南陽市2024-2025學年高三年級上冊11月期中數(shù)學試題（含答案）

2024年秋期高中三年級期中質(zhì)量評估

數(shù)學試題

注意事項：

中1.考生做題時將答案答在答題卡的指定位置上，在本試卷上答題無效.

股2.答題前，考生務必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳

素筆書寫，字體工整，筆跡清楚.

4.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.

5.保持卷面清潔，不折疊、不破損.

一、選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.）

收

1.集合A={川-2&H<4},B={Z|右CA},則Ap|B=

A.C-2,0]B.[0,4]C.[4,16]D.[-2,16]

忠2.已知復數(shù)z滿足（l-2i）-z=i（i為虛數(shù)單位），則z=

A.75B.噂C.三小D.三匚

0DO

3.函數(shù)*N）=COSZ+3g—3的圖象大致是

塔

4.已知平面向量a,b滿足a?（a+b）=3,且|a|=2,|b|=l,則向量b在向量a上的投影向

量為

A.—aB.—bC.—D?—\力

￡44

5.《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，在這部著作中，許多數(shù)學問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，

《九兒問甲歌》就是其中一首:一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二

百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.在這個問題中，這位公公最年幼的兒子的歲

數(shù)為

A.11B.13C.14D.16

高三數(shù)學第1頁（共4頁）

6.已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，m，八s“均為正整數(shù)，設甲：%%=。,即；乙：m+〃=s+f,則

A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

7.在銳角AABC中，已知sin（2B+A）=2sinA-sinC,則A,C的大小關系為

A.C>AB.C=AC.C<AD.無法確定

8.已知函數(shù)/（工）是定義在R上的連續(xù)可導函數(shù)，且滿足①f（2—工）一/（工）=213—67+

127一8,②八工）為奇函數(shù)，令8（幻=人]）+工3,則下列說法錯誤的是

??

A.g（z）的圖象關于工=1對稱B./（l）=-3

C./（2024）=20243D./（2025）=-3X20252

二、選擇題（本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）

9.已知帆>0,〃>0,且帆+〃=1,則

A./前的最大值為JB.“十〃2》春

4u

C.-+-^3+2V2D.2m-->4-

mnZ

10.已知函數(shù)，（工）=]3+6工2+CH+2,則

A.存在實數(shù)6,使得fG）的圖象關于點（0,2）對稱

B.當6=0,cVO時,f（z）的極值之和為一4

C.存在實數(shù)6,c,使得了（工）有三個零點

D.當時,f（z）有兩個零點

11.已知函數(shù)/（z）=2sin（Mc+G（3>0,0Vw<當）圖象的任意一個對稱中心到與之相鄰的

對稱軸的距離為孑,且將該圖象向左平移?個單位長度后得到的圖象關于'軸對稱,則下列

說法正確的是

A.3=2,8=2

0

B.直線產(chǎn)字為了（H）的圖象的一條對稱軸

C.若/（外在（-a,a）單調(diào)遞增，則a的最大值為年

D.對任意4〉0,關于z的方程f（幻=雇工一相）總有奇數(shù)個根

高三數(shù)學第2頁（共4頁）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.等比數(shù)列｛小｝的前〃項和為S”，若52=3,。3+4=12,則Ss=.

13.若函數(shù)f（z）=z+1一alnx在區(qū)間（0,11上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的最小值為.

X

14.若laz+aH+l&ze，在zG（0,+8）恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是.（用區(qū)

間表示）

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

15.（本小題滿分13分）

在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,c,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

⑴求NA；

（2）已知a=7,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得aABC

存在，求△ABC的面積.

條件①:c=7；

條件②：bsinA=挈；

條件③：cosC=

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解

答,按第一個解答計分.

16.（本小題滿分15分）

設數(shù)列｛%｝是首項為1的等比數(shù)列，已知a,,a2+1,4a3成等差數(shù)列；數(shù)列｛6｝滿足4=

na?

