滬教版七年級數(shù)學上學期專項復習：因式分解（6種?？碱}型專項訓練）解析版

因式分解(6種?？碱}型專項訓練)

駁型大宗合

A因式分解的意義A公式法因式分解

＞因式分解在有理數(shù)簡算中的應用A十字相乘法

A分組分解法A因式分解的應用

駁型大通關

題型一：因式分解的意義

一、單選題

1.(23-24七年級上?上海浦東新?期中)下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是()

A.x~—5x+3=x(x—5)+3B.(x—2)(x+5)=x~+3x—10

C.(2x+3)2=4x?+12x+9D.x2—4x+4=(x-2)2

【答案】D

【分析】根據(jù)因式分解的定義逐項判斷即可.

【詳解】解：A.右邊不是整式的積的形式，不是因式分解；

B、選項是整式的乘法，不是因式分解；

C、選項是整式的乘法，不是因式分解；

D、選項是因式分解.

故選：D.

2.(22-23七年級上?上海青浦?期中)下列各等式中，從左到右的變形是因式分解的有()

(1)(x+2)(x-2)=x?-4(2)X。+x+1=x(x+1)+1

(3)12=2x2x3(4)+2。-+3。=+2a+3)

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個分析判斷即可.

【詳解】解：(1)(X+2)(X-2)=X2-4,屬于整式乘法，不屬于因式分解，不符合題意；

(2)/+x+l=x(x+l)+l,等式右邊不是整式的乘積形式，不屬于因式分解，不符合題意；

(3)12=2x2x3,等式左邊不是多個項的整式，不屬于因式分解，不符合題意；

(4)。3+2/+3。=。(/+2。+3),屬于因式分解，符合題意.

故選：A.

3.(22-23七年級上?上海浦東新?期末)下列等式從左到右是因式分解，且結果正確的是()

A.+8a+16=(a+4)~B.(a+4)2=a~+8o+16

C.a?+8a+16=+8)+16D.a?+8(a+2)=a?+8a+16

【答案】A

【分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式,

根據(jù)定義即可判斷.

【詳解】A.把一個多個項的整式轉化成幾個次數(shù)更低整式的積的形式，是因式分解，故此選項符合題意；

B.是整式乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；

C.結果不是整式的乘積的形式，不是因式分解，故此選項不符合題意；

D.是整式乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；

故選：A

【點睛】本題考查了因式分解的定義，因式分解是整式的變形，注意結果是整式的乘積的形式，并且變形

前后值不變.

4.(22-23七年級上?上海青浦?期中)單項式3a%與單項式的公因式是()

1233

A.30bB.3a3b3C.abD.ab

【答案】A

【分析】找到系數(shù)的最大公因數(shù)，再找到因式的公共部分即可.

【詳解】解：由于3和9的公因數(shù)是3,0%和的公共部分為二匕，

所以.3a%和9a2b3的公因式為3622b.

故選A.

【點睛】本題主要考查公因式，熟練掌握如何去找公因式是解題的關鍵.

二、填空題

5.(22-23七年級上?上海青浦?期中)若整式—一丁+加含有一個因式(x+3),則%的值是.

【答案】-12

【分析】設Y-X+冽=(%+3)(x+〃)，根據(jù)整式的乘法得出3+〃=-1,3n=m,即可求解.

【詳解】解：設%2一%+機=(x+3)(%+〃)，

.?(x+3)(x+〃)=—+(3+〃)x+3〃，

???3+H=—1,3n=m,

解得：H=-4,則加=一12,

故答案為：-12.

【點睛】本題考查了因式分解與整式的乘法運算，熟練掌握因式分解以及整式的乘法的關系是解題的關鍵.

6.(2022七年級上?上海?專題練習)x2-8x+m=(x-9)(x-M),貝"加=

【答案】9

【分析】展開(x-9)(x-〃)，再根據(jù)等式的性質列式求得加、”的值，即可求解

【詳解】M：''(x-9)(x-n)=x2~(9+n)x+9n,

x2—8x+m=x2—(9+n)x+9n,

???9+〃=8,m=9n,

m=-9,

.,.mn=-9x(-l)=9.

