平面向量-2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（新高考專用）（解析版）

專題07平面向量

c易錯(cuò)點(diǎn)：注意零向量書寫及三角形

題型一：平面向量線性運(yùn)算

飛與平行四邊形適用前提

迪二：平面向量的空定理

易錯(cuò)點(diǎn)：忽略基底選取原則

及坐標(biāo)表示a

題型二:平面向量的經(jīng)颯

a易錯(cuò)點(diǎn)：忽視數(shù)量積不滿足結(jié)合律

易錯(cuò)點(diǎn)一：注意零向量書寫及三角形與平行四邊形適用前提（平面向量線

性運(yùn)算）

1.向量的有關(guān)概念

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）.

（2）向量的模：向量次的大小，也就是向量方的長(zhǎng)度，記作|在

（3）特殊向量：

①零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：。與任一向量平行.

④相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算和向量共線定理

（1）向量的線性運(yùn)算

運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

①交換律

求兩個(gè)向量a+b=b+a

加法

和的運(yùn)算a?②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c=a+(b+c)

求色與B的

相反向量-B的

減法a—b=a+(—b)

和的運(yùn)算叫做&a

與B的差三角形法則

(1)\^a\=\A\\a\

求實(shí)數(shù)人與=(2/z)5

(2)當(dāng)力>0時(shí)，42與G的方向相同；

(Z+4)1=Aa+pia

數(shù)乘向量1的積的運(yùn)

當(dāng)2<0時(shí)，與萬(wàn)的方向相同；

算2(5+6)=Aa+Ab

當(dāng)；1=0時(shí)，2a=0

共線向量定理

向量3伍*0)與B共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)力，使得3=2。

共線向量定理的主要應(yīng)用：

(1)證明向量共線：對(duì)于非零向量N,b,若存在實(shí)數(shù)2,使3=%不，則］與不共線.

(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)九使方=2衣，則/B,C三點(diǎn)共線.

(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.

平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的求解策略：

(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量,

三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái).

(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式

等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用.

(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：

①觀察各向量的位置；

②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；

③運(yùn)用法則找關(guān)系；

④化簡(jiǎn)結(jié)果.

解決向量的概念問(wèn)題應(yīng)關(guān)注以下七點(diǎn)：

(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵.

(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).

(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向

量.

(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談.

aa

(6)非零向量5與e的關(guān)系：E是萬(wàn)方向上的單位向量.

l?Il?I

(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大小

易錯(cuò)提醒：(1)向量表達(dá)式中的零向量寫成0,而不能寫成①

(2)兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或重

合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系.

(3)要注意二角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須重

合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首尾

相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件.

(4)向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：OA-OB=BA-AM-AN=NM

OA=OB+CA^OA-OB=CA^BA-CA=BA+AC=BC.

例.如圖，在平行四邊形/BCD中，下列計(jì)算正確的是()

A.AB+AD=ACB.AB+CD+DO=OA

UULUUUULlUULILlUl_____.____._______

C.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA=Q

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則，則存+通=衣，故A正確；

,___.,_.,,LILlUlnum,lAlUUUU1UULLUUllLILLL,,,,

對(duì)于B,在平行四邊形48co中，CD=-AB-貝1J/8+CD+OO=DOHCM，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,AB+AD+CD=AC+CD=AD<故C正確；

,,.UULUU.UL

對(duì)于D,在平行四邊形48co中，CD=BA，

LILlUlUULLlUULLlUUlLILlUlUULULlllUUL±

AC+BA+DA=DA+AC+BA=DC+BA=O故D正確.故選：ACD.

變式1：給出下列命題，其中正確的命題為()

A.若方=而，則必有/與C重合，2與。重合，A3與CO為同一線段

__.1__、2—?

B.若=+貝I]可知阮^3麗

ULKT1uuriuuriuur

C.若。為AABC的重心，則尸0=]尸/+§尸8+§PC

D.非零向量W，b，々滿足之與石，B與工，"與Z都是共面向量，則Z，b，）必共面

【詳解】在平行四邊形/3OC中，滿足方=無(wú)，但不滿足/與C重合，2與。重合，與CD不為同一

線段，A不正確.

