BCD-4中心。1的體積為竽，AB=2,4/1=1,則與底面4BCD所成角的正切值

為().

A.號B.A/3C.28D.4

8.設(shè)函數(shù)/(%)=xlnx-(a+h)lnx,若f(x)>0,則5。+5b的最小值為().

A.1B.2C.在D.2在

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，即其陽3,9),貝！］().

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A.E(X)=27B.D(X)=9

C.P(X>S)>P(X<-1)D.P(X<l)+P(X<5)=1

10.過拋物線E：y2=2p%(p>0)的焦點F作傾斜角為。的直線交E于4B兩點,經(jīng)過點4和原點。的直線交拋

物線的準(zhǔn)線于點。，則下列說法正確的是().

A.BD//OFB.OA1OB

2

C.以4F為直徑的圓與y軸相切D.\AF\\BF\=扁

11.我們知道，函數(shù)y=/(*)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/。)為奇函數(shù)，有

同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(%)的圖象關(guān)于點(a,6)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)

y=f(x+a)-6為奇函數(shù)。已知f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為g(x),若函數(shù)y=f(x+1)-1

是奇函數(shù)，函數(shù)y=9。+2)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤是().

A./(I)=1B.g(l)=1

C.y=/(x+2)—1為奇函數(shù)D.Ef=i4/(0=1012

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知/+2%-1=0,則比2+義=

13.在砥+當(dāng)8的展開式中，常數(shù)項為.

14.如圖，在4X4的格子中，有一只螞蟻從4點爬到B點，每次只能向右或向上移動一格，則從4點爬到B點

的所有路徑總數(shù)為,若螞蟻只在下三角形(對角線力B及以下的部分所圍成的三角形)行走，則從2點到

B點的所有總路徑數(shù)為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

記△48C內(nèi)角B,C的對邊分別為a,b,c,已知避sin/-cos/=2.

(1)求4

(2)若a=2,JZbsinC=csin2B,求△ABC的周長.

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16.(本小題15分)

如圖，在圓錐P。中，4C為圓錐底面的直徑，8為底面圓周上一點，點。在線段BC上，AC=2AB=4,

CD=205.

(1)證明:AD1平面BOP;

(2)若圓錐P。的側(cè)面積為8兀，求二面角。-BP-4的正弦值.

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/(無)=ax-lnx-^.

(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=/(乃在(1/(1))處的切線方程；

(2)若((%)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

18.(本小題17分)

22

在平面直角坐標(biāo)系中，P為直線y=2上一動點，橢圓E：底+方=l(a>b>0)的左右頂點分別為M(-

W，0),N(后0),上、下頂點分別為7(0,1),S(0,-1),若直線P7交E于另一點4直線PS交E于另一點B.

(1)求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo)；

(2)求四邊形2SBT面積的最大值.

19.(本小題17分)

某購物平臺為了吸引更多的顧客在線購物，推出了4和B兩個套餐服務(wù)，并在購物平臺上推出了優(yōu)惠券活

動，顧客可自由選擇4和8兩個套餐之一，下圖是該購物平臺7天銷售優(yōu)惠券的情況(單位：千張)的折線

圖：

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日用《大a

(1)由折線圖可看出，可用回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；

(2)假設(shè)每位顧客選擇4套餐的概率為4，選擇B套餐的概率為|,其中4包含一張優(yōu)惠券，8套餐包含兩張優(yōu)

惠券，截止某一時刻，該平臺恰好銷售了幾張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為P“求P”；

(3)記(2)中所得概率Pn的值構(gòu)成數(shù)列｛Pn｝(nCN*),求數(shù)列｛Pn｝的最值.