~2~'

（1）求數(shù)列｛%｝和｛6”｝的通項公式；

（2）記S“和T”分別為數(shù)列儲戶和以）的前幾項和，證明：r”vs“.

高三數(shù)學第3頁（共4頁）

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17.(本小題滿分15分):※※※※※

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已知函數(shù)/(x)=4cos(jr+^)cos(j?+-y)—V3.:※※※※※

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(1)求函數(shù)/(Z)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；:※※※※※

:※※※※※

⑵若關于X的方程/(x)=W-2sin2x在區(qū)間［備，修］上恰有兩個不等實根，求實數(shù)m的取:※※※※※

:※※※※※

:※※※※※

值范圍.:※※※※※

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強※※※※※

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18.(本小題滿分17分):※※※※※

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已知函數(shù)f(x)=alnjr—x+a3(aER).:※※※※※

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(1)若函數(shù)f(z)在z=l處的切線與直線2z-y+l=0垂直,求實數(shù)a的值；:※※※※※

:※※※※※

(2)若函數(shù)有極大值，且極大值不大于0.:※※※※※

:※※※※※

①求實數(shù)a的取值范圍；:※※※※※

:※※※※※

②求證：ln(〃+l)V?L才※※※※※

1=1I:※※※※※

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19.(本小題滿分17分):※※※※※

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對于數(shù)列以｝，若三丫6區(qū)使得?都有4+2+2Hm+d,=Y成立，則稱數(shù)列｛乙｝為:※※※※※

:※※※※※

2

“Y—N數(shù)列已知｛%｝為“y-N數(shù)列"，幻=1,生=2,丫=5,設函數(shù)f(x｝=x-anx+:※※※※※

4※※※※※

玷※※※※※

※※※※※

(1)求a3,a,,a5的值；※※※※※

※※※※※

(2)若函數(shù)f(z)在區(qū)間(1,2)上無極值點，求a”的取值范圍;※※※※※

※※※※※

(3)求數(shù)列運"的通項公式，并求其前〃項和S,.※※※※※

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高三數(shù)學第4頁(共4頁)※※※※※

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2024年秋期高中三年級期中質(zhì)量評估

數(shù)學參考答案及評分細則

評分說明：

本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題

的主要考查內(nèi)容比照評分標準制定相應的評分細則.

一、選擇題：BDBCABAC

二、選擇題：9.BCD10.AC11.ABD

三、填空題：12.6313.014.（-8/]

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.解：（1）因為sin,4-sin25-sin?C=sin8sinC,所以由正弦定理得：a2—b2—c2—be

序*2_2i

在△/BC中，由余弦定理得：cos?!=--J^L=—七,

2bc2

因為0v4v乃，所以—.........5分

3

_O77"

（2）若選條件①，因為c=7,a=7,所以C=4=2,與4+8+C="矛盾，

3

此時△聲（7不存在，故條件①不符合要求，不選①；

若選條件②，由（1）知4=生，因為6shi幺=之6,所以6=3,................8分

32

由余弦定理得7?=3?+C?—2cx3xcos^*,育畢得c=5或c=—8（舍去）........11分

3

所以△4BC的面積為S=—ficsin^=—x3x5xsin—="6....13分

2234

若選條件③，因為cosC=U,所以sinC=Jl-cos'C：迫,

7分

1414

在△居C中，由正弦定理得，二=，，所以c=，_.sinC=—^—x述=5,

……9分

sinAsinCsin/Isin—"

smT

▽?n?//i」-4.「邪11,k5后36

XsinB=sm(/4+C)=sm4cosc+cos4sme=—x—+(-yx~^~=，11分

所以△4BC的面積為5=!敬5出2=1*7、5*述=包巨.

13分

22144

16.解：（1）因為｛a,J是首項為1的等比數(shù)列且q,a2+j,4%成等差數(shù)列，設｛4｝的公比為虱4N0）,

所以2（%+￡）=4+4%,所以2,+；）=l+4q2,解得：夕=；或4=0（舍去）.

