人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)清單 專題02二次函數(shù)（11個(gè)考點(diǎn)清單+11種題型解讀）

專題02二次函數(shù)（考點(diǎn)清單，11個(gè)考點(diǎn)清單+11種題型解讀）【清單01】二次函數(shù)的定義（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．（2）二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，對實(shí)際問題，自變量的取值范圍還需使實(shí)際問題有意義．【清單02】二次函數(shù)的圖象（1）二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象的畫法：①列表：先取原點(diǎn)（0，0），然后以原點(diǎn)為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．②描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點(diǎn)．③連線：用平滑的曲線按順序連接各點(diǎn)．④在畫拋物線時(shí)，取的點(diǎn)越密集，描出的圖象就越精確，但取點(diǎn)多計(jì)算量就大，故一般在頂點(diǎn)的兩側(cè)各取三四個(gè)點(diǎn)即可．連線成圖象時(shí)，要按自變量從小到大（或從大到?。┑捻樞蛴闷交那€連接起來．畫拋物線y＝ax2（a≠0）的圖象時(shí)，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描點(diǎn)法描出拋物線的一側(cè)，再利用對稱性畫另一側(cè)．（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y＝ax2的圖象向右或向左平移||個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．【清單03】二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而減??；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＝﹣時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減??；x＝﹣時(shí)，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．【清單04】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)；③交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．【清單05】拋物線與x軸的交點(diǎn)求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．【清單06】圖象法求一元二次方程的近似根利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：（1）作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個(gè)數(shù)；（2）由圖象與y＝h的交點(diǎn)位置確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍；（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．【清單07】二次函數(shù)與不等式（組）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）與不等式的關(guān)系①函數(shù)值y與某個(gè)數(shù)值m之間的不等關(guān)系，一般要轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的不等式，解不等式求得自變量x的取值范圍．②利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點(diǎn)直觀求解，也可把兩個(gè)函數(shù)解析式列成不等式求解．【清單08】根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式根據(jù)實(shí)際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實(shí)例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點(diǎn)猜想問題需要?jiǎng)邮植僮?，這類問題需要真正的去描點(diǎn)，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題．②函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合問題，有些是以函數(shù)知識(shí)為背景考查幾何相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識(shí)為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)建立量與量的等式．【清單09】二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．【清單10】二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題解決此類問題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問題有意義．【清單11】二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值．對y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q），a＞0時(shí)，當(dāng)﹣≥q，則x＝q時(shí)，y取得最小值；x＝p時(shí)，y取得最大值當(dāng)﹣≤p，則x＝q時(shí)，y取得最大值；x＝p時(shí)，y取得最小值當(dāng)q≥﹣≥時(shí)，x＝﹣時(shí)，y取得最小值，x＝p時(shí)，y取最大值當(dāng)≥﹣≥p時(shí)，x＝﹣，y取得最小值，x＝q時(shí)，y取得最大值a＜0時(shí)，同樣進(jìn)行分類討論．【考點(diǎn)題型一】二次函數(shù)的定義1．（23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·期末）下列函數(shù)中，一定是的二次函數(shù)的是（