參考數(shù)據(jù)：￡7=1%=16.17,萬=1&%=68.35,J￡：=i(%-y)2=0.72,々=2.646

參考公式：相關(guān)系數(shù)「飛案:，熹吃乙2

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參考答案

l.A

2.2

3.5

4.C

5.4

6.D

7.C

8.D

9.BD

IQ.ACD

ll.BCD

12.6

13.70

14.70；14

15.解：(1)由避sin力一cosA=2得，

孝sirLA-jcosA=1,即sin(4—菅)=1,由于46(0,兀)得4一.€(-45,

兀兀27T

?A————,A—----

6~2'3

(2)由題設(shè)條件和正弦定理他bsinC=csin2B

得裾sinBsinC=2sinCsinBcosS,

又B,CG(0,7r),貝!JsinBsinC力0,進(jìn)而cosB=#,得到B=于是C=n—A—B—

sinC=sin(i4+B)=sinAcosB+cosAsinB=";避，

由正弦定理得對1=磊=肅即急=品=病

解得6=吟c="—乎，

故△ABC的周長為2+避+坐

16.1?：(1)???P01平面48C,BA1BC,故以B為坐標(biāo)原點，

瓦?為無軸正方向，而為y軸正方向，與而同向的方向為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

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設(shè)|0P|=x,故8(0,0,0),4(2,0,0),

。(1,8,0),P(l,包)，。(0,宇0),

而=(-2,宇0),BO=(l(A/3,0),麗=(1,舟),

■■AD-BO=-2+2^0,AD-JP=-2+2=0,

故BO,AD1BP,???BPCBO=B,BP,BOu平面BOP,

.-.AD1平面BOP；

(2)v側(cè)面積S=2TIxPA=8兀，PA=4,

OP—x—2平,

由(1)可知，而為平面BOP的法向量，設(shè)平面ABP的法向量為訪=(a,瓦c),而瓦?(2,0,0),故

\m-BP=a+俎b+2避c=0'

令c=-1,則m=(0,2,—1),

由硬-2x°+與〉2+°x(-1)_工

則cos(7n/D)

\m\■|AD|J(_2)2+(攀)2+02xJ02+22+(-1)25

所以二面角?！狟P—a的正弦值為寫.

17.解：(1)當(dāng)a=1時，則〃尢)=x—lnx—1,(⑴=1—§可得/⑴=0,/⑴=

即切點坐標(biāo)為(1,0),切線斜率為k=0

所以切線方程為y=0；

(2)/。)定義域為(0,+8),且/Q)=a-p

若a<0,則((X)<0對任意xG(0,+8)恒成立.

所以八支)在(0,+8)上單調(diào)遞減，無極值，不合題意,

若a>0,令f'O)>0,解得x>1,

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令/。)<0,解得x<《可知f(x)在(0。上單調(diào)遞減，弓,+8)上單調(diào)遞增則照)有極小值，/$=1+In

a-：,無極大值，

由題意可得：f—1+Ina——<0,即1+lna—￡<0,

令g(a)=1+Ina--(a>0),

g'(G=，+白>°，g(a)在(。,+8)上單調(diào)遞增，

又g(l)=1,不等式1+Ina—|<0等價于g(a)<g(l),解得a<1,又a>。，綜上a的取值范圍

0<a<1.

18.解：由題意知。=典b=1,橢圓E[+y2=i,

設(shè)P(t,2),

(1).當(dāng)t力。時，設(shè)直線P4y+1,

代入/+2y2=2得號4;2+3=。今辦=m羽，從而均=含方，點4(旨：建；；)，

設(shè)直線PB:y=|x-l,

代入/+2/=2得*/一生=。"=告/從而"=-丹|，點/晶一急令),

由對稱性知，定點在y軸上，設(shè)為G(o,m),

m—[-2m+廣181

由k/G=kBG，即——_i2t18>化簡得租(4*+24)=22+12=TH=2，

t2+2t2+18

所以直線4B過定點漏■)；

當(dāng)t=0時，直線4B也恒過定點(03.

綜上，直線AB也恒過定點謁).

(2)可知四邊形的面積為S=l\ST\\xA-xB\=\XA-XB\=|備+西七|=16|」崇;361

,|t+|l“|t+!|

16，

=161t2+1+20|=|(t+1)2+8|

令m=|t+自N2也當(dāng)且僅當(dāng)t=±m(xù)時等號成立，

016m16

S=^Ts=m+^

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而y=x在（2",+8）上單調(diào)遞增，而TH>2^/6,

從而當(dāng)2逆時，四邊形2SBT面積有最大值S=黑個8=也

19.解：由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得

—1+2+3+4+5+6+7.

t=-------------------=4,

27=1G一。2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28,

7

W(%-歹產(chǎn)072

Ji=l

Sr=i(ti-t)Oi-y)=}=1與%