平面向量的數(shù)量積（6題型分類）-2025年高考數(shù)學一輪復習（原卷版）

專題24平面向量的數(shù)量積6題型分類

彩題如工總

題型6:平面向量的實際應用題型1:平面向量數(shù)量積的基本運算

\_________________________

題型5:向量的投影題型2:向量的模

專題24平面向量的數(shù)量積6題

型分類

題型4:向量的夾角題型3:向量的垂直

彩和泅寶庫

1.向量的夾角

已知兩個非零向量a,b,。是平面上的任意一點，作宓=a,OB=b,則/4。8=。(0(6?(無)叫做向量。與

b的夾角.

2.平面向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量a與"它們的夾角為仇我們把數(shù)量|a|依cos。叫做向量。與力的數(shù)量積，記作

3.平面向量數(shù)量積的幾何意義

B

bJ

CA,BxD

設a,6是兩個非零向量，它們的夾角是仇e是與匕方向相同的單位向量，AB=a,CD=b,過油的起點A

和終點B,分別作詼所在直線的垂線，垂足分別為Ai，Bi，得到前1，我們稱上述變換為向量a向向量B

投影，工商叫做向量a在向量b上的投影向量.記為⑷cosOe.

4.向量數(shù)量積的運算律

(l)ab=ba.

(2)(腦)?力=2(。?5)=a-(Ab).

(3)(a+b)c=ac+bc.

5.平面向量數(shù)量積的有關結論

已知非零向量。=(沏，")，b=g,")，。與萬的夾角為夕

幾何表示坐標表示

數(shù)量積a-b=\a\\b\cos0a-b=x\X2+yiyi

模\a\=N|a|=q屑+y?

八abxix+yiy2

夾角COSu-||?|2

x⑷步1

alb的充要條件ab=0的入2+%丁2=0

|a創(chuàng)與⑷向的關系|a創(chuàng)W|a||臼kiX2+yiy2|<^/(xi+y1)(%2+^2)

6.平面向量數(shù)量積運算的常用公式

(l)(a+，＞(a—5)=/一/；

(2\a±b')2=(r+2a-b+b2.

7.有關向量夾角的兩個結論

(1)若a與〃的夾角為銳角，則a2＞0；若。力＞0,則a與入的夾角為銳角或0.

(2)若。與〃的夾角為鈍角，則“協(xié)＜0；若〃協(xié)＜0,則a與。的夾角為鈍角或兀.

彩偏題祕籍

平面向量數(shù)量積的基本運算

計算平面向量數(shù)量積的主要方法

(1)利用定義：。?'=|。||例cos〈a,b).

(2)利用坐標運算，若。=(陽，yi),)=(冗2,yi),則。6=陽工2+〉1丁2.

(3)利用基底法求數(shù)量積.

(4)靈活運用平面向量數(shù)量積的幾何意義.

題型1：平面向量數(shù)量積的基本運算

1-1.(2024?陜西西安?模擬預測)已知向量b滿足同向共線，且慟=2,1-4=1,則(a+6)/=()

A.3B.15C.-3或15D.3或15

1-2.(2024?北京)已知向量a,在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則

{a+b)-c=；a-b=■

1-3.（2024?全國）正方形A3CD的邊長是2,E是AB的中點，則（）

A.75B.3C.2A/5D.5

1-4.（2024?湖南長沙?二模）已知菱形ABC。的邊長為1,ABAD=-^,G是菱形A8CD內(nèi)一點，若

GA+GB+GC=0,貝！lAG.AB=（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

3

1-5.（2024?天津）如圖，在四邊形ABCD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,^,AD=ABC,ADAB=--,

則實數(shù)％的值為,若KN是線段BC上的動點，且|MN|=1,則。MQN的最小值為.

1-6.（2024?全國?一模）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一.在2022

年虎年新春來臨之際，許多地區(qū)人們?yōu)榱诉_到裝點環(huán)境、渲染氣氛，寄托辭舊迎新、接福納祥的愿望，設

計了一種由外圍四個大小相等的半圓和中間正方形所構成的剪紙窗花（如左圖）.已知正方形A3CD的邊長

為4,中心為。，四個半圓的圓心均在正方形ABCD各邊的中點（如右圖）.若點尸在四個半圓的圓弧上運

動，則ACOP的取值范圍是.