）A． B．C． D．2．（22-23九年級(jí)上·廣東東莞·期末）二次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)是（）A．3 B．2 C． D．03．（23-24九年級(jí)上·云南昭通·期末）若函數(shù)（m是常數(shù)）是二次函數(shù)，則m的值是．4．（21-22九年級(jí)上·安徽安慶·期末）已知函數(shù)（為常數(shù)）是關(guān)于的二次函數(shù)，求的值．【考點(diǎn)題型二】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)5．（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，這是二次函數(shù)圖象的一部分，對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，若，則．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)．（1）；（2）當(dāng)時(shí)，直線與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍．7．（21-22九年級(jí)上·安徽馬鞍山·期末）已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上．(1)求n與m之間的關(guān)系式；(2)若當(dāng)時(shí)，拋物線有最小值，求n與m的值．【考點(diǎn)題型三】二次函數(shù)與一元二次方程、不等式8．（23-24九年級(jí)上·廣東東莞·期末）如圖是二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，觀察圖象，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．9．（22-23九年級(jí)上·北京·期中）如圖，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．10．（22-23九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．【考點(diǎn)題型四】二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用11．（23-24九年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖，某中學(xué)綜合與實(shí)踐小組要圍成一個(gè)矩形菜園，其中一邊靠墻，的長不能超過，其余的三邊用總長為40米的柵欄圍成．有下列結(jié)論：①的長可以為；②有兩個(gè)不同的值滿足菜園的面積為；③菜園面積的最大值為．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．312．（23-24九年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面時(shí)，水面寬，則水面下降時(shí)，水面寬度增加．13．（23-24九年級(jí)上·云南昭通·期末）某商店購進(jìn)一批成本為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價(jià)為每件60元時(shí)，每天銷售量是40件，而銷售單價(jià)每下降2元，每天的銷售量就增加4件，且規(guī)定商品售價(jià)不低于成本價(jià)．設(shè)每件商品的售價(jià)為x元時(shí)，每天的銷售量為y件．(1)請求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)售價(jià)定為多少元時(shí)，能使銷售該商品每天獲得的利潤（元）最大？最大利潤是多少元？【考點(diǎn)題型五】根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷字母的系數(shù)14．（23-24九年級(jí)上·安徽馬鞍山·期末）已知拋物線的對稱軸為，與x軸正半軸的交點(diǎn)為，其部分圖象如圖所示，結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．若、、是拋物線上的三點(diǎn)，則15．（24-25九年級(jí)上·云南曲靖·期中）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，對稱軸為直線，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)16．（22-23九年級(jí)上·河南周口·期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，現(xiàn)有以下結(jié)論：；；方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；．其中正確結(jié)論的序號(hào)為．（填寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【考點(diǎn)題型六】由已知函數(shù)的圖象判斷其他函數(shù)的圖象17．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）函數(shù)的圖象如圖所示，那么函數(shù)的圖像是（

）A． B．C． D．18．（20-21九年級(jí)上·安徽阜陽·期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．19．（23-24九年級(jí)上·江蘇無錫·期末）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則二次函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型七】一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的綜合20．（24-25九年級(jí)上·甘肅金昌·期中）在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．21．（22-23九年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A． B．C． D．22．（21-22九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知方程的根是，，且．若，則下列式子中一定正確的是（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型八】拋物線的平移問題23．（22-23九年級(jí)上·安徽六安·期末）將拋物線向上平移1個(gè)單位長度，平移后拋物線的表達(dá)式為（

）A． B． C． D．24．（24-25九年級(jí)上·全國·期末）將拋物線先向上平移3個(gè)單位長度，再向右平移3個(gè)單位長度，得到的拋物線的解析式是．25．（23-24九年級(jí)上·河北保定·期末）已知拋物線的頂點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)該拋物線是否經(jīng)過點(diǎn)？若不經(jīng)過，怎樣沿軸方向平移該拋物線，使它經(jīng)過點(diǎn)？并寫出平移后的新拋物線的解析式．【考點(diǎn)題型九】拋物線的對稱問題26．（23-24九年級(jí)上·北京豐臺(tái)·期末）平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線在x軸和x軸下方的部分記作，將沿x軸翻折記作，和構(gòu)成的圖形記作G．關(guān)于圖形G，如圖所示，以下三個(gè)結(jié)論中，正確的序號(hào)是．①圖形G關(guān)于原點(diǎn)對稱；②圖形G關(guān)于直線對稱；③圖形G的面積為S，滿足．

