數(shù)字信號(hào)處理-課件 第4章 DFT離散傅里葉變換

第4章DFT離散傅里葉變換§4-6

頻域抽樣理論§4-8本章總復(fù)習(xí)§4-5DFT的基本性質(zhì)§4-2傅氏變換的四種形式§4-1引言點(diǎn)擊進(jìn)入目錄§4-4DFT變換§4-3DFS變換§4-7DFT的工程問題§4-1引言DFT是重要的變換DFT是現(xiàn)代信號(hào)處理的橋梁傅里葉變換的四種形式一.DFT是重要的變換

1.分析有限長(zhǎng)序列的有用工具。

2.在信號(hào)處理的理論上有重要意義。

3.在運(yùn)算方法上起核心作用，譜分析、卷積、相關(guān)都可以通過DFT在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。譜分析二.DFT是現(xiàn)代信號(hào)處理橋梁

DFT要解決兩個(gè)問題： 一是離散與量化 二是快速運(yùn)算信號(hào)處理DFT(FFT)傅氏變換離散量化§4-2傅里葉變換的四種形式連續(xù)傅里葉變換傅里葉級(jí)數(shù)序列的傅里葉變換離散傅里葉變換-DFT4-2傅氏變換的4種形式4.2.1連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率的傅氏變換-傅氏變換時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)連續(xù)非周期非周期連續(xù)對(duì)稱性:

時(shí)域連續(xù)，則頻域非周期。反之亦然。4.2.2連續(xù)時(shí)間、離散頻率傅里葉變換-傅氏級(jí)數(shù)時(shí)域周期為T0,

頻域譜線間隔為2π/T0時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)連續(xù)

周期非周期離散4.2.3離散時(shí)間、連續(xù)頻率傅氏變換--序列傅氏變換正變換逆變換時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)離散非周期

周期連續(xù)4.2.4離散時(shí)間、離散頻率的傅氏變換--DFT00123kx(nT)=x(n)t0T2T12NnNT相關(guān)變量的物理意義N:序列的點(diǎn)數(shù)T:抽樣間隔ΩS:連續(xù)角頻率(ΩS=2πfS

)fS:抽樣頻率T0:序列周期(T0=NT)Ω0:相鄰兩譜線角頻率間隔(ΩS

=N

Ω0,Ω0=2πF0)F0：頻率函數(shù)抽樣間隔

由上述分析可知，要想在時(shí)域和頻域都是離散的，那么兩域必須是周期的。時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)離散

周期

周期離散DFS的定義DFS的性質(zhì)§4-3周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)—DFS4.3.1離散傅里葉級(jí)數(shù)的定義DFS正變換定義0≤k≤N-1

0≤n≤N-1DFS反變換(IDFS)定義N：為周期序列長(zhǎng)度1.

DFS的定義2.

DFS的矩陣表示

以分別代入DFS公式，則可以得到如下矩陣形式：（1）DFS正變換矩陣形式

以分別代入DFS逆變換，可以得到如下矩陣形式：（2）DFS逆變換矩陣形式

2.

DFS的矩陣表示

（1）線性特性

如果:則有:

兩序列都是N點(diǎn)周期序列3.DFS的性質(zhì)

（2）移位特性

對(duì)于N點(diǎn)周期序列，若則有：3.DFS的性質(zhì)（3）調(diào)制特性

對(duì)于N點(diǎn)周期序列，若則有：3.DFS的性質(zhì)

（4）共軛對(duì)稱性

對(duì)于N點(diǎn)周期序列，若則有：3.DFS的性質(zhì)

（5）周期卷積

對(duì)于N點(diǎn)周期序列，若則有：☆兩序列都是周期為N的序列，周期卷積的結(jié)果也是周期為N的序列☆周期卷積的求和只在一個(gè)周期上進(jìn)行，線性卷積的計(jì)算是在整個(gè)序列的長(zhǎng)度區(qū)間進(jìn)行。3.DFS的性質(zhì)（6）對(duì)偶性

