基本不等式（含新定義解答題）解析版-2025年高考數(shù)學一輪復(fù)習訓練

第03講基本不等式（分層精練）

A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

A夯實基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2024上?山西長治?高一校聯(lián)考期末）當XHO時，f+3的最小值為（）

X

A.三B.1C.2D.272

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，即可求解.

【詳解】由xwO,可得f>0,貝匠+晨2、4=2,

XVX

當且僅當％2=1=時，即x=±1時，等號成立，故d+t1的最小值為2.

故選：C.

2.（2024上?廣東潮州?高一統(tǒng)考期末）設(shè)x>0,則函數(shù)片/+工+25的最小值為（

)

A.6B.7C.10D.11

【答案】D

【分析】利用基本不等式求解可得答案.

【詳角星】x>0,...y='=%+至+122］至+1=11,

XXVX

當且僅當x=325，即x=5時，等號成立,

X

所以函數(shù)y=*+尤+25的最小值為［I,

X

故選：D.

3.（2024上?山東青島?高一統(tǒng)考期末）已知x,y為正實數(shù)，則生+土的最小值為（）

xy

A.1B.V2c.2D.2V2

【答案】D

【分析】根據(jù)題意利用基本不等式運算求解.

【詳解】因為無，y為正實數(shù)，則祖+二22、叵三=2近，

xy\xy

當且僅當包=土，即x=&y時，等號成立，

xy

所以工+二的最小值為2忘.

xy

故選：D.

4.（2024上糊北武漢?高三統(tǒng)考期末）已知正數(shù)。，b滿足a+2b=1,則（）

1111

A.ab>-B.ab>—C.0<ab<—D.0<ab<—

8888

【答案】C

【分析】根據(jù)基本不等式直接計算即可.

【詳解】由題意得，a>0,b>0,則。匕〉。，a+2b=l>2y[2^b,即

O

當且僅當。=幼，即。=1,6=1時等號成立.

24

故選：C

5.（2024上?山東濱州?高三統(tǒng)考期末）若不等式f一依+420對任意xe[l,3卜恒成立，則實

數(shù)。的取值范圍是（）

（131

A.[0,4]B.（-8,4]C.I-<?.yD.（-oo,5]

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，分離參數(shù)再利用基本不等式求出最小值即得.

【詳解】不等式Y(jié)一方+430對任意尤e[l,可恒成立，則、/尤￡[1,3],aK冗H—,

而x+222j32=4,當且僅當冗=—,即x=2時取等號,因止匕aW4,

X\XX

所以實數(shù)。的取值范圍是（--4].

故選：B

31

6.（2024上?河北滄州?高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)x,y滿公g3x+2y=2,則丁+一的最小值

2xy

為（）

251325

A.6B.—C.—D.——

422

【答案】B

【分析】借助基本不等式計算即可得.

……311（3I、..、9c3y3x巨+2世馬金，

【詳解】?（3x+2y）=+2+'+

2xy2\2xy）212xyJ212RxyJ4

3y3x

————oQi

當且僅當Xy，即K=y=：時，等號成立，因此丁+一的最小值為

52xy4

[3x+2y=2

故選：B.

7.（2024上?廣西?高一校聯(lián)考期末）已知/+62=必+4,則的最大值為（

A.2B.4C.8D.2A/2

【答案】B

【分析】利用基本不等式可得關(guān)于。+6的一元二次不等式，解不等式即可.

【詳解】a2+b2=ab+4,則有（。+6）2=3"+4V3（q-+4,

可得（〃+份2<16,即a+b44,當且僅當〃=6=2時，等號成立.

所以的最大值為4.

故選：B

8.（2024上?湖南?高一校聯(lián)考期末）已知〃+/=4小1,則曲的最小值為（

11

A.-B.-C.2D.3

23

【答案】A

【分析】利用重要不等式列出不等式求解即可.

【詳解】由重要不等式得〃+〃=4M-1N2H,當且僅當，=b時取等，

解得顯然A正確，

故選：A

二、多選題

9.（2024上?河南安陽?高一林州一中校考期末）下列說法正確的是（）

A.x>0,xwl,則y=lg^+7*-的最小值是2

Igx

尤+55

B.尤20,則>=表育的最小值是1

C.x>0,則>=2工+:工的最小值是1

4-2

14

D.y=—+--^（1尤1<1）的最小值為9

X1—X

【答案】BD

【分析】根據(jù)選項式子的特點，利用函數(shù)單調(diào)性或者基本不等式可得答案.