27．（23-24九年級(jí)上·山東淄博·期末）如圖，“愛心”圖案是由拋物線的一部分及其關(guān)于直線的對稱圖形組成，點(diǎn)，是“愛心”圖案與其對稱軸的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)，，，是“愛心”圖案與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，．(1)求，的值；(2)求拋物線關(guān)于直線對稱后的圖象的表達(dá)式．28．（23-24九年級(jí)上·河北廊坊·期末）佳佳準(zhǔn)備用圖1所示的三拱鐵藝做花壇圍欄，并在如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中，研究三拱鐵藝的數(shù)學(xué)性質(zhì)．已知三拱分別為拋物線，，，其中，關(guān)于的對稱軸對稱，經(jīng)過原點(diǎn)和，，上的點(diǎn)與點(diǎn)K關(guān)于的對稱軸對稱，拋物線經(jīng)過點(diǎn)H，K．點(diǎn)O，A，B，C，D，E分別是拋物線，，與x軸的交點(diǎn)．(1)求的函數(shù)解析式及點(diǎn)K的坐標(biāo)；(2)求的對稱軸和的長度；(3)為控制的高度，需限定，直接寫出的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)n的取值范圍．【考點(diǎn)題型十】和一次函數(shù)的綜合29.（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·期末）已知拋物線（為常量），部分不變，部分關(guān)于直線軸對稱變換．兩部分組成圖形．若圖形與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則滿足的條件是．30．（23-24九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）直線與拋物線相交于點(diǎn)．(1)求a，b的值；(2)求另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)求的面積．31．（22-23九年級(jí)上·河南南陽·期末）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)，在該拋物線上，若，直接寫出的取值范圍；(3)直線l交拋物線于點(diǎn)，（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），若點(diǎn)P在拋物線上且在直線l下方（不與點(diǎn)A，B重合），分別求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的取值范圍．【考點(diǎn)題型十一】和實(shí)際問題的綜合32．（22-23九年級(jí)上·浙江溫州·期末）洗手盤臺(tái)面上有一瓶洗手液．當(dāng)同學(xué)用一定的力按住頂部下壓如圖位置時(shí)，洗手液從噴口流出，路線近似呈拋物線狀，且噴口為該拋物線的頂點(diǎn)．洗手液瓶子的截面圖下面部分是矩形．同學(xué)測得：洗手液瓶子的底面直徑，噴嘴位置點(diǎn)距臺(tái)面的距離為，且、、三點(diǎn)共線．在距離臺(tái)面處接洗手液時(shí)，手心到直線的水平距離為，不去接則洗手液落在臺(tái)面的位置距的水平面是（

）A． B． C． D．33．（23-24九年級(jí)上·吉林長春·期末）如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于兩點(diǎn)，拱橋最高點(diǎn)到的距離為米，米，為拱橋底部的兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)到直線的距離為米，則的長為米．34．（22-23九年級(jí)上·吉林·期末）一名身高為的籃球運(yùn)動(dòng)員甲在距籃筐（點(diǎn)B）水平距離處跳起投籃，籃球準(zhǔn)確落入籃筐，已知籃球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線，籃球在運(yùn)動(dòng)員甲頭頂上方處（點(diǎn)A）出手，籃球在距離籃筐水平距離為處達(dá)到最大高度，以水平地面為x軸，籃球達(dá)到最大高度時(shí)的鉛直方向?yàn)閥軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．(1)求籃球運(yùn)動(dòng)路線（拋物線）的函數(shù)解析式；(2)求籃球出手時(shí)，運(yùn)動(dòng)員甲跳離地面的高度是多少米？

專題02二次函數(shù)（考點(diǎn)清單，11個(gè)考點(diǎn)清單+11種題型解讀）【清單01】二次函數(shù)的定義（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．（2）二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，對實(shí)際問題，自變量的取值范圍還需使實(shí)際問題有意義．【清單02】二次函數(shù)的圖象（1）二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象的畫法：①列表：先取原點(diǎn)（0，0），然后以原點(diǎn)為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．②描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點(diǎn)．③連線：用平滑的曲線按順序連接各點(diǎn)．④在畫拋物線時(shí)，取的點(diǎn)越密集，描出的圖象就越精確，但取點(diǎn)多計(jì)算量就大，故一般在頂點(diǎn)的兩側(cè)各取三四個(gè)點(diǎn)即可．連線成圖象時(shí)，要按自變量從小到大（或從大到小）的順序用平滑的曲線連接起來．畫拋物線y＝ax2（a≠0）的圖象時(shí)，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描點(diǎn)法描出拋物線的一側(cè)，再利用對稱性畫另一側(cè)．（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y＝ax2的圖象向右或向左平移||個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．【清單03】二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而減小；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＝﹣時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減?。粁＝﹣時(shí)，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．【清單04】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)；③交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．【清單05】拋物線與x軸的交點(diǎn)求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．【清單06】圖象法求一元二次方程的近似根利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：（1）作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個(gè)數(shù)；（2）由圖象與y＝h的交點(diǎn)位置確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍；（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．