對(duì)于N點(diǎn)周期序列，若則有：☆對(duì)偶性在自然科學(xué)和自然現(xiàn)象中較普遍的存在，對(duì)偶性的本質(zhì)是“二元性”，它表示二元知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的一種內(nèi)在邏輯?！顚?duì)照連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅立葉變換在時(shí)域和頻域之間存在對(duì)偶性3.DFS的性質(zhì)DFT的定義DFT矩陣表示DFT的計(jì)算§4-4離散傅里葉變換—DFTDFT與z變換、DTFT的關(guān)系DFT隱含周期性4.4.1離散傅里葉變換的定義離散傅里葉正變換(DFT)定義0≤k≤N-1

0≤n≤N-1x(n)長(zhǎng)度為M，其x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換為：離散傅里葉反變換(IDFT)定義N：DFT變換區(qū)間長(zhǎng)度1.

DFT的定義

2.

DFT的矩陣表示

以分別代入DFT公式，則可以得到如下矩陣形式：（1）DFT正變換矩陣形式

2.DFT的矩陣表示

以分別代入DFT逆變換，可以得到如下矩陣形式：（2）DFT逆變換矩陣形式

3.

DFT的計(jì)算

DFT公式既可以直接采用公式法，也可以矩陣法計(jì)算：（1）DFT公式法計(jì)算

（2）DFT矩陣法計(jì)算

設(shè)有限長(zhǎng)序列為x(n)=R4(n)，求X(k)

解

計(jì)算x(n)的4點(diǎn)DFT例1由此可得

設(shè)有限長(zhǎng)序列為x(n)=R4(n)，求x(n)的傅里葉變換，以及4點(diǎn)、8點(diǎn)、16點(diǎn)DFT。

解（1）x(n)的傅里葉變換

（2）x(n)的4點(diǎn)DFT例2（3）x(n)的8點(diǎn)DFTk=0，1，…，7

（4）x(n)的16點(diǎn)DFTk=0，1，…，15

例:圖形顯示同一序列不同點(diǎn)數(shù)的DFT是不相同的。x(n)的N點(diǎn)DFT是x(n)的傅里葉變換X(ejw)在區(qū)間[0，2π]上的N點(diǎn)等間隔取樣.4.

DFT和Z變換、序列的傅里葉變換的關(guān)系

設(shè)序列x(n)的長(zhǎng)度為N，其Z變換、傅里葉變換和DFT分別為，0≤k≤N-1三種變換的關(guān)系

0≤k≤N-1比較三式可得

式(3.3)表明，序列x(n)的N點(diǎn)DFT相當(dāng)于是x(n)的z變換在單位圓上進(jìn)行N點(diǎn)等間隔取樣，同時(shí)第一個(gè)取樣點(diǎn)應(yīng)取在z=1處。式(3.4)說(shuō)明，X(k)是x(n)的傅里葉變換X(ejw)在區(qū)間[0，2π]上的N點(diǎn)等間隔取樣。0≤k≤N-1(3.3)(3.4)DFT和Z變換的關(guān)系0≤k≤N-1N＝8時(shí)，單位圓上的8個(gè)等間隔采樣點(diǎn)示意圖如下：DFT和序列的傅里葉變換的關(guān)系物理意義：X(k)是x(n)的傅里葉變換X(ejω)在區(qū)間

[0，2π]上的N點(diǎn)等間隔取樣。實(shí)現(xiàn)了頻域離散化

0≤k≤N-1(1)DFT變換中，具有周期性：其中k，m，N均為整數(shù)

因此有結(jié)論：X(k)具有隱含周期性，且周期均為N。同理可得IDFT也隱含周期性：5.DFT隱含周期性

(1)

(2)例3(2)有限長(zhǎng)序列x(n)和周期序列的關(guān)系周期序列是有限長(zhǎng)序列x(n)的周期延拓。有限長(zhǎng)序列x(n)是周期序列的主值序列。