故答案為：9.

7.(23-24七年級上?上海長寧?期中)6/慶2和8〃262c的最大公因式是.

【答案】2a2be

【分析】本題考查了公因式定義，公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項的相同的字母,

而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的找出公因式即可.

【詳解】解：6/兒2和84262c的最大公因式是2/兒，

故答案為：2/A.

題型二：公式法因式分解

一、單選題

1.(21-22七年級上?上海嘉定?期中)下列各式中，不能用公式法分解因式的是()

22

A.4a-%B.—a2+2Q6—b2C.—CID.-1+-6

4

【答案】C

【分析】公式法分解因式，主要是平方差公式，完全平方公式，立方公式，由此即可求解.

【詳解】解：A選項，4/-9/=(2a+3b)(2a-3b)是平方差公式因式分解，不符合題意；

B選項，—/+=—(a~—2a6+Z>2)=—(a—6)~是完全平方因式分解，不符合題意；

C選項，不可以用公式法因式分解，符合題意；

D選項，-l+/2=-1l-；q=-1l+?J“一；”是平方差公式因式分解，不符合題意.

故選：c.

【點睛】本題主要考查利用公式法因式分解，掌握公式法中的平方差公式，完全平方公式是解題的關鍵.

2.(22-23七年級上?上海青浦?期中)下列多項式中可以用完全平方公式進行因式分解的是()

A.x2+x+1B.x2—2x—lC.x2+2x+4D.x2-x+—

4

【答案】D

【分析】能用完全平方公式分解的式子的特點是：三項；兩項平方項的符號需相同；有一項是兩平方項底

數(shù)積的2倍，據(jù)此逐項分析即可.

【詳解】解：A.V+x+1不能用完全平方公式因式分解，故不符合題意；

B./-2x7不能用完全平方公式因式分解，故不符合題意；

C./+2x+4不能用完全平方公式因式分解，故不符合題意；

D.+：=,符合題意，

故選：D.

【點睛】本題考查了完全平方公式進行因式分解，熟練掌握/±2成+〃=(“±6)2是解答本題的關鍵.兩個

平方項的符號需相同；另一項是兩底數(shù)積的2倍，是易錯點.

二、填空題

3.(2024?上海嘉定?三模)因式分解：x2-2xy-(4-/)=

［答案］(x_y+2)(x,2)

【分析】本題主要考查運用分組分解法和公式法分解因式，原式先去括號，再運用公式法進行因式分解即

可

【詳解】解：x2-2xy-(4-y2)

=x2—2xy+y2-4

=(x-y)2-4

=(x-y+2)(x-y-2)

故答案為：(x-y+2Xx-y-2)

4.(2024?上海?模擬預測)因式分解：孫6-肛2=

【答案】^2(y-i)(y+i)(j2+i)

【分析】本題考查了提取公因式法和公式法分解因式，首先提取公因式Ay:再利用平方差公式分解因式即

可，正確運用乘法公式分解因式是解題的關鍵.

【詳解】解：xy6-^2

=xy2(y4-l)

=xy2(y2-l)(^2+l)

=xy2(y-l)(y+l)(y2+1).

三、解答題

5.(23-24七年級上?上海普陀?期末)因式分解：a2+2ab+b2-l.

【答案】S+6+l)g+b-l)

【分析】本題考查利用公式法進行因式分解，熟練掌握完全平方公式、平方差公式是解題的關鍵.

利用完全平方公式、平方差公式進行因式分解，注意要分解徹底.

【詳解】解：a2+2ab+b2-1

=(Q+6)2-1

—(Q+6+1)(Q+b—1)

6.(23?24七年級上?上海青浦?期中)因式分解：(/—4a)2+8(〃2—甸+16

【答案】(。一2)4

【分析】本題考查因式分解的知識，解題的關鍵是掌握因式分解的方法公式法，(?！?)2=/±2。6+/,即

可.

【詳解】一公y+8(/一4〃)+16

=(〃—4〃+4)

=[（"2）2]

=（a-21.

