2024-2025學年高二上學期期末復習填空題壓軸題十六大題型專練（范圍：第四、五章）（含答案）

2024-2025學年高二上學期期末復習填空題壓軸題十六大題型專練（范圍：第四、五章）【人教A版（2019）】題型1題型1根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項、通項公式1．（24-25高三上·上海·期中）數(shù)列an滿足：an為正整數(shù)，an+1=an2,2．（24-25高三上·全國·自主招生）數(shù)列an，a1=2，.3．（2024高三·全國·專題練習）在數(shù)列an中，a1=13，前n項和Sn=n4．（23-24高二下·四川成都·階段練習）已知數(shù)列an滿足：a1=1且anan?1=題型2題型2求數(shù)列的最大項、最小項5．（23-24高二下·安徽亳州·階段練習）數(shù)列an的通項an=nn2+56．（23-24高二上·上海楊浦·階段練習）已知數(shù)列an的通項公式為an=n22n7．（23-24高二下·遼寧大連·階段練習）已知數(shù)列an的通項公式an=n?197n?1988．（23-24高二下·廣東·階段練習）在數(shù)列an中，an=2n?178n題型3題型3求等差數(shù)列的前n項和及其最值9．（24-25高三上·北京西城·開學考試）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=3,a10．（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列an滿足a1=15,(n+1)an?nan+1=2n(n+1),n∈11．（23-24高二下·山西晉中·階段練習）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1<0，S6=S2012．（23-24高二上·河南洛陽·期末）首項為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列an，其前n項和為S①若S8<S②若S11=0，則③若S13>0,S14<0④若S2=S10，則使其中所有真命題的序號是．題型4題型4求等比數(shù)列的前n項和及其最值13．（24-25高二上·江蘇蘇州·階段練習）已知公比不為l的等比數(shù)列an滿足a1+a3=5，且a1,a3,a2構成等差數(shù)列．記S14．（24-25高三上·山東聊城·期中）等比數(shù)列an的前n項和記為Sn，若S2=?1,S815．（2024·河北邯鄲·模擬預測）記Sn為等比數(shù)列an的前n項的和，若a3+a4=1，16．（23-24高三下·重慶·階段練習）已知數(shù)列an為正項的遞增等比數(shù)列，a1+a5=82，a2?a4=81，記數(shù)列2an題型5題型5等差、等比數(shù)列的綜合應用17．（24-25高三上·湖南常德·階段練習）已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=1，b5=318．（2024·湖北襄陽·二模）已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1=5，b1=2，a2=2b2+1，a3=b3+5.數(shù)列an和bn中的所有項分別構成集合A19．（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習）正項等比數(shù)列|an滿足a1+a3=54，且2a2,20．（24-25高三上·上海長寧·期中）已知數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，a4=5，且a1、a3、a7成等比數(shù)列，設bn=a題型6題型6數(shù)列的求和21．（24-25高二上·江蘇蘇州·階段練習）已知數(shù)列an滿足2n?1a1+2n?2a2+?+2an?122．（24-25高二上·江蘇蘇州·階段練習）設數(shù)列an滿足a1+3a2+5a3+?+2n?123．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)fx=4x4x+2，數(shù)列an滿足24．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列an的首項a1=1，且an+1+an=3?2n題型7題型7數(shù)列不等式25．（24-25高二上·上?！て谥校┰OSn是數(shù)列an的前n項和，a1=14，且對任意正整數(shù)m，n，都有am+n=a26．（24-25高三上·重慶·階段練習）在數(shù)列an中，a1=1,an+1=3an+427．（2024高二·全國·專題練習）在數(shù)列an中，a1=3，3a1a2+3a2a328．（24-25高三上·上?！ら_學考試）已知數(shù)列an的通項公式是an=2n?1，記bm為an在區(qū)間m,2mm∈N題型8題型8新情景、新定義下的數(shù)列問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示29．（24-25高二上·湖南長沙·期中）若數(shù)列an滿足1an+1?1an=d（n∈N?，d為常數(shù)），則稱數(shù)列an30．（2024·北京通州·三模）若數(shù)列{bn}、{cn}均為嚴格增數(shù)列，且對任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得bm∈[cn,cn+1]，則稱數(shù)列{b①存在等差數(shù)列{an}，使得{an②存在等比數(shù)列{an}，使得{an③存在等差數(shù)列{an}，使得{Sn④存在等比數(shù)列{an}，使得{Sn31．（23-24高二下·安徽宿州·期中）定義np1+p2+?