=,0nN-10,其他n(1)(2)(3)N-1nx(n)0......n0N-1定義從n=0到（N-1）的第一個(gè)周期為主值序列或區(qū)間。例4序列的周期延拓與主值序列(3)周期序列與有限長(zhǎng)序列X(k)的關(guān)系

同樣，周期序列是有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓。

而有限長(zhǎng)序列X(k)是周期序列的主值序列。(4)DFS與DFT

從上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行。

因此可得到新的定義，即有限長(zhǎng)序列的離散傅氏變換(DFT)的定義。,0kN-1,0nN-1或：

4.5.1線性特性如果:則有:§4-5DFT的性質(zhì)

（1）兩序列都是N點(diǎn)時(shí)(2)和的長(zhǎng)度N1和N2不相等選擇

為變換長(zhǎng)度,短序列補(bǔ)零達(dá)到N點(diǎn)。?4.5.2序列的循環(huán)移位(圓周移位)（1）

定義包括三層含義：①將x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓②對(duì)延拓后的周期序列再進(jìn)行移位③移位后取主值區(qū)間（序列）：圓周移位定義：n0N-1序列圓周移位圖解例5n0周期延拓n0左移2n0取主值N-1循環(huán)移位的本質(zhì)是周期移位（2）圓周位移的物理意義

對(duì)周期序列取主值序列時(shí)，只觀察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當(dāng)某一抽樣從此區(qū)間一端移出時(shí)，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進(jìn)來(lái)。

如果把

排列在一個(gè)N等分的圓周上，序列的移位就相當(dāng)于

在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱為圓周移位。當(dāng)對(duì)圓周觀察幾圈時(shí)，看到就是周期序列:

。觀測(cè)點(diǎn)（3）時(shí)域循環(huán)移位定理例6證明時(shí)域循環(huán)移位定理證明令n+m=n'，則有（4）頻域循環(huán)移位定理如果X(k)=DFT[x(n)]，0≤k≤N-1

Y(k)=X((k+l))NRN(k),則:證明方法與時(shí)域循環(huán)移位定理類似。4.5.3對(duì)偶性則有:4.5.4共軛對(duì)稱性（1）周期序列共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量共軛對(duì)稱分量:共軛反對(duì)稱分量該定義對(duì)有限長(zhǎng)序列，是否直接適應(yīng)？

有限長(zhǎng)序列的共軛對(duì)稱分量、共軛反對(duì)稱分量可以在周期為N的基礎(chǔ)上改進(jìn)同樣因此，有限長(zhǎng)序列x(n)圓周共軛對(duì)稱分量為：圓周共軛反對(duì)稱分量為：有限長(zhǎng)序列x(n)的共軛對(duì)稱表示（2）DFT對(duì)稱性質(zhì)：①又由X(k)的隱含周期性，還可以得到:X(N)=X(0)證明同樣的方法可以證明例7證明該結(jié)論②如何記憶公式?③④證：例8證：例9例10則:⑤若x(n)為實(shí)數(shù)該結(jié)論如何證明?X(k)圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量的對(duì)稱性⑥如何證明該結(jié)論?例11

當(dāng)x(n)為純虛序列時(shí):例12該結(jié)論如何證明?

設(shè)和均為長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，且，如果，則4.5.5循環(huán)卷積NN（1）時(shí)域循環(huán)卷積證：相當(dāng)于將 作周期卷積和后，再取主值序列。將周期延拓：則有：證明時(shí)域循環(huán)卷積公式例13在主值區(qū)間，所以：同樣可證：NN(2)時(shí)域循環(huán)卷積過程N(yùn)-10nN-10例14時(shí)域圓周卷積計(jì)算已知序列:nN-100m0m0m序列x2翻轉(zhuǎn)0m1,1,1,0,0,0,01,1,0,0,0,1,11,1,1,0,0,0,11,1,1,1,0,0,00,1,1,1,1,0,00233211N-1nN最后結(jié)果：(3)循環(huán)卷積的矩陣計(jì)算循環(huán)卷積又稱為圓周卷積,它不僅可以用公式計(jì)算，還可以用矩陣進(jìn)行計(jì)算.用矩陣計(jì)算循環(huán)卷積更加簡(jiǎn)潔和高效.計(jì)算序列h(n)與x(n)的4點(diǎn)循環(huán)卷積.解:例15循環(huán)卷積可以用如下矩陣計(jì)算形式。計(jì)算序列h(n)與x(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積.例16解:8點(diǎn)循環(huán)卷積的矩陣計(jì)算討論1：例17根據(jù)例17和例18，研究相同兩序列的不同長(zhǎng)度之循環(huán)卷積之關(guān)系.后4個(gè)數(shù)據(jù)整體平移與前4個(gè)數(shù)相加?例15例16有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積關(guān)系圓周卷積代替線性卷積的條件是:L>N1+N2-1線性卷積