7.（23-24七年級上?上海青浦?期中）因式分解：

【答案】（加一（加一2碩加一8〃）.

【分析】此題考查了公式法分解因式和十字相乘法分解因式，先利用平方差公式分解因式，然后根據(jù)十字

相乘法和完全平方公式即可求解，解題的關鍵是熟練掌握公式法因式分解及其應用.

【詳解】解：原式=（療+16/-9加幾）2_（加〃）2,

=2+16/-9mn+mn^^m2+16/幾）,

=（77?一8加〃+16叫（加之一10加〃+16〃2）,

=（加一（加一2九）（初一8〃）.

17Q

8.（23-24七年級上?上海?期末）因式分解：16——/+―——b2.

4525

【答案】++

【分析】本題考查的是利用分組分解法分解因式，先把后三項作為一組，利用完全平方公式分解因式，再

利用平方差公式分解因式即可，熟練的分組是解本題的關鍵.

13Q

【詳解】解：16--a2+-ab-—b2

=\6-[—a1-—ab+—b2\

（4525）

=42-Qa-|z）^|

=[A+-a--biA--a+-b].

I25人25）

9.（23-24七年級上?上海青浦?期中）因式分解：（/-4芯+2乂/-4》+5）+2

【答案】（x———2）

【分析】本題考查的是因式分解，掌握利用公式法與十字乘法分解因式是解本題的關鍵，本題先把/-4x

看作是整體，計算乘法運算，再利用十字乘法與公式法分解因式即可.

【詳解】解：(X2-4X+2)(X2-4X+5)+2

=(尤2-4X)+7(X?-4X)+12

=-4x+3)(無2-4x+4)

=(x-l)(x-3)(x—2)".

題型三：因式分解在有理數(shù)簡算中的應用

1.(23-24七年級上?上海青浦?期中)利用平方差公式計算：20052-20032=.

【答案】8016

【分析】本題考查利用平方差公式進行因式分解，先將原式利用平方差公式變形，再進行計算.

【詳解】解：20052-20032=(2005+2003)(2005-2003)=4008x2=8016,

故答案為：8016.

2.(22-23七年級上?上海青浦?期末)計算：7.52xl.6-2.52xl.6

【答案】80

【分析】提公因式1.6,再利用平方差公式分解，進行簡便計算即可求解.

【詳解】解：7.52xl.6-2.52xl.6

=1.6X(7.52-2.52)

=1.6x(7.5+2.5)(7.5-2.5)

=1.6x10x5

=80.

【點睛】本題考查了利用因式分解簡便計算，掌握因式分解的方法是解題的關鍵.

3.(23-24七年級上?上海閔行?期中)簡便計算：20112-2007x2015

【答案】16

【分析】本題考查了平方差公式因式分解；根據(jù)平方差公式去括號化簡即可.

【詳解】解：原式=201儼一(201「4)(2011+4)

=20112-(20112-16)

=16.

4.(233七年級上上海青浦?期中)用簡便方法計算：GO?"磯20…37"*

2017x2019x2022x2023

【答案】2021.

【分析】此題考查了因式分解的應用，先設2020=%然后通過十字相乘法因式分解進行解答即可，解題的

關鍵是熟練掌握十字相乘法因式分解的應用.

【詳解】解：設2020=。，

(“2—+2a-3)(Q+1)

則原式=

(Q—3)(Q—1)(Q+2)(Q+3)

(Q—3)(Q+2)(Q+3)(Q—1)(Q+1)

(Q-3)(Q-1)(Q+2)(Q+3)

=q+1,

???原式=2020+1=2021.

題型四：十字相乘法

一、填空題

1.(23-24七年級上?上海浦東新?期末)因式分解：X2-8X+12=.

【答案】(x-2)(x-6)

【分析】本題考查因式分解，利用十字相乘法進行因式分解即可.

【詳解】x?—8x+12=(x—2)(x—6),

故答案為：(尤-2)(X-6).

2.(23-24七年級上?上海松江?期末)分解因式：x2-llxy-12y2=.

【答案】(x+y)(x-12y)

【分析】本題考查了因式分解,掌握/+(。+b)x+=(x+a)(x+b)及十字相乘法的分解方法是解題的關鍵.

