冪函數(shù)（解析版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第09講募函數(shù)

（6類核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

充分條件的判定及性質(zhì)必要條件的判定及性質(zhì)比較指數(shù)塞的大小判斷

2024年天津卷，第2題,5分

一般事函數(shù)的單調(diào)性

2023年天津卷，第3題,5分比較指數(shù)幕的大小、比較對(duì)數(shù)式的大小

2022年天津卷，第6題,5分比較指數(shù)幕的大小、比較對(duì)數(shù)式的大小

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握幕函數(shù)的定義，能夠靈活掌握幕函數(shù)的性質(zhì)

2.能掌握幕函數(shù)的圖像與綜合性質(zhì)

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助函數(shù)圖解決單調(diào)性與比較大小的問題

4.會(huì)解靈活運(yùn)用幕函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，解決綜合性問題

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般考查范圍比較靈活。

I「?考點(diǎn)梳理

考點(diǎn)一、鬲函數(shù)的解析式

1.基函數(shù)的概念考點(diǎn)二、基函數(shù)的定義域

2.幕函數(shù)的圖像及性質(zhì).考點(diǎn)三、鬲函數(shù)求值

知識(shí)點(diǎn).塞函數(shù)＜

3.靠值的大小比較考點(diǎn)四、幕函數(shù)的圖像

4.靠函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用考點(diǎn)五、鬲函數(shù)過定點(diǎn)

考點(diǎn)六、鬲函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn).幕函數(shù)

1.概念:形如y=；^(aeR)的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中久是自變量，a是常數(shù)

2.幕函數(shù)的圖像及性質(zhì).

y=%2151-1

y=y=%y=%2y=%

定義域RRR[0,+8){x\xeR且x。0}

值域R[0,+8)R[0,+8){y\ywR且yH0}

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)

單調(diào)性增XG[0,+°°)時(shí)，增；增增xe(0,+8)時(shí)，減；

%e(-8,o]時(shí)，減.xe(-0°,0)時(shí),增.

3.塞值的大小比較

(1)直接法:當(dāng)幕指數(shù)相同時(shí)，可直接利用幕函數(shù)的單調(diào)性來比較.

(2)轉(zhuǎn)化法:當(dāng)幕指數(shù)不同時(shí)，可以先轉(zhuǎn)化為相同塞指數(shù)，再運(yùn)用單調(diào)性比較大小.

(3)中間值法:當(dāng)?shù)讛?shù)不同且塞指數(shù)也不同而不能運(yùn)用單調(diào)性比較大小時(shí)，可選取適當(dāng)?shù)闹虚g值與兩數(shù)分別

比較，從而達(dá)到比較大小的目的.

4.暴函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

利用累函數(shù)的性質(zhì)解不等式，實(shí)際上就是利用暴函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小

關(guān)系，解不等式(組)求參數(shù)范圍時(shí)，注意分類討論思想的應(yīng)用.

考點(diǎn)一、幕函數(shù)的解析式

典例引領(lǐng)

1.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)若累函數(shù)/(%)=(根2一7n一在(0,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)7n的

值為()

A.2B.1C.-1D.—2

【答案】A

【分析】根據(jù)條件，利用幕函數(shù)的定義和性質(zhì)，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槟缓瘮?shù)f(X)=(m2-m-在(0,+8)上是增函數(shù),

所以匕

解得m=2.

故選：A.

2.(2023?四川成都?一模)已知塞函數(shù)/(x)=婢的圖象過點(diǎn)p(3,9),則a=()

1

A.-B.1C.2D.3

2

【答案】c

【分析】根據(jù)題意可得3a=9,求解即可.

【詳解】因?yàn)槟缓瘮?shù)f(x)=的圖象過點(diǎn)P(3,9),所以3a=9,解得a=2.

故選：C.

即0唧(

1.(23-24高三上?陜西咸陽?階段練習(xí))己知事函數(shù)/(X)=(2m2—爪)鏟4在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

則6=()

A.-2B.1C.--D.-1

2

【答案】B

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義及性質(zhì)分類討論計(jì)算即可.

【詳解】由題意有27n2一爪=1,解得m=i或爪=一1,

①當(dāng)血=一]時(shí)，/(%)=%-1,在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，不合題意；

1

②當(dāng)771=1時(shí)，/(X)=%2,在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，符合題意.