的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為例18討論2：當(dāng)循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度L大于等于y(n)=h(n)*x(n)的長(zhǎng)度時(shí)，循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積.

用圓周卷積計(jì)算線性卷積

的長(zhǎng)度為,的長(zhǎng)度為然后計(jì)算圓周卷積：圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列.

構(gòu)造長(zhǎng)度均為L(zhǎng)長(zhǎng)的序列

將補(bǔ)零點(diǎn)

然后再進(jìn)行周期延拓

，即？1012n1012n3N例19兩序列如下所示:計(jì)算6點(diǎn)長(zhǎng)的循環(huán)卷積m-1-2-3mm1012m解mn2103145233211012m4.5.6選頻特性由于有限長(zhǎng)序列的傅里葉變換可以視為序列z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔抽樣，這表明，DFT算法對(duì)頻率具有選擇性.進(jìn)行抽樣，得到復(fù)指數(shù)序列則復(fù)指數(shù)序列為：若若對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)4.5.7DFT形式下的帕塞瓦定理設(shè)：則有：例20x(n)=R4(n),求x(n)的4點(diǎn)DFT

解:

N=4，因此有:

由于N=8，則:

結(jié)論

:x(n)的離散傅里葉變換結(jié)果與變換序列長(zhǎng)度N的取值有關(guān)。例21解：

？x(n)=R4(n),求x(n)的8點(diǎn)DFT

x(n)的DTFT變換x(n)的8點(diǎn)DFTx(n)的16點(diǎn)DFTx(n)的4點(diǎn)DFT

進(jìn)一步思考:DFT變換之幾何意義

設(shè)序列x(n)長(zhǎng)度為M，其Z變換和N(N≥M)點(diǎn)DFT分別為:比較二式,可得:結(jié)論:序列x(n)的N點(diǎn)DFT是x(n)的Z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣.可得:上式表明:X(k)即x(n)的傅里葉變換x(n)=R4(n)，DFT變換長(zhǎng)度N取4、8、16時(shí)，和X(k)的幅頻特性.Ex2Review

對(duì)

在［0,2π］上的N點(diǎn)等間隔采樣,這就是DFT的物理意義。由此可見，DFT隨著N不同，表示對(duì)在［0,2π］上的采樣點(diǎn)數(shù)和采樣間隔不同，所以DFT的變換結(jié)果不同。

1.兩種抽樣

時(shí)域抽樣:

對(duì)一個(gè)頻帶有限的信號(hào),根據(jù)抽樣定理對(duì)其進(jìn)行抽樣,所得抽樣信號(hào)的頻譜是原帶限信號(hào)頻譜的周期延拓,因此,完全可以由抽樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)。頻域抽樣:

對(duì)一有限序列(時(shí)間有限序列)進(jìn)行DFT所得x(k)就是序列傅氏變換的采樣.所以DFT就是頻域抽樣?！?-6頻域抽樣4.6.1頻域抽樣定理2.由頻域抽樣恢復(fù)序列一個(gè)絕對(duì)可和的非周期序列x(n)的z變換為x(n)絕對(duì)可和,故其傅氏變換存在且連續(xù),即其Z變換收斂域包括單位圓。這樣,對(duì)X(Z)在單位圓上N點(diǎn)等間隔抽樣,就得到對(duì)進(jìn)行反變換,并用表示,則交換求和順序應(yīng)用DFS逆變換

可見,

由

得到的序列是周期序列.