【詳解】解：原式=(x+y)(xT2y),

故答案：(x+y)(x-12y).

3.(23-24七年級上?上海?期末)因式分解：a2-13a+36=.

【答案】("4)(a-9)

【分析】本題主要考查了因式分解，解題的關鍵是熟練掌握十字相乘法進行因式分解.

【詳解】解：/-13a+36

v-4a+(-9tz)=-13a,

ci~—13G+36=(a-4)(a-9).

故答案為：(a-4)(a-9).

4.(23-24七年級上?上海?單元測試)分解因式：X2+x-6=,3ax-4by-4ay+3bx=.

【答案】(x+3)(x-2)(a+b)(3x-4y)

【分析】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關鍵.

先將拆成J+3x-2x+3x(-2),進而可化為兩個多項式相乘的形式即可，對3ax-4如-4到+3/進

行兩次提取公因式即可.

【詳解】解：原式：X2+X-6,

—+3x-2x+3x(—2),

=(x+3)(x-2);

原式：3ax-4by~4ay+3bx,

=3x(a+Z))-4j(/?+?),

=(a+/>)(3x—4y).

故答案為：(x+3)(x-2),(a+b)(3x-4y).

5.(23-24七年級上?上海浦東新?期末)分解因式：x2-5xy-14y2=.

【答案】(x+2刃(x-7y)

【分析】此題考查了因式分解的方法，利用十字相乘法分解因式即可；解題的關鍵是熟練掌握因式分解的

方法.因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等.

【詳解】-5xy-14y2=(x+2y)(x-7y).

故答案為：(x+2y)(x-7y).

二、解答題

6.（23-24七年級上?上海松江?期末）分解因式：--3x2-4

【答案】，+1）（支+2）（支-2）

【分析】本題考查的是十字相乘法因式分解.先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式進行因式分

解.

【詳解】解：X4-3X2-4

=（，+*%2一力

+l）（%+2）（x-2）.

7.（23-24七年級上?上海寶山?期末）分解因式：（/+Q『+4（q2+q）—I2.

【答案】（。一1）（。+2乂〃+。+6）

【分析】本題考查十字相乘法進行因式分解；

利用十字相乘法進行因式分解，注意要分解徹底.

【詳解】解：（/+〃）+4（/+4）—12

=（Q2+Q）+4（〃+4）-2x6

=（/+q-2）（/+Q+6）

=（4+Q—2xl）（q2+Q+6）

=（Q-1）（4+2乂。2+q+6）

8.（23-24七年級上?上海?單元測試）因式分解：（a-b）2-15（b-a）+56.

【答案】（。-6+7）（〃-b+8）

【分析】本題主要考查十字相乘因式分解.熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

將原式化為（a-?2+7（a-6）+8（Q-6）+7x8,從而因式分解為兩個多項式相乘的形式.

【詳解】解：（a-b）2-15（/?-?）+56,

=（Q-6）2+156）+7x8,

=（q—6）+7（Q—6）+8（Q—6）+7x8,

=（Q-b+7）（Q-b+8）.

9.（22-23七年級上?上海楊浦?期末）分解因式：（一一3x）（/-3》-8）-20.

【答案】（x-5）（x+2g—2）（x-l）

【分析】本題考查了因式分解.設/一3》=，原式可分解得再利用十字相乘法繼續(xù)分解即

可.

【詳解】解：設V-3x=?,

則原式=《"8）-20

=〃一8-20

=（10）。+2）,

（x2-3x）（—-3x-8）-20=（x2-3x-10）（x2-3x+2）

=（x-5）（x+2）（x-2）（x-l）.

題型五：分組分解法

一、填空題

1.（21-22九年級下?上海徐匯?期中）因式分解：am+an-bm-bn=.

【答案】（加+〃）（。-6）

【分析】本題考查了因式分解，先運用分解分組法，得（。加+曲）-（6加+加），再進行提公因式，得

〃（加+〃）-6（加+〃）,即可作答.