+pn為n個正數(shù)p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)列an的前n項的“均倒數(shù)”為32．（24-25高三上·北京朝陽·期中）對于無窮數(shù)列an，若存在常數(shù)M>0，使得對任意的n∈N?，都有不等式a2?a1①存在公差不為0的等差數(shù)列an具有性質P②以1為首項，qq<1為公比的等比數(shù)列an③若由數(shù)列an的前n項和構成的數(shù)列Sn具有性質P，則數(shù)列an④若數(shù)列an和bn均具有性質P，則數(shù)列an其中所有正確結論的序號是.題型9題型9兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示33．（24-25高三上·遼寧·期中）已知直線y=x+t是曲線y=lnx?1和y=ax2?3x的公切線，則a+t34．（23-24高二下·湖北武漢·期中）已知直線y=kx+b是曲線f(x)=ex?1與g(x)=ex+2023?2024的公切線，則35．（2024·北京朝陽·一模）已知函數(shù)fx=12sin2x.若曲線y=fx在點Ax136．（2024·河北邯鄲·三模）若曲線y=ex與圓(x?a)2+y2=2題型10題型10函數(shù)的單調性問題37．（24-25高三上·湖北武漢·階段練習）已知函數(shù)fx=sin．38．（24-25高三上·河北張家口·階段練習）已知函數(shù)fx=x2+x?2ex?2x+539．（2024高三·全國·專題練習）已知定義在R上的函數(shù)fx的導函數(shù)為f′x，對任意x∈0,π，有f′xsinx>fxcosx，設a=2fπ6，40．（24-25高三上·安徽·開學考試）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1?x)=f(1+x)，當x∈[1,+∞)時，f(x)=12x2?x題型11題型11函數(shù)單調性、極值與最值的綜合應用41．（23-24高三上·浙江紹興·期末）設函數(shù)fx=x3+ax2?3x?ba,b∈R在x=x1,x=x242．（23-24高二下·安徽合肥·階段練習）若函數(shù)fx=13x3?x243．（23-24高三下·浙江·開學考試）設x1，x2是函數(shù)fx=12ax2?e44．（23-24高二下·北京·期末）已知函數(shù)fx①當a≥0時，y=fx在0,+②當0<a<12時，③當a≤0時，y=fx④若函數(shù)存在兩個不同的極值點x1，x2，則其中所有正確結論的序號是．題型12題型12利用導數(shù)研究函數(shù)的零點（方程的根）45．（24-25高三上·山東濟寧·期中）已知函數(shù)fx=x2?12lnx46．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習）已知函數(shù)f(x)=x?ex,x<1lnxx,x≥1，方程47．（23-24高三上·黑龍江雞西·期末）已知函數(shù)fx=x2,x≤0xex?1,x>0，若關于x48．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx=ex,x≤0lnxx,x>0題型13題型13利用導數(shù)研究恒成立、存在性問題49．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎猭為常數(shù)，若關于x的不等式(x?k)2exk≤1e對任意的x∈(0,+50．（24-25高二上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)fx=5ex+alnx+1?a+5x?5，若51．（24-25高三上·江西宜春·階段練習）若關于x的不等式x2?mx+3m?2≥0在區(qū)間1,2上有解，則實數(shù)m的取值范圍是52．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知函數(shù)fx=lnx2+1,gx=題型14題型14利用導數(shù)研究雙變量問題53．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函數(shù)fx=12x2,gx=54．（24-25高二·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)fx=x3?3ax2+12xa>055．（2024·江蘇南通·二模）已知函數(shù)fx=lnx,x≥11?x2,x<1，若Fx=f56．（2023·湖南郴州·模擬預測）已知函數(shù)fx=12x2+1?ax?xlnx有兩個極值點x1,x2題型15題型15利用導數(shù)解決實際應用問題57．（23-24高二下·上?！て谀┎傻V、采石或取土時，常用炸藥包進行爆破，部分爆破呈圓錐漏斗形狀（如圖），已知圓錐的母線長是炸藥包的爆破半徑R，它的值是固定的．當炸藥包埋的深度為可使爆破體積最大．