故選：B

2.(23-24高三上?青海西寧?階段練習(xí))若幕函數(shù)=X。的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4彳)，則a?=.

【答案】-/0.25

4

【分析】先由題意解出a值，進(jìn)而解出a?即可.

【詳解】因?yàn)?(%)=%a的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,},則4a=5則22。=2-1,

所以a=—5所以仇2=].

故答案為：

4

3.(2024?山東日照?二模)已知幕函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2,4),則函數(shù)的解析式為()

X2

A.y=2B.y=xC.y=log2xD.y=sinx

【答案】B

【分析】先用待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)解析式，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算出參數(shù)，即可得到答案.

【詳解】設(shè)幕函數(shù)的解析式為y=由于函數(shù)過點(diǎn)(2,4),故4=2%解得a=2,該哥函數(shù)的解析式為y=x2；

故選:B

考點(diǎn)二、幕函數(shù)的定義域

典例引領(lǐng)

1.（2022?上海?模擬預(yù)測）下列函數(shù)定義域?yàn)镽的是（）

_111

A.y=x_2B.y=%-1C.y=xiD.y=%2

【答案】C

【詳解】化分?jǐn)?shù)指數(shù)基為根式，分別求出四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域得答案.

1-1

【解答］、=%-5=專，定義域?yàn)閧加＞0},

y=%-1=i,定義域?yàn)閧汽|%。0},

1

y=X3=Vx,定義域?yàn)镽,

y=X2=4x,定義域?yàn)閧%|%N0}.

故選：C.

2.（23-24高三上?上海靜安?期中）函數(shù)y=（3x—2）［的定義域?yàn)?/p>

【答案】（|,+8）

【分析】定義域即使得式子有意義，列出不等式即可.

【詳解】由y=（3x-2）V,使得式子有意義，貝ij3x-2＞0,則定義域?yàn)椋▅,+s）.

故答案為：（|,+8）

即時(shí)檢測

1.（23-24高三下?上海松江?階段練習(xí)）若函數(shù)/（久）=x-m2+2m+3（rn6Z）的定義域?yàn)镽,且/（x+1）=

/（-%-1）,則實(shí)數(shù)m的值為

【答案】1

【分析】利用函數(shù)的定義域求出山的取值集合，再利用偶函數(shù)的特性求解即得.

【詳解】由函數(shù)/'（%）=X-m2+2m+3的定義域?yàn)镽,得—+27n+3＞0,解得-1＜?。?,

而771CZ,則me{0,1,2},由f（x+1）=y（-x-1）,得函數(shù)/（x）為偶函數(shù)，因此m=l,

所以實(shí)數(shù)加的值為1.

故答案為：1

2.（22-23高三下?上海浦東新?階段練習(xí)）設(shè)爪eR,若幕函數(shù)y=久--2.+1定義域?yàn)镽；且其圖像關(guān)于y

軸成軸對(duì)稱，則m的值可以為（）

A.1B.4C.7D.10

【答案】C

【分析】

根據(jù)幕函數(shù)的定義域和幕函數(shù)的奇偶性可以確定m的值.

【詳解】

解：由題意知—2m+1>。=>小力1,

因?yàn)槠鋱D像關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，則巾=7.

故選：C.

考點(diǎn)三、幕函數(shù)求值

典例引領(lǐng)

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))若累函數(shù)y=/(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,/)，貝葉(16)=()

A.魚B,2C.4D.|

【答案】C

【分析】利用己知條件求得暴函數(shù)解析式，然后代入求解即可.

【詳解】設(shè)基函數(shù)y=/(%)=%%因?yàn)閒(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,/)，所以2。=&，解得a=%

11

所以八￡)=/，所以f(16)=165=4.

故選：C

2.(22-23高三上?福建寧德?階段練習(xí))已知函數(shù)y=loga(x-3)+2(a>0且a豐1)的圖象恒過定點(diǎn)P,

點(diǎn)P在基函數(shù)y=/(x)的圖象上，則/'(4)=()

A.-2B.2C.1D.-1

【答案】B

m

【分析】令第-3=1便可得到函數(shù)y=loga(x-3)4-2圖象恒過點(diǎn)P(4,2),將點(diǎn)P(4,2)代入幕函數(shù)/(%)=x

中，解得y=/(%)的解析式，然后計(jì)算/(4)的值.