1,m=n+rN,0,其他m

xN(n)是非周期序列x(n)的周期延拓;即:頻域抽樣造成時(shí)域周期延拓。3.頻域抽樣不失真的條件

當(dāng)x(n)不是有限長(zhǎng)時(shí)，無(wú)法周期延拓；

當(dāng)x(n)長(zhǎng)為M,只有NM時(shí),才能不失真的恢復(fù)信號(hào).例22通過DFT實(shí)例觀察和分析頻域抽樣不失真的條件。例23x(n)=R4(n),求出x(n)的4點(diǎn)DFT

解:

x(n)的DTFT變換x(n)的8點(diǎn)DFTx(n)的4點(diǎn)DFT能根據(jù)頻域X(k)的4點(diǎn)的值恢復(fù)序列x(n)嗎？由頻域x(k)完全恢復(fù)了x(n)1.由X(k)恢復(fù)X(z)4.6.2內(nèi)插公式又因?yàn)?序列x(n),（0

n

N-1）的Z變換為x(n)交換求和順序?qū)⒅欣ㄌ?hào)內(nèi)展開等比級(jí)數(shù)求和上式就是由X(k)恢復(fù)X(Z)的內(nèi)插公式,其中稱作內(nèi)插函數(shù)。2.內(nèi)插函數(shù)的特性。。。。。。。內(nèi)插函數(shù)如下:

這樣只有(N-1)個(gè)零點(diǎn),抽樣點(diǎn)

稱作本抽樣點(diǎn).

內(nèi)插函數(shù)僅在本抽樣點(diǎn)處不為零

其他(N-1)個(gè)抽樣點(diǎn)均為零.極點(diǎn)：1階極點(diǎn)：N-1階極點(diǎn)：因此，極點(diǎn)與其中的一個(gè)零點(diǎn)會(huì)對(duì)消3.頻率響應(yīng)

4.內(nèi)插函數(shù)的頻率特性單位圓上的z變換即為頻響,

代入可見,既是的函數(shù)又是k的函數(shù)；

可表示為：

當(dāng)k=0時(shí),則有所以:當(dāng)N=5時(shí),

的幅度特性和相位特性其中，幅度特性和相位特性如下圖所示：N=5幅度特性相位特性由于i與k均為整數(shù),所以i

k

時(shí)

即內(nèi)插函數(shù)在本抽樣點(diǎn)上而在其他抽樣點(diǎn)上5.X(ejω)與X(k)的關(guān)系

由于的特性可知,在每個(gè)抽樣點(diǎn)上其值為1,故就精確等于X(k)。即

而在抽樣點(diǎn)之間：等于加權(quán)的內(nèi)插函數(shù)值疊加而得。

§4-7DFT的工程問題概述：

設(shè)T為抽樣間隔,則:

1.混疊現(xiàn)象

為避免混疊,由抽樣定理可知，須滿足其中,為抽樣頻率;為信號(hào)的最高頻率分量.§4-7DFT的工程問題頻譜分析用FFT處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪.已知（1）頻率分辨率為，（2）信號(hào)的最高頻率，試求：（1）最小記錄長(zhǎng)度

;(2)抽樣點(diǎn)間的最大抽樣間隔T;(3)在一個(gè)記錄中的最小點(diǎn)數(shù)N。解：（1）最小記錄長(zhǎng)度（2）最大抽樣間隔T例24頻譜分析用FFT處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪.已知（1）頻率分辨率為，（2）信號(hào)的最高頻率，試求：（1）最小記錄長(zhǎng)度

;(2)抽樣點(diǎn)間的最大抽樣間隔T;(3)在一個(gè)記錄中的最小點(diǎn)數(shù)N。解：（1）最小記錄長(zhǎng)度（2）最大的抽樣時(shí)間間隔