【清單07】二次函數(shù)與不等式（組）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）與不等式的關(guān)系①函數(shù)值y與某個(gè)數(shù)值m之間的不等關(guān)系，一般要轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的不等式，解不等式求得自變量x的取值范圍．②利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點(diǎn)直觀求解，也可把兩個(gè)函數(shù)解析式列成不等式求解．【清單08】根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式根據(jù)實(shí)際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實(shí)例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點(diǎn)猜想問題需要?jiǎng)邮植僮?，這類問題需要真正的去描點(diǎn)，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題．②函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合問題，有些是以函數(shù)知識(shí)為背景考查幾何相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識(shí)為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)建立量與量的等式．【清單09】二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．【清單10】二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題解決此類問題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問題有意義．【清單11】二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值．對y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q），a＞0時(shí)，當(dāng)﹣≥q，則x＝q時(shí)，y取得最小值；x＝p時(shí)，y取得最大值當(dāng)﹣≤p，則x＝q時(shí)，y取得最大值；x＝p時(shí)，y取得最小值當(dāng)q≥﹣≥時(shí)，x＝﹣時(shí)，y取得最小值，x＝p時(shí)，y取最大值當(dāng)≥﹣≥p時(shí)，x＝﹣，y取得最小值，x＝q時(shí)，y取得最大值a＜0時(shí)，同樣進(jìn)行分類討論．【考點(diǎn)題型一】二次函數(shù)的定義1．（23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·期末）下列函數(shù)中，一定是的二次函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了二次函數(shù)定義，解題的關(guān)鍵是掌握形如、、是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：A、是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、符合二次函數(shù)的定義，故本選項(xiàng)符合題意；D、，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．2．（22-23九年級(jí)上·廣東東莞·期末）二次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)是（）A．3 B．2 C． D．0【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，理解二次函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵；根據(jù)二次函數(shù)的定義即可求解．【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)的一次項(xiàng)系數(shù)是．故選：C．3．（23-24九年級(jí)上·云南昭通·期末）若函數(shù)（m是常數(shù)）是二次函數(shù)，則m的值是．【答案】【分析】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握形如、、是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．利用二次函數(shù)定義可得：，且，再計(jì)算出的值即可．【詳解】解：由題意得：，且，解得：，故答案為：4．（21-22九年級(jí)上·安徽安慶·期末）已知函數(shù)（為常數(shù)）是關(guān)于的二次函數(shù)，求的值．【答案】【分析】直接利用二次函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，正確把握定義形如的式子叫二次函數(shù)是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型二】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)5．（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，這是二次函數(shù)圖象的一部分，對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，若，則．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子符號(hào)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子符號(hào)是解題的關(guān)鍵．由圖象開口向上，可得，由對稱軸是直線，可得，則，可判斷②的正誤；當(dāng)時(shí)，，則，可判斷①的正誤；當(dāng)時(shí)，，由，可得，，則，可判斷③的正誤；若，由于兩點(diǎn)與對稱軸的位置關(guān)系不確定，則不一定成立，可判斷④的正誤．【詳解】解：由圖象開口向上，可得，又對稱軸是直線，∴，，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，∴，故①正確；當(dāng)時(shí)，，又∵，∴，∴，∴，∴，故③正確；由題意，對稱軸是直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。划?dāng)時(shí)，隨的增大而增大，若，由于兩點(diǎn)與對稱軸的位置關(guān)系不確定，不一定成立，故④錯(cuò)誤．故選：B．6．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)．（1）；（2）當(dāng)時(shí)，直線與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍．