人教版九年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)清單 專題07相似（11個考點(diǎn)清單+14種題型解讀）

專題07相似（考點(diǎn)清單，11個考點(diǎn)清單+14種題型解讀）【清單01】圖形的相似的概念形狀相同的圖形叫做相似圖形。1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；2）全等的圖形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同；3）判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素?zé)o關(guān)?！厩鍐?2】成比例線段在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。1）若四條線段、、、成比例，則記作或。注意：四條線段的位置不能隨意顛倒。2）四條線段、、、的單位應(yīng)一致（有時為了計(jì)算方便，、的單位一致，、的單位一致也可以）3）判斷四條線段是否成比例：①將四條線段按從小到大（或從大到小）的順序排列；②分別計(jì)算第一和第二、第三和第四線段的比；若相等則是成比例線段，否則就不是。4）比例的重要性質(zhì)：基本性質(zhì)：若，則；反之，也成立。和比性質(zhì)：若，則；更比性質(zhì)：若，則；反比性質(zhì)：若，則；等比性質(zhì)：若，則。5）拓展：eq\o\ac(○,1)比例式中，或中，、叫外項(xiàng)，、叫內(nèi)項(xiàng)，、叫前項(xiàng)，、叫后項(xiàng)，如果，那么叫做、的比例中項(xiàng)。eq\o\ac(○,2)把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)。【清單03】平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對應(yīng)線段成比例?！厩鍐?4】相似多邊形的性質(zhì)與判定（1）相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。（2）相似比：相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比。（3）判斷兩個多邊形相似，必須同時具備：（1）邊數(shù)相同；（2）對應(yīng)角相等；（3）對應(yīng)邊的比相等。【清單05】相似三角形的相關(guān)概念1）、相似三角形的概念：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形是相似三角形。三角形相似具有傳遞性。2）、相似比的概念：相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。相似三角形對應(yīng)邊的比是有順序的。3、相似三角形與全等三角形的關(guān)系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若兩個相似三角形的相似比是1，則這兩個三角形是全等三角形，由此可見，全等三角形是相似三角形的一種特例。【清單06】相似三角形的判定判定1：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似。判定2：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。判定3：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。判定4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似（此知識常用，用時需要證明）?！厩鍐?7】相似三角形的性質(zhì)1、對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；2、拓展：對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。3、相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。（相似多邊形周長比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方。）【清單08】利用相似三角形測高1）、利用相似三角形的性質(zhì)測量河的寬度，計(jì)算不能直接測量的物體的高度或深度。2）、利用三角形的性質(zhì)來解決實(shí)際問題的核心是構(gòu)造相似三角形，在構(gòu)造的相似三角形中，被測物體必須是其中一邊，注意要把握其余的對應(yīng)邊易測這一原則?！厩鍐?9】位似的概念及性質(zhì)1）兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，象這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心。這時的相似比又稱為位似比。相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：①位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒有；②位似圖形的對應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒有。2、聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。位似中心的位置：可能位于兩個圖形之間，也可能位于兩個圖形一側(cè)，也可能位于兩圖形內(nèi)。位似中心的確定：根據(jù)“位似中心的位置：可能位于兩個圖形之間，也可能位于兩個圖形一側(cè)，也可能位于兩圖形內(nèi)。位似中心的確定：根據(jù)“對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過位似中心”的特點(diǎn)確定位似中心的位置。區(qū)別：①位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒有；②位似圖形的對應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒有。聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質(zhì)。4)、位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比等于相似比?！厩鍐?0】利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過位似變換把原圖形縮小。畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長（分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長）；③根據(jù)相似比確定各線段的長度；④順次連接上述個點(diǎn)，得到圖形?！厩鍐?1】圖形的變換與坐標(biāo)1）、平移：（1）圖形沿x軸平移后，所得新圖形的各對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，當(dāng)向右平移n個單位時，橫坐標(biāo)應(yīng)相應(yīng)地加n個單位，反之則減；（2）圖形沿y軸平移后，所得新圖形的各對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)上加、下減。2）、軸對稱:（1）圖形沿x軸翻折后所得新圖形的各對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）圖形沿y軸翻折后所得新圖形的各對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。3）、以原點(diǎn)為位似中心的位似變換在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變化是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k（對應(yīng)點(diǎn)在位似中心同側(cè)）或者－k（對應(yīng)點(diǎn)在位似中心異側(cè)）。即：若設(shè)原圖形的某一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或?！究键c(diǎn)題型一】線段成比例1.（21-22九年級上·湖南衡陽·期末）已知四條線段a，b，c，d滿足，則下列等式一定成立的是（）A． B． C． D．2．（22-23九年級上·廣東佛山·期末）如圖，直線，分別交直線m、n于點(diǎn)A、C、E、B、D、F，下列結(jié)論不正確的是（）A． B． C． D．3.（23-24九年級下·新疆烏魯木齊·期末）如圖中點(diǎn)DE分別在邊上，，若，則的長是．【考點(diǎn)題型二】坐標(biāo)系里的位似4.（23-24九年級上·遼寧丹東·期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，線段的兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，將線段縮小得到線段，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．或 C． D．或5.（22-23九年級上·福建漳州·期末）如圖，線段兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，以原點(diǎn)為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段放大到原來的2倍后得到線段，則端點(diǎn)的坐標(biāo)為．【考點(diǎn)題型三】相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用6.（23-24九年級下·山東淄博·期末）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊，上，，若，，則的長為（

