集合與常用邏輯用語、不等式綜合測(cè)試卷-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

第一章集合與常用邏輯用語、不等式綜合測(cè)試卷

（新高考專用）

（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求.

1.（5分）（2024?黑龍江哈爾濱?一模）已知集合4=B=（x\x3=x},則4nB=（）

A.{-1}B.{-1,1}C.{0,1}D.{-1,0,1）

【解題思路】化簡(jiǎn)集合B,由集合的交集定義計(jì)算即可.

【解答過程】因?yàn)锽={比|爐=0={-1,0,1）,

所以4cB={-1,0,1}.

故選：D.

2.（5分）（2024?貴州遵義?一模）已知命題p:V久>1,Inx>[-5■,則中為（）

A.Vx>1>Inx<——B.3%<1,Inx<——

,1111

C.3%<1,In%——D.3%>1,In%4§—

【解題思路】全稱命題的否定為特稱命題，否定形式為：將三改為V,再將結(jié)論否定.

【解答過程】由命題p:Vx>l,In尤>5-?？芍?/p>

-ip為三%>1,InxW（—表■,故D正確；ABC錯(cuò)誤；

故選：D.

3.（5分）（2024?四川成都?三模）滿足MU{a,瓦c,d}且MC{a,瓦c}={a}的集合M的個(gè)數(shù)為（)

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)交集的結(jié)果，以及子集的關(guān)系，確定集合M中的元素，即可求解集合M的個(gè)數(shù).

【解答過程】由M八{(lán)3hc}={研可得：{a}旦M,aeM,￡M.又因?yàn)镸[{a,hc,d},

所以M={a}或M={a,d}.

故選：B.

4.（5分）（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)%eR,則T%—21V1”是“1<x<2"的（）

A.充要條件B.既不充分也不必要條件

C.充分不必要條件D.必要不充分條件

【解題思路】由題意解絕對(duì)值不等式，再結(jié)合必要不充分條件的定義即可得解.

【解答過程】|x-2|<l的解集為口|1<%<3},所以-2|<1”是“1<%<2"的必要不充分條件.

故選：D.

5.（5分）（2024?北京豐臺(tái)?二模）若a,b￡R,且a>b,則（）

A.-n—V—n—B.o7b>ccb^

a2+lb2+l

C.a2>ab>b2D.a>>b

2

【解題思路】舉反例即可求解ABC,根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解D.

【解答過程】由于a>b,取a=1,b=—1,成；[==右/匕=ab?=1,無法得到蔡匕V京匕，。2b>ab?,

故AB錯(cuò)誤，

22

取a=0,b=—2,則於=ofab=0,b=4,無法得到次>ab>b,C錯(cuò)誤，

由于a>b,貝1J2a>b+a>2b,所以a>>b,

故選：D.

6.（5分）（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）若不等式依2+（々一6）%+2>0的解為全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)々的取值范圍

是（）

A.2WkW18B.-18<k<-2

C.2</c<18D.0</c<2

【解題思路】分類討論k=0與kK0兩種情況，結(jié)合二次不等式恒成立問題的解決方法即可得解.

【解答過程】當(dāng)k=0時(shí)，不等式質(zhì)2+/-6）刀+2>0可化為-6乂+2>0,顯然不合題意；

當(dāng)kK0時(shí)，因?yàn)閗/+（fc-6）%+2>0的解為全體實(shí)數(shù)，

所以｛△=（k-6）2-4kx2<0'解得2<k<18；

綜上：2<k<18.

故選：C.

7.（5分）（2024?廣東?一模）已知a,b,ceR且a70,則“a/+b久+c>0的解集為｛幻x71｝”是“a+。+c=0”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】

根據(jù)一元二次不等式的解及充分條件、必要條件求解.

【解答過程】由題意，二次不等式a/+。久+c>0的解集為｛劃久H1｝,

（a>0

則等價(jià)于J-^=1,即a=c>0,b=—2a,即a+b+c=0,

（△=房-4ac-0

當(dāng)a+6+c=0時(shí)，不能推出a=c>0,6=—2a,

所以“a/+bx+c>0的解集為｛x|x豐1產(chǎn)是“a+b+c=0”的充分不必要條件,

故選：A.

