人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)清單 專題02全等三角形（13個(gè)考點(diǎn)清單+7種題型解讀）

專題02全等三角形（考點(diǎn)清單，13個(gè)考點(diǎn)清單+7種題型解讀）【清單01】全等形的概念（重點(diǎn)）形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.要點(diǎn)歸納：一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個(gè)全等形的周長(zhǎng)相等，面積相等.【清單02】全等三角形的概念和表示方法（重點(diǎn)）1.全等三角形的定義能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.2.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角定義兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.要點(diǎn)歸納：在寫兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角.3.找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；（3）有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；（4）有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；（5）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；（6）兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等.【清單03】全等三角形的性質(zhì)（重點(diǎn)）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)歸納：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.【清單04】三角形全等的基本事實(shí)：邊邊邊（重點(diǎn)）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）.要點(diǎn)歸納：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.【清單05】三角形全等的基本事實(shí)：邊角邊（重點(diǎn)）1.全等三角形判定——“邊角邊”兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）.要點(diǎn)歸納：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.2.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.【清單06】三角形全等的基本事實(shí)：角邊角（重點(diǎn)）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.要點(diǎn)歸納：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.【清單07】三角形全等的推論：角角邊（重點(diǎn)）1.全等三角形判定——“角角邊”兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）要點(diǎn)歸納：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.【清單08】直角三角形全等的判定方法：HL（重點(diǎn)）在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)稱“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.要點(diǎn)歸納：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.【清單09】常見全等三角形的基本圖形1、截長(zhǎng)補(bǔ)短有一類幾何題其命題主要證明三條線段長(zhǎng)段的“和”或“差”及其比例關(guān)系，這一類題目一般可以采取“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”的方法來進(jìn)行求解。所謂“截長(zhǎng)”，就是將三者中最長(zhǎng)的那條線段一分為二，使其中的一條線段與已經(jīng)線段相等，然后證明其中的另一段與已知的另一段的大小關(guān)系。所謂“補(bǔ)短”，就是將一個(gè)已知的較短的線段延長(zhǎng)至與另一個(gè)已知的較短的長(zhǎng)度相等，然后求出延長(zhǎng)后的線段與最長(zhǎng)的已知線段關(guān)系。有的是采取截長(zhǎng)補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解。2、倍長(zhǎng)中線圖一圖二圖三3、過端點(diǎn)向中線作垂線一線三等角模型三垂直全等模型圖一如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BDC≌Rt△CEA圖二如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。結(jié)論：△BEC≌△CDA5、手拉手圖一圖二圖三圖四圖五圖六圖七手拉手模型的定義：定義：有兩個(gè)頂角相等而且有公共頂點(diǎn)的等腰三角形開成的圖形。特別說明：其中圖一、圖二為兩個(gè)基本圖形等腰三角形，圖二至圖七為手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手）如右圖：手拉手模型的重要結(jié)論：結(jié)論1：?ABC??ABC=B/C結(jié)論2：∠BOB=∠BAB（利用三角形全等及頂角相等的等腰三角形底角相等）結(jié)論3：AO平分∠BOC/【清單10】作已知角的平分線（重點(diǎn)）角平分線的尺規(guī)作圖

（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.【清單11】角的平分線的性質(zhì)（重點(diǎn)）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

要點(diǎn)歸納：

用符號(hào)語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.

【清單12】證明幾何命題的一般步驟（難點(diǎn)）(1)按題意畫出圖形.(2)分清命題的條件和結(jié)論,結(jié)合圖形,在“已知”中寫出條件,在“求證”中寫出結(jié)論(3)在“證明”中寫出推理過程在解決幾何問題時(shí),有時(shí)需要添加輔助線.添輔助線的過程要寫人證明中.輔助線通常畫成虛線【清單13】角的平分線的判定（重點(diǎn)）角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.要點(diǎn)歸納：

用符號(hào)語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

【考點(diǎn)題型一】全等三角形的判定1．（23-24八年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖，已知，，添加以下條件中，不能使的是（

）A． B． C． D．2．（23-24八年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）如圖，，，添加條件，可以根據(jù)“”得到．3．（24-25八年級(jí)上·云南昆明·期中）如圖，點(diǎn)，，，在同一條直線上，，，．求證：．4．（24-25八年級(jí)上·廣東東莞·期中）如圖，四邊形中，，E是的中點(diǎn)，平分．(1)判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)若，，求和的面積之和．【考點(diǎn)題型二】全等三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用5．（21-22八年級(jí)上·福建廈門·期末）如圖，已知與，四點(diǎn)在同一條直線上，其中，，，則等于（