【詳解】解：am+an-bm-bn

=^am+an^-{bm+bn^

=〃（加+〃）-b（加+〃）

=[m+n）\a-b^

故答案為:（加+〃）（。-6）.

2.（2024?上海?模擬預測）因式分解：2/-x-l=.

【答案】（x-l）（2x+l）

【分析】本題主要考查了因式分解，掌握運用分組法進行因式分解成為解題的關鍵.

將2x,-x-l分成(/-x)+(x—l),然后各組分別因式分解，最后提取公因式即可.

【詳解】解：2X2-X-1

二卜?_X)+(X?-])

=x(x—l)+(x+1)(%-1)

=(x-l)(x+l+x)

=(x-l)(2x+l)

故答案為：(x-l)(2x+l)

二、解答題

3.(23-24七年級上?上海寶山?期末)分解因式：^ax-by+4ay-2bx.

【答案】(4"6)(2x+y)

【分析】本題考查提公因式法因式分解和分組進行因式分解；

先對原式進行變形，分組提公因式即可.

【詳解】解：原式=8"+4即-(如+2及)

=4a(2x+y)-b(2x+y)

=(4a-6)(2x+y).

4.(23-24七年級上?上海楊浦?期末)因式分解：2a2-6bc+4ab-3ac;

【答案】(2/-3c)(a+22)

【分析】本題主要考查了分解因式，先分組得到(2/+4")-(66c+3ac),再利用提取公因式法分解因式即

可.

【詳解】解：2a2-6bc+4ab-3ac

=(2a2+4Q6)-(6bc+3ac)

=2Q(a+26)-3c(a+26)

=(2Q-3C)(Q+26).

5.(22-23七年級上?上海楊浦?期末)分解因式：x3+2x2y-4x-Sy.

【答案】(x+2)(x—2)(x+2田

【分析】本題考查了因式分解的應用.先分組提公因式，再用平方差公式因式分解即可.

【詳解】解：x3+2x2y-4x-8y

=x2(x+2^)-4(x+2y)

=(J_4)(x+2y)

=(x+2)(x-2)(x+2y).

6.(23-24七年級上?上海楊浦?期末)因式分解：-2加〃/+加212+幾212_4(冽—〃)2；

【答案】(％+2)(%-2)(加-〃)

【分析】本題租用考查了分解因式，先分組得到(加X-依4(冽if,進而提取公因式得到

(x2-4)(m-n)2,再利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：-2mnx2+m2x2+n2x2-4(m-?)2

^—2mnx2+m2x2+n2x2)—4(m—n^

={mx-nx^一4(加一〃了

='_4)(m-"J

=(x+2)(工一2)(加一〃J.

7.(23-24七年級上?上海崇明?期末)分解因式：4"—24+4b.

【答案】(〃+2b-2)(〃-2b)

【分析】本題主要考查了因式分解，先分組得到(/-4/)-(2〃-助)，再利用平方差公式和提公因式法分解

因式，進一步提取公因式(〃-2b)分解因式即可得到答案.

【詳解】解：a2-4b2-2a+4b

=(Q2_462)_(2"49

=(a+2b)(a-26)-2(a-26)

=(a+26-2)(a-2b).

8.(23-24七年級上?上海楊浦?期末)分解因式：X5+2X3-X-2.

【答案】(X-1)(X4+X3+3X2+3X+2)

【分析】本題主要考查了因式分解，掌握運用分組法成為解題的關鍵.

先將d+2x3-x-2分組成(--X)+(2X3-2),然后再運用提取公因式、公式法求解即可.

【詳解】解：X5+2X3-X-2

=(X，_》)+(2丁-2)

=_])+2[3_])

=(x-l)(x+l)(x2+ljx+2(x-l)(x2+x+l)

=(x-1)(X”+無3+x?+x+2x?+2x+2)

=(x—l)(x4+x3+3x2+3x+2).

9.(23-24七年級上,上海青浦?期中)因式分解：/一驍+助-/.

【答案】(。+6-4)("6+4).

【分析】此題考查了分組分解法分解因式，直接將后三項分組，再利用乘法公式分解因式進而得出答案，

解題的關鍵是熟練掌握分組分解法分解因式，公式法因式分解及其應用.