【詳解】函數(shù)y=log/%-3)+2中，令工一3=1,解得％=4,此時(shí)y=log。!.+2=2,

所以函數(shù)y的圖象恒過定點(diǎn)P(4,2),又點(diǎn)P在幕函數(shù)y=/(%)=%小的圖象上，

所以47n=2,解得m=0.5,所以/(%)=X05,

/⑷=40-5=2.

故選：B.

即時(shí)便測

1.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=f°g21+1，：'1,若/①)=2,貝布的值為()

Ixz,x<1

A.2或一/B.2或或C.&或一&D.1或四

【答案】A

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，討論a的范圍，明確方程，解出即可.

【詳解】當(dāng)aNl時(shí)，log2a+1=2,解得a=2,

當(dāng)a<1時(shí)，a2=2,得a=—/,

所以a的值是2或-

故選：A.

2.(23-24高三上?四川眉山?期中)已知哥函數(shù)/0)=(爪2+小一1灰山的圖象與坐標(biāo)軸沒有公共點(diǎn)，則

f(a)=一

【答案】|/0.5

【分析】利用幕函數(shù)的定義及性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】由題意可知Hl?+巾—1=1=>巾=1或巾=一2,

又當(dāng)TH=1時(shí)，/(%)=X與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，不符合題意；

所以血=一2,此時(shí)/(x)=%-2今/(夜)=/三,=

(V2)2

故答案為：|

3.(22-23高三上?江蘇鹽城?階段練習(xí))若函數(shù)y=ax-2+3(a>0且a*1)的圖象恒過定點(diǎn)Q,且點(diǎn)Q在

事函數(shù)/(久)=久771的圖象上，則/(4)=_.

【答案】16

【分析】先求出函數(shù)所過定點(diǎn)坐標(biāo)，再將其代入幕函數(shù)中，求出幕函數(shù)解析式，得到答案.

【詳解】y=產(chǎn)2+3恒過點(diǎn)(2,4),故Q(2,4),

將其代入/(%)=#加中，2m=4,解得巾=2,

故f(x)=x2,所以f(4)=42=16.

故答案為：16

考點(diǎn)四、幕函數(shù)的圖像

典例目闞

1.(2024?天津?模擬預(yù)測)下列圖象中，不可能成為函數(shù)f(x)=爐+：的圖象的是()

【答案】c

【分析】先得到函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，討論參數(shù)3再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和討論

函數(shù)值的正負(fù)得到答案.

【詳解】由題意可知，x大0,又/(-X)=(r)3+5=一?+：)=一/⑴，

所以f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

當(dāng)t=0時(shí)f(%)=/,結(jié)合指函數(shù)的性質(zhì)可知，D選項(xiàng)符合；

當(dāng)t>0時(shí)，若x>0,f(x)=/+：>0,x<0,/(x)<0,A選項(xiàng)符合；

當(dāng)t<0時(shí)，尸(%)=3/_(=三/>0,此時(shí)f(x)在(-8,0)和(0,+8)上單調(diào)遞增，B選項(xiàng)符合；

結(jié)合選項(xiàng)可知，只有C.選項(xiàng)不可能.

故選：C.

2.(2024?四川南充?二模)已知函數(shù)/(%)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能是()

【答案】D

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

1

【詳解】對(duì)于A：函數(shù)y=%5=代的定義域?yàn)椋?,+8),顯然不符合題意，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：函數(shù)y=人=套的定義域?yàn)?0,+8),顯然不符合題意，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：函數(shù)的定義域?yàn)镽,又y=/為奇函數(shù)，又丫=/在(0,+8)上函數(shù)是下凸遞增，故不符合題

意，故C錯(cuò)誤；

111

對(duì)于D：函數(shù)y=短=證的定義域?yàn)镽,又、=如為奇函數(shù)，且y=%，在(0,+8)上函數(shù)是上凸遞增，故D正

確.

故選：D

即時(shí)檢測

1.(2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測)如圖，已知幕函數(shù)y=x，y=/,y=產(chǎn)在(o,+8)上的圖象分別是下降,

急速上升，緩慢上升，則()

A.c<b<aB.a<c<b

C.c<a<bD.a<b<c

【答案】B

【分析】由幕函數(shù)在(0,+8)內(nèi)的單調(diào)性以及增長速度和指數(shù)哥的關(guān)系即可判斷.

【詳解】由題意結(jié)合圖象可知a<0<c<1<b.

故選：B.