8.（5分）（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若正實(shí)數(shù)a,6滿足a+b=1,貝壯+涪最小值4

ab

B.若正實(shí)數(shù)a,b滿足a+2b=1,則2。+4b22a

C.y=&F+總的最小值為殍

D.若a>b>1,貝！Jab+1<a+b

【解題思路】對(duì)于A,利用｝+（=（a+6）G+§即可證明｝+^24,再給出取等的情況即可得到A正確；

對(duì)于B,利用2a+22%22,2a?22b即可證明即+#22班,得到B正確；對(duì)于C,利用換元法與對(duì)勾函數(shù)

單調(diào)性判斷；對(duì)于D,驗(yàn)證當(dāng)a=3,6=2時(shí)不等式不成立，得到D錯(cuò)誤.

【解答過程】對(duì)于A,若正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=1,貝壯+4=9+30+9=2+2+:22+2口=2+

ab\abJabyab

2=4,而當(dāng)a=時(shí)，有a+b=l,-+1=4,從而工+：的最小值是4,故A正確；

2abab

對(duì)于B,若正實(shí)數(shù)a,b滿足a+2b=1,則2a+?=2。+22b2272a?22b=2-2。+2b=2vL故B正確；

對(duì)于C,設(shè)石中=te[g,+8）,則丫="：?2圾，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性得最小值是百+晝=苧

故c正確;

對(duì)于D,當(dāng)a=3,b=2時(shí)，有a>b>l,但ab+1=3,2+1=7>5=3+2=a+b,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（5分）（2024?海南省直轄縣級(jí)單位?模擬預(yù)測(cè)）已知集合力={x|xW3},集合B={x|xWm+1},能

使力n8=4成立的充分不必要條件有（）

A.m>0B.m>1C.m>3D.m>4

【解題思路】由4cB=4成立的充要條件求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)m的范圍，結(jié)合充分不必要條件的定義即可得解.

【解答過程】力CB=4當(dāng)且僅當(dāng)4是B的子集，當(dāng)且僅當(dāng)6+123,即巾22,

對(duì)比選項(xiàng)可知使得m>2成立的充分不必要條件有m>3,m>4.

故選：CD.

10.（5分）（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知。>8〉0,。>0,則下列式子正確的是（）

A.c-b>c-aB.C.啟褊當(dāng)D.B（而

【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得A、B的正誤；根據(jù)基本不等式可得C的正誤；利用作差法可得D的

正誤.

【解答過程】由a>b>0,c>0,得一aV—b<0,所以c——b,A正確.

因?yàn)镼>b>0,c>0,所以ac>bc>0,所以丁五>，無>0,所以3>】=>0,B正確.

7bey/ac

因?yàn)镼>b>0,所以a+2A/2ab<a+（a+2b）=2（a+b）,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取等號(hào)，

所以T亍23%=；,C正確.

a+2N2ab2（a+b）2

因期_￡±￡=W+c）-b（a+c）=>o所以9>"￡,D錯(cuò)誤.

bb+c匕（He）貼+c）bb+c

故選：ABC.

11.（5分）（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）非空集合4具有如下性質(zhì)：①若"GA,貝號(hào)eA；②若”6A,則1+y"

下列判斷中，正確的有（）

A.-1CAB.—2022eA

2023

C.若%,ye4貝！J%yE4D.若％,ye4則％—yEZ

【解題思路】

根據(jù)元素與集合的關(guān)系進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【解答過程】

對(duì)于A,假設(shè)一1e4則令％=y=—1,則

y

令x=-1,y=l,則x+y=0e4

令x=l,y=O,不存在：，即y^O,矛盾，

.,.-1gA,故A對(duì)；

對(duì)于B,由題，164則1+1=2€42+1=3…,202264202364,

???||||C4,故B對(duì)；

對(duì)于C,VIEA,xEA,.---EA,

X

,?*yGA,—6A,?'<3-=xy€4故C對(duì)；

X

對(duì)于D,VIGX,2c4若％=l,y=2,則％—y=-lW4故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

12.(5分)(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))下列說法正確的是()

A.不等式4/—5%+1>0的解集是｛%|x>:或x<1j

B.不等式2x2-%-6<0的解集是｛%|x4一|或％>2j

C.若不等式a第2+8a%+21V0恒成立，則Q的取值范圍是0

D.若關(guān)于x的不等式2/+p%-3Vo的解集是(q,1),則p+q的值為一g

【解題思路】

對(duì)于AB,直接解一元二次不等式即可判斷；對(duì)于C,對(duì)a分類討論即可判斷；對(duì)于D,由一元二次不等式

的解集與一元二次方程的根的關(guān)系，先求得p,q,然后即可判斷.