【詳解】解：原式=/一僅2-86+16),

=/_"4)2,

=[a+(6-4)][a-(6-4)],

=(Q+6-4)(Q-/7+4).

10.(23-24七年級上?上海楊浦?期末)分解因式：/+3。2+3々+2.

【答案】(。+2乂/+。+1).

【分析】本題考查了因式分解的應用，根據(jù)分組分解法和提取公因式法進行分解即可，熟練掌握因式分解

的應用是解題的關鍵.

【詳解】解：a3+3a2+3a+2

=[3++。+2q2+2q+2

=6Z(Q2+Q+1)+2(Q2+Q+1)

=(a+2)(q2+a+l).

11.(2022七年級上?上海?專題練習)因式分解：(l-x2)(l-y2)-4xy

【答案】(中Tf-y)(孫-l+x+y)

【分析】先根據(jù)多項式乘以多項式的運算法則求解，再分組，利用完全平方公式及平方差公式因式分解即

可得到結論.

【詳解】解：(1一巧卜4孫

=l-y2-x2+x2y2-4xy

=(J/_2xy+1)-(J+2xy+,2)

=(盯_1)2一(》+>)2

=(Ay-l-x-y)(xy-l+x+_y).

【點睛】本題考查因式分解，涉及到整式乘法運算、分組分解因式和公式法分解因式，根據(jù)代數(shù)式結構特

征準確分組，熟練掌握完全平方公式及平方差公式是解決問題的關鍵.

題型六：因式分解的應用

一、單選題

1.(23-24七年級上?上海浦東新?期末)已知甲、乙、丙均為x的一次整式，且其一次項的系數(shù)皆為正整

數(shù).若甲與乙相乘的積為/-9,乙與丙相乘的積為，+x-6,則甲與丙相減的結果是()

A.-5B.5C.1D.-1

【答案】D

【分析】此題考查了十字相乘法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵.把題中

的積分解因式后，確定出各自的整式，相減即可.

【詳解】解：???甲與乙相乘的積為Y-9=(X+3)(X-3),乙與丙相乘的積為/+》-6=(》-2心+3),甲、乙、

丙均為x的一次整式，且其一次項的系數(shù)皆為正整數(shù),

???甲為x—3,乙為x+3,丙為x—2,

則甲與丙相減的差為：(x-3)-(x-2)=-l;

故選：D

二、填空題

2.(22-23七年級上,上海浦東新?期中)與(7x-V)之積等于V-49/的因式為.

【答案】-7x-//-/-7x

【分析】根據(jù)平方差公式將V-49/分解因式，并變形為(-/一7/)(7/-/),即可得出答案.

【詳解】7/-49X2=(/+7X2)(/-7X2)

=[-(/+7X2)](7X2-/)

=(-J;2-7X2)(7X2-^2),

.??與(7x-)之積等于V_49x2的因式為-7x

故答案為：-7X-/.

【點睛】本題主要考查了分解因式的應用，解題的關鍵是熟練掌握平方差公式/-62=(。+6)(。-6).

199

3.(2022七年級上?上海?專題練習)當工=一6，歹=^^時，代數(shù)式——6xy-J〉+6/=

【答案】0

【分析】原式先提取x,再分組，利用因式分解，代入數(shù)值即可求解.

【詳解】解：??.x=_6,片1急99，

???x3-6xy-x2y+6x2

=x(x2-6y-xy+6x)

=x(x2+6x-6y-xy)

=x[x(x+6)-y(x+6)]

=x(x+6)(x-y)

=0.

故答案為：0.

【點睛】本題考查了因式分解的應用，掌握分組分解法以及提公因式法分解因式是解題的關鍵.

4.(22-23七年級上?上海靜安?期中)已知x—y=3,x2+y2=U,貝ljdy—+中3的值為

【答案】-6

【分析】先根據(jù)完全平方公式的變形求出個=2,再把所求式子提取公因式孫得到孫，_8孫+產(chǎn))，據(jù)此代

值計算即可.