2.(2022?全國?模擬預(yù)測)設(shè)則“函數(shù)/(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(—1,1)”是“函

數(shù)/(久)在(-8,0)上遞減”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由幕函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.

【詳解】函數(shù)/(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(—1,1),則/(*)=(—1尸=1,

因?yàn)閍€{—1,|,1,2,3},所以a=2,所以f(%)=%2,

所以“X)在(-8,0)上遞減，

而f(x)在(-8,0)上遞減，函數(shù)f(x)的圖象不一定經(jīng)過點(diǎn)

如:/(%)=X-1.

所以“函數(shù)/(%)的圖象經(jīng)過點(diǎn)是“函數(shù)f(%)在(-8,0)上遞減”的充分不必要條件.

故選：A.

m

3.(22-23高三上?上海浦東新?階段練習(xí))如圖所示是函數(shù)丫=久而(m,n均為正整數(shù)且小,幾互質(zhì))的圖象，

則()

A.zn,71是奇數(shù)且竺<1

n

B.m是偶數(shù),ri是奇數(shù)，且經(jīng)<1

n

C.m是偶數(shù)，71是奇數(shù)，且”>1

n

D.TH,九是奇數(shù)，且依>1

n

【答案】B

【分析】由塞函數(shù)性質(zhì)及0<x<1時(shí)兩圖象的位置關(guān)系可知:<1；由圖象可知y=x費(fèi)為偶函數(shù),進(jìn)而確定

01,71的特征.

m

【詳解】由暴函數(shù)性質(zhì)可知：y=;6r與y=x恒過點(diǎn)(1,1),即在第一象限的交點(diǎn)為(1,1),

m

當(dāng)<X<時(shí)，>X,則一<；

01n1

mmm『m__

又y=%元圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，，y-汽元為偶函數(shù)，，(-x)n=](-%)-=xn=抗，

又771,71互質(zhì)，，僅為偶數(shù)，71為奇數(shù).

故選：B.

考點(diǎn)五、幕函數(shù)過定點(diǎn)

典例引領(lǐng)

1.(21-22高三上?河南?階段練習(xí))已知p：/(%)是募函數(shù)，q：/0)圖象過點(diǎn)(0,0),則p是q的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】f(x)=x-2是稀函數(shù)，但其圖象不過點(diǎn)(o,o),故不充分；

當(dāng)/(￡)圖象過點(diǎn)(0,0)時(shí)，如/(￡)=2才—1不是幕函數(shù)，故不必要；

故選:D

2.(2022?四川樂山?一模)已知幕函數(shù)/(久)=X。和g(x)=”，其中a>￡>0,則有下列說法：

①f(x)和g(x)圖象都過點(diǎn)(1,1)；

②f(x)和g(x)圖象都過點(diǎn)(一1,1)；

③在區(qū)間［1,+8)上，增長速度更快的是f(x)；

④在區(qū)間［1,+8)上，增長速度更快的是9(尤).

則其中正確命題的序號(hào)是()

A.①③B.②③C.①④D.②④

【答案】A

【分析】由塞函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷即可

【詳解】幕函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1,1),①正確，

在區(qū)間［1,+8)上，a越大y=/增長速度更快，③正確，

故選：A.

1.(22-23高三上?上海徐匯?期末)當(dāng)aeR時(shí)，函數(shù)y=-2的圖象恒過定點(diǎn)A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為

【答案】(1,一1)

【分析】根據(jù)幕函數(shù)恒過定點(diǎn)(1,1)即可求解.

【詳解】由于對(duì)任意的aeR,y=恒經(jīng)過點(diǎn)(1,1),所以函數(shù)y=2的圖象恒過定點(diǎn)4(1,一1),

故答案為：(1,—1)

2.(22-23高三上?陜西渭南?階段練習(xí))已知函數(shù)=2+姆(a為不等于0的常數(shù))的圖象恒過定點(diǎn)P,

則P點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】(1,3)

【分析】由幕函數(shù)的性質(zhì)知y=的圖象恒過(1,1),即可求出函數(shù)f(x)=2+x。的圖象恒過的定點(diǎn).

【詳解】因?yàn)閥=姆的圖象恒過Q,i),

所以“X)=2+產(chǎn)的圖象恒過定點(diǎn)P(l,3).