__12___._______________.

因?yàn)锳D=]/C+§AB,所以3通=就+2而，所以2而-2萬(wàn)=就-詬，所以2麗=工，所以

3麗=麗+皮，即3而=就，B正確.

若。為AABC的重心，貝1]逡+函+反=6,所以3所+7+班+*=3而，所以3聞=西+而+正,

uur1uur1uuriuur

^PQ=-PA+-PB+-PC,C正確.

在三棱柱NBC-48c中，令方=￡,AC=b，AAl=c,滿足Z與3，B與乙工與Z都是共面向量，但Z，

b，）不共面，D不正確.故選：BC.

__kk2i

變式2：如圖所示，在平行四邊形/BCD中，AB=a,Al5=b,BM=-BC,AN=-AB.

（1）試用向量來(lái)表示麗，萬(wàn)7;

（2）闋1交DN于O點(diǎn)，求NO:QM的值.

----*I*.I??,I—?

【詳解】（1）因?yàn)?N=—/B,所以/N=—N,所以DN=AN—AD=—G—b,

444

——?2—?——?2—?2-

因?yàn)锽C,所以BM=—AD=—b,

333

__?__?___2

所以而=萬(wàn)+兩=2+/；

（2）設(shè)質(zhì)=2屈，

則麗=而_詼=2斯_詼=；1（1+：3）_3=；1]+1|式_1]3,

因?yàn)椤?。N三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)〃使萬(wàn)萬(wàn)=〃麗=〃[%-4=一面-應(yīng)

由于向量，/不共線，則2=;〃，|彳-1=-〃，解得x=s,〃=g,

33

所以/O:/M=—n/O:(W=—.

1411

變式3：如圖所示，在矩形/BCD中，聞=46，畫=8,設(shè)癌心AB=a,而=履求|"3臼

【詳解】解：在矩形/6C3中，R萬(wàn)|=|罰|=4人，|在卜8,

則

因?yàn)樾?5，AB=a，JD=C>

貝盛一］-"=益一元一麗=而一而一麗=麗+麗義質(zhì)，

因止匕，,一3—4=2同=2x46=8"

uuuf,r

1.已知人B為不共線的向量，益=2+5九BC^-2a+8b，CD=3(a-b),貝ij()

A.A,B,C三點(diǎn)共線B.A,C,。三點(diǎn)共線

C.A,B,D三點(diǎn)共線D.B,C,。三點(diǎn)共線

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量共線定理及基本定理判斷即可.

【詳解】因?yàn)閆、B為不共線的向量，所以％、B可以作為一組基底，

對(duì)于A：AB=a+5b，就=一2￡+8加，若存在實(shí)數(shù)/使得益=/數(shù)，

I=1

則￡+5刃=22+麗)，所以__,方程組無(wú)解，所以北與苑不共線，故A、B、C三點(diǎn)不共線，即A

04—D

錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)榈?￡+5刃，BC=-2a+Sb＞所以芯=AS+前=。+5刃+卜2。+8可=-。+13刃,

同理可以說(shuō)明不存在實(shí)數(shù)，，使得衣.麗，即%與而不共線，故A、C、。三點(diǎn)不共線，即B錯(cuò)誤;

ULH'/1'I\

對(duì)于C：因?yàn)殂?-2￡+8加，CD=3（"b）,

所以麗=數(shù)+麗=-2￡+日+3（力）=￡+53，

又荔=之+5石=而，所以存//赤，故A、B、。三點(diǎn)共線，即C正確；

uuur/ri\

對(duì)于D：BC=-2a+8b^CD=3^a-bj,

同理可以說(shuō)明不存在實(shí)數(shù)f,使得而‘麗，即就與而不共線，故8、C、。三點(diǎn)不共線，即D錯(cuò)誤;

故選：C

2.如圖，在平行四邊形N8CD中，E是8c的中點(diǎn)，歹是線段/￡上靠近點(diǎn)N的三等分點(diǎn)，則而等于（

1—2—

B.-AB——AD

3333

1―.5—?1—?3—?