）A．1.8 B．3 C．3.2 D．47.（23-24九年級下·湖南岳陽·期末）如圖，已知在四邊形中，．為邊延長線上一點(diǎn)，連接交邊于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且．求證：．8.（23-24九年級上·北京通州·期末）如圖，中，，，點(diǎn)D在的延長線上，取的中點(diǎn)F，連結(jié)，將線段繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．(1)依題意，請補(bǔ)全圖形；(2)判斷的數(shù)量關(guān)系及它們所在直線的位置關(guān)系，并證明．【考點(diǎn)題型四】“A”字型9.（22-23九年級上·北京順義·期末）如圖，在菱形中，點(diǎn)E在邊上，射線交的延長線于點(diǎn)F，若，，則的長為（

）A．1 B． C． D．210.（22-23九年級上·河南鄭州·期末）如圖，在中，平分，于點(diǎn)F，D為的中點(diǎn)，連接延長交于點(diǎn)E．若，，則線段的長為．11.（23-24九年級上·江西吉安·期末）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．求證：．【考點(diǎn)題型五】“X”字型12.（23-24九年級上·河南濮陽·期末）如圖在中，、分別是邊、上的點(diǎn)，且，若，則的值為（

）A． B． C． D．13.（23-24九年級上·山東濟(jì)南·期末）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，，連接交于點(diǎn)F，則的面積與的面積之比為（）A． B． C． D．14.（23-24九年級上·北京昌平·期末）如圖，平行四邊形中，E為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)F．則與的面積比為．

15.（22-23九年級上·福建泉州·期末）如圖，相交于點(diǎn)O，已知，，求證：．【考點(diǎn)題型六】旋轉(zhuǎn)型16.（23-24九年級上·浙江臺州·期末）如圖，在等腰三角形中，，點(diǎn)D在上，連接，把繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使，連接，若，，則的長為(

)A． B． C． D．1017.（23-24九年級上·河南周口·期末）如圖，在等腰中，，為上一點(diǎn)，，連接，以為邊向右作等腰，使，．連接，則．18.（22-23九年級上·四川遂寧·期中）如圖，在和中，．求證：(1)；(2)．【考點(diǎn)題型七】垂直型19.（23-24九年級上·河南漯河·期末）如圖，在中，于D，下列條件中，不能使的是（

）A． B． C． D．20.（23-24九年級上·上海黃浦·期末）如圖，是線段上一點(diǎn)，，，，連接并延長交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)．已知，，，，，那么．21.（20-21九年級上·湖南株洲·期末）如圖，在正方形中，E是邊上的點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上，且．(1)求證：；(2)若，延長交的延長線于點(diǎn)G，求的長．【考點(diǎn)題型八】等角型22.（21-22九年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，小亮同學(xué)用自制的直角三角形紙板測量樹的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與樹頂B在同一直線上，已知紙板的兩條邊，，延長交于點(diǎn)C，測得邊離地面的高度，，求樹高．23．（22-23九年級上·北京·階段練習(xí)）如圖，在中，是邊上的高．(1)求證：；(2)若，求的長．【考點(diǎn)題型九】在圓中證明三角形相似24.（22-23九年級上·浙江杭州·期末）如圖，等邊是的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D，E分別為邊上的中點(diǎn)，延長交于點(diǎn)F，若，則（