故答案為：(1,3)

考點(diǎn)六、幕函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

典例引領(lǐng)

1.(2024?廣西?二模)下列函數(shù)中，在(0,2)上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=V%—1B./(x)=%2—2%

11

C./(%)=-D./(%)=%4

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的定義域及單調(diào)性，綜合即可得答案.

【詳解】對(duì)于A,/(%)=VF^i,其定義域?yàn)榭冢?8),不符合題意；

對(duì)于B,f(%)=x2-2x,在(0,1)上為減函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于C,/(%)=在(0,2)上單調(diào)遞減，不符合題意；

對(duì)于D,/(%)=』=置，在(0,2)上單調(diào)遞增，符合題意；

故選：D.

2.(2024?北京朝陽?一模)已知aeR,貝「'0<a<1”是“函數(shù)人久)=(1一a)/在R上單調(diào)遞增”的

()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】分a=1,a>l,a<1討論函數(shù)/。)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)充分性和必要性的概念確定答案.

【詳解】對(duì)于函數(shù)/'(X)=(1-a)x3

當(dāng)a=1時(shí)，/(x)=0,為常數(shù)函數(shù)，

當(dāng)a>1時(shí)，l—a<0,函數(shù)/■(久)=(1一a)/在R上單調(diào)遞減，

當(dāng)a<1時(shí)，1—a>0,函數(shù)/(x)=(1—a)/在R上單調(diào)遞增，

所以"0<a<1”是“函數(shù)/(x)=(1-a)/在R上單調(diào)遞增”的充分而不必要條件.

故選：A.

1.(2024?湖南常德?三模)己知奇函數(shù)y=/(*)是定義域?yàn)镽的連續(xù)函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

則下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=/(%)+久2在R上單調(diào)遞增

B.函數(shù)y=/(x)-/在(0,+8)上單調(diào)遞增

C.函數(shù)y=//(%)在R上單調(diào)遞增

D.函數(shù)y=%在(0,+8)上單調(diào)遞增

【答案】C

【分析】根據(jù)已知設(shè)久支)=%,由二次函數(shù)的性質(zhì)確定AB錯(cuò)誤；由幕函數(shù)的性質(zhì)判斷C正確；由反比例函

數(shù)的形式確定D錯(cuò)誤.

【詳解】因?yàn)閥=/(x)是奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以y=/(')在(-8,o)上也為單調(diào)遞增函數(shù)，

對(duì)于A：不妨令/(%)=%,y=/(%)+/=%+%2=(%+J—%

所以丫=以乃+/在(_8,一習(xí)單調(diào)遞減，在(一，+8)單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：不妨令/(%)=%,y-/(x)—x2=x—x2=—[x—+%

所以y=/(%)一%2在(_8,鄉(xiāng)單調(diào)遞增，在G，+8)單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：y=x2/(x),其定義域?yàn)镽,

又(一%)2/(-%)=-％2/(%),所以y=//(%)是奇函數(shù)，

取0V久1V則0<X1<%2J0Vf(Xl)<f(%2〈故*f(%i)<xff(X2)

所以為一、2=xl/(xl)一底f(%2)<0，則函數(shù)y=在(0,+8)為遞增函數(shù);

所以函數(shù)y=在(一8,0)也為遞增函數(shù)，且當(dāng)％=0時(shí)，y=//(久)=0,

所以y=久2/(乃在R上單調(diào)遞增，故C正確；

對(duì)于D：不妨令/(%)=%,丫=詈=/=：,%。0,

由反比例函數(shù)的單調(diào)性可知y=詈在(-8,0)和(0,+8)上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；

故選：C.

2.(23-24高三上?安徽?階段練習(xí))已知幕函數(shù)f(x)=(m2-5m+S)%7"-?是R上的偶函數(shù)，且函數(shù)儀行=

f(x)-(2a-6)久在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-co,4)B.(-co,4]

C.[6,+oo)D.(―oo,4]U[6,+oo)

【答案】B

【分析】根據(jù)哥函數(shù)的定義與奇偶性求出血的值，可得出函數(shù)/(%)的解析式，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得

出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，即可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】因?yàn)槟缓瘮?shù)f(x)=(m2-5m+5)久僅-2是R上的偶函數(shù)，

則m2_5m+5=1,解得m=1或TH=4,

當(dāng)加=1時(shí)，/(%)=%-1,該函數(shù)是定義域?yàn)椋鹸|x70｝的奇函數(shù)，不合乎題意；

當(dāng)爪=4時(shí)，/(%)=",該函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，合乎題意.