C.-AB——ADD.-AB--AD

3634

【答案】C

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求解.

【詳解】解：DF=AF-AD=^AE-AD,

=-AB——AD,

36

故選：C

3.在四邊形/BCD中，若％=礪+而，貝IJ（）

A.四邊形/BCD是平行四邊形B.四邊形48co是矩形

C.四邊形/BCD是菱形D.四邊形A8CD是正方形

【答案】A

【分析】由：^=在+通推出元=詼，再根據(jù)向量相等的定義得BC=/。且BC///。，從而可得答案.

【詳解】因?yàn)橐?益+1萬(wàn)，tkAC-AB=AD＞即而=N萬(wàn),

故3c=4。且8C//4D,故四邊形N8CD一定是平行四邊形,

不一定是菱形、正方形和矩形，故A正確；BCD不正確.

故選：A.

4.已知分別為小8。的邊上的中線，設(shè)通=￡,BE=b^\BC=（）

2-4一2_4一

C?~a--bD.~~a+~b

。J3D

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可聯(lián)立方程求解.

【詳解】/QBE分別為的邊8C,/C上的中線，

貝1]25=詼一麗=；瑟_被，

BE=BA+AE=BA+-AC=BA+-^AB+BCJ=-^BA+BCJ,

由于/￡）=〃，BE=b,所以a=QBC=eBA+eBC,

—?2一4一

故解得=+

33

故選：B

5.如果耳可是平面。內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中不正確的是（）

①+〃e2（4〃￡R）可以表示平面。內(nèi)的所有向量；

②對(duì)于平面。內(nèi)任一向量Z,使。=雞+“（44GR）的實(shí)數(shù)對(duì)（44）有無(wú)窮多個(gè);

一一一一4M

③若向量4,+從?2與4,+〃2?2共線，則了二一

④若實(shí)數(shù)入〃使得雞+“=6,則;i=〃=o.

A.①②B.②③C.③④D.②

【答案】B

【分析】由平面向量基本定理判斷①④②，由共線向量定理判斷③.

【詳解】解：由平面向量基本定理可知，①④是正確.

對(duì)于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是

唯一的，故錯(cuò)誤；

對(duì)于③，當(dāng)加方=0或〃/〃2=0時(shí)不一定成立，應(yīng)為力=故錯(cuò)誤.

故選：B.

6.給出下列各式：@^B+CA+BC,@AB-CD+BD-AC，?AD-OD+OA??NQ-MP+QP+MN,

對(duì)這些式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，則其化簡(jiǎn)結(jié)果為G的式子的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】利用向量的加減法法則逐個(gè)分析判斷即可.

【詳解】對(duì)于①，AB+CA+BC^AB+JC+CA^AC+CA^O^

對(duì)于②，AB-CD+BD-AC=（AB+BD^-^1C+CD）=AD-AD=0,

對(duì)于③，AD-db+OA=^AD+Dd^+dA=Ad+dA=d,

對(duì)于④，NQ-MP+QP+MN=（NQ+QP）+（PM+MN）=NP+PN=O,

所以其化簡(jiǎn)結(jié)果為。的式子的個(gè)數(shù)是4,

故選：A

7.已知平面向量Z，b，c，下列結(jié)論中正確的是（）

A.若.〃否，貝!J0=3B.若卜卜夫，則.=石

C.若0〃5，b//c!則a〃cD.若卜+?=同+W，則

【答案】D

【分析】利用向量的概念及零向量判斷即可.

【詳解】A：若°為非零向量，3為零向量時(shí)，有4〃B但0=3不成立，錯(cuò)誤；

B：同明時(shí)，%,3不一定相等，錯(cuò)誤；

C：若石為零向量時(shí)，a//b,彼〃己不一定有）錯(cuò)誤；

D：卜+囚=卜|+忖說(shuō)明3同向或至少有一個(gè)零向量，故正確.

故選：D.