）A． B． C． D．25.（22-23九年級上·河南鄭州·期末）日晷儀也稱日晷，是我國古代觀測日影計(jì)時的儀器，主要是根據(jù)日影的位置，以指定當(dāng)時的時辰或刻度．小明為了探究日器的奧秘，在不同的時刻對日晷進(jìn)行了觀察．如圖，日晷的平面是以點(diǎn)O為圓心的圓，線段為日器的底座，點(diǎn)C為日晷與底座的接觸點(diǎn)，與相切于點(diǎn)C，點(diǎn)A，B，F(xiàn)均在上，且為不同時刻晷針的影長（A、O、B共線），的延長線分別與相交于點(diǎn)E，D，連接，已知．(1)求證：；(2)若，，求的長．26.（23-24九年級上·湖北武漢·期末）如圖，是圓的內(nèi)接三角形，點(diǎn)在弦上，平分，．(1)求證：平分；(2)若為直徑，且，，求的長．【考點(diǎn)題型十】利用相似證明線段成比例27.（21-22九年級上·廣西百色·期末）如下圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，且△ABC∽△ADB，則下列結(jié)論一定正確的是(

)A． B．C． D．【考點(diǎn)題型十一】利用相似求圓中線段的長28.（22-23九年級上·浙江紹興·期末）如圖，在半徑為5的中，是直徑，是弦，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，則的長為（

）A． B． C． D．29．（20-21九年級下·浙江·期末）如圖，是⊙O的內(nèi)接三角形，是⊙O的直徑．作弦交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)．若是中點(diǎn)，，則的長為（

）A．8 B． C． D．1230.（23-24九年級上·浙江寧波·期末）如圖，在中，，點(diǎn)F為直徑上一點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)E，若，，，則的長為．31.（23-24九年級上·湖北武漢·期末）如圖，為的直徑，C是上一點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，弦，垂足為F．(1)求證：；(2)若，，求的長．【考點(diǎn)題型十二】利用相似求圓的半徑32.（22-23九年級上·山東煙臺·期末）如圖，以的邊為直徑的半圓交、于、兩點(diǎn)，連接，若，，則半圓的半徑長為（

）A． B． C．3 D．33.（20-21九年級上·湖北黃岡·期末）如圖，已知的邊是的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)．經(jīng)過圓心并與圓相交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作直線，交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：平分；（2）若，，求的半徑．34.（20-21九年級上·浙江紹興·期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，BC為直徑作圓剛好經(jīng)過A點(diǎn)，延長BC于點(diǎn)D，連接AD已知．(1)求證：①AD是⊙O的切線；②△ACD∽△BAD；(2)若BD＝8，，求⊙O的半徑．【考點(diǎn)題型十三】利用相似在圓中求線段的比35.（21-22九年級上·浙江舟山·期末）如圖，內(nèi)接于，為直徑，，點(diǎn)在（不與，，重合）上，，點(diǎn)在直線上，連接．(1)如圖1，若點(diǎn)在上，求證：；(2)在（1）的條件下，，，求線段的長；(3)若直線與直線相交于點(diǎn)，當(dāng)時，求的值；36.（22-23九年級上·浙江寧波·期末）如圖1，四邊形是的內(nèi)接四邊形，其中，對角線相交于點(diǎn)E，在上取一點(diǎn)F，使得，過點(diǎn)F作交于點(diǎn)G、H．(1)證明:．(2)如圖2，若，且恰好經(jīng)過圓心O，求的值．(3)若，設(shè)的長為x．①如圖3，用含有x的代數(shù)式表示的周長．②如圖4，恰好經(jīng)過圓心O，求內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比值．【考點(diǎn)題型十四】利用相似在圓中求角的大小37.（21-22九年級上·廣東深圳·期中）如圖，在中，點(diǎn)D在上，，，(1)求證：；(2)當(dāng)時，求的大?。?8．（23-24九年級上·上海黃浦·期末）如圖，是斜邊的中點(diǎn)，交于，垂足為，連接．(1)求證：；(2)如果與相似，求其相似比；(3)如果，求的大?。?/p>