所以，/(%)=x2,則g(x)=/一(2a-6)x,其對(duì)稱軸方程為久=a-3,

因?yàn)間(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增，則a—3WL解得aW4.

故選：B.

m

3.(2023-四川南充?模擬預(yù)測)已知塞函數(shù)/(%)=xn(m,n6Z),下列能成為“/(%)是R上的偶函數(shù)”的

充分條件的是()

A.TH=-3,71=1B.771=1,71=2

C.m=2,n=3D.m=l,n=3

【答案】c

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】當(dāng)爪=-3,?1=1時(shí)，/(x)=X-3=

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=2的定義域(—8,0)U(0,+8),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且/(—%)=+=—妥=—〃>),

所以“X)=妥為奇函數(shù)，不合題意，故A錯(cuò)誤；

當(dāng)爪=1,?=2時(shí)，f[x)=xG=y,因?yàn)?(x)=?函數(shù)的定義域[0,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以“外=百為非奇非偶函數(shù)，不合題意，故B錯(cuò)誤；

3___,

當(dāng)？71=2,72=3時(shí)，/(%)=X2=\fx^,定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且/(T)=\](~x)2==/(X)，

所以〃x)=/為偶函數(shù)，符合題意，故C正確；

當(dāng)m-l,n-3時(shí)，/(x)=%3,定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且/'(-x)=(-x)3==-/(%),

所以"%)=藍(lán)為奇函數(shù)，不合題意，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

4.(23-24高三下?上海?階段練習(xí))已知集合2={幻(久+2)0-5)<0},B={-3,-2,-1,0,1,2,3),任

取kedCB,貝如=小為偶函數(shù)的概率為

【答案】|/0.4

【分析】首先解一元二次不等式求出集合4根據(jù)交集的定義求出an以再根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)得到符合題

意的鼠最后由古典概型的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】由(X+2)(%-5)<0,解得一2<x<5,

所以力={x\(x+2)(%—5)<0}={%|-2<%<5},

又B={-3,-2,-1,0,1,2,3},所以AnB={-1,0,1,2,3},

又k€4。8且丫=”為偶函數(shù)，所以ke{0,2}共2種取法，又集合anB中有5個(gè)元素，

所以幕函數(shù)y=/為偶函數(shù)的概率P=|.

故答案為：|

1%.好題沖關(guān).

基礎(chǔ)過關(guān)

1.(2024?重慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=xa(x>0),a為實(shí)數(shù)，/(%)的導(dǎo)函數(shù)為/(%),在同一直角坐

標(biāo)系中，/(%)與/(%)的大致圖象不可能是()

【答案】c

【分析】先通過特值代入易得A項(xiàng)符合，對(duì)于B,C,D項(xiàng)，通過圖象觀察分析可得a>1,結(jié)合兩函數(shù)圖象

交點(diǎn)的位置舍去C項(xiàng).

【詳解】由/(X)=X。,可得f'(x)=axa~r

對(duì)于A,當(dāng)a=—l時(shí)，在第一象限上“x)=xT遞減，對(duì)應(yīng)尸(x)=——=—專圖象在第四象限且遞增，故

A項(xiàng)符合；

對(duì)于B,C,D,在第一象限上/(x)與尸(x)的圖象在(0,+8)上都單調(diào)遞增，故a>0且a-1>0,則a>1.

又由/'(%)=f'(x)可得x=a>1,即/(x)=%。與尸(久)=ax。一I的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)應(yīng)大于1,顯然C項(xiàng)不符

合，B,D項(xiàng)均符合.

故選：C.

2.(2024高二下?湖南婁底?學(xué)業(yè)考試)函數(shù)y=/的大致圖像是()

【答案】A

【分析】根據(jù)募函數(shù)的特點(diǎn)即可求解.

【詳解】根據(jù)幕函數(shù)的特點(diǎn)知選項(xiàng)A的圖象為函數(shù)y=/的大致圖像.

故選：A.

3.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)設(shè)命題eR,使/(%)=(m-是募函數(shù)，且在(0,+8)上

單調(diào)遞減；命題q:Vxe(2,+8),2，>x2,則下列命題為真的是()

A.pA(-iq)B.(-ip)AqC.pAqD.(-<p)Vq

【答案】A

【分析】根據(jù)特稱命題與全稱命題判斷命題p,q的真假，從而可得“或”、“且"、“非”命題的真假得結(jié)

論.