所以a“=g）"T,................4分

所以么=等=￡.........5分

第1頁，共4頁

(2)證明：由(1)可得S“=7分

數(shù)列也｝的前“項和北=弓+弄…+卦玄,①

12w-1n

所以/=9+尹+…+^+尸?②

?/日1丁1111n2，2"，nn1、ni〃+2

①一②得5北=,+?■+?■+…+下一尹=_n_-尸=Q-封一Fr=1-Fr，

所以9=2-攀.

13分

所以7；-邑=2-竽-2(1-2+n

2n-/。，

所以看<S".15分

17懈:

n.n\.

cosxcos----smxsin—sinx-6

33；

=2百sin?x-2sinxcosx-6

=一百cos2x-sin2x

=-2sin^2x+yj................3分

(1)函數(shù)/(%)的最小正周期丁=半=%.........5分

要求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，只需2版+]42》+|^2"+手，*EZ,

+—<x<^+—,k^Z,

1212

則函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為.+a所+得R￡Z).................8分

(2)由⑴得/(x)=-^cos2x-sin2x,所以/(x)=zw-2sin2x可化為

貝ijw=sm2x-\'3cos2x=2sin2x--

TiInn5n

又xe'所以比梟10分

129~12

不妨設g(x)=2sin|2x-0),令fg

第2頁，共4頁

設〃(f)=2sinl,ZG——一，

_6,6

方程比在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根，

_66

即直線)=加與函數(shù)應f)=2sinf的圖象在工,江上恰有兩個不同的交點.

66

畫出直線、=機與函數(shù)力S=2sinf的圖象，如圖所示.

由圖象得19i<2,即實數(shù)機的取值范圍是［1,2).15分

18.解：/④=疝^一丫+^^0^^的定義域為^+⑼，/z(x)=--1=—(a-x).........2分

(1)因為函數(shù)/(x)在x=l處的切線與直線2x-y+l=0垂直，

所以/'(1)=。-1=一；，解得：a=j.........3分

(2)/,(x)=--l=-(tz-x).

①當aVO時，f'(x)<0,所以函數(shù)/(x)在(0,y)上單調(diào)遞減，所以無極值；.......4分

當a>0時，令/'(無)>0得：0<x<a；令/'(Y)<0得：x>a.

所以函數(shù)/(X)在(0,67)上單調(diào)遞增，在(氏茁)上單調(diào)遞減，

所以/(%)的極大值為/(。)=a\na-a+a3.........6分

因為極大值不大于0,所以。1x1。-。+〃<0.

因為1>0,所以lna+/-140

i己0(a)=1114+，一］,(。>o),貝ij(p，(a)=L+2a>0,

所以0(。)=lna+標-1在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

而^(l)=lnl+l2-1=0,所以由1114+〃一140可解得0<4=1.

即實數(shù)。的取值范圍為(0』.........9分

②記數(shù)列也J的通項公式為b?=~,則\;為數(shù)列也｝的前〃項和；

((數(shù)列｛q｝的前n項和S“=ln(n+l),即4+%+…+a“=S”

所以當〃=1時，q=S［=ln2

當“22時，q,=S“—S,T=ln(〃+l)—In”；

經(jīng)檢驗，q,=ln(〃+l)-ln〃對力=1也成立，

所以%=111(〃+1)-111〃=山誓)).......這部分過程可以不寫出

由①知：當OvaWl時/(K)=alnr-x+〃40,所以當。=1時，Wlnx-r+l<0,

即InrWx-1(當且僅當x=l時等號成立).12分

所以取丫=四1n+l〃+111即In四1

In----<------1=—<—.

n,則有nnnnn

當"依次取1,2,3……n,則有：In里<!，…，h—<1,

1122nn

累加得:p早<歐即皿〃+i)嘲.

........17分