8.設(shè)［與［是兩個(gè)不共線的向量，AB=3e1+2^,CB=kel+Z,CD=^-2k'^,若Z,B,。三點(diǎn)共線，則

左的值為（）

4938

A.——B.——C.—-

948--3

【答案】B

【分析】根據(jù)向量共線的判定定理結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解.

UUWLlUUTULIT/irUT\/ITUt\LTIX

【詳解】由題意可得：BD=CD-CB=［?>ex-2keiy\kel+e^=（3-kyi-（2k+\）e1,

若4,B,。三點(diǎn)共線，所有必存在一個(gè)實(shí)數(shù)九使得在=幾麗，

irurr-LTur,-iITir

艮3,+2e?=幾］（3—左）,一（2后+1）92］二丸（3—左）,—4（2k+1）與，

（—左）2=-

可得14與3?=）3與解得,7

k,

故選：B.

9.在AO/8中，已知網(wǎng)=2,網(wǎng)=4,尸是的垂直平分線/上的任一點(diǎn)，貝U赤.赤=（）

A.6B.-6C.12D.-12

【答案】B

【分析】設(shè)M為42的中點(diǎn)，結(jié)合戶為線段N8垂直平分線上的任意一點(diǎn)，則有歷.在=兩.礪，再將

而，在都用方，麗表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.

【詳解】設(shè)M為的中點(diǎn)，

則亦方=（而'+珂.萬(wàn)=而?方+赤.方，

因?yàn)槭瑸榫€段N3垂直平分線上的任意一點(diǎn)，

所以礪?刀=0，

貝廊?方=而?方=|■（礪+珂.（礪—珂=^OB2-OA^=-6.

故選：B.

10.已知拋物線C：J?=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為/,點(diǎn)線段/尸交拋物線C于點(diǎn)2,過(guò)點(diǎn)3作/的垂

線，垂足為若蘇=3而，則（）

A.B.=4

D.\AF\=MBH

【答案】BC

【分析】利用三角形相似及拋物線定義求解.

【詳解】拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)尸（1,0）,準(zhǔn)線/為尤=-1,

\BH\_\AB\_2

\MF\~\AF\~

4

?：\MF\=2,：.\BH\=^x2=^,艮1麗|二故A錯(cuò)誤；

由拋物線定義得|BF|=|BH\,：.\AF\^3\BF\=3\BH\^4,

即//=4,\AF\=?,\BH\,故BC正確,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.下列各式中結(jié)果為零向量的為（)

A.AB+MB+W+OMB.AB+BC+CA

C.AB-AC+BD-CDD.OA+OC+W+CO

【答案】BC

【分析】根據(jù)平面線向量加法和減法的運(yùn)算法則逐一判斷即可.

【詳解】^~AB+MB+JO+OM=AB+{<Bd+OM+MB^=^B,所以選項(xiàng)A不符合題意；

因?yàn)橐?比+0=6，所以選項(xiàng)B符合題意；

因?yàn)橐?衣+而-麗=赤+而-函=函-麗石，

所以選項(xiàng)C符合題意；

因?yàn)?+反+的+函=畫+珂+甌+珂=詼+6=禮

所以選項(xiàng)D不符合題意，

故選：BC

易錯(cuò)點(diǎn)二：忽略基底選取原則（平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示）

1.平面向量基本定理和性質(zhì)

（1）共線向量基本定理

如果）=4（叔夫），則///B；反之，如果3/區(qū)且5片0,則一定存在唯一的實(shí)數(shù)％,使@=加（口

訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）.

（2）平面向量基本定理

如果1和易是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量了，都存在唯一的一對(duì)

實(shí)數(shù)4,4,使得1=43+41，我們把不共線向量1，尾叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為

{9勺},+A2e2叫做向量）關(guān)于基底,?}的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量I與最不共線，平面內(nèi)的任一向量2都可以分解成形如

+41的形式，并且這樣的分解是唯一的.+4易叫做易的一個(gè)線性組合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).

推論1：若1=4弓+402=4弓+402，則4=4，A2=24.

推論2：^5=A1<?1+/L,e2=0,則4=4=0.