【詳解】對(duì)于命題p,當(dāng)巾=2時(shí)，函數(shù)〃%)=%一1，是幕函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減，故命題p為真命

題；

對(duì)于命題q,當(dāng)％=3時(shí)，23<32,不滿足V%E(2,+8),2%>/,故命題q為假命題.

所以"pA"q)"為真命題，“"p)Aq"為假命題，為假命題，“(」p)Vq”為假命題.

故選：A.

4.(2024?陜西西安?二模)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(-8,+8)上單調(diào)遞減的是()

Q

A.y=-1B.y=x5

C.y=—x\x\D.y=3T

【答案】c

【分析】A項(xiàng)，定義域不合題意；B項(xiàng)，單調(diào)性不符合；C項(xiàng)，先利用定義判斷函數(shù)的奇偶性，由函數(shù)在［0,+8)

上單調(diào)遞減，再結(jié)合奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得；D項(xiàng)，特殊取值可判斷不是奇函數(shù).

【詳解】選項(xiàng)A,y=:的定義域?yàn)?―8,0)u(0,+8),不符合題意，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,設(shè)/(%)=%3,定義域?yàn)镽,

因?yàn)?(一工)=(一%)3=-X3=一/(%),

所以/(%)=/為奇函數(shù)，且在定義域上為增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,設(shè)/(%)=-％|%］,定義域?yàn)镽,

由/(一%)=x\-x\=x\x\=-/(%),故/(%)為奇函數(shù)，

當(dāng)％之0時(shí),/(%)=-%2,且/(%)=-廣在［0,+8)上單調(diào)遞減，

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以在(-8,+8)上單調(diào)遞減，故C正確；

選項(xiàng)D,設(shè)f(x)=3T,則f(i)=3,

由/(一1)#—/(I),知/Xx)不是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

5.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知ae{-2,-1,1,2萬}.若累函數(shù)/(x)=比戊為奇函數(shù)，且在(0,+oo)

上遞減，則a=—.

【答案】-1

【分析】由塞函數(shù)/(X)=X。在(0,+8)上遞減得a<0,又由塞函數(shù)/(%)=X。為奇函數(shù)，驗(yàn)證即可求解.

【詳解】因?yàn)槟缓瘮?shù)/'(X)=%。在(0,+8)上遞減，所以a=-2,-l,-i

又幕函數(shù)/(x)=/為奇函數(shù)，所以a=-1.

故答案為：-1

6.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=loga(x-1)+3的圖象經(jīng)過定點(diǎn)4,且基函數(shù)g(x)的圖象

過點(diǎn)A,則。(1)=—.

【答案】|

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定4點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)幕函數(shù)定義設(shè)9(久)=小,由條件求a,再求結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閤=2時(shí)，/⑵=3,

所以函數(shù)/(久)恒過定點(diǎn)力(2,3),

設(shè)幕函數(shù)gO)=%a,代入點(diǎn)4坐標(biāo)可得2a=3,

所以a=log23,

所以=x10g23,

所以g傳)=?°&3=(2-1)10g23=210g23=

故答案為：|-

7.(2022高三?全國?專題練習(xí))已知基函數(shù)y=/(x)的圖象過點(diǎn)(4,2),令%=/(n+1)+/(>),〃eN*,

記數(shù)列因的前n項(xiàng)和為Sn,貝區(qū)5=_.

【答案】5

【分析】由題意，根據(jù)幕函數(shù)的定義可得以無)=4，進(jìn)而工=SE-低，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法計(jì)算即

an

可求解.

【詳解】設(shè)幕函數(shù)/(%)=%。，過點(diǎn)(4,2),

則2=4。，解得a=5所以f(汽)==?,

所以a九=f(n+1)+f(n)=Vn+1+y/n,

則工=---=----叵J訴-----=VnTl-Vn,

所以數(shù)歹lj{￡}的前n項(xiàng)和為

Sn=/+/+—F^-=(V2—Vl)+(V3—V2)+—F(yjn+1—Vn)=Vn+1—1,

故S35=435+1—1=5.

故答案為：5

B能力提升

1.(23-24高三上?廣東深圳?期末)已知實(shí)數(shù)碼九滿足(血++血=(n-I)3+n=0,則'=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得，(7H+1尸+Hl+1=1,且(幾-I)3+71-1=-1,構(gòu)造函數(shù)/(久)=X3+X,貝行(%)

為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，可得m+l=-5—l),從而求解.