【詳解】對于A,當x=[時，y=lgx+-^-=-2<2,A不正確；

10Igx

對于B,/=-/：=Jx+4+.:,令/=Jx+422,貝ijy=，+l,

A/X+4VX+4t

由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當此2時，y=f+；為增函數(shù)，所以》的最小值是g,B正確；

對于C,令y2、由xNO得tzi,y=t+—,

4f

由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當時，y=f+3為增函數(shù)，所以y的最小值是g,C不正確；

4f4

22

對于D,由0<1可得1_犬2>0,y=^+^-I^（x+l-x）=5+l^+^r>2A/4+5=9,

1_2J_V21

當且僅當v匕二即時，取到等號，D正確.

尤21-X23

故選：BD.

10.（2024上,山東臨沂,高一山東省臨沂第一中學期末）下列命題中正確的是（）

1V2+3

A.若％<0,則x-i—?—2B.；-N2

冗VX2+2

C.若XER且xwO,貝|x+—22D.X2+—^—>1

xx+1

【答案】ACD

【分析】由已知條件，利用基本不等式驗證各選項的結(jié)論是否正確.

時有一貝|%+工=

【詳解】%v0x>0,

x-x

當且僅當-％=」-,即％=-1時等號成立，A選項正確;

—X

兀？+3爐+2+1

Jx2+2H—，>2

A/X?+2J尤2+24+2

等號成立的條件是^=7言5，即f+2=i,顯然不能成立,

X2+3

故下^>2的等號取不到，B選項錯誤;

V%+2

R且X“，貝"+：=|龍1+1

若工￡

W

當且僅當同=看，即％=—1或尤=1時等號成立，C選項正確;

11

%2+=%2+1+-1>2—1=1,

%2+1x2+l

當且僅當即時等號成立,口選項正確;

故選：ACD

三、填空題

11.（2024上?湖北?高一校聯(lián)考期末）已知x>:,則x的最小值為___________

22x-l

【答案】;+&

【分析】利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】由于無>彳，所以x—二>0,2x—1>0,

22

111

所以x+不二x---1-+-—---

2x-l22x-l2

11r~1

>2----+—=12+—,

2x-l22

當且僅當苫-工=」一/=受以時等號成立,

22x-l2

所以x+上的最小值為齊應(yīng).

故答案為：—+^2

12.（2024上,山西運城?高一統(tǒng)考期末）已知正實數(shù)a,6滿足a+%+5=ab,且不等式

m〉10-2ab

恒成立，則實數(shù)機的取值范圍是

2a+ba+2b+5

【答案】根2-18

【分析】分離參數(shù)得旌-%力（2〃+匕）恒成立，即諾-||+|j（2a+Z7）,然后結(jié)合

基本不等式求解即可.

10—

【詳解】因為正實數(shù)。，。滿足。+如+5=",產(chǎn)m7之.2ab,

所以心°。-23（2。+叭_（2〃+4即2〃+也/Mg

〃+2Z?+5ab\baP7

因為［￡+芻］(20+3==+2+8+竺上10+2^^=18,

當且僅當華=竺，即a=b=3+回時取等號,

ba2

所以一

m10-2點

所以不等式>恒成立,只需〃注-18即可.

2a+bQ+2b+5

故答案為：m>-18

四、解答題

13.（2024上?浙江溫州?高一統(tǒng)考期末）近年來，"無廢城市"、"雙碳"發(fā)展戰(zhàn)略與循環(huán)經(jīng)濟

的理念深入人心，垃圾分類政策的密集出臺對廚余垃圾處理市場需求釋放起到積極作用?某

企業(yè)響應(yīng)政策號召，引進了一個把廚余垃圾加工處理為某化工產(chǎn)品的項目?已知該企業(yè)日加

工處理廚余垃圾成本y（單位：元）與日加工處理廚余垃圾量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系可

148%+6720,0<x<72

表示為：y=<3°.

--X2+9600,72<x<160

12

（1）政府為使該企業(yè)能可持續(xù)發(fā)展，決定給于每噸廚余垃圾以260元的補助，當日處理廚余垃

圾的量在什么范圍時企業(yè)不虧損？

⑵當日加工處理廚余垃圾量為多少噸時，該企業(yè)日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低？

【答案】⑴60WXW120

（2）80噸

【分析】（1）利用題中所給解析式，分兩段討論；

（2）當0<x472時，由函數(shù)單調(diào)性求得最值，當72Vx（160時，由基本不等式求得最值,

得解.