彩傅題淞籍

平面向量數(shù)量積的應用

（1）求平面向量的模的方法

①公式法：利用及（a±%）2=|a|2±2a3+|肝；

②幾何法：利用向量的幾何意義.

（2）求平面向量的夾角的方法

、ci,b

①定義法：coso=j^j而；

②坐標法.

（3）兩個向量垂直的充要條件

一臼=|"+例（其中a^O,#0）.

題型2:向量的模

2-1.（2024?陜西咸陽?模擬預測）已知”，b是非零向量，忖=1,（a+2b^La,向量［在向量6方向上的投

影為一亨，則，一,=.

2-2.（2024高三上■海南■期末）已知向量a,b滿足0=（1,1）,忖=4,a-（a-b^=-2,貝川3°-4=.

2-3.（2024?四川南充?二模）已知為單位向量，且滿足b-后卜后，則|2a+b卜.

24（2024?河南鄭州?模擬預測）已知平面向量a2滿足,卜加,慟=2,且僅”+6）?-6）=14,則卜+0

題型3:向量的垂直

3-1.（2024?全國）設向量〃二（1,—1）,。=（加+1,2根—4）,^aLb,則機=.

32（2024?河南開封?模擬預測）已知向量。=（-2,3）,8=（4,-5）,若（助-貝此=.

3-3.（2024?江西贛州?一模）已知向量。=（1,2）,8=（4,左）.若（2a-6），（2a+6）,則實數(shù)上的值為.

3-4.（2024高三下?江西南昌?開學考試）已知兩單位向量令,6的夾角為若a=G+2e2,b=ex+me2，且4_LZ?,

則實數(shù)根=.

3-5.（2024高三?全國?專題練習）非零向量〃=（cos（6Z-/3）,sin。），Z?=（l,sina）,若〃_L。，則tanatan尸=.

題型4：向量的夾角

4-1.（2024,河南駐馬店?二模）若單位向量〃，人滿足則向量入B夾角的余弦值為.

4-2.（2024高三?廣東?階段練習）若q,e；是夾角為60。的兩個單位向量，則a=2q+e2與6=-3q+2e2的夾

角大小為.

4-3.（2024高三下?重慶?階段練習）已知向量。和6滿足：同=1,忖=2,慳-司-2as=0,則a與/，的

夾角為.

4-4.（2024?四川?模擬預測）已知向量。=1+1,右），6=（1,0）,a-b=-2,則向量a+b與6的夾角為.

4-5.（2024?浙江）設q,e；為單位向量，滿足|2e；-e；區(qū)正，a=ei+e1,b=3q+e；,設。，b的夾角為0,

則cos?6的最小值為.

4-6.（2024?天津）在.ABC中，CA=a,CB=b,。是AC中點，CB=2BE,試用表示OE為，

若AB_LDE，則/ACB的最大值為

題型5:向量的投影

5-1.（2024?全國?模擬預測）已知向量a=（l,O）,Z?=（O,l）,a-c=Z?-c=l,則向量0在向量）上的投影向量

為.

5-2.（2024高三下?上海寶山?期中）已知向量。=（3,6）,匕=（3,-4）,則4在8方向上的數(shù)量投影為.

5-3.（2024高一下?山東泰安?期中）已知向量忖=6,e為單位向量，當向量￡、e的夾角等于45。時，則向

量a在向量e方向上的投影向量是.

5-4.（2024高三上?云南昆明?開學考試）已知向量。=（-1,2）,向量b=（1,1）,則向量“在向量〃方向上的投

影為.

55（2024?上海虹口?三模）已知。=（-2,-1）,6=（-4.m）,若向量B在向量a方向上的數(shù)量投影為石，則實數(shù)

m=

彩得甄祕籍

平面向量的實際應用

用向量方法解決實際問題的步驟

題型6:平面向量的實際應用

6-1.（2024高三上?安徽合肥?開學考試）一質點受到同一平面上的三個力片，F(xiàn)2,F3（單位：牛頓）的作

用而處于平衡狀態(tài)，已知耳，工成120。角，且可，F(xiàn)?的大小都為6牛頓，則工的大小為牛頓.