【解答過程】對(duì)于A,4x2一5%+1>0=(%—1)(4%—1)>0<=>x<］或久>1,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,2%2-%-6<0?(x-2)(2x+3)<0?-|<%<2,故B錯(cuò)誤；

若不等式a第2+Sax+21<0恒成立，

當(dāng)Q=0時(shí)，21V。是不可能成立的，

所以只能｛△=64：：：4a<0，而該不等式組無解，綜上，故C正確;

對(duì)于D,由題意得q,1是一元二次方程2x2+px-3=0的兩根，

從而1QX1=T,解得p=］,q=_j,

匕+p-3=02

而當(dāng)p=1,q=-1時(shí)，一元二次不等式2/+乂一3<。0（尤—1）（2%+3）<0=-|<x<1滿足題意，

所以p+q的值為一g,故D正確.

故選：CD.

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）（2023?吉林?二模）命題叼久eR,a/+久+1<0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【解題思路】

分析可知命題“VxeR,a/+x+120”為真命題，對(duì)實(shí)數(shù)a的取值進(jìn)行分類討論，在a=0時(shí)，直接驗(yàn)證即

可；當(dāng)aKO時(shí)，根據(jù)二次不等式恒成立可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解答過程】由題意可知，命題“Vx€R,ax2+x+l>0”為真命題.

當(dāng)a=0時(shí)，由x+120可得％1,不合乎題意；

當(dāng)aKO時(shí)，由題意可得{4=：］；1V0,解得a2.

因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a2；.

故答案為：a2

4

14.（5分）（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知集合時(shí)={-2,-1,0,1},N={x|a—3<x<l},若MCN中有2

個(gè)元素，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是—［L2）_.

【解題思路】根據(jù)交集的運(yùn)算及集合中的元素的個(gè)數(shù)，列不等式求解即可.

【解答過程】因?yàn)镸={-2,-1,0,1},N={x|a-3<%<1},若MCN中有2個(gè)元素，

所以MCN={—1,0},所以-2Wa-3<-1,解得lWa<2,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是［1,2）.

故答案為：［1,2）.

15.（5分）（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知x>l,y>0,且久+j=2,則士+v的最小值是3+2魚.

【解題思路】利用“1”的巧用及基本不等式即可求解.

【解答過程】由X+2=2,得％-1+白=1,

yy

因?yàn)椋?gt;1,y>0,

所以久-1>0,y>0,

所以E+y=（久T+；）島+y）=3+（久-l）y+—N3+2j（x-l）y.&=3+2&,

當(dāng)且僅當(dāng)（x-l）y=；~三「，即乂=加，y=2+?時(shí)，等號(hào)成立，

（x-Dy

所以土+y的最小值是3+2V2.

故答案為：3+2魚.

16.（5分）（2024?上海靜安?二模）在下列關(guān)于實(shí)數(shù)a、b的四個(gè)不等式中，恒成立的是②③④.（請(qǐng)

填入全部正確的序號(hào)）

2

?a+b>2Vab；②（芋）>ab-,③|a|-網(wǎng)W|a-b|；@a2+b2>2b—1.

【解題思路】取特值可判斷①；作差法可判斷②④；要證|a|-網(wǎng)<川即證2|a||b|>2ab可判斷③.

【解答過程】對(duì)于①，取a=—1/=1,故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，（手）2一時(shí)=立<"=立展效=（學(xué)）220,故②正確；

對(duì)于③，當(dāng)|a|2|b|,要證同-網(wǎng)W|a—如即證（⑷一向尸W（|a-川產(chǎn),

即+也『-21alib|<a2+b2—2ab,即證21alib|>lab,

而2|a||b|>2Gb恒成立,

當(dāng)|a|V網(wǎng)時(shí)，|a|一網(wǎng)V0,|a-b|>0,所以|a|一網(wǎng)<|a—b|,故③正確.

對(duì)于④，a2+62—2fe+1=a2+（6—I）2>0,所以次+&2>2Z?—1,故④正確.

故答案為：②③④.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）（2023?山東?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)全集［/={2,4,小一5研，P={a—2,2},Q^P={6},求a的值.

【解題思路】由補(bǔ)集的概念列式求解.

【解答過程】解：???全集1/={2,4,層一5研,P={a—2,2},QjP={6},

?fa2—5a=6

**ta-2=4'

??CL—6.