58．（23-24高二下·四川成都·階段練習）某銀行向貧困戶小李提供10萬元以內的免息貸款，小李準備向銀行貸款x萬元全部用于農產品土特產的加工與銷售，據(jù)測算每年利潤y（單位：萬元）與貸款x滿足關系式y(tǒng)=lnx?x?12x+959．（24-25高三上·上?！るA段練習）如圖，某城市公園內有一矩形空地ABCD，AB=300m，AD=180m，現(xiàn)規(guī)劃在邊AB，CD，DA上分別取點E，F(xiàn)，G，且滿足AE=EF，F(xiàn)G=GA，在△EAG內建造噴泉瀑布，在△EFG內種植花奔，其余區(qū)域鋪設草坪，并修建棧道EG作為觀光路線（不考慮寬度），則當時，棧道EG最短.60．（2024·廣東茂名·二模）修建棧道是提升旅游觀光效果的一種常見手段.如圖，某水庫有一個半徑為1百米的半圓形小島，其圓心為C且直徑MN平行壩面.壩面上點A滿足AC⊥MN，且AC長度為3百米，為便于游客到小島觀光，打算從點A到小島建三段棧道AB、BD與BE，水面上的點B在線段AC上，且BD、BE均與圓C相切，切點分別為D、E，其中棧道AB、BD、BE和小島在同一個平面上.此外在半圓小島上再修建棧道ME、DN以及MN，則需要修建的棧道總長度的最小值為百米.題型16題型16導數(shù)中的新定義問題61．（23-24高三下·海南省直轄縣級單位·階段練習）對于三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0給出定義：設f′x是函數(shù)y=fx的導數(shù)，f″x是函數(shù)f′x的導數(shù)，若方程f62．（2024·全國·模擬預測）定義：設函數(shù)y=fx在a,b上的導函數(shù)為f′x，若f′x在a,b上也存在導函數(shù)，則稱函數(shù)y=fx在a,b上存在二階導函數(shù)，簡記為y=f″x.若在區(qū)間a,b上f″x<0，則稱函數(shù)y=fx63．（23-24高二下·吉林·期中）已知函數(shù)f(x)的導數(shù)為f′(x)，若存在x0，使得f(x0)=f′(x①f(x)=x2

②f(x)=e?x

③64．（23-24高二上·全國·期末）如圖，對于曲線G所在平面內的點O，若存在以O為頂點的角α，使得對于曲線G上的任意兩個不同的點A，B，恒有∠AOB≤α成立，則稱角α為曲線G的相對于點O的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線G的相對于點O的“確界角”.已知曲線C：y=xex-1+1，x>0，116x2+1，x≤0(其中2024-2025學年高二上學期期末復習填空題壓軸題十六大題型專練（范圍：第四、五章）【人教A版（2019）】題型1題型1根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項、通項公式1．（24-25高三上·上?！て谥校?shù)列an滿足：an為正整數(shù)，an+1=an2,【解題思路】利用遞推關系式可推得數(shù)列an是周期為3【解答過程】因為an+1=a所以a2=3a1+1=4，a以此類推，可知an+3=an，即數(shù)列所以a=674×1+4+2故答案為：4723.2．（24-25高三上·全國·自主招生）數(shù)列an，a1=2，?7080.【解題思路】由遞推關系式求前幾項的值，易判斷an【解答過程】由題意可得a1故數(shù)列an則a2022=a故2022a故答案為：?7080.3．（2024高三·全國·專題練習）在數(shù)列an中，a1=13，前n項和Sn=n【解題思路】當n≥2時，由已知的等式可得Sn?1=n?12n?3a【解答過程】由于數(shù)列an中，a1=13所以當n≥2時，Sn?1兩式相減可得：an所以n?12n?3n?12n?3所以2n?3a所以an所以a=1a1因此an故答案為：an4．（23-24高二下·四川成都·階段練習）已知數(shù)列an滿足：a1=1且anan?1=【解題思路】根據(jù)累乘法求數(shù)列通項公式即可.【解答過程】因為an所以a2累乘可得a2即ana1當n=1時，a1所以an故答案為：an題型2題型2求數(shù)列的最大項、最小項5．（23-24高二下·安徽亳州·階段練習）數(shù)列an的通項an=nn2+5【解題思路】由作商法求出數(shù)列an的單調性，可得a1<【解答過程】因為an=n則an+1令an+1an>1，即解得n=1，所以a2令an+1an所以a1故數(shù)列an中的最大項為a2，其值為故答案為：296．（23-24高二上·上海楊浦·階段練習）已知數(shù)列an的通項公式為an=n22n【解題思路】通過列舉法進行觀察，然后利用差比較法比較求得正確答案.【解答過程】依題意，an則a1當n≥5時，an+1所以當n≥5時，an+1所以數(shù)列an的最大項為第3故答案為：3.7．（23-24高二下·遼寧大連·階段練習）已知數(shù)列an的通項公式an=n?197n?198【解題思路】分離常數(shù)，然后利用數(shù)列單調性求最小項.【解答過程】an當n>198時，a當n<198時，a又當n<198時，a所以當n=14時，a14故答案為：14.8．（23-24高二下·廣東·階段練習）在數(shù)列an中，an=2n?178n【解題思路】利用作商法，結合n∈N?，判斷得【解答過程】因為an所以an+1an又n∈N?，所以當1≤n≤7時，an+1>a所以a8最大，則n=8故答案為：8.題型3題型3求等差數(shù)列的前n項和及其最值9．（24-25高三上·北京西城·開學考試）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a1【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的基本量運算得出通項公式，再根據(jù)通項的正負得出和的最大值.【解答過程】設公差為d，因為a1所以d=?1，即an因為n≤3,an所以Sn故答案為：6.10．（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列an滿足a1=15,(n+1)an?nan+1=2n(n+1),n∈【解題思路】化簡得到an+1n+1?ann=?2，得出a【解答過程】由數(shù)列an滿足(n+1)an又由a1=15，可得a11=15，所以數(shù)列a所以an令ann≥0，即17?2n≥0，解得n≤所以，當1≤n≤8,n∈N?時，ann>0所以數(shù)列ann的前n項和的最大值是故答案為：64.11．