專題07相似（考點(diǎn)清單，11個考點(diǎn)清單+14種題型解讀）【清單01】圖形的相似的概念形狀相同的圖形叫做相似圖形。1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；2）全等的圖形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同；3）判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素?zé)o關(guān)?！厩鍐?2】成比例線段在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。1）若四條線段、、、成比例，則記作或。注意：四條線段的位置不能隨意顛倒。2）四條線段、、、的單位應(yīng)一致（有時為了計(jì)算方便，、的單位一致，、的單位一致也可以）3）判斷四條線段是否成比例：①將四條線段按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?；②分別計(jì)算第一和第二、第三和第四線段的比；若相等則是成比例線段，否則就不是。4）比例的重要性質(zhì)：基本性質(zhì)：若，則；反之，也成立。和比性質(zhì)：若，則；更比性質(zhì)：若，則；反比性質(zhì)：若，則；等比性質(zhì)：若，則。5）拓展：eq\o\ac(○,1)比例式中，或中，、叫外項(xiàng)，、叫內(nèi)項(xiàng)，、叫前項(xiàng)，、叫后項(xiàng)，如果，那么叫做、的比例中項(xiàng)。eq\o\ac(○,2)把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)?！厩鍐?3】平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對應(yīng)線段成比例?！厩鍐?4】相似多邊形的性質(zhì)與判定（1）相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。（2）相似比：相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比。（3）判斷兩個多邊形相似，必須同時具備：（1）邊數(shù)相同；（2）對應(yīng)角相等；（3）對應(yīng)邊的比相等。【清單05】相似三角形的相關(guān)概念1）、相似三角形的概念：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形是相似三角形。三角形相似具有傳遞性。2）、相似比的概念：相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。相似三角形對應(yīng)邊的比是有順序的。3、相似三角形與全等三角形的關(guān)系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若兩個相似三角形的相似比是1，則這兩個三角形是全等三角形，由此可見，全等三角形是相似三角形的一種特例?！厩鍐?6】相似三角形的判定判定1：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似。判定2：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。判定3：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。判定4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似（此知識常用，用時需要證明）?！厩鍐?7】相似三角形的性質(zhì)1、對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；2、拓展：對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。3、相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。（相似多邊形周長比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方。）【清單08】利用相似三角形測高1）、利用相似三角形的性質(zhì)測量河的寬度，計(jì)算不能直接測量的物體的高度或深度。2）、利用三角形的性質(zhì)來解決實(shí)際問題的核心是構(gòu)造相似三角形，在構(gòu)造的相似三角形中，被測物體必須是其中一邊，注意要把握其余的對應(yīng)邊易測這一原則?！厩鍐?9】位似的概念及性質(zhì)1）兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，象這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心。這時的相似比又稱為位似比。相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：①位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒有；②位似圖形的對應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒有。2、聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。位似中心的位置：可能位于兩個圖形之間，也可能位于兩個圖形一側(cè)，也可能位于兩圖形內(nèi)。位似中心的確定：根據(jù)“位似中心的位置：可能位于兩個圖形之間，也可能位于兩個圖形一側(cè)，也可能位于兩圖形內(nèi)。位似中心的確定：根據(jù)“對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過位似中心”的特點(diǎn)確定位似中心的位置。區(qū)別：①位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒有；②位似圖形的對應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒有。聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質(zhì)。4)、位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比等于相似比?！厩鍐?0】利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過位似變換把原圖形縮小。畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長（分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長）；③根據(jù)相似比確定各線段的長度；④順次連接上述個點(diǎn)，得到圖形。【清單11】圖形的變換與坐標(biāo)1）、平移：（1）圖形沿x軸平移后，所得新圖形的各對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，當(dāng)向右平移n個單位時，橫坐標(biāo)應(yīng)相應(yīng)地加n個單位，反之則減；（2）圖形沿y軸平移后，所得新圖形的各對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)上加、下減。2）、軸對稱:（1）圖形沿x軸翻折后所得新圖形的各對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）圖形沿y軸翻折后所得新圖形的各對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。3）、以原點(diǎn)為位似中心的位似變換在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變化是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k（對應(yīng)點(diǎn)在位似中心同側(cè)）或者－k（對應(yīng)點(diǎn)在位似中心異側(cè)）。即：若設(shè)原圖形的某一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或。【考點(diǎn)題型一】線段成比例1.（21-22九年級上·湖南衡陽·期末）已知四條線段a，b，c，d滿足，則下列等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到ad＝bc，可判斷A，根據(jù)分式的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)分式的和比性質(zhì)可判斷B，D．【詳解】解：A、由已知得ad＝bc，故選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)分式的合比性質(zhì)，等式一定成立，故選項(xiàng)符合題意；C、根據(jù)分式的性質(zhì)可知該等式不成立，故選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)分式的合比性質(zhì)，等式不一定成立，故選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，比例的性質(zhì)，熟練掌握比例線段的定義是解題的關(guān)鍵．2．（22-23九年級上·廣東佛山·期末）如圖，直線，分別交直線m、n于點(diǎn)A、C、E、B、D、F，下列結(jié)論不正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線分線段成比例定理，熟練運(yùn)用平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，；選項(xiàng)A、C、D正確，不符合題意；選項(xiàng)B錯誤，不符合題意．故選：B．3.（23-24九年級下·新疆烏魯木齊·期末）如圖中點(diǎn)DE分別在邊上，，若，則的長是．【答案】【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，由中，點(diǎn)分別在邊上，，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得，又由，即可求得答案，注意掌握各比例線段的對應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，∵，∴，解得：，∴．故答案為：．【考點(diǎn)題型二】坐標(biāo)系里的位似4.（23-24九年級上·遼寧丹東·期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，線段的兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，將線段縮小得到線段，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】本題主要考查了位似變換的坐標(biāo)變換規(guī)律，掌握位似變換中的坐標(biāo)變換規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵．利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)與位似比的關(guān)系得出點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段縮小得到線段，∴A點(diǎn)與點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，∵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為位似比為：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．故選：D．5.（22-23九年級上·福建漳州·期末）如圖，線段兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，以原點(diǎn)為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段放大到原來的2倍后得到線段，則端點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)與位似比的關(guān)系得出C點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵以原點(diǎn)為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段放大到原來的2倍后得到線段，∴點(diǎn)與點(diǎn)時對應(yīng)點(diǎn)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，位似比為：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似變換，正確把握位似比與對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式解題的關(guān)鍵【考點(diǎn)題型三】相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用6.（23-24九年級下·山東淄博·期末）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊，上，，若，，則的長為（