【答案】或【分析】該題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式求解等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．（1）將代入即可求解；（2）結(jié)合圖象分別求出直線經(jīng)過，兩點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過，兩點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過，兩點(diǎn)時(shí)，n的值即可解答．【詳解】解：（1）將代入得：，解得：，故答案為：；（2）由（1）得，二次函數(shù)解析式為，令，則，二次函數(shù)與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，令，則，當(dāng)直線經(jīng)過，兩點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的解析式為，將，代入得，解得：，故此時(shí)直線的解析式為，令，則，即，，此時(shí)，直線與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過，兩點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的解析式為，將，代入得，解得：，故此時(shí)直線的解析式為，令，則，即，，此時(shí)，直線與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)圖象可得，當(dāng)直線經(jīng)過，兩點(diǎn)時(shí)，直線與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線的解析式為，故，；綜上，根據(jù)圖象可得：當(dāng)，直線與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，或，故答案為：或．7．（21-22九年級(jí)上·安徽馬鞍山·期末）已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上．(1)求n與m之間的關(guān)系式；(2)若當(dāng)時(shí)，拋物線有最小值，求n與m的值．【答案】(1)(2)，或，【分析】本題考查二次函數(shù)的最值、一次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題，屬于中考?？碱}型．（1）把點(diǎn)代入即可解決問題．（2）分三種情形①當(dāng)，②當(dāng)，③當(dāng)，分別列出方程解決問題．【詳解】（1）解：點(diǎn)在拋物線上，（2）解：，①當(dāng)時(shí)，則，∵時(shí)，，，，不符合題意，②當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，或．不符合題意，，③當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，．綜上所述：，或，【考點(diǎn)題型三】二次函數(shù)與一元二次方程、不等式8．（23-24九年級(jí)上·廣東東莞·期末）如圖是二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，觀察圖象，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出二次函數(shù)和一次函數(shù)相交于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，1，即可得．【詳解】解：根據(jù)圖象得，二次函數(shù)和一次函數(shù)相交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，1，則當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．故選：B．9．（22-23九年級(jí)上·北京·期中）如圖，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了根據(jù)直線和拋物線交點(diǎn)確定不等式的解集．解題的關(guān)鍵在于對知識(shí)的熟練掌握與數(shù)形結(jié)合．由題意知，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是拋物線圖象在直線圖象下方對應(yīng)的所有的的取值，然后數(shù)形結(jié)合求解即可．【詳解】解：由題意知，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是拋物線圖象在直線圖象下方對應(yīng)的所有的的取值，∵圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，故答案為：．10．（22-23九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了待定系數(shù)法，一元二次方程根的判別式，熟練掌握待定系數(shù)法和判別式的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)判別式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：把代入，得解得二次函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：，∴方程為，，．【考點(diǎn)題型四】二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用11．（23-24九年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖，某中學(xué)綜合與實(shí)踐小組要圍成一個(gè)矩形菜園，其中一邊靠墻，的長不能超過，其余的三邊用總長為40米的柵欄圍成．有下列結(jié)論：①的長可以為；②有兩個(gè)不同的值滿足菜園的面積為；③菜園面積的最大值為．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用和二次函數(shù)的應(yīng)用，設(shè)邊長為，則邊長為，根據(jù)列出方程，解方程求出x的值，根據(jù)x取值范圍判斷①；根據(jù)矩形的面積，解方程求出x的值可以判斷②；設(shè)矩形菜園的面積為，根據(jù)矩形的面積公式列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值可以判斷③.【詳解】解：設(shè)邊長為，則邊長為，當(dāng)時(shí)，，解得∵的長不能超過，∴，故①不正確；∵菜園面積為，∴，整理得：解得或∵，∴，∴的長只有一個(gè)值滿足菜園面積為，故②錯(cuò)誤；設(shè)矩形菜園的面積為，根據(jù)題意得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，最大值為200.故③正確；∴正確的有１個(gè)，故選：B．12．（23-24九年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面時(shí)，水面寬，則水面下降時(shí)，水面寬度增加．【答案】【分析】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．首先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線為，把點(diǎn)代入求出解析式可解．