【詳解】（1）法一：當0<xV72時，-=148+—<260,

XX

x>60,/.60<x<72,

當72<%W160時，—x+>260,

2x

.-.3X2-520X+19200<0,

解得等4尤W120;.72c20,

綜上：當60<x<120時，該企業(yè)不虧損；

260x-(148x+6720),0<x<72

法二：由己知得g⑴小小5+96可,72<E6。'

由g(x)20得，60W72或72<xW120,

綜上：當604尤4120時，該企業(yè)不虧損；

(2)當0<xW72時，^=148+^^>148+^^=241-,

xx724

當72<E6。時，

2=2X+9600.3%X9600=240

尤2尤V2x

（"="當且僅當"x=80"成立）

綜上：當日加工處理廚余垃圾量為80噸時，該企業(yè)日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最

低.

14.（2024上?四川成都?高一統(tǒng)考期末）如圖所示，一條筆直的河流/（忽略河的寬度）兩

側(cè)各有一個社區(qū)A,B（忽略社區(qū)的大小），A社區(qū)距離/上最近的點&的距離是2km,8社區(qū)

距離/上最近的點穌的距離是1km,且=4km.點尸是線段4為上一點，設(shè)&P=akm.

現(xiàn)規(guī)劃了如下三項工程：

工程1：在點尸處修建一座造價0.1億元的人行觀光天橋；

工程2：將直角三角形AA）P地塊全部修建為面積至少1km2的文化主題公園，且每平方千米

造價為億元；

工程3：將直角三角形8穌尸地塊全部修建為面積至少0.25km2的濕地公園，且每平方千米

造價為1億元.

記這三項工程的總造價為W億元.

（1）求實數(shù)。的取值范圍；

（2）問點尸在何處時，W最小，并求出該最小值.

"7"

【答案】（1）1，-

⑵當點尸滿足14Pl=3時，W最小，最小值為5.1億元.

【分析】（1）由直角三角形8線尸地塊全部修建為面積至少0.25km2和直角三角形凹尸地

塊全部修建為面積至少1km2的文化主題公園濕地公園，列不等式求解即可得出答案.

（2）由題意可得W=［l+工］。+1義\￡+0」，由基本不等式求解即可.

【詳解】（1）因為直角三角形B穌尸地塊全部修建為面積至少0.25km2的濕地公園，

117

所以力曠=萬|綜尸］忸聞=于1.（4_°）20.25,解得：a<-

直角三角形A&尸地塊全部修建為面積至少Ikn?的文化主題公園,

所以SMLJAPIIMUJXZS",解得：a>l,

7

故實數(shù)。的取值范圍為I,2

4—a

(2)依題意可得：卬=1+?Q+1X-------F0.1

2

94-a…a9…、Ja9…_3_1.

=QH------1--------F0.1=—I------F2.122./一,---F2.1—2xF2.1=5.1,

2a222a722a2

a9

當且僅當二=三，即。=3時取等.

22a

所以當點尸滿足14Pl=3時，W最小，最小值為5.1億元.

B能力提升

1.(2024上?重慶?高一校聯(lián)考期末)當x>0,y>0,且滿足2x+y-2肛=。時，有

2尤+y>/+k-8恒成立，則上的取值范圍為()

A.(—4,3)B.[-4,3]C.(—3,4)D.[—3,4]

【答案】A

【分析】把恒成立問題轉(zhuǎn)化成求最值問題，利用基本不等式求出2x+y的最小值，然后解二

次不等式即可.

[詳解]因為2x+y_2P=0即1+工=1且x>0,y>0,

2xy

所以2元+y=(2x+y)(4+，]=2+4+至22+2、l^x—)=4,

(2xy)2尤y\2xy

J^=2x

2xyfx=l

當且僅當,,，即c時等號成立，

WU=2

,2-xy

因為不等式2x+y>3+%-8恒成立，所以^+08<4,

即左2+左一12<0,解得T(上<3,故％的取值范圍為(T,3).

故選：A

2

2.(2024上?全國?高一專題練習)設(shè)正實數(shù)x,y滿足y>2,不等式

27三+,3-18/-2'2'機"-2)(3%-2)恒成立，則實數(shù)機的最大值為()

A.2-72B.4.72C.8D.16

【答案】D

9r2V29x2v2

【分析】令a=3x-2>0,b=y-2>0,不等式變形為多+^^2切，求出

y-23x-2y-23x-2

的最小值，從而得到實數(shù)機的最大值.

2

【詳解】尤>§，y>2變形為3x—2>0,y-2>0,

令a=3元—2>0,b=y—2>0,

則27d+/-18/一2y22"（y-2）（3x-2）轉(zhuǎn)化為

9/（3》-2）+文廣2）

即至+上>m,

（J-2）（3X-2）-y—23x—2

其中9尤2+y2=（a+2『+S+2『>（2岳）+（2畫）

y-23x-2baba

ofa乙lab,

—8—i—戶16J-------116,

\ba）xba

4

當且僅當。=8=2,即x==4時取等號，可知m<16.