18.（12分）（2023?重慶酉陽，一模）命題p：任意久6R,/一2爪％-3m>0成立；命題q：存在

x2+4mx+1<0成立.

（1）若命題q為假命題，求實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍；

（2）若命題p和q有且只有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

【解題思路】（1）由g真,由判別式求得m的取值范圍，進(jìn)而得到q假的條件；

（2）求得〃真的條件，由p和q有且只有一個(gè)為真命題，得到p真q假，或p假q真，然后分別求的加的取值

范圍，再取并集即得.

【解答過程】（1）由［真：△=16巾2一4>0,得小<一|■或小>（，

所以4假：—<nt<-|；

(2)p真：△=4m2+12m<0推出一3<m<0,

由p和q有且只有一個(gè)為真命題,

P真q假，或P假q真,

—3<m<0(m<-3或m>0

<771<1或1m<_g或爪>g

[-1

???--<m<0或zn<—3或m

19.（12分）（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）（1）設(shè)a,b為正實(shí)數(shù)，求證：工2竽.

a+b4

（2）設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，求證：<+吳+旦2哈出.

a+bD+Cc+a2

【解題思路】（1）（2）根據(jù)題意，由不等式的性質(zhì)，代入計(jì)算，即可證明.

【解答過程】（1）因?yàn)楫?dāng)一號(hào)=殍柴，a,b為正實(shí)數(shù)，

a+b44（a+b）

所以第2°，所以三2竽，當(dāng)且僅當(dāng)a=匕時(shí)，取等號(hào)?

4（a+匕）a+b4

（2）由（1）,得.

3c2—ac

同理,得小F小

4

所以4+A+二23a2—ab+3b2—bc+3c2—ac_3(a2+b2+c2)-ab-dc—ac>3(ab+bc+ac)—(ab+bc+ac)_ab+bc+ac

4442

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c時(shí)，取等號(hào).

20.（12分X23-24高一下?湖南株洲?階段練習(xí)）已知集合A={x|-3<2x+1<7},B=（x\x<-4或力>2）,

C={x|3a—2<x<a+1}.

⑴求4r（CRB）；

（2）若“p:xeCR（AUB）”是“q:xeC”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】（1）先求出集合4再求出CRB,最后由交集的運(yùn)算求出力C（CRB）；

(2)先求出2UB,再求出CRQ4UB),再由充分不必要條件構(gòu)造關(guān)于a的方程組，解出即可.

【解答過程】(1)因?yàn)?={劃-3<2x+l<7}={x[—2<x<3},又CRB={x|-4WxW2},

所以4n(CRB)={x|-2<%<2].

(2)4U8=(x\x<-4或x>-2},所以CR(4UB)={x|-4<x<-2},

因?yàn)椤皃:x€CR(4UB)”是“q:x6C”的充分不必要條件，

則CRQ4UB)=C,又C={x|3a-2<x<a+1},

所二匚以I、I{f3aa+—l2><—-24o2

21.(12分)(2024?全國?二模)已知實(shí)數(shù)a〉0,6>0,滿足a+6=4百.

(1)求證：a2+b2>24；

(2)求3+D，+i)的最小值.

ab

【解題思路】(1)將a+b=4g兩邊平方后利用基本不等式證明；

(2)將('+1)，*)變形后將條件代入,然后利用基本不等式求最值.

ab

【解答過程】(1)由a+b=4g得48=(a4-Z?)2=a2+Z?2+2ab<a2+b2+a2+b2=2(a2+b2),

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=2遮時(shí)等號(hào)成立，

所以次+b2>24；

(2)由已知a>0,b>0,貝ijab>0,

r-j[(a2+l)(b2+l)_a2b2+a2+b2+l_a2,b2+(a+b)2—2ab+l_a2b2+48-2ab+l

、abababab

=ab+^--2>2V49-2=12,

rb=竺

當(dāng)且僅當(dāng)a一嬴，即一個(gè)為2舊+遮，一個(gè)為2g-通時(shí)等號(hào)成立.

la+b=4V3

所以3+i）y+i）的最小值12

ab

22.（12分）（23-24高一上?江蘇?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fO）=a/+（l—a）x+a—2.

（1）若關(guān)于久的不等式/（無）2-2有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若不等式/（久）>-2對(duì)于實(shí)數(shù)aG[-1,1]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)比的取值范圍；

（3）解關(guān)于