【詳解】解：如圖，建立直角坐標(biāo)，可設(shè)這條拋物線為，把點(diǎn)代入，得，解得∴，當(dāng)時(shí)，，解得∴水面下降時(shí)，水面寬度增加故答案為：．13．（23-24九年級(jí)上·云南昭通·期末）某商店購進(jìn)一批成本為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價(jià)為每件60元時(shí)，每天銷售量是40件，而銷售單價(jià)每下降2元，每天的銷售量就增加4件，且規(guī)定商品售價(jià)不低于成本價(jià)．設(shè)每件商品的售價(jià)為x元時(shí)，每天的銷售量為y件．(1)請求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)售價(jià)定為多少元時(shí)，能使銷售該商品每天獲得的利潤（元）最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)；(2)當(dāng)售價(jià)定為55元時(shí)，銷售該商品每天獲得的利潤最大，最大利潤是1250元．【分析】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)求解；（1）依據(jù)題意，由每天銷售量是40件，而銷售單價(jià)每下降2元，每天的銷售量就增加4件，進(jìn)而列式計(jì)算可以得解；（2）依據(jù)題意，由每件的利潤銷量=總利潤，進(jìn)而列式得，再由二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷可以得解．【詳解】（1）解：由題意得，，∴與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：由題意得，∵，∴當(dāng)時(shí)，W的值最大，最大值為1250元．答：當(dāng)售價(jià)定為55元時(shí)，銷售該商品每天獲得的利潤最大，最大利潤是1250元【考點(diǎn)題型五】根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷字母的系數(shù)14．（23-24九年級(jí)上·安徽馬鞍山·期末）已知拋物線的對稱軸為，與x軸正半軸的交點(diǎn)為，其部分圖象如圖所示，結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．若、、是拋物線上的三點(diǎn)，則【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先根據(jù)二次函數(shù)圖象并結(jié)合對稱軸為，得出，，，即可判斷A；求出即可判斷B、C，根據(jù)拋物線開口向上且即可判斷D，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵拋物線開口向上，與軸交于負(fù)半軸，對稱軸為直線，∴，，，∴，∴，故A正確；∵拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)為，∴，∴，∴，，故B錯(cuò)誤，符合題意，C正確，不符合題意；∵拋物線開口向上，，∴，故D正確，不符合題意；故選：B．15．（24-25九年級(jí)上·云南曲靖·期中）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，對稱軸為直線，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】此題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．根據(jù)對稱軸位置及圖象開口向上可判斷出a、b、c的符號(hào)，從而判斷①；利用對稱軸，可判斷②；利用對稱軸和開口向上，即可判斷最小值，從而判斷③的正誤；由二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷④．【詳解】解∶①函數(shù)圖象開口方向向上，，對稱軸在y軸右側(cè)，異號(hào)，，拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，，，故①錯(cuò)誤；②二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，對稱軸為直線，，，，故②正確；③點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，時(shí)，，時(shí)，，即，故③錯(cuò)誤；④對稱軸為直線，，為最小值，，，故④正確；綜上所述，正確的有②④，故選：C．16．（22-23九年級(jí)上·河南周口·期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，現(xiàn)有以下結(jié)論：；；方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；．其中正確結(jié)論的序號(hào)為．（填寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)圖象得到，，根據(jù)對稱軸是直線，于是得到，同號(hào)，可得，得到，故正確；根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，故正確；根據(jù)圖象得到函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，于是得到方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故正確；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到，故正確．【詳解】解：函數(shù)圖象開口向下，且時(shí)，，，，又對稱軸是直線，，同號(hào)，可得，，故正確；對稱軸是直線，且時(shí)，，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，時(shí)，，時(shí)，，即，，故正確；根據(jù)圖象可知，函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故正確；拋物線開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，即，故正確；故答案為：【考點(diǎn)題型六】由已知函數(shù)的圖象判斷其他函數(shù)的圖象17．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）函數(shù)的圖象如圖所示，那么函數(shù)的圖像是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能夠判斷直線中，是解題的關(guān)鍵．利用二次函數(shù)的圖象判斷，，，，據(jù)此即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵拋物線開口向上，，∵對稱軸在軸的右側(cè)，，，∵拋物線與軸交于正半軸，，∵，，，∴函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故選：B．18．（20-21九年級(jí)上·安徽阜陽·期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像，確定a，b，c的符號(hào)，后根據(jù)一次函數(shù)k,b的符號(hào)性質(zhì)確定圖像的分布即可．