（3）線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式

如圖所示，在△/8C中，若點(diǎn)。是邊3c上的點(diǎn)，且麗=%比1）,則向量打。.在

J"1"+2"

向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問(wèn)題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌

握.

(4)三點(diǎn)共線定理

平面內(nèi)三點(diǎn)4B,C小線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)4〃，使反=2方+〃礪，其中4+〃=1,。為

平面內(nèi)一點(diǎn).此定理在向量問(wèn)題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.

/、B、C三點(diǎn)共線

o存在唯一的實(shí)數(shù);I,使得k=2而；

o存在唯一的實(shí)數(shù)2,使得反=a+/1方；

o存在唯一的實(shí)數(shù)2,使得反=(1-㈤刀+2礪；

O存在力+〃=1,0C=WA+/AOB.

(5)中線向量定理

—?1—?_._

如圖所示，在人2。中，若點(diǎn)。溟邊3。的中點(diǎn)，則中線向量/D=5(/B+/C),反之亦正確.

2.平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算

(1)平面向量的坐標(biāo)表示.

在平面直角坐標(biāo)中，分別取與x軸，V軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面向

量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)工/使3=%：+抽，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)(三歷

叫做向量值的坐標(biāo)，記作5=(%/).

(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是---對(duì)應(yīng)的，即有

向量(x,y)、=「暨二、向量次、?.丁譬二、點(diǎn)4x，y).

(3)設(shè)■=(無(wú)，1必),b=(x2,y2),則。+1=(網(wǎng)+々,必+%),a-b=(Xj-x2,y1-y2),即兩個(gè)向量的和

與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

若d=(x,y),2為實(shí)數(shù)，則2?=(2x"y),即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)

坐標(biāo).

(4)設(shè)/(國(guó),%)，8(%,%),則在=礪-麗=(國(guó)-尤2,%-%)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向

線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).

3.平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

22

①已知點(diǎn)，(再，%)，B{X2,y2),則AB=(x2—Xj,y2—jVj)T|AB|=(x2—%1)+(y2~)

②已知F=(x”為),b=(x2,y2),則=(再±%，必±%)，而=(2再,辦J,

a-b=X環(huán)？+yxy2,|1=舊+y：.

a//bxxy2-x2yx=0,3_LB今xtx2+y,y2=0

向量共線(平行)的坐標(biāo)表示

1.利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地，在求與一個(gè)已知向量1共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量

為府(AeR),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于力的方程，求出2的值后代入須即可得到所求的向量.

2.利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若萬(wàn)=Q,%),

b=(x2,y2),則的充要條件是毛%解題比較方便.

3.三點(diǎn)共線問(wèn)題.A,B,C三點(diǎn)共線等價(jià)于萬(wàn)與k共線.

4.利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒

等變換求解.

用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路

(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進(jìn)行

向量的運(yùn)算.

(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便，另外，要熟練運(yùn)用線段中點(diǎn)的

向量表達(dá)式.

向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.

兩個(gè)相等的向量，無(wú)論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.

易錯(cuò)提醒：(1)平面向量基本定理中的基底必須是兩個(gè)不共線的向量.

(2)選定基底后，通過(guò)向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示

出來(lái).

(3)強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相

似等。

三9

例.已知向量￡=(2,1),B=(—3,1),貝(J()

-(V52V5_1-

A.右。=-?z-，則〃_1。B.向量￡在向量石上的投影向量為-

C.々與￡5的夾角余弦值為平D.(a+b\lla

--V5

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若。=植一豆1),貝U4?C=2X——F1=0,所以5_LU,A正確;

對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)向量￡在向量刃上的投影向量為泥，則73=%片，即2x(-3)+F=l(U,解得力=-g,故

1一

向量〃在向量石上的投影向量為-,6,B選項(xiàng)正確；

一一7(力)io26

對(duì)于C選項(xiàng)，a-石=(5,0)cos<a,a—b>=■ppp—q--~/=——~~~C選項(xiàng)正確;

\cA-\a-HV5x55

對(duì)于D選項(xiàng)，a+^=(-l,2),-1x12x2,所以Z+5與々不共線，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