（23-24高二下·山西晉中·階段練習）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1<0，S6=【解題思路】根據(jù)S6=S20，利用等差數(shù)列前n項和公式推得175d=?14a1，結合【解答過程】由題意知a1<0，S6=S則6a1+15d=20因為a1<0，故d>0，即等差數(shù)列又由S6=S即7(a13+即等差數(shù)列an故Sn取最小值時，n=13故答案為：13.12．（23-24高二上·河南洛陽·期末）首項為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列an，其前n項和為S①若S8<S②若S11=0，則③若S13>0,S14<0④若S2=S10，則使其中所有真命題的序號是②③④．【解題思路】①由題意可以推出a9>0，不能推出a10>0，判斷①錯誤；②由題意可得a1+a【解答過程】若S8<S9，則a9若S11=0，則S11=11(若S13>0,S所以a7>0,a8<0若S2=S即2a因為首項為正數(shù)，則公差小于0，則a6則S11=11(則使Sn>0的故答案為：②③④．題型4題型4求等比數(shù)列的前n項和及其最值13．（24-25高二上·江蘇蘇州·階段練習）已知公比不為l的等比數(shù)列an滿足a1+a3=5，且a1,a3,a2構成等差數(shù)列．記S【解題思路】利用等差數(shù)列的性質與等比數(shù)列的通項公式求出a1,q，再利用等比數(shù)列的前【解答過程】設等比數(shù)列an的公比為q，且q≠1因為a1+a∴a1+∴S∴Sk=∴831?當k為偶數(shù)時，?1所以k為奇數(shù)，設k=2m?1,m∈N則?122m?1即14m>所以正整數(shù)m≤2，所以m的最大值為2，此時k的最大值為3，所以使Sk>23故答案為：3.14．（24-25高三上·山東聊城·期中）等比數(shù)列an的前n項和記為Sn，若S2=?1,S8【解題思路】由題意知公比q≠1，設首項為a1，根據(jù)等比數(shù)列公式，由S8=17S4求出q，再代入【解答過程】設首項為a1因為S8=17S所以a1所以1?q8=17?所以q4=16，解得又因為S2=?1，所以當q=2時，a1=?1當q=?2時，a1=1故答案為：?21.15．（2024·河北邯鄲·模擬預測）記Sn為等比數(shù)列an的前n項的和，若a3+a4=1，【解題思路】由等比數(shù)列的求和公式和等比數(shù)列的性質進行計算即可求解.【解答過程】設等比數(shù)列an的公比為q，由題意可得q≠1由4S6=7S2又a3+a4=1同理a5+a6=12因為S12所以S12故答案為：631616．（23-24高三下·重慶·階段練習）已知數(shù)列an為正項的遞增等比數(shù)列，a1+a5=82，a2?a4=81，記數(shù)列2an【解題思路】由下標和性質得到a1?a5=81，從而求出a1、a5，即可求出a【解答過程】因為數(shù)列an為正項的遞增等比數(shù)列，所以a又a1所以a1、a5是關于x方程解得x1=1，所以a1=1a設公比為qq>1，則q4=a5a所以an=3所以Tn=2所以202413Tn?1又函數(shù)fx=3x在定義域上單調遞增，f5所以n≤6，故正整數(shù)n的最大值為6.故答案為：6.題型5題型5等差、等比數(shù)列的綜合應用17．（24-25高三上·湖南常德·階段練習）已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=1，b5=3【解題思路】利用等差、等比數(shù)列的通項公式列方程求基本量，并求出{an}的通項，進而有c【解答過程】令{an}的公差為d，{則b1q4所以cn所以數(shù)列{cn}的前n故答案為：3n18．（2024·湖北襄陽·二模）已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1=5，b1=2，a2=2b2+1，a3=b3+5.數(shù)列an和bn【解題思路】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公差和公比，求得an，bn，由題意可得{cn}【解答過程】設等差數(shù)列{an}的公差為d和等比數(shù)列{由a1=5，b1=2，a2=2b解得d=4，q=2，則an=5+4(n?1)=4n+1，由a15由{an}和{bn}中無公共項，可得則S20故答案為：557．19．（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習）正項等比數(shù)列|an滿足a1+a3=54，且2a2,【解題思路】先由題意列出關于a1,q的方程，求得an的通項公式，再表示出(【解答過程】設an公比為q，且q>0∴a3=得：2×1∴2×1∴q∵q>0，∴q=2，∴a∴a1=14∴b∴=2∴n=2時，上式有最小值2?4故答案為：2.20．（24-25高三上·上海長寧·期中）已知數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，a4=5，且a1、a3、a7成等比數(shù)列，設bn=a【解題思路】設等差數(shù)列an的公差為d，則d≠0，根據(jù)a32=a1a7求出【解答過程】設等差數(shù)列an的公差為d，則d≠0因為a1、a3、a7成等比數(shù)列，則a即5?d2=5?3d5+3d，因為所以，an所以，bn對任意的k∈N?，b4k?2=4k?1b4k所以，b4k?3因為2024=4×506，故數(shù)列bn的前2024項和為2×506=1012故答案為：1012.題型6題型6數(shù)列的求和21．（24-25高二上·江蘇蘇州·階段練習）已知數(shù)列an滿足2n?1a1+2n?2a2+?+2an?1【解題思路】根據(jù)所給遞推關系，得出2n?2【解答過程】當n=1時，a1=3?22n?1當n≥2時，2n?2①?2×②得an所以an當n=1時，a1=2也適合綜上，ancnT=n+2故答案為：n+2?22．（24-25高二上·江蘇蘇州·階段練習）設數(shù)列an滿足a1+3a2+5a3+?