【詳解】∵拋物線的開口向下，∴a＜0；∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，∵拋物線的對稱軸在原點(diǎn)的左邊，∴＜0，且a＜0，∴b＜0，∴bc＜0；∴的圖像分布在第二，第三，第四象限，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像，一次函數(shù)的圖像，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與各系數(shù)之間的關(guān)系，一次函數(shù)中k，b與圖像分布之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19．（23-24九年級(jí)上·江蘇無錫·期末）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則二次函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是確定、的符號(hào)，進(jìn)而判斷二次函數(shù)的開口方向及對稱軸位置，選擇正確答案．【詳解】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，，，二次函數(shù)圖象的開口向下，二次函數(shù)的對稱軸，對稱軸應(yīng)在軸的左側(cè)．故選：A．【考點(diǎn)題型七】一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的綜合20．（24-25九年級(jí)上·甘肅金昌·期中）在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的圖象過第一、三象限，二次函數(shù)的圖象開口向上，故C、D不符合題意；再由A、B選項(xiàng)中，二次函數(shù)的圖象可知，故，因此A不符合題意，故選：B．21．（22-23九年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等．可先由一次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)的圖象相比較看是否一致．【詳解】A．由拋物線可知，又，所以對稱軸應(yīng)該在軸右側(cè)，故本選項(xiàng)不符合題意；B．由拋物線可知，，由直線可知，，故本選項(xiàng)符合題意；C．由拋物線可知，，由直線可知，，故本選項(xiàng)不符合題意；D．由拋物線可知又，所以對稱軸應(yīng)該在軸右側(cè)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．22．（21-22九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知方程的根是，，且．若，則下列式子中一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將看作二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，n，結(jié)合圖像即可得．【詳解】將變形為則可理解為二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，n二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為b和c．如圖所示由圖象、題意可知c＞n，n＞b，由二次函數(shù)、一次函數(shù)性質(zhì)可知，故m＜b則故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)圖像綜合問題，將將看作二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，n，再結(jié)合圖象判斷是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型八】拋物線的平移問題23．（22-23九年級(jí)上·安徽六安·期末）將拋物線向上平移1個(gè)單位長度，平移后拋物線的表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)函數(shù)平移規(guī)律“左加右減，上加下減”求解即可．【詳解】解：將拋物線向上平移1個(gè)單位長度，平移后拋物線的表達(dá)式為，故選：C．24．（24-25九年級(jí)上·全國·期末）將拋物線先向上平移3個(gè)單位長度，再向右平移3個(gè)單位長度，得到的拋物線的解析式是．【答案】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．首先將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)“上加下減，左加右減”進(jìn)行求解作答即可．【詳解】解：∵拋物線，將該拋物線先向上平移3個(gè)單位長度，再向右平移3個(gè)單位長度，∴得到的拋物線的解析式是．故答案為：．25．（23-24九年級(jí)上·河北保定·期末）已知拋物線的頂點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)該拋物線是否經(jīng)過點(diǎn)？若不經(jīng)過，怎樣沿軸方向平移該拋物線，使它經(jīng)過點(diǎn)？并寫出平移后的新拋物線的解析式．【答案】(1)(2)不經(jīng)過點(diǎn)B，向右平移1個(gè)或5個(gè)單位長度即可過點(diǎn)，或【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，二次函數(shù)的平移；（1）將，代入即可求解；（2）將代入解析式，即可判斷；設(shè)平移后的新拋物線的解析式為，求出的值，用平移規(guī)律，即可求解；掌握解法及平移規(guī)律“左加右減，上加下減．”是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：拋物線的頂點(diǎn)為，，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，解得，．（2）解：當(dāng)時(shí)，，該拋物線不經(jīng)過點(diǎn)；設(shè)平移后的新拋物線的解析式為，經(jīng)過點(diǎn)，，解得：或，將拋物線向右平移1個(gè)或5個(gè)單位長度即可過點(diǎn)，平移后的新拋物線的解析式為或【考點(diǎn)題型九】拋物線的對稱問題26．（23-24九年級(jí)上·北京豐臺(tái)·期末）平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線在x軸和x軸下方的部分記作，將沿x軸翻折記作，和構(gòu)成的圖形記作G．關(guān)于圖形G，如圖所示，以下三個(gè)結(jié)論中，正確的序號(hào)是．①圖形G關(guān)于原點(diǎn)對稱；②圖形G關(guān)于直線對稱；③圖形G的面積為S，滿足．

【答案】①③【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線的對稱性結(jié)合圖形即可判斷①②；觀察圖形即可判斷③．【詳解】解：如圖，