【詳解】解：?.?％->=3,

=9,

又??,，+J?=]3,

_2xy=(x-y)_+_4,

???孫=2,

???y?y-8X2J；2+xy3

二肛(％2_8肛+歹2)

=2x(13-8x2)

=-6,

故答案為：-6.

【點睛】本題考查了因式分解的應用，完全平方公式的變形求值，正確得到

+無,3=個_甌+「)是解題的關鍵.

5.(23-24七年級上?上海長寧?期中)由多項式乘以多項式的法則可以得到：

(a+b)(，廠—a6+b~)=a'—a"+。6一+ci~b~ci~b+b=a'+b~

即：(a+b)[a2-ab+b2^^+b3,我們把這個公式叫做立方和公式，

2233

同理：(a-b)(a+ab+b)=a-b,我們把這個公式叫做立方差公式，

請利用以上公式分解因式：3/一81/=

【答案】36(a-36)(/+3.6+962)

【分析】本題考查了因式分解，先提公因式36,再運用立方差公式即可求解.

【詳解】解：3/6-8仍4=36(/-27/)=36(°—36)(/+306+962),

故答案為：3“a-3，/+3a6+9/).

6.(23-24七年級下?上海靜安?期中)定義：如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)加，”的平方差，且

m-n>l,則稱這個正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)".例如，16=52-32,16就是一個智慧優(yōu)數(shù)，可以利用

7〃2-〃2=（伍+〃）（加-〃）進行研究.若將智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列，第9個智慧優(yōu)數(shù)是.

【答案】28

【分析】本題考查了因式分解的應用，根據(jù)加-幾＞1,加、〃均為正整數(shù)，得出加-〃=2,m—n=3,

m-n=4,m-n=5,從而得出加=〃+2,m=n+3,m=〃+4,m=n+5,把平方差公式中的換成

和〃相關的式子，得到新的式子，然后將〃=1,2,3,..?一次代入計算即可，理解題意，熟練掌握平方差

公式是解此題的關鍵.

【詳解】解：加、〃均為正整數(shù)，

.'.m—n=2,m—n=3,m—n=4,m-n=5,

：.m=n+2,m=n+3,m=n+4f加=〃+5,

*/m2-n2=+,

，當加=〃+2時，m2-n2=（T?+2）2-n2=（H+2+H）（W+2-H）=2（2?+2）,得到的“智慧優(yōu)數(shù)〃分別為：8,

12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,80,

當加=〃+3時，m2-n2=（?+3）2-n2=（幾+3+〃）（幾+3-〃）=3（2幾+3）,得到的"智慧優(yōu)數(shù)"分另!）為：15,21,

27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,

當加=〃+4時，加2_〃2=（〃+4）2_〃2=（〃+4+〃）（幾+4一〃）=4（2〃+4）,得到的"智慧優(yōu)數(shù)"分別為：24,

32,40,48,56,64,72,80,

當加二〃+5時，機2_/=（幾+5/_/=（〃+5+幾）（〃+5一=5（2H+5）,得到的"智慧優(yōu)數(shù)”分別為：35,45,

55,65,75,85,

當冽=〃+6時，m2-n2=^n+6）2-n2=（〃+6+〃）（〃+6-〃）=6（2〃+6）,得到的“智慧優(yōu)數(shù)〃分別為：48,

60,72,84,

當加二〃+7時，4-，=（〃+7）2_〃2=e+7+〃）e+7-〃）=7（2〃+7）,得到的“智慧優(yōu)數(shù)〃分別為：63,

77,91,

當加=〃+8時，加2_〃2=（〃+8）2_〃2=（〃+8+〃）5+8_〃）=8（2〃+8）,得到的〃智慧優(yōu)數(shù)〃分別為：80,

.,?把這些〃智慧優(yōu)數(shù)〃從小到大排列為：8,12,15,16,20,21,24,27,28,32,33,35,36,39,

40,44,45,48,51,52,

???第9個智慧優(yōu)數(shù)是28,

故答案為：28.

三、解答題

7.(22-23七年級上?上海青浦?期中)已知0,6,c三個數(shù)兩兩不等，且有

a2+b2+mab=62+