）A． B． C． D．6．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為15，平分．若M，N分別是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．67．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，點(diǎn)A，C，B，D在同一條直線上，，，．若，，則度數(shù)為．8．（23-24八年級(jí)上·云南紅河·期末）如圖所示，已知，，求證．【考點(diǎn)題型三】角的平分線及尺規(guī)作圖9.（22-23八年級(jí)上·四川綿陽·期末）如圖，平分，在上取一點(diǎn)，作，已知的面積為，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)．則長(zhǎng)度的最小值為（

）A．1 B．1.5 C．2 D．2.510．（22-23八年級(jí)上·江蘇泰州·期末）已知，如圖，中，，，點(diǎn)D、E分別在、延長(zhǎng)線上，平分，平分，連接，則的度數(shù)為（）

A．45° B．48° C．60° D．66°11．（22-23八年級(jí)上·湖北襄陽·期末）如圖，在中，，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)E，連接，則．12．（23-24八年級(jí)上·上海崇明·期末）如圖所示，已知，求作點(diǎn)I，使點(diǎn)I到三邊的距離相等．【考點(diǎn)題型四】延長(zhǎng)垂線段構(gòu)造全等13．（20-21八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在中，是的平分線，，垂足為D．求證：．

14．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）如圖，在中，平分交于點(diǎn)于點(diǎn)．探究，之間的數(shù)量關(guān)系．

15．（21-22八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在中，平分交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．

【考點(diǎn)題型五】截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等16．（22-23八年級(jí)上·重慶江北·期末）如圖，在中，，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若已知周長(zhǎng)為，，，則長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．417．（22-23八年級(jí)上·安徽蚌埠·期末）如圖，在中，，和分別平分和，和相交于P．（1）的度數(shù)為；（2）若，則線段的長(zhǎng)為．18．（23-24八年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）如圖，在中，，的角平分線、相交于點(diǎn)O，求證：．

19．（21-22八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，四邊形中，，，于點(diǎn)．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，且，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，交于點(diǎn)，連接，且，當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)題型六】作垂線構(gòu)造全等20．（22-23八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，射線為的平分線，點(diǎn)M，N分別是邊，上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，點(diǎn)P在上，滿足的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè)21．（22-23八年級(jí)上·北京海淀·期末）如圖，點(diǎn)D在的平分線上，P為上的一點(diǎn)，，點(diǎn)Q是射線上的一點(diǎn)，并且滿足，則的度數(shù)為．

22．（21-22八年級(jí)上·山東日照·期末）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，平分．求證：是的平分線．

【考點(diǎn)題型七】倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等23．（23-24八年級(jí)上·山東臨沂·期中）如圖，在中，D為的中點(diǎn)，若，．則可以是（

）A．3 B．4 C．5 D．724．（23-24八年級(jí)上·安徽馬鞍山·期末）已知的兩邊，長(zhǎng)分別為3和5，邊上的中線的取值范圍為．25．（23-24八年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期末）某校八年級(jí)（1）班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了試驗(yàn)探究活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，是的中線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，求證：．【理解與運(yùn)用】（2）如圖2，是的中線，若，求的取值范圍；（3）如圖3，是的中線，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，求證：．26．（23-24八年級(jí)上·貴州銅仁·期末）某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，，，D是的中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到，使，請(qǐng)補(bǔ)充完整證明“”的推理過程．(1)求證：證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使在和中（__________）請(qǐng)補(bǔ)齊空白處(2)由（1）的結(jié)論，根據(jù)與之間的關(guān)系，探究得出的取值范圍是__________；(3)【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問題解決】如圖2，中，，，是的中線，，，且，求的長(zhǎng)．