變式1.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的為()

A.已知:=(1,2),力=(1,1)且￡與￡+宓的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是［-$+8

B.向量1=(2,-3),不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

C.非零向量幾滿足R<W且々與］同向，則￡>否

D.非零向量之和石，滿足,咽=口-@,則Z與Z+3的夾角為30。

【詳解】對(duì)于A,Q聯(lián)=(1,2),6=(1,1),且Z與Z+元的夾角為銳角,

.-.a-(a+25)=(l,2)-(l+A,2+A)=l+A+4+2A=3A+5>0,且彳*0(4=0時(shí)，￡與￡+」的夾角為0。),所

以且2/0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,向量］=4e，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故B正確;

對(duì)于C,向量是有方向的量，不能比較大小，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,因?yàn)橥狄?兩邊平方得，W=2H,又H=M，

222一一一2

則4+B)a|+a^=||a|+la-b+b=6口，

百

故COS(Q,Q+B

一問(wèn)?+4口~2

而向量的夾角范圍為［o°,180°］,所以￡和￡+5的夾角為30。，故D正確.

故選：AC.

變式2.（多選）下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若a=（X］，M）,Z>=（%,%），且［與共線,則；"=”

B.若a=（』,必）,6=（%2，%），且玉%。％2%,則：與力不共線

C.若4,B,。三點(diǎn)共線.則向量八,六,&都是共線向量

D.若向量a=,且則〃=—4

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,%=0或%=0時(shí)，比例式無(wú)意義，故錯(cuò)誤;

對(duì)選項(xiàng)B,若a=（石,乂）,6=（心％），Q與6共線，則一'定有玉%="2%，故正確;

對(duì)選項(xiàng)C,若4,B,C三點(diǎn)共線，則幾，六，&在一條直線上，則/，炭;&都是共線向量，故正確;

對(duì)選項(xiàng)D,若向量：=（1,2）］=（一2,〃），且則1X/7=-2X2,即〃=-4,故正確；

故選：BCD

變式3.已知晟晟是平面內(nèi)的一組基底，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若實(shí)數(shù)冽，nmel+ne2=6,貝!J加=〃=0

B.平面內(nèi)任意一個(gè)向量5都可以表示成2=加,十加6，其中冽，〃為實(shí)數(shù)

C.對(duì)于冽，〃ER,冽q+碇2不一定在該平面內(nèi)

D.對(duì)平面內(nèi)的某一個(gè)向量萬(wàn)，存在兩對(duì)以上實(shí)數(shù)冽，n,使萬(wàn)=加1+

【詳解】解：根據(jù)基底的定義知AB正確;

對(duì)于C,對(duì)于加，在該平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,m,〃是唯一的，故D錯(cuò)誤.

故選:AB.

1.在梯形中，ABUCD,AB=2CD,E,產(chǎn)分別是45,CO的中點(diǎn)，AC與BD交于M,設(shè)五=，,

AD=bf則下列結(jié)論正確的是（）

—?1一—?1一

A.AC=-a+bB.BC=——a+b

22

—?12一—?1一

C.BM=——a+-bD.EF=——a+b

334

【答案】ABD

【分析】結(jié)合已知梯形的性質(zhì)及向量加法及減法的三角形法則及向量共線定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

由題意可得，AC=AD+DC=b+-a故A正確；

2f

BC=BA+AC=-a+b+-a=b--a故B正確；

229

——?—?——?2—?2-12-2

BM=BA+AM=-a+-AC=-a+-b+ax-=-b——a,故C錯(cuò)誤;

33333

EF=EA+AD+DF=--a+b+-a=b--3,故D止確.

244

故選：ABD.

2.已知點(diǎn)”(1,2),8(3,x),向量a=(2-x,-l),AB//a,則()

A.x=2+0時(shí)您與方方向相同

B.無(wú)=2-后時(shí)，刀與Z方向相同

C.》=2-&時(shí)元與Z方向相反

D.尤=2+0時(shí)，血與Z方向相反

【答案】BD

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示求出x,再回代驗(yàn)證方向相同或相反.