+2n?1【解題思路】由a1+3a2+5相減可得an【解答過程】因為a1所以當n=1時，a1當n≥2時，a1（1）?（2）可得：2n?1an=2當n=1時，a1所以an=所以2n記數(shù)列2nan的前n則Tn所以2T①-②可得：?T所以?T所以Tn故答案為：2n23．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)fx=4x4x+2，數(shù)列an滿足【解題思路】由函數(shù)f(x)的解析式，求出數(shù)列{an}的通項公式，將n=2019代入即可得到a【解答過程】依題意，函數(shù)fx=4x4數(shù)列an滿足a所以an=fnan設此數(shù)列前2019項的和S2019S2019S2019所以2S2019=1×2019故答案為：2019224．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列an的首項a1=1，且an+1+an=3?2n【解題思路】根據(jù)題意，推得an+1?2n+1=?an【解答過程】因為an+1+an=3×2n所以數(shù)列an?2n是首項為所以an?2可得2n+1?則Sn記Tn則?T由①-②得2T即2Tn=?3+2×記Mn=3×2所以Sn故答案為：n+1?題型7題型7數(shù)列不等式25．（24-25高二上·上?！て谥校┰OSn是數(shù)列an的前n項和，a1=14，且對任意正整數(shù)m，n，都有am+n=a【解題思路】根據(jù)給定條件，由任意性可得數(shù)列an為等比數(shù)列，求出公比及前n【解答過程】在數(shù)列an中，對任意正整數(shù)m，n，都有am+n=am則有an+1=a1?an則Sn=14[1?所以實數(shù)a的取值范圍為a≥1故答案為：a≥126．（24-25高三上·重慶·階段練習）在數(shù)列an中，a1=1,an+1=3an+4【解題思路】利用構造法分析得數(shù)列an+2是等比數(shù)列，進而求得an+2，從而將問題轉化為k≥3n?5【解答過程】由an+1=3an+4故數(shù)列an+2為首項為3，公比為所以an則不等式kan+2≥3n?5可化為當n=1時，fn<0；當n≥2時，又fn+1則當n=2時，f3>f2，當n≥3所以fn≤f3=3×3?533故答案為：42727．（2024高二·全國·專題練習）在數(shù)列an中，a1=3，3a1a2+3a2a3【解題思路】在已知等式中用n?1替換n得另一等式（n≥2），兩式相減得3anan+1，然后用累乘法求得通項公式an，不等式λ【解答過程】因為a1=3，3a所以當n≥2時，有3a兩式相減可得3anan+1=當n=1時，3a1a2=1+所以an而a1=3也滿足該式，故由于λan≥由于cn+1當n=4時，c4當n<4時，cn+1cn當n>4時，cn+1cn所以c1故數(shù)列cn最大項為c4=故答案為：3208128．（24-25高三上·上海·開學考試）已知數(shù)列an的通項公式是an=2n?1，記bm為an在區(qū)間m,2m【解題思路】分別談論m為奇數(shù)和偶數(shù)時，bm+1?b【解答過程】由m≤2n?1<2m?當m為奇數(shù)時，bm當m為偶數(shù)時，bm所以當m為奇數(shù)時，bm+1?bm=2由2m?1?1>2062?當m為偶數(shù)時，bm+1?bm==由2m?1>2062?又m為偶數(shù)，所以m≥14綜上可知：m的最小值為13.故答案為：13.題型8題型8新情景、新定義下的數(shù)列問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示29．（24-25高二上·湖南長沙·期中）若數(shù)列an滿足1an+1?1an=d（n∈N?，d為常數(shù)），則稱數(shù)列【解題思路】根據(jù)題設易知正項數(shù)列bn為等差數(shù)列，公差為d，應用等差數(shù)列前n項和公式得b1+【解答過程】由題意，正項數(shù)列1bn為“調和數(shù)列”，則bn+1所以正項數(shù)列bn為等差數(shù)列，公差為d則b1+b則b1b2022所以b1故答案為：100.30．（2024·北京通州·三模）若數(shù)列{bn}、{cn}均為嚴格增數(shù)列，且對任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得bm∈[cn,cn+1]，則稱數(shù)列①存在等差數(shù)列{an}，使得{an②存在等比數(shù)列{an}，使得{an③存在等差數(shù)列{an}，使得{Sn④存在等比數(shù)列{an}，使得{Sn【解題思路】對于①取an=n分析判斷，對于②④取【解答過程】對于①：例如an=n，則{an}所以an+1?a故{an}取m=n(n+1)2，則am所以{an}是{對于②，例如an=2n?1>0，則{所以an+1?a故{an}取m=n+1，則am=a所以{an}是{對于③，假設存在等差數(shù)列{an}，使得{Sn設等差數(shù)列{an}因為{an}又因為{Sn}為嚴格增數(shù)列，所以Sn+1?取n0∈N?，滿足an又因為{S所以對任意正整數(shù)m≥n0+1，則有S對任意正整數(shù)m≤n0，則有Sm故當n=k+1時，不存在正整數(shù)m，使得ak+1對于④，例如an=2n?1>0，則{an所以an+1?a故{an}取m=n，則Sm=S所以{Sn}是{故答案為：①②④.31．（23-24高二下·安徽宿州·期中）定義np1+p2+?+pn為n個正數(shù)p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)列an的前n項的“均倒數(shù)”為【解題思路】根據(jù)數(shù)列新定義可求得Sn=n2，繼而求得an【解答過程】設數(shù)列an的前n項和為Sn，則nS當n=1時，a1當n≥2時，an=S故an所以bn=a故數(shù)列1bnbn+1的前故答案為：nn+132．