專題02全等三角形（考點(diǎn)清單，13個(gè)考點(diǎn)清單+7種題型解讀）【清單01】全等形的概念（重點(diǎn)）形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.要點(diǎn)歸納：一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個(gè)全等形的周長(zhǎng)相等，面積相等.【清單02】全等三角形的概念和表示方法（重點(diǎn)）1.全等三角形的定義能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.2.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角定義兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.要點(diǎn)歸納：在寫兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角.3.找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；（3）有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；（4）有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；（5）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；（6）兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等.【清單03】全等三角形的性質(zhì)（重點(diǎn)）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)歸納：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.【清單04】三角形全等的基本事實(shí)：邊邊邊（重點(diǎn)）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）.要點(diǎn)歸納：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.【清單05】三角形全等的基本事實(shí)：邊角邊（重點(diǎn)）1.全等三角形判定——“邊角邊”兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）.要點(diǎn)歸納：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.2.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.【清單06】三角形全等的基本事實(shí)：角邊角（重點(diǎn)）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.要點(diǎn)歸納：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.【清單07】三角形全等的推論：角角邊（重點(diǎn)）1.全等三角形判定——“角角邊”兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）要點(diǎn)歸納：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.【清單08】直角三角形全等的判定方法：HL（重點(diǎn)）在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)稱“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.要點(diǎn)歸納：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.【清單09】常見全等三角形的基本圖形1、截長(zhǎng)補(bǔ)短有一類幾何題其命題主要證明三條線段長(zhǎng)段的“和”或“差”及其比例關(guān)系，這一類題目一般可以采取“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”的方法來進(jìn)行求解。所謂“截長(zhǎng)”，就是將三者中最長(zhǎng)的那條線段一分為二，使其中的一條線段與已經(jīng)線段相等，然后證明其中的另一段與已知的另一段的大小關(guān)系。所謂“補(bǔ)短”，就是將一個(gè)已知的較短的線段延長(zhǎng)至與另一個(gè)已知的較短的長(zhǎng)度相等，然后求出延長(zhǎng)后的線段與最長(zhǎng)的已知線段關(guān)系。有的是采取截長(zhǎng)補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解。2、倍長(zhǎng)中線圖一圖二圖三3、過端點(diǎn)向中線作垂線一線三等角模型三垂直全等模型圖一如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BDC≌Rt△CEA圖二如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。結(jié)論：△BEC≌△CDA5、手拉手圖一圖二圖三圖四圖五圖六圖七手拉手模型的定義：定義：有兩個(gè)頂角相等而且有公共頂點(diǎn)的等腰三角形開成的圖形。特別說明：其中圖一、圖二為兩個(gè)基本圖形等腰三角形，圖二至圖七為手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手）如右圖：手拉手模型的重要結(jié)論：結(jié)論1：?ABC??ABC=B/C結(jié)論2：∠BOB=∠BAB（利用三角形全等及頂角相等的等腰三角形底角相等）結(jié)論3：AO平分∠BOC/【清單10】作已知角的平分線（重點(diǎn)）角平分線的尺規(guī)作圖

（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.【清單11】角的平分線的性質(zhì)（重點(diǎn)）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

要點(diǎn)歸納：

用符號(hào)語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.

【清單12】證明幾何命題的一般步驟（難點(diǎn)）(1)按題意畫出圖形.(2)分清命題的條件和結(jié)論,結(jié)合圖形,在“已知”中寫出條件,在“求證”中寫出結(jié)論(3)在“證明”中寫出推理過程在解決幾何問題時(shí),有時(shí)需要添加輔助線.添輔助線的過程要寫人證明中.輔助線通常畫成虛線【清單13】角的平分線的判定（重點(diǎn)）角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.要點(diǎn)歸納：