）A．1.8 B．3 C．3.2 D．4【答案】B【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，證明，得到，根據(jù)題意得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴∴∵，∴，∴∵∴，故選：B．7.（23-24九年級下·湖南岳陽·期末）如圖，已知在四邊形中，．為邊延長線上一點(diǎn)，連接交邊于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且．求證：．【答案】見解析【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)可證，可得，結(jié)合，可得，可證，可得，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可求證．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵，∴，且，∴，∴，∴．8.（23-24九年級上·北京通州·期末）如圖，中，，，點(diǎn)D在的延長線上，取的中點(diǎn)F，連結(jié)，將線段繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．(1)依題意，請補(bǔ)全圖形；(2)判斷的數(shù)量關(guān)系及它們所在直線的位置關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)，，證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意描述畫圖即可；（2）取中點(diǎn)M，連結(jié)，結(jié)合F為中點(diǎn)，得出，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，結(jié)合可得，，證出，即可得出，，再根據(jù)，得出，即可證明；【詳解】（1）如圖：（2），，證明：取中點(diǎn)M，連結(jié)，∵F為中點(diǎn)，∴，，∵線段繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】該題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線和對應(yīng)圖形．【考點(diǎn)題型四】“A”字型9.（22-23九年級上·北京順義·期末）如圖，在菱形中，點(diǎn)E在邊上，射線交的延長線于點(diǎn)F，若，，則的長為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】此題考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．由菱形的性質(zhì)得，，可證明，則，求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，，∵點(diǎn)F在直線上，∴，∴，∴，∴．故選：C．10.（22-23九年級上·河南鄭州·期末）如圖，在中，平分，于點(diǎn)F，D為的中點(diǎn)，連接延長交于點(diǎn)E．若，，則線段的長為．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到，結(jié)合角平分線推出，得到，進(jìn)而證得是的中位線，求出即可．【詳解】解：∵平分，∴，∵于點(diǎn)F，D為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴是的中位線，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的應(yīng)用，正確理解直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及三角形中位線性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵11.（23-24九年級上·江西吉安·期末）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證得是解題關(guān)鍵．【詳解】證明：∵平分，∴∵，∴，∴．．∴．【考點(diǎn)題型五】“X”字型12.（23-24九年級上·河南濮陽·期末）如圖在中，、分別是邊、上的點(diǎn)，且，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，由，求證，，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得到，進(jìn)而由相似三角形的性質(zhì)即可解決問題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定及其性質(zhì)來分析、判斷、推理或解答．【詳解】解：過作，如圖所示：，，，，，，，，，，故選：D．13.（23-24九年級上·山東濟(jì)南·期末）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，，連接交于點(diǎn)F，則的面積與的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，證明，利用相似三角形的性質(zhì)得到，然后利用等高的三角形面積之比等于對應(yīng)底邊之比求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，則，∴．14.（23-24九年級上·北京昌平·期末）如圖，平行四邊形中，E為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)F．則與的面積比為．