（24-25高三上·北京朝陽·期中）對于無窮數(shù)列an，若存在常數(shù)M>0，使得對任意的n∈N?，都有不等式a2?a1①存在公差不為0的等差數(shù)列an具有性質P②以1為首項，qq<1為公比的等比數(shù)列an③若由數(shù)列an的前n項和構成的數(shù)列Sn具有性質P，則數(shù)列an④若數(shù)列an和bn均具有性質P，則數(shù)列an其中所有正確結論的序號是②③④.【解題思路】對于①，可使用反證法證明①錯誤；對于②，取M=q?1?11?q【解答過程】對于①，假設存在公差為dd≠0的等差數(shù)列an具有性質P，則存在常數(shù)使得對任意的n∈N?，都有不等式則對任意的n∈N?，都有但這對大于Md的正整數(shù)n對于②，設an是以1為首項，qq<1為公比的等比數(shù)列，則a所以正實數(shù)M=q?1?1a=q?1對于③，若由數(shù)列an的前n項和構成的數(shù)列Sn具有性質P，則存在常數(shù)使得對任意的n∈N?，都有不等式從而正實數(shù)a1+2M滿足對任意的a==a對于④，若數(shù)列an和bn均具有性質P，存在常數(shù)M1都有不等式a2?a使得對任意的n∈N?，都有不等式從而正實數(shù)b1M1a≤≤k=1≤k=1≤=≤b故答案為：②③④.題型9題型9兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示33．（24-25高三上·遼寧·期中）已知直線y=x+t是曲線y=lnx?1和y=ax2?3x的公切線，則a+t【解題思路】利用導數(shù)的幾何意義求解即可.【解答過程】令fx=ln因為直線y=x+t是曲線y=ln所以由f′x=1所以fx在2,0處的切線為y=x?2，所以t=?2又y=x?2是y=ax聯(lián)立y=x?2y=ax2令Δ=16?8a=0解得a=2所以a+t=0，故答案為：0.34．（23-24高二下·湖北武漢·期中）已知直線y=kx+b是曲線f(x)=ex?1與g(x)=ex+2023【解題思路】設出公切線與兩曲線的切點坐標，分別求出在切點處的切線方程，利用斜率相等及切線在y軸上的截距相等即可求解.【解答過程】設直線y=kx+b與f(x)的圖象相切于點P與g(x)的圖象相切于點P2又f'(x)=e曲線y=f(x)在點P1x1曲線y=g(x)在點P2x2故ex解得x1故k=y故答案為：1.35．（2024·北京朝陽·一模）已知函數(shù)fx=12sin2x.若曲線y=fx在點Ax1【解題思路】利用導數(shù)的幾何意義，結合條件可知，cos2【解答過程】f′x=即cos2x1?cos2x2=?1或cos2x1=?1cos2x所以x1?x2=?所以x1?x故答案為：π2(答案不唯一)36．（2024·河北邯鄲·三模）若曲線y=ex與圓(x?a)2+y2=2【解題思路】易得曲線y=ex在點x0,y0處的切線方程為y?ex0=ex0x?x0，再根據(jù)切線與圓x?a2【解答過程】解：曲線y=ex在點x0由于直線y?ex0=e因為曲線y=ex與圓即方程e2令gx=e2xx?a?1顯然，g′當x∈?∞,a?1時，g′x>0，當x∈a?1,a+2所以，gx在?∞,a?1上單調遞增，在a?1,a+2且當x→?∞時，gx=x?a?12因此，只需ga?1>2g解得a>1.故答案為：1,+∞題型10題型10函數(shù)的單調性問題37．（24-25高三上·湖北武漢·階段練習）已知函數(shù)fx=sin2π3，【解題思路】利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性即可.【解答過程】f′x=令f′x=2cosx+12+當x∈0,2π3時，f′當x∈2π3,4π3當x∈4π3,2π時，f綜上可知，函數(shù)fx的單調遞減區(qū)間為2故答案為：2π38．（24-25高三上·河北張家口·階段練習）已知函數(shù)fx=x2+x?2ex?2x+5【解題思路】根據(jù)題意可知y=f'x【解答過程】由題意知f'因為fx在區(qū)間2m?1,3m+2上不單調，即y=f'x在區(qū)間2m?1,3m+2有變號零點，又ex+2>0，所以所以x=1在區(qū)間2m?1,3m+2內，所以2m?1<13m+2>1，解得?13<m<1，即故答案為：?139．（2024高三·全國·專題練習）已知定義在R上的函數(shù)fx的導函數(shù)為f′x，對任意x∈0,π，有f′xsinx>fxcosx，設a=2fπ6，【解題思路】構造函數(shù)Fx【解答過程】構造函數(shù)Fx=fxsin則x∈0,π時，所以函數(shù)Fx在0,于是Fπ即2fπ所以a<b<c，故答案為：a<b<c.40．（24-25高三上·安徽·開學考試）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1?x)=f(1+x)，當x∈[1,+∞)時，f(x)=12x2?x【解題思路】根據(jù)給定條件，可得函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱，再利用導數(shù)求出f(x)在[1,+∞【解答過程】依題意，函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱，當x∈[1,+∞)時，f′(x)=x?ln函數(shù)f′(x)在[1,+∞)上單調遞增，f′不等式f(3x?1)≥f(0)化為|3x?1?1|≥|0?1|，解得x≤13或所以不等式f(3x?1)≥f(0)的解集為(?∞故答案為：(?∞題型11題型11函數(shù)單調性、極值與最值的綜合應用41．（23-24高三上·浙江紹興·期末）設函數(shù)fx=x3+ax2?3x?ba,b∈R在x=x1,x=x2【解題思路】利用導數(shù)求函數(shù)的單調性及極值，結合韋達定理求參數(shù)a，再分類討論b的范圍計算即可.