【詳解】(m+I)3+m=(n—I)3+n=0,

(m+l)3+m+1=1,且(ri—I)3+n—1=—1,

令函數(shù)/(%)=x3+x,因?yàn)槠涠x域?yàn)镽,且/(—%)=(―%)3+(―%)=—(%3+%)=—/(%),且y=x3,y=x

在R上均單調(diào)遞增，

則/(%)為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，

且/(TH+1)=l,f(n—1)=-1,

m+1=—(n—1),即zn=-n,

顯然znW0,?,.—=—1.

m

故選：A.

2.(2022?全國?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/0)=［，五°:”fl,,若/(a)=/(a+l),則/0=()

(2(%—l),x>1

A.-B.-C.2D.6

42

【答案】D

【分析】由題意可得出f(x)在(0,1)和(1,+8)上為增函數(shù)，則0<a<l,由/3)=/5+1)可得出。=；,

4

即可得求出的值.

【詳解】易得/(X)在(0,1)和(1,+8)上為增函數(shù)，

0<a<1,/(a)=-Ja,所以f(a+1)=2a,

由/(a)=/(a+1)得=2a,解得a=1或a=0(舍去)，

WQ)=/(4)=6,

故選：D.

3

3.(23-24高三上?安徽?期中)函數(shù)/(久)=今三在［-2,2］上的圖象大致為()

2田+1

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)八%)的解析式先判斷在［-2,2］上的奇偶性，再利用特殊點(diǎn)求出的值，用排除法可

得答案.

【詳解】因?yàn)?(—%)==一薪=S所以函數(shù)/(x)在區(qū)間［—2,2］上為奇函數(shù)，排除A,C；

當(dāng)％=2時(shí)，/(2)=^=|>0,排除D,故B項(xiàng)正確.

故選：B.

4.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測〉已知命題p：函數(shù)/(x)=%-病+館在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，命題q：m<a,

若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是.

【答案】［L+8)

【分析】根據(jù)題意可得命題p：0<m<1,由p是q的充分不必要條件，可得(0,1)是(-叫a)的真子集，即可

得到答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=%一病+血在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，所以一62+7n>o,解得：0<znVl,又因

為p是q的充分不必要條件，貝!1(0,1)是(-8,口)的真子集，即a的取值范圍是［1,+8)

故答案為：［1,+8)

「(1—0VXV2,

5.(2024?上海青浦?二模)對(duì)于函數(shù)y=/Q),其中/(%)=j2,若關(guān)于x的方程/(x)=kx

(--x-2

有兩個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

【答案】(0,()

【分析】將方程有兩個(gè)不同的根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，觀察圖象可得答案.

【詳解】將函數(shù)y=/向右平移I個(gè)單位得到y(tǒng)=(%-1)3,

作出函數(shù)y=/(%)的圖象如下：

要關(guān)于％的方程/(%)=依有兩個(gè)不同的根，

則函數(shù)y=/(%)和函數(shù)y=依有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

當(dāng)丫=k%過點(diǎn)(2,1)時(shí)，fc=

所以當(dāng)函數(shù)y=/(%)和函數(shù)y=々%有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，0vk</

6.(2024?北京延慶?一模)已知函數(shù)/(%)=%?()v仇<1)在區(qū)間(_i,0)上單調(diào)遞減，貝l］a的一個(gè)取值

為.

【答案】|(不唯一)

【分析】根據(jù)累函數(shù)的單調(diào)性奇偶性即可得解.

【詳解】因?yàn)?(久)=<a<1)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又/(%)在區(qū)間(一1,0)上單調(diào)遞減，

所以/(%)可以為偶函數(shù)，不妨取a=|,

此時(shí)/(%)=%3=函數(shù)定義域?yàn)椋R,

2.__________2

且/(一X)-(一%”=J(r)2=/(X),故/(X)=3為偶函數(shù)，

滿足在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減.

故答案為：|(不唯一)

7.(23-24高三上?寧夏吳忠?階段練習(xí))設(shè)〃行:卜夕'，**；11，若/(6)=/(爪+1)，則

陪)

【答案】14

【分析】解方程求得小的值，進(jìn)而求得/(《).

【詳解】/(%)=[/。R的增區(qū)間為口,+8),