【答案】【分析】此題主要考查了相似三角形，平行四邊形．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，是解題關(guān)鍵．利用平行四邊形的性質(zhì)得出，，得到，再利用相似三角形的面積比等于相似比平方，即得．【詳解】∵E為的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴．故答案為：．15.（22-23九年級上·福建泉州·期末）如圖，相交于點(diǎn)O，已知，，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，根據(jù)邊長之間對應(yīng)成比例以及對頂角相等，可得到兩個三角形相似，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵，∴，又∵，∴．【考點(diǎn)題型六】旋轉(zhuǎn)型16.（23-24九年級上·浙江臺州·期末）如圖，在等腰三角形中，，點(diǎn)D在上，連接，把繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使，連接，若，，則的長為(

)A． B． C． D．10【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是相似三角形判定定理的應(yīng)用．先證明，得到，推出，再證明，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，，即，∴，∴，∵，∴．故選：D．17.（23-24九年級上·河南周口·期末）如圖，在等腰中，，為上一點(diǎn)，，連接，以為邊向右作等腰，使，．連接，則．【答案】【分析】由兩個等腰三角形頂角相等，可得，得到對應(yīng)邊成比例，結(jié)合，可得，得出對應(yīng)邊成比例，結(jié)合已知條件，通過等量代換，即可求解，本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相似三角形與對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等，之間的相互轉(zhuǎn)化．【詳解】解：，，，，，，又，，，，，，又，，，整理得：，又，，，故答案為：．18.（22-23九年級上·四川遂寧·期中）如圖，在和中，．求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法．（1）證明，得出，即可證明結(jié)論；（2）先證明，再根據(jù)即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∴；（2）證明：∵，∴，即，∵，∴．【考點(diǎn)題型七】垂直型19.（23-24九年級上·河南漯河·期末）如圖，在中，于D，下列條件中，不能使的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查銳角三角函數(shù)定義，相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定方法逐一判斷即可．【詳解】解：，，，，，，故A不符合題意；，，，，，故B不符合題意；，，，，，，故C不符合題意；的斜邊和直角邊與的兩直角邊和對應(yīng)成比例，不能判定；故選：D．20.（23-24九年級上·上海黃浦·期末）如圖，是線段上一點(diǎn)，，，，連接并延長交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)．已知，，，，，那么．【答案】1.6【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．先證，求得、，再證，可得．【詳解】解：，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，解得：，即，故答案為：1.621.（20-21九年級上·湖南株洲·期末）如圖，在正方形中，E是邊上的點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上，且．(1)求證：；(2)若，延長交的延長線于點(diǎn)G，求的長．【答案】(1)見詳解(2)15【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，能夠正確找到相似三角形是解決本題的關(guān)鍵．（1）利用“一線三直角”即可證明；（2）由，求出和的長，利用求出的長度，再由求出的長度，即可求出的長．【詳解】（1）解：四邊形為正方形，，，，，∴；（2）解：四邊形為正方形，，，，，設(shè)，∵，，即，解得：，，，，，，，，，．【考點(diǎn)題型八】等角型22.（21-22九年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，小亮同學(xué)用自制的直角三角形紙板測量樹的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與樹頂B在同一直線上，已知紙板的兩條邊，，延長交于點(diǎn)C，測得邊離地面的高度，，求樹高．【答案】【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明，得到，代入數(shù)值求出，根據(jù)線段的和即可得到答案．【詳解】解：∵，