故選：D

12

3.（2。24?全國?高三專題練習）已知羽川（1,2）且x+y=3,若心+于/“恒成立,

則實數(shù)。的范圍是

【答案】

fl2112

【分析】依題意得a<7^—+--,利用基本不等式"1"的代換求出^—+—的

（2尤一y2y-x）^2x-y2y__x

最小值，即可得解.

*1

【詳解】因為羽丁€（1,2）且無+、=3,若丁—+富一24恒成立，貝|]。<];?^+/一，

2x-y2y-x12元-y2y川

又

2x—y2y—x

l「「2y-x2（2x_y）］1您-x2（2x-y）3+2也

一|DH---------------1-----------------------—3-vL\-----------------=--------

32x-y2y-x3y2x-y2y-x3

當且僅當衿^=2fx-y）,即x=g,y=3-四時等號成立,

2x—y2y-x

所以也，即實數(shù)。的取值范圍是:亞土芋;

故答案為：J現(xiàn)紅苴

4.(2024上?江西上饒?高一?？计谀?已知函數(shù)〃尤)=x+7+a,若對任意實數(shù)a>-2,

關(guān)于尤的不等式機在區(qū)間1,3上恒成立，則實數(shù)機的取值范圍為.

【答案】(f0］

【分析】根據(jù)對勾函數(shù)g(x)=x+』的單調(diào)性可得，xe1,3時2Wg(x)4?從而由/(上加

x」3

得工+4+。之機恒成立，由題意得2+a之相對任意實數(shù)a>-2恒成立，即可求解.

x

【詳解】???對勾函數(shù)g(%)=x+4在；，1上單調(diào)遞減，在［1,3］上單調(diào)遞增，

xLz_

gc|)=I，g⑴=2,g(3)=m,

xeI，3時，g(x)111ta=g(1)=2,g(x)皿，=g⑶=5,即2<g(x)(當，

a>—2,貝！J0<2+aWxd----naW—FCL,

x3

由了(龍)之加得x+'+〃之機，即兀+工+aN根恒成立，

由題意得，2+aN相對任意實數(shù)a>-2恒成立，

則2+(—2)之加，得切V0,

則實數(shù)m的取值范圍為(9,0］.

故答案為：(y,。］.

C綜合素養(yǎng)

5.(2023上?山東德州?高一?？茧A段練習)某天數(shù)學課上，你突然驚醒，發(fā)現(xiàn)黑板上有如

下內(nèi)容：例：求函數(shù)》=三-3x(x>0)的最小值.解：利用基本不等式a+6+cN3?勿浣，

(a>0,力>0,c>0),可彳導(dǎo)J+1+123元，于是y-~3x—x'+1+1—3x—223x—3x—2=—2,

當且僅當x=l時，取得最小值-2.

提示：基本不等式a+Z?+c+i/24-血6c4,(a>0,Z?>0,c>0,<7>0)

(1)老師請你模仿例題，研究函數(shù)y=x4-4x(x>0)的最小值；

1°

(2)求函數(shù)y=§無3-3x(尤>0)的最小值；

(3)當。>0時，求函數(shù))=爐-辦(彳>0)的最小值.

【答案】⑴-3

⑵一6

9

【分析】（1）根據(jù)新定義可得犬―4%=/+1+1+1?4%—3,求解即可；

1212

（2）根據(jù)新定義可得入丁―=+3+3—3x—6,求解即可；

99

（3）根據(jù)新定義可得三一方=V+睡+吧一辦-生國，求解即可.

3V33A/39

【詳角軍】（1）x>0,a+b+c+d>4\fabcd,

知/一4%=%4+1+1+1-4%-3>4X-4X-3=-3，當且僅當尤=1時，取至!j最小值一3；

（2）由%>0,a+b+c>3\jabc，

知工%3-3%=:%3+3+3—3%—623%—3%一6=—6,當且僅當％=3時，取至!J最小值一6；

（3）由a+b+c>3%abc,

當且僅當無=因時，取到最小值一生旦.

V39

6.（2024下?安徽?高三池州市第一中學校聯(lián)考開學考試）基本不等式可以推廣到一般的情

形：對于,個正數(shù)%,出，,an,它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即

q+生：+。"源中2-當且僅當％=%=…=?！睍r，等號成立.若無窮正項數(shù)列｛4｝

同時滿足下列兩個性質(zhì)：①三〃>0,凡<M；②｛%｝為單調(diào)數(shù)列，則稱數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)P.

（1）若?！?"+以，求數(shù)列｛%｝的最小項；

n

⑵若切=而:，記判斷數(shù)