【解答過程】由已知得f′x=3可得Δ=4則x2可得fx=令f′x>0，解得x<?1或x>1；令f易知fx=x3?3x?b在?故當x∈0,2時，0,1上單調遞減，1,2而f1當?b<0<2?b，即0<b<2時，M=f當b=0時，M=f當b≥2時，M=f當b<0時，M=f顯然對于?b∈R，當b=0時，M故答案為：2.42．（23-24高二下·安徽合肥·階段練習）若函數(shù)fx=13x3?x2【解題思路】求得函數(shù)的導數(shù)，判斷單調性，確定函數(shù)極值，結合函數(shù)值情況，列出使得函數(shù)fx在區(qū)間?2,1+a【解答過程】由fx=1當x<0或x>2時,f′x>0；當0<x<2即fx=13x故x=0為函數(shù)的極大值點，且f0令fx=13x故要使函數(shù)fx=13x需滿足0<1+a≤3,∴?1<a≤2，故答案為：(?1,2].43．（23-24高三下·浙江·開學考試）設x1，x2是函數(shù)fx=12ax2?e【解題思路】根據(jù)極值點定義可將問題轉化為y=a與gx=exx有兩個不同交點x1,x2；化簡得到ex2?x【解答過程】∵f′x=ax?e∴x1,x2即ex1=ax1，ex2所以ex2?x1令?(t)=lntt?1令u(t)=1?1t?所以u(t)在[2,+∞)上單調遞減，所以所以?(t)在[2,+∞)所以a=e令φ(x)=exx所以φ(x)在(0,ln2]故答案為：2ln44．（23-24高二下·北京·期末）已知函數(shù)fx①當a≥0時，y=fx在0,+②當0<a<12時，③當a≤0時，y=fx④若函數(shù)存在兩個不同的極值點x1，x2，則其中所有正確結論的序號是②④．【解題思路】根據(jù)導函數(shù)的正負，即可判斷①,極值點的定義，結合函數(shù)的單調性即可判斷②③，根據(jù)極值點，構造函數(shù)ga【解答過程】fx=xf′當a≥0時，2x2?2x+a=2x?1若y=fx存在兩個極值點；則2x2?2x+a=0有兩個相異的正實數(shù)根，所以當a≤0時，令f′x=0,則2x2則x1x2當x∈0,x2所以fx在0,x2因此當x=x2時，由②知若函數(shù)存在兩個不同的極值點x1，x2，0<a<1令ga由于y=2a,y=lna?1均為所以g′a=2a+lna?1為0<a<12故ga為0<a<12上的單調遞減函數(shù)，當a趨近于0時，ga也趨向于于0，因此故答案為：②④.題型12題型12利用導數(shù)研究函數(shù)的零點（方程的根）45．（24-25高三上·山東濟寧·期中）已知函數(shù)fx=x2?12lnx【解題思路】根據(jù)題意轉化為fx=x2?12lnx【解答過程】因為函數(shù)fx=x2?12所以fx=x所以a>lnx2設gx=ln因為x>2，lnx2>0，可得1?所以gx在區(qū)間2,+∞上單調遞減，所以gx所以，實數(shù)a的取值范圍為[?2,+∞故答案為：[?2,+∞46．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習）已知函數(shù)f(x)=x?ex,x<1lnxx,x≥1，方程【解題思路】分x<1和x≥1兩種情況，分別求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調區(qū)間與極值，從而得到函數(shù)圖象，由方程fx【解答過程】因為fx當x<1時fx=x?e當x<?1時f′x<0，當?1<x<1所以fx在?∞,?1上單調遞減，在?1,1上單調遞增，fx在x=?1當x≥1時,fx=當1≤x<e時,f′x>0，當所以fx在1,e上單調遞增，在所以fx在x=e取得極大值，令lnx=t，若x≥1，則t≥0，從而ln當t→+∞時，ln所以fx

方程fx由圖可知當且僅當a∈?故答案為：?147．（23-24高三上·黑龍江雞西·期末）已知函數(shù)fx=x2,x≤0xex?1,x>0，若關于x【解題思路】求得f′x=1?xe【解答過程】當x>0時，fx=x當x∈(0,1)時，f′x>0當x∈(1,+∞)時，f′x<0畫出函數(shù)y=fx關于x的方程f2令fx=t，令則gx=0在則滿足Δ=?m2所以實數(shù)m的取值范圍為(1故答案為：(1

48．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx=ex,x≤0lnxx,x>0【解題思路】題目轉化為函數(shù)y=fx與函數(shù)y=x?a=x?a,x≥aa?x,x<a【解答過程】函數(shù)gx則函數(shù)y=fx與函數(shù)y=作出函數(shù)y=fx

當x≤0時，fx=ex，則故曲線fx=ex在x=0處的切線方程為當x>0時，fx=lnxx故曲線fx=lnxx在x=1綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為?∞故答案為：?∞題型13題型13利用導數(shù)研究恒成立、存在性問題49．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎猭為常數(shù)，若關于x的不等式(x?k)2exk≤1e對任意的x∈(0,+【解題思路】分析可知k<0，整理可得xk?12ex【解答過程】顯然k≠0，若k>0，當x趨近于+∞，y=(x?k)2可知k<0，因為(x?k)2ex由x>0，可得xk<0，令t=x原題意等價于t?12et構建ft=t?1令f′t>0，解得t<?1；令f可知ft在?∞,?1則ft≤f?1所以實數(shù)k的取值范圍為?1故答案為：?150．（24-25高二上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)fx=5ex+alnx+1?a+5x?5，若【解題思路】就a>0、a≤0分類討論，前者再就0≤a≤5,a>5分類后結合導數(shù)的符號討論單調性后可得相應范圍，后者結合常見的函數(shù)不等式可得恒成立，故可得參數(shù)的取值范圍.