用符號(hào)語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

【考點(diǎn)題型一】全等三角形的判定1．（23-24八年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖，已知，，添加以下條件中，不能使的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，根據(jù)全等三角形的判定方法一一判斷即可；【詳解】解：A．根據(jù)，可以推出，故本選項(xiàng)不符合題意；B．根據(jù)，可以推出，故本選項(xiàng)不符合題意；C．根據(jù)，不能判定三角形全等，故本選項(xiàng)符合題意；D．根據(jù)，可以推出，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2．（23-24八年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）如圖，，，添加條件，可以根據(jù)“”得到．【答案】【分析】此題考查了添加條件證明兩個(gè)三角形全等，正確掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等推出，結(jié)合已知條件，若根據(jù)“”得到，則應(yīng)添加的條件為．【詳解】解：∵，∴，若，則在和中∴，故答案為：．3．（24-25八年級(jí)上·云南昆明·期中）如圖，點(diǎn)，，，在同一條直線上，，，．求證：．【答案】見解析【分析】此題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)證明與全等解答．根據(jù)等式的性質(zhì)得出，再根據(jù)全等三角形的判定解答即可．【詳解】證明：如圖，，，即，在和中，，．4．（24-25八年級(jí)上·廣東東莞·期中）如圖，四邊形中，，E是的中點(diǎn)，平分．(1)判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)若，，求和的面積之和．【答案】(1)，證明見解析(2)20【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)證明得出，繼續(xù)證明得到，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)，求出梯形與的面積即可求解．【詳解】（1）解：，證明如下：證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∵DE平分，，，∴，又∵是的中點(diǎn)，∴，∴，在與中，，∴，∴，在與中，，∴，∴，又∵，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴和的面積之和梯形的面積的面積，，．【考點(diǎn)題型二】全等三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用5．（21-22八年級(jí)上·福建廈門·期末）如圖，已知與，四點(diǎn)在同一條直線上，其中，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，證明可得，進(jìn)而由三角形外角性質(zhì)可得，即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在和中，，∴，∴，∵，∴，故選：．6．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為15，平分．若M，N分別是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本題考查了角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短．明確和的最小值的情況是解題的關(guān)鍵．如圖，在截取，使得，連接，證明，則，由，可知當(dāng)三點(diǎn)共線，且時(shí)，的值最小，如圖，作于，則的最小值為，由，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，在截取，使得，連接，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線，且時(shí)，的值最小，如圖，作于，則的最小值為，∵，即，解得，∴的最小值為6，故選：D．7．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，點(diǎn)A，C，B，D在同一條直線上，，，．若，，則度數(shù)為．【答案】125【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，然后證明得到，再利用三角形的外角性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，故答案為：125．8．（23-24八年級(jí)上·云南紅河·期末）如圖所示，已知，，求證．【答案】證明見解析．【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直接利用“”證明全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：在和中，，∴，∴．【考點(diǎn)題型三】角的平分線及尺規(guī)作圖9.（22-23八年級(jí)上·四川綿陽·期末）如圖，平分，在上取一點(diǎn)，作，已知的面積為，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)．則長(zhǎng)度的最小值為（

）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，先求解，過P點(diǎn)作于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)垂線段最短求解．【詳解】解：∵的面積為，，∴，∴，過P點(diǎn)作于H，如圖，

平分，，，點(diǎn)E是射線上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為，故選：C．10．（22-23八年級(jí)上·江蘇泰州·期末）已知，如圖，中，，，點(diǎn)D、E分別在、延長(zhǎng)線上，平分，平分，連接，則的度數(shù)為（）

A．45° B．48° C．60° D．66°【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證得，，進(jìn)而得出，從而判定平分，再利用外角的性質(zhì)求出即可．【詳解】解：作于點(diǎn)F，于點(diǎn)H，于點(diǎn)G，

∵平分，平分，∴，，∴，∵，，∴平分，∵，，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定和性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知添加適當(dāng)?shù)妮o助線．11．（22-23八年級(jí)上·湖北襄陽·期末）如圖，在中，，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)E，連接，則．【答案】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)，掌握角平分線性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得點(diǎn)E到的距離相等，再利用角平分線的判定即可得到是的角平分線，進(jìn)而得到的度數(shù)．【詳解】解：過點(diǎn)E分別作，，，垂足分別為H，F(xiàn)，G，∵的平分線與的平分線相交于點(diǎn)E，∴，∴是的平分線，∴，在中，，∴，∴，故答案為：．12．（23-24八年級(jí)上·上海崇明·期末）如圖所示，已知，求作點(diǎn)I，使點(diǎn)I到三邊的距離相等．【答案】見解析【分析】本題考查角平分線作圖，以及角平分線性質(zhì)，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，作出與的角平分線，角平分線交點(diǎn)，即為所求點(diǎn)I．【詳解】解：所作點(diǎn)I如下圖所示：【考點(diǎn)題型四】延長(zhǎng)垂線段構(gòu)造全等13．（20-21八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在中，是的平分線，，垂足為D．求證：．

【答案】詳見解析【分析】延長(zhǎng)AD交于點(diǎn)F，是的角平分線且，得到，則，由三角形外角的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論．【詳解】證明：如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．

∵，∴．∵是的平分線，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．14．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）如圖，在中，平分交于點(diǎn)于點(diǎn)．探究，之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】．【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用證明，推出，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

平分，．，．在和中，，．．，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（21-22八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在中，平分交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．

【答案】見解析【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，證，，得出，，及，則．【詳解】解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，