由圖形可知，圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱，不關(guān)于直線對稱，故①正確，②錯(cuò)誤；觀察圖形，圖形的面積大于兩個(gè)的面積，小于的面積，所以，圖形的面積滿足，故③正確．故答案為：①③．27．（23-24九年級(jí)上·山東淄博·期末）如圖，“愛心”圖案是由拋物線的一部分及其關(guān)于直線的對稱圖形組成，點(diǎn)，是“愛心”圖案與其對稱軸的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)，，，是“愛心”圖案與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，．(1)求，的值；(2)求拋物線關(guān)于直線對稱后的圖象的表達(dá)式．【答案】(1)的值為，的值為5；(2)．【分析】本題主要考查運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求出a，k的值即可；（2）如圖，在（1）的拋物線上任取一點(diǎn)，在拋物線關(guān)于直線對稱的圖象上取點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，，利用對稱性可得出，，由點(diǎn)在拋物線上得，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，得，，解，得，所以，的值為－1，的值為5．（2）解：如圖，在（1）的拋物線上任取一點(diǎn)，在拋物線關(guān)于直線對稱的圖象上取點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，，∵點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線對稱的對應(yīng)點(diǎn)，又∵點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線對稱的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，∴，，∵，，，，∴，，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，∴，∴拋物線關(guān)于直線對稱后的圖象的表達(dá)式為．28．（23-24九年級(jí)上·河北廊坊·期末）佳佳準(zhǔn)備用圖1所示的三拱鐵藝做花壇圍欄，并在如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中，研究三拱鐵藝的數(shù)學(xué)性質(zhì)．已知三拱分別為拋物線，，，其中，關(guān)于的對稱軸對稱，經(jīng)過原點(diǎn)和，，上的點(diǎn)與點(diǎn)K關(guān)于的對稱軸對稱，拋物線經(jīng)過點(diǎn)H，K．點(diǎn)O，A，B，C，D，E分別是拋物線，，與x軸的交點(diǎn)．(1)求的函數(shù)解析式及點(diǎn)K的坐標(biāo)；(2)求的對稱軸和的長度；(3)為控制的高度，需限定，直接寫出的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)n的取值范圍．【答案】(1)，(2)，(3)【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)得出的對稱軸，利用關(guān)于的對稱軸對稱，即可求出結(jié)果；（2）利用函數(shù)對稱性求出，，再根據(jù)A，D關(guān)于直線對稱，即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為，結(jié)合已知利用待定系數(shù)法分別求出，當(dāng)時(shí)，和當(dāng)時(shí)的值即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為．將，代入得，解得，拋物線的解析式為．，關(guān)于的對稱軸對稱，，，，關(guān)于的對稱軸對稱，且的對稱軸，關(guān)于的對稱軸對稱，關(guān)于的對稱軸對稱，即，即∴，∴點(diǎn)；（2）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，∴點(diǎn)H和點(diǎn)K關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴拋物線的對稱軸為直線．對于，當(dāng)時(shí)，，解得，，∴，．∵A，D關(guān)于直線對稱，∴，解得，∴；（3）由（2）可知，拋物線的對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，．設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將，代入，得，解得．當(dāng)時(shí)，，．將，代入，得，解得，∴BC的長度大于OA且小于9時(shí)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)n的取值范圍為．【考點(diǎn)題型十】和一次函數(shù)的綜合29.（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·期末）已知拋物線（為常量），部分不變，部分關(guān)于直線軸對稱變換．兩部分組成圖形．若圖形與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則滿足的條件是．【答案】或【分析】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．先將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，分，，和進(jìn)行討論求解，掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．本題的難度大，綜合性強(qiáng)，屬于壓軸題．【詳解】解：∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸的交點(diǎn)為：∵點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，∴關(guān)于直線對稱的圖象的解析式為：，∴圖象的解析式為：∵，∴時(shí)，，∴一次函數(shù)過點(diǎn)0,1，①當(dāng)時(shí)，，如圖：此時(shí)兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)，即：或時(shí)：如圖，此時(shí)兩個(gè)圖象恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，即：，當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線與有一個(gè)交點(diǎn)，∴當(dāng)與只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，滿足題意，∴，整理，得：∴，解得：或（舍掉），當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線與有一個(gè)交點(diǎn)，∴當(dāng)與只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，滿足題意，∴，整理，得：∴，解得：（舍去）或，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；④當(dāng)時(shí)，即：或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線與有一個(gè)交