【解答過程】當a>0時，f′設gx=5因為a>0，故y=5ex,y=?故g′x在若5?a≥0即0<a≤5，則g′x>0故gx在0,+∞上為增函數(shù)，故故fx為0,+∞上為增函數(shù)，故故0<a≤5符合，若5?a<0即a>5，此時g′0=5?a<0故存在x0∈0,且?x∈0,x0，g′x故?x∈0,x0，gx<g故fx當a≤0時，設sx=x?ln故sx在0,+∞上為增函數(shù)，故sx設tx=etx在0,+∞上為增函數(shù)，故tx而a≤0，故5e即5ex+alnx+1綜上，a≤5，故答案為：a≤5.51．（24-25高三上·江西宜春·階段練習）若關于x的不等式x2?mx+3m?2≥0在區(qū)間1,2上有解，則實數(shù)m的取值范圍是?2,+∞【解題思路】分離參數(shù)可得m≥2?x23?x在區(qū)間【解答過程】∵x∈1,2∴不等式x2?mx+3m?2≥0，即m≥2?設g(x)=2?x2則g(x)=?令t=3?x,t∈1,2設?(t)=?t+7t?′(t)=?1?7t故?(t)min=?(1)=?2故要使m≥2?x23?x在區(qū)間即實數(shù)m的取值范圍是?2,+∞故答案為：?2,+∞52．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知函數(shù)fx=lnx2+1,gx=【解題思路】根據(jù)題意得fx【解答過程】由題意，可得fx當?1≤x≤1時，f′由f′x<0，可得?1≤x<0，由f所以函數(shù)fx在?1,0上單調遞減，在0,1上單調遞增，所以f因為gx=1ex?a，所以所以0≥1e2?a，解得a≥1故答案為：1e題型14題型14利用導數(shù)研究雙變量問題53．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函數(shù)fx=12x2,gx=【解題思路】由f′x1=gx2得【解答過程】因為f′x=x，若f′令?x=3x?當x∈0,13時，?當x∈13,+∞時，?xmin=?故x2?x故答案為：1+ln54．（24-25高二·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)fx=x3?3ax2+12xa>0【解題思路】根據(jù)極值點定義可知x1,x2為f′x=0的兩根，由Δ>0可求得a>2，并得到韋達定理的形式；結合韋達定理將fx【解答過程】由題意知：fx的定義域為R，f∵fx有兩個極值點x1,x2∴Δ=36a2?144>0，又a>0，解得：a>2∴fx1+fx2=x令ga=?4a∴當a>2時，g′a<0恒成立，∴g∴ga<g2=?4×8+24×2=16，則故答案為：?∞55．（2024·江蘇南通·二模）已知函數(shù)fx=lnx,x≥11?x2,x<1，若Fx=f【解題思路】先運用分段函數(shù)的解析式，得出F(x)=f(f(x)+1)+m的解析式，再利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性區(qū)間,即可求得x1【解答過程】當x≥1時,f(x)=lnx≥0,∴f(x)+1≥1,當x<1，f(x)=1?x綜上可知：F(x)=f(f(x)+1)+m=ln則f(x)+1=e?m，f(x)=e?m?1有兩個根x當x≥1時,lnx2=e?m令t=e?m?1>12,則lnx2=t，x2設g(t)=et(2?2t)，t>12,所以g′(t)=?2t∴g(x)的值域為(?∞,e),∴x故答案為：(?∞,e56．（2023·湖南郴州·模擬預測）已知函數(shù)fx=12x2+1?ax?xlnx有兩個極值點x1,x2【解題思路】由f(x)有兩個極值點x1,x2，得f′(x)有兩個變號零點，構造函數(shù)?x=x?lnx?a，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，得函數(shù)的草圖，利用草圖列式可求出【解答過程】f(x)的定義域為(0,+∞)，由已知得x1,x令?x=x?ln當x∈0,1時，?′x<0,，?(x)單調遞減，當x∈1,+所以函數(shù)f′x在0,1上單調遞減，在當x→0時，lnx→?∞，?ln當x→+∞時，lnx→?∞，?如圖：由圖可知，只需f′xmin即實數(shù)a的取值范圍是1,+∞若3x1≥x2由已知a=x1?則tx1?x1所以lnx令mt=t+1令φ(t)=?2lnt+t?1所以函數(shù)φ(t)在t∈(1,3]上遞增，又因為φ(1)=0，所以當t∈(1,3]時，φ(t)>0，即m′所以函數(shù)m(t)在t∈(1,3]上遞增，所以m(t)≤m(3)=2ln所以lnx1+故答案為：1,+∞；2題型15題型15利用導數(shù)解決實際應用問題57．（23-24高二下·上海·期末）采礦、采石或取土時，常用炸藥包進行爆破，部分爆破呈圓錐漏斗形狀（如圖），已知圓錐的母線長是炸藥包的爆破半徑R，它的值是固定的．當炸藥包埋的深度為33R

【解題思路】先將圓錐的體積轉化為關于深處?的關系式，再利用導數(shù)與函數(shù)性質的關系求得V的最大值點，從而得解.【解答過程】結合圖形，可知圓錐的體積為V=1又因為R2=?所以V=13πR2令V′≥0，得0<?<33R所以V=13πR2所以在?=33R所以炸藥包要埋在33故答案為：3358．（23-24高二下·四川成都·階段練習）某銀行向貧困戶小李提供10萬元以內的免息貸款，小李準備向銀行貸款x萬元全部用于農產品土特產的加工與銷售，據(jù)測算每年利潤y（單位：萬元）與貸款x滿足關系式y(tǒng)=lnx?x?12【解題思路】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用單調性即可求出最值.【解答過程】依題意y=lnx?x?12y′=