∴，∴，在中，∵，∴，∴，∴．答：樹高是．23．（22-23九年級上·北京·階段練習(xí)）如圖，在中，是邊上的高．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)是邊上的高，得，再因?yàn)榱硗庖唤M角是公共角，對應(yīng)相等，即可作答．（2）先根據(jù)勾股定理求出的值，再由等面積法求出的值，在中根據(jù)勾股定理建立等式，代數(shù)計(jì)算即可作答．【詳解】（1）證明：∵，∴．∵，∴∵，∴；（2）解：∵∴，∵∴∴∵，∴在中，【考點(diǎn)題型九】在圓中證明三角形相似24.（22-23九年級上·浙江杭州·期末）如圖，等邊是的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D，E分別為邊上的中點(diǎn)，延長交于點(diǎn)F，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，交于點(diǎn)M，延長交于點(diǎn)H，連接，根據(jù)等邊是的內(nèi)接三角形，可得，從而得到，，進(jìn)而得到，，再證得，可得，，，再由勾股定理，求出的長，即可．【詳解】解：如圖，連接，交于點(diǎn)M，延長交于點(diǎn)H，連接，∵等邊是的內(nèi)接三角形，∴平分，平分，，∴，∴，，∵，∴，，∵點(diǎn)D，E分別為邊上的中點(diǎn)，∴，∴，∴，，∴，，∴，∴，∴．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵25.（22-23九年級上·河南鄭州·期末）日晷儀也稱日晷，是我國古代觀測日影計(jì)時的儀器，主要是根據(jù)日影的位置，以指定當(dāng)時的時辰或刻度．小明為了探究日器的奧秘，在不同的時刻對日晷進(jìn)行了觀察．如圖，日晷的平面是以點(diǎn)O為圓心的圓，線段為日器的底座，點(diǎn)C為日晷與底座的接觸點(diǎn)，與相切于點(diǎn)C，點(diǎn)A，B，F(xiàn)均在上，且為不同時刻晷針的影長（A、O、B共線），的延長線分別與相交于點(diǎn)E，D，連接，已知．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到，則，再由平行線的性質(zhì)可得；（2）連接，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案．【詳解】（1）證明：∵AB為圓O直徑，∴，∴，∵，∴．即；（2）解：連接，如圖所示，∵，∴，∵，∴，∴，∵是圓O的切線，∴，∴，∴，∴，∴，∴∴．26.（23-24九年級上·湖北武漢·期末）如圖，是圓的內(nèi)接三角形，點(diǎn)在弦上，平分，．(1)求證：平分；(2)若為直徑，且，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分內(nèi)線的定義，可得，再由，可得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，再根據(jù)圓周角定理可得，即可求證；（2）分別過點(diǎn)A，D作，垂足分別為F，G，設(shè)交于點(diǎn)P，為直徑，可得，根據(jù)勾股定理可得，再由可得，，，然后根據(jù)，可得，，從而得到，然后根據(jù)，可得，再由勾股定理可得，，即可求解．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即平分；（2）解：如圖，分別過點(diǎn)A，D作，垂足分別為F，G，設(shè)交于點(diǎn)P，∵為直徑，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十】利用相似證明線段成比例27.（21-22九年級上·廣西百色·期末）如下圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，且△ABC∽△ADB，則下列結(jié)論一定正確的是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式整理即可得解．【詳解】解：∵△ABC∽△ADB，∴，∴AB2=AC?AD．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握對應(yīng)頂點(diǎn)的字母放在對應(yīng)位置上并準(zhǔn)確確定出對應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十一】利用相似求圓中線段的長28.（22-23九年級上·浙江紹興·期末）如圖，在半徑為5的中，是直徑，是弦，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接、，利用垂徑定理得到，再利用三角形中位線定理得到，接著證明，得到，設(shè)，則，，利用半徑為5，解出x，最后在中由勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖示，連接，交于F，∵D是的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，∴，∴，即，在中，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．29．（20-21九年級下·浙江·期末）如圖，是⊙O的內(nèi)接三角形，是⊙O的直徑．作弦交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)．若是中點(diǎn)，，則的長為（