【詳解】2(1,2),5(3,x),可得方=(2戶-2),

又1=(2-尤,-1),ABIIa<

可得(2-可卜-2)=-2,解得》=2±0，

當(dāng)x=2+0時(shí)，萬(wàn)=(2，⑹與7=卜"-1)方向相反，當(dāng)工=2-應(yīng)時(shí)，在=(2,-⑹與3=(在-1)方向

相同.

故選：BD

3.已知點(diǎn)41,2),3(3,x),向量1=(2-陽(yáng)一1),萬(wàn)〃凡則()

A.x=3時(shí)施與Z方向相同

B.x=2-后,時(shí)刀與￡方向相同

C.工=3時(shí)1§與之方向相反

D.x=2+血，時(shí)通與Z方向相反

【答案】BD

【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】4L2),5(3,x),可得次=(2,x-2),

y.a=(2-x,-i),AB//a,

可得(2-x)(x-2)=-2,解得x=2土近，

當(dāng)x=2+正，時(shí)，萬(wàn)=(2,a),1=(-加,一1)則益=一收￡,

所以君與方方向相反，

當(dāng)x=2-后，時(shí)，益=(2,-拒)，5=(V2,-1),則方

窈與3方向相同.

故選:BD.

4.如果耳，當(dāng)是平面。內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中正確的是()

A.幾4+〃&(4,〃eR)可以表示平面a內(nèi)的所有向量

B.對(duì)于平面a內(nèi)任一向量使方=2耳+〃瓦的實(shí)數(shù)對(duì)(4〃)有無(wú)窮個(gè)

c.若向量44+〃同與44+〃2瓦共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)力，使得4耳+〃?=4（4耳+〃25）

D.若存在實(shí)數(shù)使得力百+〃?=0,貝?。葆?〃=0

【答案】AD

【分析】由平面向量基本定理可確定AD正確，B錯(cuò)誤；通過(guò)反例可說(shuō)明C錯(cuò)誤.

【詳解】???4,馬是平面二內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，耳?可以作為平面2的一組基底；

對(duì)于A,由平面向量基本定理可知：2耳+Mg2（%〃eR）可以表示平面二內(nèi)的所有向量，A正確；

對(duì)于B,對(duì)于平面。內(nèi)任意向量有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)（4〃），使得1=2耳+〃當(dāng)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于c,當(dāng)4=〃i=4=4=。時(shí)，4昌+必同與否M+〃2日均為零向量，滿足兩向量共線，此時(shí)使得

4耳+〃?=2（4瓦+〃22）成立的4有無(wú)數(shù)個(gè)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由病+〃&=0得：病=-〃?，又身后不共線，?/=-〃=0，即2=〃=0,D正確.

故選：AD.

5.已知平面內(nèi)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)5（-1,3）,C（3,4）,則第四個(gè)頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.（-2,2）B.（4,6）

C.（-6,0）D.（2,-2）

【答案】ABC

【分析】若構(gòu)成的平行四邊形為/8C2,即/c為一條對(duì)角線，設(shè)則由/c中點(diǎn)也是中點(diǎn)，

利用線段的中點(diǎn)公式求得A.

同理可求得，構(gòu)成以為對(duì)角線的平行四邊形NBC3,和以8c為對(duì)角線的平行四邊形NCA5,對(duì)應(yīng)的。

的坐標(biāo).

【詳解】若構(gòu)成的平行四邊形為/BCR,即4c為一條對(duì)角線，

-2+3x-1

設(shè)□（尤/）,則由/C中點(diǎn)也是肛中點(diǎn)，可得L22解得廠；

l+4_y+3［歹=2

所以2（2,2）；

同理可得，若構(gòu)成以N8為對(duì)角線的平行四邊形NBC。，則3(-6,0)；

以為8c對(duì)角線的平行四邊形/CR8,則2(4,6)；

所以第四個(gè)頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為可以為：(-2,2)或(-6,0)或(4,6).

故選：ABC.