6-2.（2024高三上?福建泉州?期中）如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態(tài).已知兩條繩

上的拉力分別是耳，F(xiàn)；,且耳，工與水平夾角均為45。，,卜歸|=4后N,則物體的重力大小為

N.

45°?\45°

6-3.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測）下圖是北京2022年冬奧會會徽的圖案，奧運五環(huán)的大小和間距如圖所

示.若圓半徑均為12,相鄰圓圓心水平路離為26,兩排圓圓心垂直距離為1L設五個圓的圓心分別為。1、

。2、Q、。4、。5,則。4。「（。4。5+。4。2）的值為（）

B煉習與梭升

一、單選題

1.（2024高三上?吉林四平?期末）已知向量a,b滿足|4=2,m=6,且〃與方的夾角為聿，則

（Q+〃）.（2Q-b）=（）

A.6B.8C.10D.14

2.（2024高一下?天津西青?階段練習）已知同=6,網(wǎng)=3,向量。在b方向上投影向量是4e，貝!）2小為（）

A.12B.8C.-8D.2

3.（2024高三下?云南昆明?階段練習）已知單位向量:工，且3匕〉=；，若,Q[=2，則H=（）

A.1B.12C.一2或2D.-1或1

4.（2024?廣東?模擬預測）將向量。尸=（立⑹繞坐標原點。順時針旋轉75。得到OP-則。尸.以=（）

A.2B.娓一叵

C.V6+V2D.

2

TT

5.（2024?山東濟寧?二模）如圖，在中，ZBAC=~,AD=2DB，尸為。上一點，且滿足

AP=mAC+-AB（meR）,若AC=3,AB=4,則AP-CD的值為（）.

C

Ax

ADB

6.（2024?吉林長春?模擬預測）在矩形ABCD中，=1,45=2,AC與8。相交于點0,過點A作

于E,則AE-AO=（）

1224124

A.—B.—C.—D.一

252555

7.（2024?湖北?模擬預測）已知平面向量。，b,右滿足0=（2,1）,b=（1,2）,1c.若"c=30,貝力。1=

（）

A.5B.2A/5C.572D.3石

8.（2024?山東泰安?模擬預測）已知|a|=g|=|c|=l,a%=-；,c=xa+yb（x,yeR）,則x—y的最小值為（）

A.-2B.--C.-V3D.-1

3

9.（2024?安徽?三模）以邊長為2的等邊三角形ABC每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一

TT

段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知尸為弧AC上的一點，且=j則5PC尸的值為（）

A.4-0B.4+0

C.4-2gD.4+26

10.（2024?陜西安康?模擬預測）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABC。中，-840=120。,AB=AO=1,AC=2.若石為

3_

A.-3B.C.D.3

2

11.（2024?安徽合肥?模擬預測）如圖，已知ASC是面積為36的等邊三角形，四邊形MNPQ是面積為2

的正方形，其各頂點均位于A5C的內(nèi)部及三邊上，且恰好可在內(nèi)任意旋轉，貝I］當2QCP=0時,

\BQ+CP\2=()

A.2+4上B.4+2白c.3+2指D.2+376

12.（2024?河南安陽?三模）已知正方形ABCD的邊長為1,。為正方形的中心，E是A3的中點，則。足。。=

)

13

A.——BC.一D.1

4-I4

13.(2024?全國)已知向量a=力=（1,一1）,若(〃+4匕)_1(〃+"匕)，貝I()

A.2+〃=1B.X+4=-1

C.44=1D.辦=一1

14.(2024?全國)已知向量。=(3,4),〃=(l,0),c=a+仍，若<〃,c>=<仇c>,貝()，=()

A.-6B.-5C.5D.6

15.（2024高二上?江西九江?開學考試）在，ABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.尸為-ABC所在平面內(nèi)

的動點，且尸。=1,則尸4P5的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,3]D.[T6]

16.（2024?全國）已知；。的半徑為1,直線E4與。相切于點A,直線與一。交于8,C兩點，D為

BC的中點，若|PO|=則PAP。的最大值為（）

A.包?1+2五

D.----------

22

C.1+V2D.2+72

17.（2024?山東）已知P是邊長為2的正六邊形A8CDEF內(nèi)的一點，貝1JAPAB的取值范圍是（）

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(T6)