∵，，，∵，，在和中，，，，平分，，，在和中，，，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型五】截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等16．（22-23八年級(jí)上·重慶江北·期末）如圖，在中，，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若已知周長(zhǎng)為，，，則長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】在上截取，連接，由可證得，于是可得，由可證得，于是可得，進(jìn)而可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，在上截取，連接，平分，平分，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，周長(zhǎng)為，，，，，，，解得：，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度，全等三角形的判定與性質(zhì)，等式的性質(zhì)，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．17．（22-23八年級(jí)上·安徽蚌埠·期末）如圖，在中，，和分別平分和，和相交于P．（1）的度數(shù)為；（2）若，則線段的長(zhǎng)為．【答案】/度8【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．在上截取，得出是解題的關(guān)鍵．（1）利用，角平分線的定義即可解答；（2）先利用“邊角邊”證明，進(jìn)而得出，再通過角之間的等量變換，利用“角邊角”證明，進(jìn)而得出線段之間的關(guān)系即可解答．【詳解】（1），，和分別平分和，，．故答案為：．（2）解：如圖，在上截取，連接，平分，，在和中，，，，，，，在和中，，，，．故答案為：8．18．（23-24八年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）如圖，在中，，的角平分線、相交于點(diǎn)O，求證：．

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，得到，，在上截取，連接，分別證明，，得到，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：，，、分別平分、，，，，，，如圖，在上截取，連接，

在和中，，，，，，，在和中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，做輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．19．（21-22八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，四邊形中，，，于點(diǎn)．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，且，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，交于點(diǎn)，連接，且，當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2【分析】（1）過點(diǎn)B作于點(diǎn)Q，根據(jù)AAS證明△得，再證明四邊形是矩形得BQ=CG，從而得出結(jié)論；(2)在GF上截取GH=GE，連接AH，證明AH=FH，GE=GH即可；(3)過點(diǎn)A作于點(diǎn)P，在FC上截取，連接，證明得，可證明AC是EH的垂直平分線，再證明和△得可求出，從而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：過點(diǎn)B作于點(diǎn)Q，如圖1∵又，∴△∴四邊形是矩形；（2）在GF上截取GH=GE，連接AH，如圖2，又（3）過點(diǎn)A作于點(diǎn)P，在FC上截取，連接，如圖3，由（1）、（2）知，，∵∴∵∴∴∴∠∵∴∠∴∵∴∠∴∴AC是EH的垂直平分線，∴∴又∵∴∴∠∴∠∵∠，∴∠∴∵∴∴∵∠∴，即∴∵，即∴在和中，∴△∴∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型六】作垂線構(gòu)造全等20．（22-23八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，射線為的平分線，點(diǎn)M，N分別是邊，上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，點(diǎn)P在上，滿足的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè)【答案】B【分析】過點(diǎn)P作，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定即可得出結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)P作，，如圖所示：∵射線為的平分線，∴，當(dāng)DM=EN時(shí)，此時(shí)∴滿足條件的點(diǎn)P只有1個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．（22-23八年級(jí)上·北京海淀·期末）如圖，點(diǎn)D在的平分線上，P為上的一點(diǎn)，，點(diǎn)Q是射線上的一點(diǎn)，并且滿足，則的度數(shù)為．

【答案】或【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，分類討論；過點(diǎn)D作于H，于N，則由角平分線的性質(zhì)定理得；分兩種情況考慮：點(diǎn)Q在點(diǎn)H的右側(cè)時(shí)，證明，則有；點(diǎn)在點(diǎn)H左側(cè)時(shí)，同理可求，進(jìn)而求得結(jié)果，最后綜合兩種情況即可．【詳解】解；如圖，過點(diǎn)D作于H，于N，

∵平分，∴，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)H的右側(cè)時(shí)，在和中，，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)H左側(cè)時(shí)，同理可求，∴，綜上所述：的度數(shù)為或，故答案為：或．22．（21-22八年級(jí)上·山東日照·期末）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，平分．求證：是的平分線．

【答案】見解析【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，反向延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，證明，可得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得，從而得到，再由角平分線的性質(zhì)的逆定理，即可求解．【詳解】證明：過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，反向延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，

∵，∴，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，在與中，，∴，∴，∵平分，，∴，∴，又，∴是的平分線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型七】倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等23．（23-24八年級(jí)上·山東臨沂·期中）如圖