）A．8 B． C． D．12【答案】D【分析】根據(jù)，可得，，可知,，結(jié)合條件是中點(diǎn)，進(jìn)而可知,即可求得．【詳解】，,，又是⊙O的直徑，，，，是中點(diǎn)，，，，，是半徑，．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，由平行得，是解題的關(guān)鍵．30.（23-24九年級上·浙江寧波·期末）如圖，在中，，點(diǎn)F為直徑上一點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)E，若，，，則的長為．【答案】16【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．設(shè)，則，連接，根據(jù)已知條件得到，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，則，連接，∵是的直徑，，∴，，∴，∴，在與中，，∴∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得（負(fù)值舍去），∴．故答案為：16．31.（23-24九年級上·湖北武漢·期末）如圖，為的直徑，C是上一點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，弦，垂足為F．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用垂徑定理得到，根據(jù)題意得到，結(jié)合等量代換和弧、弦、圓心角的關(guān)系，即可證明；（2）連接，交于點(diǎn)，得到，證明，利用相似三角形性質(zhì)和勾股定理求出，，，進(jìn)而即可求出的長．【詳解】（1）解：為的直徑，弦，，D是的中點(diǎn)，，，；（2）解：連接，交于點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，，為的直徑，，，，弦，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是垂徑定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，勾股定理，圓周角定理，以及相似在圓中的綜合運(yùn)用，解決此題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用相似求出半徑【考點(diǎn)題型十二】利用相似求圓的半徑32.（22-23九年級上·山東煙臺·期末）如圖，以的邊為直徑的半圓交、于、兩點(diǎn)，連接，若，，則半圓的半徑長為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，可證得，從而得到，再由，可得，從而得到，連接，根據(jù)為直徑，可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是半圓的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，如圖，連接，∵為直徑，∴，即，∴，∵，∴，∴，解得：或（舍去），∴，∴半圓的半徑長為．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明，是解題的關(guān)鍵33.（20-21九年級上·湖北黃岡·期末）如圖，已知的邊是的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)．經(jīng)過圓心并與圓相交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作直線，交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：平分；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）證明：如圖1，連接OB，由AB是⊙0的切線，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1＝∠3，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1＝∠2，通過等量代換得到結(jié)果；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)已知條件可得，，，在中利用勾股定理列方程可得結(jié)果．【詳解】（1）證明：如圖1，連接OB∵AB是⊙O的切線，∴OB⊥AB，∵CE丄AB，∴OB∥CE，∴∠1＝∠3，∵OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴CB平分∠ACE；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)．平分，，，，∠E=∠BFC=90°∵CB=CB，∴，，在中，，即，解得：，即圓的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．34.（20-21九年級上·浙江紹興·期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，BC為直徑作圓剛好經(jīng)過A點(diǎn)，延長BC于點(diǎn)D，連接AD已知．(1)求證：①AD是⊙O的切線；②△ACD∽△BAD；(2)若BD＝8，，求⊙O的半徑．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)3【分析】（1）①連接AO，根據(jù)圓周角定理得出∠BAC=90°，再由等邊對等角得出∠ACO=∠OAC，結(jié)合圖形中各角之間的數(shù)量關(guān)系得出∠DAO=∠CAD+∠CAO=90°，即可證明結(jié)論；②直接利用相似三角形的判定定理證明即可；（2）由（1）②中結(jié)論得出，，結(jié)合圖形求解即可．【詳解】（1）①證明：連接AO，∵BC是直徑，∴∠BAC=90°，∴∠B+∠ACO=90°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∵∠CAD=∠B．∴∠DAO=∠CAD+∠CAO=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切線；②證明：∵∠CAD=∠B，∠ADC=∠BDA，∴△ACD∽△BAD；（2）解：∵∠BAC=90°，∴，∵△ACD∽△BAD，∴，∴，∴，∴半徑．【點(diǎn)睛】題目主要考查切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切的定義，等邊對等角等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十三】利用相似在圓中求線段的比35.（21-22九年級上·浙江舟山·期末）如圖，內(nèi)接于，為直徑，，點(diǎn)