18.(2024?北京)在1aAsc中，AC=3,BC=4,NC=90。.尸為ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC=1,則PAPB

的取值范圍是()

A.[—5,3]B.[—3,5]C.[—6,4]D.[-4,6]

19.(2024?全國)已知向量31滿足1。1=1,1切=石,1〃一25|=3,則:％=()

A.-2B.-1C.1D.2

7T

20.(2024,浙江)已知.、b、e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為§，向量6滿足

萬。-4e/+3=0,貝！|卜-闿的最小值是

A.6一1B.73+1C.2D.2-g

21.(2024?全國)已知向量a=(3,1),6=(2,2),則cos(a+6,a-6>=()

A±nV17c亞

A?D.--------C.----U.-----

171755

22.(2024?全國)已知向量a,/7,c滿足同=忖=1,同=虛，且a+Z?+c=0，則cos〈a-°涉一c〉=()

4224

A.—B.—C.一D.一

5555

23.(2024?吉林?二模)平面向量a與》相互垂直，已知。=(6,-8),忖=5,且b與向量(1,0)的夾角是鈍角，

貝心()

A.(-3,-4)B.(4,3)C.(-4,3)D.?-3)

24.(2024高三上?湖南?階段練習)已知單位向量”，。的夾角為60。，則在下列向量中，與6垂直的是()

A.a+2bB.2a+bC.a—2bD.2a—b

25.(2024?全國?模擬預測)已知平面向量“，6滿足忖=2忖=6,卜+叫=3例左>0),a-b=9,則實數(shù)左

的值為()

A.1B.3C.2D.>/2

26.(2024高三上?遼寧?階段練習)已知向量。=(4,2),6=(41),若a+26與〃-6的夾角是銳角，則實數(shù)4

的取值范圍為()

A.(1-V1T,2)I(2,1+711)B.(-2,5)

c.(I-A/TT,I+A/IT)D.(-<?,I-7TT)IJ(I+VIT,+OO)

27.（2024?福建漳州?模擬預測）已知向量。二（-1,㈤，向量石=（〃,一2）,向量c=（l,l）,若一與）共線,b1c

則（）

A.m=-lB.〃=—2

C.m+n=3D.m—n=l

28.（2024?遼寧沈陽?一模）已知單位向量°力滿足a，（a-26）,貝（）

2兀兀兀兀

A.—B.一C.—D.一

3346

29.（2024高三上■江西撫州■階段練習）已知非零向量”，6滿足a+慟=0,\a+4Z?|=5,則,+〃+卜]的

最大值為（）

A5V104710u25播n.

334

30.（2024?四川成都?模擬預測）在平面直角坐標系xOv中，點”（2,0）,直線/：>=左（尤-2）+1,點M關于直

線/的對稱點為N,則ON的最大值是（）

A.2B.3C.5D.6

31.（2024高三下,陜西?開學考試）己知拋物線C：V=2py（p>0）的焦點為F，直線/與拋物線C相切于點P

（異于坐標原點。），與x軸交于點Q,若|尸石=2,但。|=1,則向量b與P。的夾角為（）

7C5兀7L2兀

A.—B.—C.—D.—

6633

二、多選題

32.（2024?全國）己知0為坐標原點，點耳（cose,sine）,鳥（cos/?,-sin￡）,月（cos（c+/?）,sin（a+/））,A（l,0）,

則（）

A.口用=|網(wǎng)B.\APt\=\AP2\

C.OAOP3=OI]OP1D.OAOF[=OP1O^

33.（2024?江蘇連云港?模擬預測）設a,b,c是三個非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是（）

A.若卜+0=卜-0,則心匕B.若卜卜比則（a+b）_L（a-6）

C.若q.c=b-c，則q-b不與c垂直D.R-c）a-（a-c）b不與0垂直

三、填空題

34.（2024?上海楊浦?模擬預測）若向量。與％不共線也不垂直，且c=a-（巴則向量夾角

ya-bJ

35.（2024,上海長寧?三模）已知a.c是同一個平面上的向量，若同=何=網(wǎng)，且。力=0,04=2,c-6=l,

則〈乙。）=.

36.（2024圖三下?重慶渝中,階段練習）已知向量a,b滿足a=。,-1）,卜卜1,a-b=l>則向量a與。的夾

角