6.已知橢圓￡：；+/=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,過(guò)下頂點(diǎn)/和右焦點(diǎn)￡的直線與￡交于另一點(diǎn)￡

84與y軸交于點(diǎn)尸，則()

A.AF11AF2B.\BF2\=y-

C.片的內(nèi)切圓半徑為包D.4FP-3PB=Q

2

【答案】ABD

【分析】根據(jù)給定條件，求出焦點(diǎn)及下頂點(diǎn)坐標(biāo)，畫出圖形，再逐項(xiàng)分析計(jì)算、判斷作答.

【詳解】依題意，橢圓E:J+/=1的焦點(diǎn)片(-1,0),2(1,0),下頂點(diǎn)40,-1),如圖，

對(duì)于A,|OFt|=|OF21=|OAI,因此巴，A正確;

\y=x-141

對(duì)于B,直線=1,由「2。2c消去y得：3X2-4X=0,則點(diǎn)

[x+2y=233

于是|8巴|=小€-1)2+(》2=殍,B正確；

ii4

對(duì)于c,的周長(zhǎng)為4及，令其內(nèi)切圓半徑為廠，^=-^2|-|--(-1)=-,

因此1x4行=?，解得"正，C錯(cuò)誤；

233

41—?—.41__—4—■—■

對(duì)于D,5(-,-),設(shè)點(diǎn)尸(0,%),則片尸=(1,%),尸8=(§,§-%),而F///PB,即有=

因此4用-3麗=。，D正確.

故選：ABD

7.設(shè)0＜。＜兀，非零向量a=(sin26,cos6),b=(cos^,l),貝！J().

i47r

A.若tan6=：,則之〃3B.若。=；,則￡，3

C.存在。，使力=bD.若2〃幾則tan。'

【答案】ABD

【分析】A選項(xiàng)，驗(yàn)證cos?0=sin20即可；

B選項(xiàng)，驗(yàn)證7B=o；

C選項(xiàng)，由題可得2sin26=cos6,cos6=；,據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤；

D選項(xiàng)，由題可得cos?d=sin20，據(jù)此可判斷選項(xiàng)

【詳解】A選項(xiàng)，tanO=L=＞電電」ncos6=2sine=＞co83=2sin^cos^=sin26,

2cos。2

則Z〃B，故A正確；

B選項(xiàng)，9=^nsin26=-l,cos6=—?jiǎng)t。-~，b=-,1,

4222

\7\7

故2%=O=￡_LA，故B正確；

C選項(xiàng)，假設(shè)存在。，使。=h,則2sin2e=cos6,cosO=；,則可得

4sin0cos0=cos0n2sin0=，nsin0=—,故可得

24

sin26+cos28wl，則假設(shè)不成立，故c錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，因a〃],貝Usin26=cos?6，又由題可得cos。wO,貝(J

sin20=cos202sin0cos0=cos202sin0=costan^=—,故D正確.

故選：ABD

8.已知向量Z=(2,-l)花=(加,2),則下列結(jié)論正確的是()

A.若則加=-4B.若￡_1_否，則機(jī)=1

C.若|2,-,則機(jī)=1D.若卜+可=.|,則%=-4

【答案】AB

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示判斷A,根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示判斷B,根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示判斷

C,D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤辍╙,所以2x2=(-l)x〃?，所以皿=-4,A正確;

對(duì)于B,因?yàn)閆_Lg,所以2x加+（-1）X2=0,所以m=l,B正確;

9

對(duì)于C,因?yàn)閨2。-3|=舊+司，所以3僅）-6a-b=Q,所以機(jī)="C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)?+小卜卜所以何+2@.分=0,所以%=0或m=-4,D錯(cuò)誤;

故選：AB.

9.如圖，在“8C中，3c=12,。,E是BC的三等分點(diǎn)，則（）

33

2-?

B.若君.就=0，則樂(lè)在元上的投影向量為1

C.若益?就=9，貝I而.荏=40

??-------?------?------?2------>2

D.右4D-4E=4,4B+AC=88

【答案】AD

【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)，結(jié)合投影向量的定義、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,AE=AC+CE=AC+^CB=AC+^（AB-AC）=^AB+